文档内容
2016年湖南省株洲市中考数学试卷（教师版）
一、选择题（每小题只有一个正确答案，本题共10小题，共30分）
1．（3分）下列数中，﹣3的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
【考点】17：倒数．
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【分析】根据倒数的定义，用1÷（﹣3），算出结果即是﹣3的倒数．
【解答】解：1÷（﹣3）＝ ＝﹣ ．
故选：A．
【点评】本题考查了求倒数，解题的关键是明白倒数的定义．本题属于基础题，难度不
大，解决该题型题目时，根据倒数的定义找出数（非0）的倒数是关键．
2．（3分）下列等式错误的是（ ）
A．（2mn）2＝4m2n2 B．（﹣2mn）2＝4m2n2
C．（2m2n2）3＝8m6n6 D．（﹣2m2n2）3＝﹣8m5n5
【考点】47：幂的乘方与积的乘方．
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【分析】根据幂的乘方和积的乘方分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、结果是4m2n2，故本选项不符合题意；
B、结果是4m2n2，故本选项不符合题意；
C、结果是8m6n6，故本选项不符合题意；
D、结果是﹣8m6n6，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方的应用，能熟记法则的内容是解此题的关键．
3．（3分）甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，现要
根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（ ）
队员 平均成绩 方差
甲 9.7 2.12
乙 9.6 0.56
丙 9.7 0.56
丁 9.6 1.34
第1页（共21页）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】W7：方差．
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【分析】首先比较平均数，然后比较方差，方差越小，越稳定．
【解答】解：∵ ＝ ＝9.7，S2
甲
＞S2
丙
，
∴选择丙．
故选：C．
【点评】此题考查了方差的知识．注意方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也
越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
4．（3分）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时
针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点
O，则∠COA′的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【考点】R2：旋转的性质．
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【分析】由三角形的内角和为180°可得出∠A＝40°，由旋转的性质可得出BC＝B′C，
从而得出∠B＝∠BB′C＝50°，再依据三角形外角的性质结合角的计算即可得出结论．
【解答】解：∵在三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝40°．
由旋转的性质可知：
BC＝B′C，
∴∠B＝∠BB′C＝50°．
又∵∠BB′C＝∠A+∠ACB′＝40°+∠ACB′，
∴∠ACB′＝10°，
∴∠COA′＝∠AOB′＝∠OB′C+∠ACB′＝∠B+∠ACB′＝60°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质、角的计算依据外角的性质，解题的关键是算出
第2页（共21页）∠ACB′＝10°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，依据旋转的性质找
出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数是关键．
5．（3分）不等式 的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．
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【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中
间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点
用实心，不包括端点用空心”的原则判断即可．
【解答】解：解不等式2x﹣1≥1，得：x≥1，
解不等式x﹣2＜0，得：x＜2，
∴不等式组的解集为：1≤x＜2，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．（3 分）在解方程 时，方程两边同时乘以 6，去分母后，正确的是
（ ）
A．2x﹣1+6x＝3（3x+1） B．2（x﹣1）+6x＝3（3x+1）
C．2（x﹣1）+x＝3（3x+1） D．（x﹣1）+x＝3（x+1）
【考点】86：解一元一次方程．
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【分析】方程两边同时乘以6，化简得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程两边同时乘以6得：2（x﹣1）+6x＝3（3x+1），
故选：B．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知
数系数化为1，求出解．
第3页（共21页）7．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，
以下说法错误的是（ ）
A．OE＝ DC B．OA＝OC C．∠BOE＝∠OBA D．∠OBE＝∠OCE
【考点】L5：平行四边形的性质．
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【分析】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项 A、B、C 正确；由
OB≠OC，得出∠OBE≠∠OCE，选项D错误；即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥DC，
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE＝ DC，OE∥DC，
∴OE∥AB，
∴∠BOE＝∠OBA，
∴选项A、B、C正确；
∵OB≠OC，
∴∠OBE≠∠OCE，
∴选项D错误；
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角
形中位线定理：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．
8．（3分）如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角
形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S +S ＝S 图形个数有（ ）
1 2 3
第4页（共21页）A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】KQ：勾股定理．
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【分析】根据直角三角形a、b、c为边，应用勾股定理，可得a2+b2＝c2．
（1）第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出 3个三角形的面积；
然后根据a2+b2＝c2，可得S +S ＝S ．
1 2 3
（2）第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出 3个半圆的面积；然后根据
a2+b2＝c2，可得S +S ＝S ．
1 2 3
（3）第三个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出 3个等腰直角三
角形的面积；然后根据a2+b2＝c2，可得S +S ＝S ．
1 2 3
（4）第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出 3个正方形的面积；然后
根据a2+b2＝c2，可得S +S ＝S ．
1 2 3
【解答】解：（1）S ＝ a2，S ＝ b2，S ＝ c2，
1 2 3
∵a2+b2＝c2，
∴ a2+ b2＝ c2，
∴S +S ＝S ．
1 2 3
（2）S ＝ a2，S ＝ b2，S ＝ c2，
1 2 3
∵a2+b2＝c2，
∴ a2+ b2＝ c2，
∴S +S ＝S ．
1 2 3
第5页（共21页）（3）S ＝ a2，S ＝ b2，S ＝ c2，
1 2 3
∵a2+b2＝c2，
∴ a2+ b2＝ c2，
∴S +S ＝S ．
1 2 3
（4）S ＝a2，S ＝b2，S ＝c2，
1 2 3
∵a2+b2＝c2，
∴S +S ＝S ．
1 2 3
综上，可得
面积关系满足S +S ＝S 图形有4个．
1 2 3
故选：D．
【点评】（1）此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明
确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
（2）此题还考查了等腰直角三角形、等边三角形、圆以及正方形的面积的求法，要熟
练掌握．
9．（3分）已知，如图一次函数y ＝ax+b与反比例函数y ＝ 的图象如图示，当y ＜y 时，
1 2 1 2
x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x＞5 C．2＜x＜5 D．0＜x＜2或x＞5
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
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【分析】根据图象得出两交点的横坐标，找出一次函数图象在反比例图象下方时x的范
围即可．
【解答】解：根据题意得：当y ＜y 时，x的取值范围是0＜x＜2或x＞5．
1 2
第6页（共21页）故选：D．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，灵活
运用数形结合思想是解本题的关键．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，2），B（2，5），
顶点坐标为（m，n），则下列说法错误的是（ ）
A．c＜3 B．m≥ C．n≤2 D．b＜1
【考点】H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】根据已知条件得到 ，解方程组得到c＝3﹣2a＜3，b＝1﹣a＜1，
求得二次函数的对称轴为x＝﹣ ＝﹣ ＝ ﹣ ＜ ，根据二次函数的顶点坐标
即可得到结论．
【解答】解：由已知可知： ，
消去b得：c＝3﹣2a＜3，
消去c得：b＝1﹣a＜1，
对称轴：m＝x＝﹣ ＝﹣ ＝ ﹣ ＜ ，
∵A（﹣1，2），a＞0，那么顶点的纵坐标为函数的最小值，
∴n≤2，
故B错．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的
性质是解题的关键．
二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分）
11．（3分）计算：3a﹣（2a﹣1）＝ a + 1 ．
【考点】44：整式的加减．
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【分析】原式去括号合并即可得到结果．
【解答】解：原式＝3a﹣2a+1＝a+1，
故答案为：a+1．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
第7页（共21页）12．（3分）据民政部网站消息，截至2014年底，我国60岁以上老年人口已经达到2.12
亿，其中2.12亿用科学记数法表示为 2.12×1 0 8 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：2.12亿＝212000000＝2.12×108，
故答案为：2.12×108．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．（3分）从1，2，3…99，100个整数中，任取一个数，这个数大于60的概率是 0.4
．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】直接利用概率公式计算．
【解答】解：从1，2，3…99，100个整数中，任取一个数，这个数大于 60的概率＝
＝0.4．
故答案为0.4．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数
除以所有可能出现的结果数．
14．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为
． π
【考点】MM：正多边形和圆；MN：弧长的计算．
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【分析】求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可．
【解答】解：如图，连接OA、OB，
第8页（共21页）∵ABCDEF为正六边形，
∴∠AOB＝360°× ＝60°，
的长为 ＝ ．
π
故答案为： ．
【点评】本π题主要考查正多边形的性质和弧长公式，熟练掌握正多边形的性质是解题的
关键．
15．（3分）分解因式：（x﹣8）（x+2）+6x＝ （ x + 4 ）（ x ﹣ 4 ） ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
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【分析】原式去括号、合并同类项后，运用平方差公式分解即可得到结果．
【解答】解：原式＝x2+2x﹣8x﹣16+6x
＝x2﹣16
＝（x+4）（x﹣4），
故答案为：（x+4）（x﹣4）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握整式的化简、平方差公式是解题
的关键．
16．（3分）△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，∠A＝75°，∠B＝45°，则圆心
角∠EOF＝ 12 0 度．
【考点】MI：三角形的内切圆与内心．
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【分析】首先根据∠A＝75°，∠B＝45°，求出∠C＝60°；然后根据△ABC的内切圆的三
第9页（共21页）个切点分别为D、E、F，可得∠OEC＝∠OFC＝90°，再根据四边形OEFC的内角和等
于360°，求出圆心角∠EOF的度数是多少即可．
【解答】解：∵∠A＝75°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣75°﹣45°
＝105°﹣45°
＝60°
∵△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，
∴∠OEC＝∠OFC＝90°，
∵四边形OECF的内角和等于360°，
∴∠EOF＝360°﹣（90°+90°+60°）
＝360°﹣240°
＝120°
故答案为：120．
【点评】此题主要考查了三角形的内切圆与内心，要熟练掌握，解答此题的关键是要明
确：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这
个内角．
17．（3分）已知A、B、C、D是平面坐标系中坐标轴上的点，且△AOB≌△COD．设直
线AB的表达式为y ＝k x+b ，直线CD的表达式为y ＝k x+b ，则k •k ＝ 1 ．
1 1 1 2 2 2 1 2
【考点】FF：两条直线相交或平行问题；KA：全等三角形的性质．
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【分析】根据A（0，a）、B（b，0），得到OA＝a，OB＝﹣b，根据全等三角形的性
质得到OC＝a，OD＝﹣b，得到C（a，0），D（0，b），求得k ＝ ，k ＝ ，即
1 2
可得到结论．
【解答】解：设点A（0，a）、B（b，0），
∴OA＝a，OB＝﹣b，
第10页（共21页）∵△AOB≌△COD，
∴OC＝a，OD＝﹣b，
∴C（a，0），D（0，b），
∴k ＝ ＝ ，k ＝ ＝ ，
1 2
∴k •k ＝1，
1 2
故答案为：1．
【点评】本题考查了两直线相交与平行，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性
质是解题的关键．
18．（3分）已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点
叫△ABC的费马点（Fermat point）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，
当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为 的等
腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF＝ +1 ．
【考点】KW：等腰直角三角形；T7：解直角三角形．
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【分析】根据题意首先画出图形，过点D作DM⊥EF于点M，过E、F分别作∠MEP＝
∠MFP＝30°就可以得到满足条件的点P，根据特殊直角三角形才求出PE，PF，PM，
DP的长，进而得出答案．
【解答】解：如图：等腰Rt△DEF中，DE＝DF＝ ，
过点D作DM⊥EF于点M，过E、F分别作∠MEP＝∠MFP＝30°，
则EM＝DM＝1，
故cos30°＝ ，
解得：PE＝PF＝ ＝ ，则PM＝ ，
故DP＝1﹣ ，
则PD+PE+PF＝2× +1﹣ ＝ +1．
故答案为： +1．
第11页（共21页）【点评】此题主要考查了解直角三角，正确画出图形进而求出PE的长是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）计算： ．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】原式利用算术平方根定义，乘方的意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得
到结果．
【解答】解：原式＝3+1﹣2＝2．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（6分）先化简，再求值： ，其中x＝3．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【分析】首先通分计算括号里面的，再计算乘法，把多项式分解因式后约分，得出化简
结果，再代入x的值计算即可．
【解答】解：
＝ •
＝ ，
当x＝3时，原式＝ ＝ ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最
简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分
母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
21．（8分）某社区从2011年开始，组织全民健身活动，结合社区条件，开展了广场舞、
太极拳、羽毛球和跑步四个活动项目，现将参加项目活动总人数进行统计，并绘制成每
年参加总人数折线统计图和2015年各活动项目参与人数的扇形统计图，请你根据统计
图解答下列题
（1）2015年比2011年增加 99 0 人；
（2）请根据扇形统计图求出2015年参与跑步项目的人数；
（3）组织者预计2016年参与人员人数将比2015年的人数增加15%，各活动项目参与
人数的百分比与2016年相同，请根据以上统计结果，估计2016年参加太极拳的人数．
第12页（共21页）【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VD：折线统计图．
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【分析】（1）用2015年的人数﹣2011年的人数即可；
（2）用2015年总人数×参与跑步项目的人数所占的百分数即可；
（3）2015年总人数×（1+15%）×参加太极拳的人数所占的百分数即可．
【解答】解：（1）1600﹣610＝990（人）；
故答案为：990人；
（2）1600×55%＝880（人）；
答：2015年参与跑步项目的人数为880人；
（3）1600×（1+15%）×（1﹣55%﹣30%﹣5%）＝184（人）；
答：估计2016年参加太极拳的人数为184人．
【点评】本题考查了折线统计图、扇形统计图、用样本估计总体等知识；利用统计图获
取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22．（8分）某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评
价得分由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100分）两部分组成，其中测试成
绩占80%，平时成绩占20%，并且当综合评价得分大于或等于 80分时，该生综合评价
为A等．
（1）孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，
则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？
（2）某同学测试成绩为70分，他的综合评价得分有可能达到A等吗？为什么？
（3）如果一个同学综合评价要达到A等，他的测试成绩至少要多少分？
【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用．
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【分析】（1）分别利用孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综
合评价得分为91分，分别得出等式求出答案；
（2）利用测试成绩占80%，平时成绩占20%，进而得出答案；
第13页（共21页）（3）首先假设平时成绩为满分，进而得出不等式，求出测试成绩的最小值．
【解答】解：（1）设孔明同学测试成绩为x分，平时成绩为y分，依题意得：
解之得：
答：孔明同学测试成绩为90分，平时成绩为95分；
（2）由题意可得：80﹣70×80%＝24，
24÷20%＝120＞100，故不可能．
（3）设平时成绩为满分，即100分，综合成绩为100×20%＝20，
设测试成绩为a分，根据题意可得：20+80%a≥80，
解得：a≥75
答：他的测试成绩应该至少为75分．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，根据题意
正确理解两种成绩所占比例是解题关键．
23．（8分）已知正方形ABCD中，BC＝3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝
BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．
（1）求证：△ADF≌△ABE；
（2）若BE＝1，求tan∠AED的值．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．
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【分析】（1）根据辅助线的性质得到AD＝AB，∠ADC＝∠ABC＝90°，由邻补角的定
义得到∠ADF＝∠ABE＝90°，于是得到结论；
（2）过点A作AH⊥DE于点H，根据勾股定理得到AE＝ ，ED＝ ＝5，
第14页（共21页）根据三角形的面积S△AED ＝ AD×BA＝ ，S△ADE ＝ ED×AH＝ ，求得AH＝1.8，由三
角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）正方形ABCD中，
∵AD＝AB，∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠ADF＝∠ABE＝90°，
在△ADF与△ABE中，
，
∴△ADF≌△ABE；
（2）过点A作AH⊥DE于点H，
在Rt△ABE中，∵AB＝BC＝3，
∵BE＝1，
∴AE＝ ，ED＝ ＝5，
∵S△AED ＝ AD×BA＝ ，
S△ADE ＝ ED×AH＝ ，
解出AH＝1.8，
在Rt△AHE中，EH＝2.6，
∴tan∠AED＝ ．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等积式，
第15页（共21页）勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
24．（8分）平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y＝ （k≠0）图象上，点
B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点
（1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；
（2）在（1）的条件下，若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；L5：平行四边形的性质．
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【分析】（1）根据点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比
例函数y＝ （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，可以求
得k的值和点C的坐标；
（2）根据△APO的面积为2，可以求得OP的长，从而可以求得点P的坐标，进而可以
求得直线AP的解析式，从而可以求得点D的坐标，再根据点到直线的距离公式可以求
得点D到直线AC的距离．
【解答】解：（1）∵点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反
比例函数y＝ （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，
∴3＝ ，点C与点A关于原点O对称，
∴k＝6，C（﹣2，﹣3），
即k的值是6，C点的坐标是（﹣2，﹣3）；
（2）过点A作AN⊥y轴于点N，过点D作DM⊥AC，如图，
∵点A（2，3），k＝6，
∴AN＝2，
∵△APO的面积为2，
第16页（共21页）∴ ，
即 ，得OP＝2，
∴点P（0，2），
设过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y＝kx+b，
，得 ，
∴过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y＝0.5x+2，
当y＝0时，0＝0.5x+2，得x＝﹣4，
∴点D的坐标为（﹣4，0），
设过点A（2，3），C（﹣2，﹣3）的直线解析式为y＝mx+b，
则 ，得 ，
∴过点A（2，3），C（﹣2，﹣3）的直线解析式为y＝1.5x，
∴点D到直线AC的直线得距离为： ＝ ．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、平行四边形的性质，解题的关键
是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
25．（10分）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过
点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形
（1）求证：△DFB是等腰三角形；
（2）若DA＝ AF，求证：CF⊥AB．
第17页（共21页）【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质；KO：含30度角的直角三角形；M5：圆周角
定理．
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【分析】（1）由AB是 O直径，得到∠ACB＝90°，由于△AEF为等边三角形，得到
∠CAB＝∠EFA＝60°，根⊙据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF＝2a，根据等边三角形的性质得到FM＝EM＝
a，AM＝ a，在根据已知条件得到AB＝AF+BF＝8a，根据直角三角形的性质得到AE
＝EF＝AF＝CE＝2a，推出∠ECF＝∠EFC，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB是 O直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙
∵△AEF为等边三角形，
∴∠CAB＝∠EFA＝60°
∴∠B＝30°，
∵∠EFA＝∠B+∠FDB，
∴∠B＝∠FDB＝30°，
∴△DFB是等腰三角形；
（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF＝2a，
∵△AEF是等边三角形，
∴FM＝EM＝a，AM＝ a，
在Rt△DAM中，AD＝ AF＝2 a，AM＝ ，
∴DM＝5a，
∴DF＝BF＝6a，
∴AB＝AF+BF＝8a，
在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝4a，
第18页（共21页）∵AE＝EF＝AF＝2a，
∴CE＝AC﹣AE＝2a，
∴∠ECF＝∠EFC，
∵∠AEF＝∠ECF+∠EFC＝60°，
∴∠CFE＝30°，
∴∠AFC＝∠AFE+∠EFC＝60°+30°＝90°，
∴CF⊥AB．
【点评】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含
30°角的直角三角形，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
26．（12分）已知二次函数y＝x2﹣（2k+1）x+k2+k（k＞0）
（1）当k＝ 时，求这个二次函数的顶点坐标；
（2）求证：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0有两个不相等的实数根；
（3）如图，该二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于C点，
P是y轴负半轴上一点，且OP＝1，直线AP交BC于点Q，求证： ．
第19页（共21页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）直接将k的值代入函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标；
（2）利用根的判别式得出△＝1，进而得出答案；
（3）根据题意首先表示出Q点坐标，以及表示出OA，AB的长，再利用两点之间距离
求出AQ的长，进而求出答案．
【解答】解：（1）将k＝ 代入二次函数可求得，
y＝x2﹣2x+
＝（x﹣1）2﹣ ，
故抛物线的顶点坐标为：（1，﹣ ）；
（2）∵一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，
∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）＝1＞0，
∴关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0有两个不相等的实数根；
（3）由题意可得：点P的坐标为（0，﹣1），
则0＝x2﹣（2k+1）x+k2+k
0＝（x﹣k﹣1）（x﹣k），
故A（k，0），B（k+1，0），
当x＝0，则y＝k2+k，
故C（0，k2+k）
则AB＝k+1﹣k＝1，OA＝k，
可得
，
y ＝﹣kx+k2+k，
BC
当 x﹣1＝﹣kx+k2+k，
第20页（共21页）解得：x＝k+ ，
则代入原式可得：y＝ ，
则点Q坐标为
运用距离公式得：AQ2＝（ ）2+（ ）2＝ ，
则OA2＝k2，AB2＝1，
故 + ＝ +1＝ ＝ ，
则 ．
【点评】此题主要考查了二次函数综合以及根的判别式和配方法求二次函数顶点坐标和
两点之间距离求法等知识，正确表示出Q点坐标是解题关键．
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日期：2019/12/22 11:00:48；用户：初中数学；邮箱：sx0123@xyh.com；学号：30177373
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