文档内容
2018年湖南省株洲市中考数学试卷（教师版）
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）9的算术平方根是（ ）
A．3 B．9 C．±3 D．±9
【考点】22：算术平方根．
菁优网版权所有
【分析】根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．
所以结果必须为正数，由此即可求出9的算术平方根．
【解答】解：∵32＝9，
∴9的算术平方根是3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，易错点正确区别算术平方根与平方根的定
义．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5ab B．（﹣ab）2＝a2b
C．a2•a4＝a8 D．
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；66：约分．
菁优网版权所有
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方法则解答．
【解答】解：A、2a与3b不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、原式＝a2b2，故本选项错误；
C、原式＝a6，故本选项错误；
D、原式＝2a3，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法的性质与合并同类项法则，熟练掌握性质和法则是
解题的关键．
3．（3分）如图， 的倒数在数轴上表示的点位于下列两个点之间（ ）
第1页（共23页）A．点E和点F B．点F和点G C．点G和点H D．点H和点I
【考点】13：数轴；17：倒数．
菁优网版权所有
【分析】根据倒数的定义即可判断；
【解答】解： 的倒数是 ，
∴ 在G和H之间，
故选：C．
【点评】本题考查倒数的定义，数轴等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中
考常考题型．
4．（3分）据资料显示，地球的海洋面积约为360000000平方千米，请用科学记数法表示
地球海洋面积约为多少平方千米（ ）
A．36×107 B．3.6×108 C．0.36×109 D．3.6×109
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将360000000用科学记数法表示为：3.6×108．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其
中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）关于x的分式方程 解为x＝4，则常数a的值为（ ）
A．a＝1 B．a＝2 C．a＝4 D．a＝10
【考点】B2：分式方程的解．
菁优网版权所有
【分析】根据分式方程的解的定义把x＝4代入原分式方程得到关于a的一次方程，解得
a＝10．
【解答】解：把x＝4代入方程 ，得
+ ＝0，
解得a＝10．
第2页（共23页）故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．
6．（3分）从﹣5，﹣ ，﹣ ，﹣1，0，2， 这七个数中随机抽取一个数，恰好为负
π
整数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】X4：概率公式．
菁优网版权所有
【分析】七个数中有两个负整数，故随机抽取一个数，恰好为负整数的概率是：
【解答】解：﹣5，﹣ ，﹣ ，﹣1，0，2， 这七个数中有两个负整数：﹣5，﹣1
π
所以，随机抽取一个数，恰好为负整数的概率是：
故选：A．
【点评】本题考查随机事件的概率的计算方法，能准确找出负整数的个数，并熟悉等可
能事件的概率计算公式是关键．
7．（3分）下列哪个选项中的不等式与不等式5x＞8+2x组成的不等式组的解集为 ＜x＜5
（ ）
A．x+5＜0 B．2x＞10 C．3x﹣15＜0 D．﹣x﹣5＞0
【考点】C6：解一元一次不等式．
菁优网版权所有
【分析】首先计算出不等式5x＞8+2x的解集，再根据不等式的解集确定方法：大小小
大中间找可确定另一个不等式的解集，进而选出答案．
【解答】解：5x＞8+2x，
解得：x＞ ，
根据大小小大中间找可得另一个不等式的解集一定是x＜5，
故选：C．
【点评】此题主要考查了不等式的解集，关键是正确理解不等式组解集的确定方法：大
大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不着．
8．（3分）已知二次函数y＝ax2的图象如图，则下列哪个选项表示的点有可能在反比例函
第3页（共23页）数y＝ 的图象上（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（2，3） D．（2，﹣3）
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；H2：二次函数的图象．
菁优网版权所有
【分析】根据抛物线的开口方向可得出a＞0，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，
即可找出点（2，3）可能在反比例函数y＝ 的图象上，此题得解．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2开口向上，
∴a＞0，
∴点（2，3）可能在反比例函数y＝ 的图象上．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及二次函数的图象，由二次函数
图象开口向上找出a＞0是解题的关键．
9．（3分）如图，直线l ，l 被直线l 所截，且l ∥l ，过l 上的点A作AB⊥l 交l 于点
1 2 3 1 2 1 3 3
B，其中∠1＜30°，则下列一定正确的是（ ）
A．∠2＞120° B．∠3＜60° C．∠4﹣∠3＞90° D．2∠3＞∠4
【考点】JA：平行线的性质．
菁优网版权所有
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，再根据平行线的性质逐个判断即可．
第4页（共23页）【解答】解：
∵AB⊥l ，
3
∴∠ABC＝90°，
∵∠1＜30°
∴∠ACB＝90°﹣∠1＞60°，
∴∠2＜120°，
∵直线l ∥l ，
1 2
∴∠3＝∠ACB＞60°，
∴∠4﹣∠3＝180°﹣∠3﹣∠3＝180°﹣2∠3＜60°，
∵∠4＝∠2＜120°，
∴2∠3＞∠4，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，能求出各个角的度数是解此题
的关键．
10．（3分）已知一系列直线y＝a x+b（a 均不相等且不为零，a 同号，k为大于或等于2
k k k
的整数，b＞0）分别与直线y＝0相交于一系列点A ，设A 的横坐标为x ，则对于式子
k k k
（1≤i≤k，1≤j≤k，i≠j），下列一定正确的是（ ）
A．大于1 B．大于0 C．小于﹣1 D．小于0
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．
菁优网版权所有
【分析】利用待定系数法求出x，x 即可解决问题；
i j
【解答】解：由题意x＝﹣ ，x＝﹣ ，
i j
∴式子 ＝ ＞0，
故选：B．
第5页（共23页）【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是灵
活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）单项式5mn2的次数 3 ．
【考点】42：单项式．
菁优网版权所有
【分析】根据单项式次数的定义来求解．单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的
次数．
【解答】解：单项式5mn2的次数是：1+2＝3．
故答案是：3．
【点评】考查了单项式，需注意：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，几个单
项式的和叫做多项式，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
12．（3分）睡眠是评价人类健康水平的一项重要指标，充足的睡眠是青少年健康成长的
必要条件之一，小强同学通过问卷调查的方式了解到本班三位同学某天的睡眠时间分别
为7.8小时，8.6小时，8.8小时，则这三位同学该天的平均睡眠时间是 8. 4 小时 ．
【考点】W1：算术平均数．
菁优网版权所有
【分析】求出已知三个数据的平均数即可．
【解答】解：根据题意得：（7.8+8.6+8.8）÷3＝8.4小时，
则这三位同学该天的平均睡眠时间是8.4小时，
故答案为：8.4小时
【点评】此题考查了算术平均数，熟练掌握算术平均数的定义是解本题的关键．
13．（3分）因式分解：a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）＝ （ a ﹣ b ）（ a ﹣ 2 ）（ a + 2 ） ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
菁优网版权所有
【分析】先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）
＝（a﹣b）（a2﹣4）
＝（a﹣b）（a﹣2）（a+2），
故答案为：（a﹣b）（a﹣2）（a+2）．
【点评】本题考查的是因式分解，掌握提公因式法、平方差公式进行因式分解是解题的
关键．
14．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、
AD的中点，则PQ的长度为 2. 5 ．
第6页（共23页）【考点】KX：三角形中位线定理；LB：矩形的性质．
菁优网版权所有
【分析】根据矩形的性质可得AC＝BD＝10，BO＝DO＝ BD＝5，再根据三角形中位
线定理可得PQ＝ DO＝2.5．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝10，BO＝DO＝ BD，
∴OD＝ BD＝5，
∵点P、Q是AO，AD的中点，
∴PQ是△AOD的中位线，
∴PQ＝ DO＝2.5．
故答案为：2.5．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线
相等且互相平分．
15．（3分）小强同学生日的月数减去日数为2，月数的两倍和日数相加为31，则小强同
学生日的月数和日数的和为 2 0 ．
【考点】9A：二元一次方程组的应用．
菁优网版权所有
【分析】可设小强同学生日的月数为x，日数为y，根据等量关系： 强同学生日的月
数减去日数为2， 月数的两倍和日数相加为31，列出方程组求解即①可．
【解答】解：设小②强同学生日的月数为x，日数为y，依题意有
，
解得 ，
11+9＝20．
答：小强同学生日的月数和日数的和为20．
第7页（共23页）故答案为：20．
【点评】考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量
关系是解决问题的关键．
16．（3分）如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是 O的内接多边形，则∠BOM
＝ 48 ° ． ⊙
【考点】MM：正多边形和圆．
菁优网版权所有
【分析】连接OA，分别求出正五边形ABCDE和正三角形AMN的中心角，结合图形计
算即可．
【解答】解：连接OA，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB＝ ＝72°，
∵△AMN是正三角形，
∴∠AOM＝ ＝120°，
∴∠BOM＝∠AOM﹣∠AOB＝48°，
故答案为：48°．
【点评】本题考查的是正多边形与圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式是
解题的关键．
17．（3分）如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标
第8页（共23页）为（0，2 ），将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为
（2 ，2 ），则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为 4 ．
【考点】KW：等腰直角三角形；Q3：坐标与图形变化﹣平移．
菁优网版权所有
【分析】利用平移的性质得出AA′的长，根据等腰直角三角形的性质得到AA′对应的
高，再结合平行四边形面积公式求出即可．
【解答】解：∵点 B 的坐标为（0，2 ），将该三角形沿 x 轴向右平移得到
Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为（2 ，2 ），
∴AA′＝BB′＝2 ，
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴A（ ， ），
∴AA′对应的高 ，
∴线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为2 × ＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了平移变换、等腰直角三角形的性质以及平行四边面积求法，利
用平移规律得出对应点坐标是解题关键．
18．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于
点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝3 ，在DB的延长线上取一点 P，满足
∠ABD＝∠MAP+∠PAB，则AP＝ 6 ．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；L5：平行四边形的性
质．
菁优网版权所有
第9页（共23页）【分析】根据BD＝CD，AB＝CD，可得BD＝BA，再根据AM⊥BD，DN⊥AB，即可得
到DN＝AM＝3 ，依据∠ABD＝∠MAP+∠PAB，∠ABD＝∠P+∠BAP，即可得到
△APM是等腰直角三角形，进而得到AP＝ AM＝6．
【解答】解：∵BD＝CD，AB＝CD，
∴BD＝BA，
又∵AM⊥BD，DN⊥AB，
∴DN＝AM＝3 ，
又∵∠ABD＝∠MAP+∠PAB，∠ABD＝∠P+∠BAP，
∴∠P＝∠PAM，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AP＝ AM＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问
题给的关键是判定△APM是等腰直角三角形．
三、解答题（本大题8小题，共66分）
19．（6分）计算：|﹣ |+2﹣1﹣3tan45°
【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
菁优网版权所有
【分析】本题涉及绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值3个考点．在计算时，
需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝ + ﹣3×1
＝ + ﹣3
＝﹣1．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决
此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．
20．（6分）先化简，再求值： •（1﹣ ）﹣ ，其中x＝2，y＝ ．
【考点】6D：分式的化简求值．
菁优网版权所有
【分析】先将括号内的部分通分，相乘后，再计算减法，化简后代入求值．
第10页（共23页）【解答】解： •（1﹣ ）﹣
＝ • ﹣
＝ ﹣
＝
当x＝2，y＝ 时，原式＝ ＝ ．
【点评】考查了分式的化简求值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简
的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
21．（8分）为提高公民法律意识，大力推进国家工作人员学法用法工作，今年年初某区
组织本区900名教师参加“如法网”的法律知识考试，该区A学校参考教师的考试成绩
绘制成如下统计图和统计表（满分100分，考试分数均为整数，其中最低分76分）
分数 人数
85.5以下 10
85.5以上 35
96.5以上 8
（1）求A学校参加本次考试的教师人数；
（2）若该区各学校的基本情况一致，试估计该区参考教师本次考试成绩在 90.5分以下
的人数；
（3）求A学校参考教师本次考试成绩85.5～96.5分之间的人数占该校参考人数的百分
比．
第11页（共23页）【考点】V5：用样本估计总体；V8：频数（率）分布直方图；VA：统计表．
菁优网版权所有
【分析】（1）利用表格中数据分布即可得出A学校参加本次考试的教师人数；
（2）利用A学校参加本次考试的教师人数与成绩在90.5分以下的人数，即可估计该区
参考教师本次考试成绩在90.5分以下的人数；
（3）利用表格中数据可得A学校参考教师本次考试成绩85.5～96.5分之间的人数占该
校参考人数的百分比．
【解答】解：（1）由表格中数据可得：85.5以下10人，85.5以上35人，
则A学校参加本次考试的教师人数为45人；
（2）由表格中85.5以下10人，85.5﹣90.5之间有：15人；
故计该区参考教师本次考试成绩在90.5分以下的人数为： ×900＝500（人）；
（3）由表格中96.5以上8人，95.5﹣100.5之间有：9人，
则96分的有1人，可得90.5﹣95.5之间有：35﹣15﹣9＝11（人），
则A学校参考教师本次考试成绩85.5～96.5分之间的人数占该校参考人数的百分比为：
×100%＝60%．
【点评】此题主要考查了频数分布直方图以及利用样本估计总体和统计表，正确获取正
确信息是解题关键．
22．（8分）如图为某区域部分交通线路图，其中直线l ∥l ∥l ，直线l与直线l 、l 、l 都
1 2 3 1 2 3
垂直，垂足分别为点A、点B和点C，（高速路右侧边缘），l 上的点M位于点A的北
2
偏东30°方向上，且BM＝ 千米，l 上的点N位于点M的北偏东 方向上，且cos ＝
3
α α
第12页（共23页），MN＝2 千米，点A和点N是城际线L上的两个相邻的站点．
（1）求l 和l 之间的距离；
2 3
（2）若城际火车平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点
N需要多少小时？（结果用分数表示）
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
菁优网版权所有
【分析】（1）直接利用锐角三角函数关系得出DM的长即可得出答案；
（2）利用tan30°＝ ＝ ＝ ，得出AB的长，进而利用勾股定理得出DN的长，
进而得出AN的长，即可得出答案．
【解答】解：（1）过点M作MD⊥NC于点D，
∵cos ＝ ，MN＝2 千米，
α
∴cos ＝ ＝ ＝ ，
α
解得：DM＝2（km），
答：l 和l 之间的距离为2km；
2 3
（2）∵点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝ 千米，
∴tan30°＝ ＝ ＝ ，
解得：AB＝3（km），
可得：AC＝3+2＝5（km），
∵MN＝2 km，DM＝2km，
∴DN＝ ＝4 （km），
则NC＝DN+BM＝5 （km），
第13页（共23页）∴AN＝ ＝ ＝10（km），
∵城际火车平均时速为150千米/小时，
∴市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要 ＝ 小时．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AN的长是解题关键．
23．（8分）如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM
＝AN．
（1）求证：Rt△ABM≌Rt△AND；
（2）线段MN与线段AD相交于T，若AT＝ ，求tan∠ABM的值．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定
与性质；T7：解直角三角形．
菁优网版权所有
【分析】（1）利用HL证明即可；
（2）想办法证明△DNT∽△AMT，可得 ＝ ，由 AT＝ ，推出 ，在
Rt△ABM中，tan∠ABM＝ ．
【解答】解：（1）∵AD＝AB，AM＝AN，∠AMB＝∠AND＝90°，
∴Rt△ABM≌Rt△AND（HL）．
（2）由Rt△ABM≌Rt△AND易得：∠DAN＝∠BAM，DN＝BM，
第14页（共23页）∵∠BAM+∠DAM＝90°；∠DAN+∠ADN＝90°，
∴∠DAM＝∠ADN，
∴ND∥AM，
∴△DNT∽△AMT，
∴ ＝ ，
∵AT＝ ，
∴ ，
在Rt△ABM中，tan∠ABM＝ ．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、
解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．（8分）如图已知函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象与一次函数y＝mx+5（m＜0）的图
象相交不同的点A、B，过点A作AD⊥x轴于点D，连接AO，其中点A的横坐标为x ，
0
△AOD的面积为2．
（1）求k的值及x ＝4时m的值；
0
（2）记[x]表示为不超过x的最大整数，例如：[1.4]＝1，[2]＝2，设t＝OD•DC，若﹣
＜m＜﹣ ，求[m2•t]值．
第15页（共23页）【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
菁优网版权所有
【分析】（1）设A（x ，y ），可表示出△AOD的面积，再结合x y ＝k可求得k的值，
0 0 0 0
根据A的横坐标可得纵坐标，代入一次函数可得m的值；
（2）先根据一次函数与x轴的交点确定OC的长，表示DC的长，从而可以表示t，根
据A的横坐标为x0，即x0满足 ，可得：mx 2+5x ＝4，再根据m的取值计算
0 0
m2•t，最后利用新定义可得结论．
【解答】解：（1）设A（x ，y ），则OD＝x ，AD＝y ，
0 0 0 0
∴S△AOD ＝ OD•AD＝ ＝2，
∴k＝x y ＝4；
0 0
当x ＝4时，y ＝1，
0 0
∴A（4，1），
代入y＝mx+5中得4m+5＝1，m＝﹣1；
（2）∵ ，
，
mx2+5x﹣4＝0，
∵A的横坐标为x0，
∴mx 2+5x ＝4，
0 0
当y＝0时，mx+5＝0，
x＝﹣ ，
∵OC＝﹣ ，OD＝x ，
0
第16页（共23页）∴m2•t＝m2•（OD•DC），
＝m2•x （﹣ ﹣x ），
0 0
＝m（﹣5x ﹣mx 2），
0 0
＝﹣4m，
∵﹣ ＜m＜﹣ ，
∴5＜﹣4m＜6，
∴[m2•t]＝5．
【点评】本题是新定义的阅读理解问题，还考查了一次函数和反比例函数的交点问题、
一元二次方程解的定义及反比例函数k的几何意义，有难度，综合性较强，第2问利用
方程的解得出mx 2+5x ＝4是关键．
0 0
25．（10分）如图，已知AB为 O的直径，AB＝8，点C和点D是 O上关于直线AB对
称的两个点，连接OC、AC，⊙且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD⊙相交于点E，过点C
作直线 CG 与线段 AB 的延长线相交于点 F，与直线 AD 相交于点 G，且∠GAF＝
∠GCE．
（1）求证：直线CG为 O的切线；
（2）若点H为线段OB⊙上一点，连接CH，满足CB＝CH，
△CBH∽△OBC；
①求OH+HC的最大值．
②
【考点】MR：圆的综合题．
菁优网版权所有
【分析】（1）由题意可知：∠CAB＝∠GAF，由圆的性质可知：∠CAB＝∠OCA，所以
∠OCA＝∠GCE，从而可证明直线CG是 O的切线；
（2） 由于 CB＝CH，所以∠CBH＝⊙∠CHB，易证∠CBH＝∠OCB，从而可证明
△CBH①∽△OBC；
第17页（共23页）由△CBH∽△OBC可知： ，所以HB＝ ，由于BC＝HC，所以OH+HC
②
＝4 +BC，利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．
【解答】解：（1）由题意可知：∠CAB＝∠GAF，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠OCA，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，
∵∠GAF＝∠GCE，
∴∠GCE+∠OCB＝∠OCA+∠OCB＝90°，
∵OC是 O的半径，
∴直线C⊙G是 O的切线；
（2） ∵CB⊙＝CH，
∴∠C①BH＝∠CHB，
∵OB＝OC，
∴∠CBH＝∠OCB，
∴△CBH∽△OBC
由△CBH∽△OBC可知：
②
∵AB＝8，
∴BC2＝HB•OC＝4HB，
∴HB＝ ，
∴OH＝OB﹣HB＝4﹣
∵CB＝CH，
∴OH+HC＝4 +BC，
当∠BOC＝90°，
此时BC＝4
∵∠BOC＜90°，
第18页（共23页）∴0＜BC＜4 ，
令BC＝x
∴OH+HC＝﹣ （x﹣2）2+5
当x＝2时，
∴OH+HC可取得最大值，最大值为5
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，切
线的判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所知识．
26．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2﹣5 x+c（a＞0）的图象与x轴相交于不同的两
点A（x ，0），B（x ，0），且x ＜x ，
1 2 1 2
（1）若抛物线的对称轴为x＝ ，求a的值；
（2）若a＝15，求c的取值范围；
（3）若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD＝60°，抛物线的对称轴l与x
轴相交于点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+ ，连接AF，满足∠ADB
＝∠AFE，求该二次函数的解析式．
【考点】HF：二次函数综合题．
菁优网版权所有
【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式代入可得a的值；
（2）根据已知得：抛物线与x轴有两个交点，则△＞0，列不等式可得c的取值范围；
（3）本题介绍两种解法：
解法一：根据60°的正切表示点B的坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式中得：ac
第19页（共23页）＝12，则c＝ ，从而得A和B的坐标，表示F的坐标，作辅助线，构建直角△ADG，
根据已知的角相等可得△ADG∽△AFE，列比例式得方程可得a和c的值．
解法二：利用四点共圆和根与系数的关系，建立方程可得结论．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴是：x＝﹣ ＝﹣ ＝ ，解得：a＝ ；
（2）由题意得二次函数解析式为：y＝15x2﹣5 +c，
∵二次函数与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴△＝b2﹣4ac＝ ﹣4×15c，
∴c＜ ；
（3）解法一：∵∠BOD＝90°，∠DBO＝60°，
∴tan60°＝ ＝ ＝ ，
∴OB＝ c，
∴B（ c，0），
把B（ c，0）代入y＝ax2﹣5 x+c中得： 5 +c＝0，
﹣5c+c＝0，
∵c≠0，
∴ac＝12，
∴c＝ ，
把c＝ 代入y＝ax2﹣5 x+c中得：
y＝a（x2﹣ + ）＝a（x﹣ ）（x﹣ ），
∴x ＝ ，x ＝ ，
1 2
第20页（共23页）∴A（ ，0），B（ ，0），D（0， ），
∴AB＝ ﹣ ＝ ，AE＝ ，
∵F的纵坐标为3+ ，
∴F（ ， ），
过点A作AG⊥DB于G，
∴BG＝ AB＝AE＝ ，AG＝ ，
DG＝DB﹣BG＝ ﹣ ＝ ，
∵∠ADB＝∠AFE，∠AGD＝∠FEA＝90°，
∴△ADG∽△AFE，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴a＝2，c＝6，
∴y＝2x2﹣5 x+6；
解法二：Rt△DOB中，∠OBD＝60°，
tan∠OBD＝ ，tan60°＝ ，
OB＝ c，
∴B（ c，0），
把B（ c，0）代入二次函数y＝ax2﹣5 x+c中，
a ﹣5 c+c＝0，
∵c≠0，
ac＝12，
第21页（共23页）c＝ ，
∴B（ ，0），
∴y＝ax2﹣5 x+ ，
∴x + ＝ ，x ＝ ，
1 1
∴A（ ，0），
∴E（ ，0），
∴F（ ，3+ ），
连接DF，
∵∠AFE＝∠ADB，
∴A、B、D三点在以点F圆心的圆上，
∴DF＝AF，
∵D（0， ），
由勾股定理得： ，
解得：a＝2，
∴c＝6，
第22页（共23页）∴y＝2x2﹣5 x+6；．
【点评】本题是二次函数综合题，涉及的知识点有：代入法的运用，根与判别式的关系，
对称轴公式，解方程，三角形相似的性质和判定，勾股定理等知识，第3问有难度，利
用特殊角的三角函数表示A、B两点的坐标是关键，综合性较强．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/12/22 11:00:58；用户：初中数学；邮箱：sx0123@xyh.com；学号：30177373
第23页（共23页）
