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1992年数学（一）真题解析
一、填空题
ex+y — jysinQy ）
（1）【答案】
x sinQy ） — ex+y
【解】ex+y + cos（«zy ） = 0两边对x求导得
于+，• （1 + 警）_ sin（«zy） • （y + 工 警）=0,解得兽
x sin（xj/） —
2_ _£ _生
（2）【答案】 亍，百，_引・
du 2壬 du 2y du 2z
【解】 。工
x2 十1 / 2 十N2 9 3y x2 y2 ~h z2 3n x2 + y2 丄 2，
du 2 I 4 du 1 4 IL L*f 2 4 4
虹1 M =T 3y 1 m 9 M =-- 9 ，则 grad u 9 ' 9
2
（3）【答案】 y.
【解】于（工）的傅里叶级数在工=兀处收敛于
f （兀—0）+ /（兀 + 0） f 5 — o） + y（—兀 + o） 7t2
2 = 2 = T*
（4） 【答案】夕=（工+C）cos h（C为任意常数）.
【解】 微分方程yf + 3^tan r = cos x的通解为
y = （Jcos x • e^3"Xdr dr + C）■ e "皿=（x + C）cos x （C 为任意常数）.
（5） 【答案】1.
【解】 方法一 因为A的任意两行都成比例，所以r（A） < 1,
又因为A HO,所以厂（A） $ 1,故厂（A） = 1.
方法二
b
Qi 5
S 如 b2
（b] 9b2 9・••』”）=a0T,其中a = ,0 =
、Q n , J. bn.
r（A） = rCafi 1 ） £ 厂（a） = 1,
再由5 H 0,6, H 0d = 1,2,・・・皿得A HO,于是r（A） 1,故厂（A） = 1.
二、选择题
（1） 【答案】（D）.
乂2 _ ］丄 丄 工2 _ ］丄 丄
【解】 由 lim ------- ex~ = 2 lim ex_1 = 0, lim ------- eJ_1 = 2 lim eJ_1 = +°°,
工 _ 1 日- 一i+ 工 _ 1 —+
工2 _ ］丄
得lim------- e"-1不存在但不是oo,应选（D）.
X->1 X — 1
（2） 【答案】（C）.
【解】 | （-1）" （1 - cos 十）| = 2sii?注〜92 I
OO oo | oo
因为若 y - \收敛,所以若| (-l)n(l-cos^-) |收敛，即苕(一1)”(1 —cos])绝对收敛’
应选(C).
(3) 【答案】(B).
【解】 曲线的切线向量为T= {1, —2t,3/},
由{ 1, — 2t,3t'} • {1,2,1} = 0得* 儿= ，上2 = 1，故与平面z+2y + z = 4平行的切线有2条，应选(B).
(4) 【答案】(C).
I2j:3 , zVO, [6x2. 工<0,
【解】/Q) = /(x)=
〔4工“，工$0, \\2r2 ,工>0,
(12x ,工 V 0,
显然 (0) = = 0, f'\x ) = \
】24工,工》0,
(0) = lim f■(王? = 12, /+(0) — lim 彳— 24,
_。一 工 一。+ 工
因为/*(0) 丰/：(0),所以/(n>(0)存在的最高阶数n = 2,应选(C).
(5) 【答案】(A).
【解】 因为鼻与5线性无关，所以三元齐次线性方程组AX = 0的基础解系中至少含2个解向量，
即3-r(A) >2,得r(A) W 1,而选项(B)(C)(D)中矩阵的秩都大于1,所以均不对，只有选项(A)正确.
—、
_________ 丄 1
(1)【解】 由 1— / —工 2 = — [(1 — J；2 ) 2 — 1]〜—X 2(X — 0),得
eJ — sin jc — 1 ex — sin x 1 .. e — cos 工
lim............ = lim--------------- —=lim--------------- = lim(eJ + sin x ) = 1.
Z 1 - J\_ f L。 J_r2 x-0 X x*0-
2
M = f； • e= sin y + 2x f'2 ,
(2)【解】
d2 Z
eJ sin y •(光• eJ cos y + 2,yf'[2)+ f\ • ex cos y + 2x(/ti • ex cos y + 2》兀)
dj：3y
sin 2y • f"n + 2eJ (ysin y + z cos y}f'[2 + f\ • eJ cos y + 4巧总.
•3 f]
(3)【解】 /(x — 2) dr = f (j; — 2)d(jc — 2) = j /(j?)dx
* e"' dx = ?—丄
(1 + x2 ) d +
o 3 e
四、【解】 特征方程为A2 +2A -3 = 0,特征根为心=—3,乙=1，
yf + 2yf — 3y = 0 的通解为 y = C\+ C2eT ;
令 yr，+ 2yf — 3y = e_3j 的特解为 yQ (x ) = ar e_3j，代入得 a =----,
故yr，+ 2yf — 3y = e-3j的通解为
y = Cie-3x +C2eJ — (Cl ,C2 为任意常数).
五、【解】 补充= 0(x2 + y2 Wa'),取下侧，
jj (j;3 az2 )dydz + (y3 + ax2 )dzdjr + (z3 + ay2 )cLr dyaz2 )dydz + (y3 + ax2 )dz Ajc + ( n 3 + ay2 ) da: dy ,
工+工］ 工］
(3 az2) dydz + (j/3 + ax2 )dz djr + (z3 + ay2 ) d j?
(x2 + y2 + z2 )dv = 3] d^J2 r 6tt 5
0 5“°" =
o 5
JJ(h 3 az2 )dydz + (y3 -ax2 }Azdx + (n3 ay2 } Ajc Ay
=IJaj/2 dj： dj/ = 一a JJ r/dzdy = —-| (j:2 + y2 )dj?dy
2+/" 2+2
故『（z3 + az2 ）dj/d^ + （y3 ax2 ）dzda: + Cz3 ay2 dy =竺a5 + -7-a5 = ^7ra5.
JJ 5 4 20
s
六、 【解】 不妨设0 V , V工2，由拉格朗日中值定理得
/（xi ） = /（x 1） — /（0）=尸（£1 ）工 1 ,其中 0 V & Vg，
+工2）—于（工2）= F侯2）工\ '其中工2 ＜ f 2 V工1 +工2'
因为厂（工）V0,所以/（^）单调递减，又因为＜e2,所以厂（£］）＞/'（5），
即 /（^ 1）＞ f〈工 \ + 工2）一/（工2），故 f〈工 \ +无2）V /（JC 1 ） + 才（工2）・
七、 【解】 直线段OM-X = & ,歹=护，N = “，t从0到1 ,功W为
W = ［ yzAjc zx dy xy Az = | 3^r）^t2 At = gr）g・
J OM JO
下面求W = 昭 在条件鸟+ £ +匚=1（£ MO,” M0，r 2 0）下的最大值.
a b c
/ ez
令F（g诃，丫 ,入）=gr）g +入U —尹—务
3F
0,
由打3F 2A
0,
得V
dF
开 0,
dF
0,
匸2 2 c* 2 匸2 2 尸 2 -I
从而异=^ =尹’即得尹= ^ = 7=r于是得
由问题的实际意义知W__ =^abc.
八、【证明】（1）因为a2,a3,a4线性无关，所以a2,a3线性无关，
又因为a} ,a2,a3线性相关，所以a〔可由a2 ,a3线性表示.
（2）a4不可由«i ,a2 ,a3线性表示，
若a。可由ax ,a2 ,a3线性表示，因为5可由a2 ,a3线性表示,所以a4可由a2,a3线性表示，从而业，5，叫 线性相关，矛盾，所以5不可由 ,a2 ,a3线性表示.
九、【解】（1）设
Qi
•Z 1 § 1 + 无 2 § 2 + 春 3 =(5,§2,§3) 工2
攵3
对此方程组的增广矩阵作初等行变换
1 1 1 讨; 1 1 1 1
!卩)=I 1 2 3 2 1 2 0
'] 4 9 : 3/ '0 3 8 2/ 、0 0 1 1
得唯一解（2, —2,1）丁，故有0 = 2§】一2饥 + §3・
（2）由于,故
A P =么
十、填空题
5
（1）【答案月
辽.
【解】 由 ABC U AB 且 P(AB) = 0 得 P(ABC) = 0,则
PCABC) = PCA+B+C) = 1-PCA+B+C)
=1 -P(A) -P(B) -P(C) + P(AE) + P(AC) +P(BC) — P(ABC)
=1-# + + =寻
4
（2）【答案】 y.
【解】 随机变量X的概率密度为
e~x ,工〉0,
心）=
0, 工 £ 0,
•+OO
=[ (z + e~2x ) e_J dx = fI +8 x e-J dx +
则 E（X +「x） =J, e~3x dz
J o v o • o
•+8
"2） + *
o
e~3x d(3rr )= 1十4-—
3
= —
3 -
十一、【解】随机变量X的概率密度为
呼
,—00 V z <+ 00
随机变量Y的概率密度为
1
石' —7T V』V兀9
几。）=
0, 其他
因为随机变量X,Y相互独立，所以（X,Y）的联合密度函数为
（工-〃）2
------- 1 ------e 2? —00 V H V+ 00 , — 7t V y V 7T ,
/(Z,y) = =< 2tt丿2兀er
lo, 其他.Fz(z) = P{X + Y^z} = II f (x
工+yW：
一" e 一 (工-")2
=殆 i L 仔】 刃 「 -8 伍 1 , 2o2 山=U d厂Z~y -1-eF沽 d X — fJL
乙 7t J —K J —83 ^/27
x 一 p.
a 務r%= / z — y — 口
_ dy dy
2jc， a
z — y — u
-剳 n _ ) _ 〃 z — y — R
① d 0(Z)dz ,
故随机变量Z的概率密度为
*)5Z——7C——fJL
