2020年数学（一）真题解析
一、填空题
（1）【答案】（D）.
工 2
【解】当工一0+时, (e 一 1) ck t 2dt = -yJ?3 ；
o 0 o
x 1 9 A
ln( 1 + )ck 〜 t 2 dt = —X 2 ;
o o 5
sin jc
sin t2dt = -yJC3 ；
o o o
'1—COS X _________ V2 5
vsin3 t At
o
应选（D）.
方法点评：确定变积分限型无穷小的阶数时，通常有如下方法:
（1）洛必达法则，如：
【例 1】 设 /'(z )连续，且 / (0) =(b厂(0) = 4,且 tfCx—t)dt — kxn (j? 0),求怡皿・
J
0
x X — t = u *0
【解】 tf^jc — r ) dr ......= (x — u) f (u) (— du) =x /(u)du — uf (u)du9
0 0 0
tf(x — t)dt x /(u)dw — uf (u)du / ( u ) dw
由lim 0____________________ lim- 0 --------------=lim o_____________
•r-*0 x11 •Zf 0 x-*0 nxn—1 lo n (n —])工” 2
得 /?— 2=1，即 77=3，
tf(<x — t )ck
由lim 0
=£lim 2)— = 1/(0) = 4•得
x-*0 X 3 6 L0 XX \) o
p 2 2
tf （x — t）dt 〜—a*3，故 b = 3.
J 3 3
0
（2）等价无穷小，即积分限及表达式用其等价无穷小代替，如：
e" —1 f
【例2] 设a = ----------dz 〜axh （jc f 0） 9 求 a』・
t
2
sin r .2 &2 1
【解】 由a = -------At tAt = —x4 得
0 0 t o 2
a =打= 4.
（2）【答案】（C）.
方法一
若/'（工）在 jc =0处可导，则/（工）在工=0处连续，由lim/Q） =0得/（0） =0,
x-*0
因为lim "）_心卩=lim 竺2存在，所以八工）为工的同阶或高阶无穷小，故
工一 一 0
0 X Lo X方法二
f （了）
取
） = |
x |，显然lim ——^z = 0,但f Cjc）在工=0处不可导,（A）不对;
工
-*0 /I I
2, 工=0 9 £（了）
取心）= 显然_/（工）在（-1,1）内有定义且limy（H）= 0,显然lim^y 0,
x2 , x H 0 9 L ° L 0 工
但）在z = 0处不连续，从而/（jr ）在z = 0处不可导，（E）不对;
, . f（r
）
取f（x ） = 2j? 然/（工）在工=0处可导，但lim -—不存在，（D）不对，应选（C）.
X
■Z-* 0
（3）【答案】（A）.
【解】 因为/（x ,y ）在（0,0）处可微，
所以= /（jr ,y） — / （ 0,0） = f （工,y）=占工 + + o（丿工？ +夕2）,
ox o y
于是+ zf~y — f （工=o（ J工“ + 夕'），即"• （a: ,y,/（x ?j^）） —o（ J+ j>2 ）,
ox dy
故Hm 虽_込存在，应选（A）.
SIOQ J芒+寸
（4）【答案】（A）.
【解】 因为幕级数工a”_z"的收敛半径为R,所以当\x\<R时，级数绝对收敛，进而，级
n = 1
数工S”严收敛，所以，当 »2”产发散时，I厂INK,应选（A）.
71 = 1 ” = 1
（5） 【答案】（B）.
【解】 矩阵A经过初等列变换得到故存在初等矩阵P,（£ =l,2-,O使
AP^Pr- P, =B,
因P,均可逆，故有A =BjP7PT，记P=Pj・PjP『，故应选（E）.
方法点评:矩阵进行一次初等行变换或一次初等列变换等价于矩阵的左边乘以一个初等
矩阵或右边乘以一个初等矩阵；矩阵进行若干次初等行变换等价于矩阵左乘可逆矩阵，矩阵进
行若干次初等列变换等价于矩阵右乘可逆矩阵，故有如下结论：
（1） 设A ,B为同型矩阵，则A经过有限次初等行变换化为B等价于存在可逆矩阵M,使得
B =MA ；
（2） 设为同型矩阵，则A经过有限次初等列变换化为B等价于存在可逆矩阵N,使得
B =AN；
（3） 设为同型矩阵，则A经过有限次初等变换化为B等价于存在可逆矩阵P,0,使得
B =PAQ.
（6） 【答案】（C）.
[jc =a2 + axt, 严 \
=' % = - -
a
【解】 令 Li :-------- = /得 -\y =b2 bxt,即 L} ： \ y \ 2 + ta x ,
5 ci \
[z = C2 cxt J 'z：
同
sil2
=a 3 + za 2 9
z
因为 与 相交，故存在 t '使得 a tax =a + /a?,即 a - =ta } — z)a2,
L1 2 + 3 + (1
故S可由a】 .a 线性表示，应选(C).
2
(7)【答案】(D).
【解】P(ABC)=P(A -B +C) =^P(A) - P(AB +AC)
= P(A) - P(AB) — P(AC) +P(A£C)=丄一岂
4 12
PCABC) =P(B -A +C) =P(B) -P(AB + BC)
= P(B) - P(AB) - P(BC) + P(ABC)=丄- 1 丄
4 12
P(A BC) =P(C ・A +") =P(C) - PCAC + BC)
= P(C) - P(AC) - P(BC) +PCABC) =^-- 2 1
4 12 12
--------- —— --------- ill 5
故所求概率为 P(AB C) +P(AEC) +P(AEC) =- + - + 而 ，应选(D).
6 6 lz 12
⑻【答案】(B).
【解】E(X) = *,E(Xb = *，则 D(X) =E(X2) - [E(X)F 丄
7
IO?
由中心极限定理得Yx,近似服从N (50,25),
1 = 1
100
工 x, —50
从而丁1 近似服从N(O,1),故
5
100
IX —50
p[ 丈 X, £55 卜 P ---------------£ 1 I ~ 0(1),应选(E).
5
二、填空题
(9)【答案】 -1.
1 1____ ln(l+jr) -eJ +1
【解】 lim =lim
j--*0 — 1 ln( 1 + 工) •z f 0
]
e， i i
..1 十 z 1 —(工 +l)e「 1 1一(工+1)于
=I'm------亍 = 7h^T+7
----------
=
---
—
-2
l
X
i
—
m
0
---------------------
0 LX X X
—----lim(:r + 2)eJ = — 1.
2 o
(10)【答案】 —麗.
1
djy _丿/2 + ] _ 1
【解】
Vi2 + 1dj _ y? +1
，
djr2 due / 山 ?3
故斛
（11）【答案】 n + am.
【解】 由/'〃(工)十a.厂(工)十/(工)=0得特征方程为
入 2 + (lX + 1 = 0 9
因为入 i + A 2 = —a VO""? = 1〉。9 所以入 1 VO?入 2 ＜。9
于是 /(工)=C】eM +C2e2X(工)=CM】eW + C2X2e2X，
显然 lim f(x) = lim ff (jc ) = 0 ,
gf+oo
*-|-OO r+°°
故 f (jc )djr \_fr\x ) + a/^a: )]dj? = —) \t°° — af (jc) 11 =n + am.
o J 0
(12)【答案】 4e.
3
【解】 八"）
‘*乜=丄 ‘二如5（77/）=丄 y
e
2
dt,
0 0 x o
3
.x T y z
e dt
3 o 3 32 3 f y _ 3 2严 3 :2 + 3 3 2 eJ 3 y 2 丄 I
2/
故"
djc dy (1,1)
（13）【答案】 a4 一
4(2 2 ・
a 0 -1 1 1 0 -1 a 1 0 -1 a
0 a 1 -1 —1 a 1 0 0 a 0 a
【解】
-1 1 a 0 0 1 a —1 0 1 a -1
i 2
1 —1 0 a a -1 0 1 0 —1 a 1 一 a
a 0 a 1 0 1
=— 1 a -1 =—a 1 a -1
2 2
-1 a 1 ——a -1 a 1 —a
1 0 1
一a 0 a _ 2 —4q2 +/
0 a 2 -cz2
£
（14）【答案】
7C・
【解】X的概率密度为
诗…3
兀
0, 其他，
E (X) = 0 9ECXY) =E(Xsin X)=丄 ,n_ 2 ._K
k x sin jc cLc xd(cos x )
7T - 7t 0
2
cos x drr
7T ' o 7t
2
故 Cov(X,Y) =E(XY) — E(X)E(Y) =E(XY)=—
7T
三、解答题
1
工=—
—,得 X = 0, 6
（15）【解】由
24y2 工=0 夕=°9
a2 f a2 f a2 f
6工9
dj： 3y
=—1， ~
(,
~
y
~2 =农夕‘
当（工，歹）= （0,0）时，A = 0= — 19C = 09
因为AC-B2 VO,所以点（0,0）不是函数fd 2 的极值点;
的极小值点，极小值为
4zr — v
(16)【解】P(d)=---厂---，Q
4工 + y 4 工2 + j/2
3Q —2 + y2 一 8xy ap 一 4工 2 +?2 一 %xy
3jc
（必
2 +$2）2
（4工2+》2）2
dQ ap
甞=訂（（工，歹）H （0,0））.
ox oy
取Lo ：4j?2 y2 =r2 （r > O,Lo在L内，逆时针），且设L与L；所围成的区域为Dy ,L0围
成的区域为D2,
由, > Pd_z 十 Qdy = 11 Oclz djy = 0 得
L+L~ JJ
° D1
r f 4z — y ] 工 + y 」 -—7牡+—
L0 4工十》 4无2 + j/2
)(4工—夕)dr + (尤+』)djy =三』『 「 2 r
]cLrd3/=pX7cX^XE-=7t・
L° r D.
2
得千e
（17）【解】 由（九+ l）a”+】 (m
从而lijn仝二=1,即幕级数工的收敛半径为R=l,
故当& |< i时，幕级数2>”工"收敛.
n = 1=1 + jcnanx +万
1吕 =1 + xS\jc ) + *S (工)9
n = \ ” "=1
1
即 S'Q) - S(x) 解得
2(1 ―工)
由 S(0) = 0 得 C=2,故 S(e) = • 一 2.
a/1 — x
(18)【解】 因为丫的法向量为(无9夕9一之)9所以
J =『； ] [(力$ + y2 — J ) + 2jc 2 + 2y2 — dS
也丿2&2 +/)
14
(19)【证明】(I )令 M = max | /(j? ) | — | /(c) | ,其中 c G [0,2],
tG[0,2]
由拉格朗日中值定理，存在& 6 (0,c),$2 e (c,2),使得
y(c)-/(o)=/,(e1)c,
/(2) -/(c) =/'苛2)(2 —c),
则〔/''(&)I c —M, | /z (?2)I(2 — c) =M,
当 C 6 (0,1 ]时，由 |/'(「)上=M 得 I^M,取 £=&；
当 c 6 [1,2)时，2 —c C (0,1],由 |y'(&)丨(2 —c) = M 得 |y'(W2)|MM,取 £=&•
则存在 W 6 (0,2),使 |y'(w)|$M.
(II )(反证法)不妨设M > 0,则c 6 (0,2),当c工1时，由拉格朗日中值定理，存在
W1 e (0,c),$2 6 (c,2),使得
/(c) = /(c) —/(0) =/，($i)c,其中 OV£i < c ,
-fCc) =f(2)-/(c) =F($2)(2 —c),其中 c <e2 <2,
则皿=|/(c) | = |/(e1)|c<Mc,M= |/(c) | = |/(e2)|(2-c)<M(2-c)皆成立,若 OVc V 1,显然 M = | /(c) | = |/"(&) | c 冬 Me 不对；
若 1 <c V 2,显然 M= |/(c) |= |/(e2)| (2-c) <M(2-c)不对，
即上述式子至少有一个不成立，矛盾，故M =0.
当 c =1 时，此时 |/(1) \=M,易知 y'(i)=0.
若 /(I) = M，设 G(h) = /(jc ) — Mx ,0 W z W 1,G‘(h)=/"(h)—MW0,
从而 GO )单调递减又 G(0)=G(l)=0,从而 G(h)=0,即 f(x ) =Mx ,0 £ 工 W 1.
因此,/71) =M，从而M=0；同理，当f⑴=_M时,M-0.综上,M=0.
(20) L 解】(I)令 A = ( 1 —2),x = (G),则/•(gs) =X\4X,
2 4 ' 2 >
A — 1 2
| AE — A | = =A (A —5)=0,
2 A -4
解得A的特征值为入i =0,入2 =5;
令 B =("彳)，丫 = D，则 g® ‘刃)=0〃Y；
\2 h> \y2/
ftr A = tr B , (a + 6 = 5 ,. 〜
因为A〜〃，所以J . . . BP 解得a =4,6 =1.
\ I A | = I B | , \ab = 4 ,
(U)由 0E—A = (—1 2 『—2)得
\ 2 —4丿 \0 0 '
矩阵A的属于入i =0的特征向量ar =Q ;
1打得
4 2
由 5E - A =
2 1 0 0 /
-1),
矩阵A的属于;(2 =5的特征向量a 2
2 /
1 /2 _ 1 ° °)；
，则 Q[AQ,
0 5/
寸得
-4 - 2 1
由 0 E — B =
—2 — 1 0 '
0
-1
矩阵B的属于入1 =0的特征向量01 =
2
由 5E - B = ( (一 1 2 - 4 2\ 丿 打 1 0 丿 得
\0
2
矩阵氏的属于入2 =5的特征向量02 =
9
1 /-I 2 0 0\
令@ =京 2 1 ，贝U Q}bq2 =
0 5 /
由 Q；AQi =QjBQ2 ^B=Q2QlAQtQl，
2 - 1\ 1 厂1 2) _ 1厂4
所求的正交矩阵为Q=Q,Q2 1 2 丿°厉 5 ( 3
\ 2 4/r
（21） 解】（i）方法一
（反证法）设P不可逆，则a,Aa线性相关，即a,Aa成比例，
于是 a =kAa 或 Aa = la , •
因为a不是A的特征向量，所以Aa =la不可能；
若a =kAa .因为a为非零向量，所以k工0,于是Aa =}a，矛盾，
k
故a,Aa线性无关，即P可逆.
方法二
（反证法）设P不可逆，即a ,Aa线性相关，则存在不全为零的常数k.,k2,使得
k ] a \ k 2 A a 0 9
显然怡2工0,因为若k2 =0,则Qa=（）,由a工（）得kx =0,矛盾，故匕工0.
k
由紅。+k2Aa = 0得Aa = — —a，矛盾，故P可逆.
b 2
（H ）由 AP — A （a ,Aa ） = （Aa ,ALa ） = （Aa .6a — Aa ） =P （ ° ）得
4 - V
卩i
AP#
/°】
—
6
J
\
.
/0 6 \ ,
设B = （ J,则A〜
A 一 6
由 | AE -B = =（A +3）（A -2） =0.
-1 1 +A
得儿=—3,入2 =2,因为4工入2,所以B可以相似对角化，则A也可以相似对角化.
（22） 【解】（I ）二维随机变量（Xi ,Y）的分布函数为
F（z,j/）=P{Xi <
= *P{X| KS I X3=O}+yP{X1 丨 X3=l}
= *P{X| W_z,X2 £》}
= yP{X1 <^}P{X2 <3.}+yP{X1 <^,X1 <3；},
当x <Z y时，
F （jt 9丿）=+①（工[①（夕）+ +①（工）；
当>3/时，同理可得
F（JC 9夕）=+①（2 ）0（j/ ） + +①（夕）9
f 1 、/ 、I 1
—0（jr ） + —, x <C y ,
即 F （无 9y） =v
1 1
㊁①（乂）①（夕）+㊁①（y ） , x孑夕・(II)Y的分布函数为
= ^P{Y^y \ X3 =0} +*P{YJ 丨 X3 =1
FYCy)=P{Y^y}^
= *P{X2 Wy}+*P{X】£夕} =+心)+扣=0($),
则 y 〜n(o,i).
(23)【解】 (I)P{T>z}=l-P{T<H=l-F(O=e
P{T > s,T > 5 +H P{T> s+t}
P{T > s +/ T> s}=
P{T> s} P{T>s}
l-P{T^s+t} e 5 丿 (f)m-(T£)M
=----------------------------------=----------------=e
1-P{T<5} -(f)m
e
(n
)t的概率密度为
［巴二
』
g
)'"
,t > 0,
f(t)=fz(o em e
lo,
其他.
L(^)= y(^)/G2).../an)= mn9~mnCtxt2-t„r~1e i=1'，其中门 > 0,i2 > 00,
n ”
In L(0) = n In m 一 mn In 9 + (m 一 1)In 匚一d ,r,，
i = 1 i = 1
令L(0)=—讐+加厂“+" £疔=0得
dt7 C7 , — 1
故9的最大似然估计值为9 =
