文档内容
2020年数学（一）真题解析
一、填空题
（1）【答案】（D）.
工 2
【解】当工一0+时, (e 一 1) ck t 2dt = -yJ?3 ；
o 0 o
x 1 9 A
ln( 1 + )ck 〜 t 2 dt = —X 2 ;
o o 5
sin jc
sin t2dt = -yJC3 ；
o o o
'1—COS X _________ V2 5
vsin3 t At
o
应选（D）.
方法点评：确定变积分限型无穷小的阶数时，通常有如下方法:
（1）洛必达法则，如：
【例 1】 设 /'(z )连续，且 / (0) =(b厂(0) = 4,且 tfCx—t)dt — kxn (j? 0),求怡皿・
J
0
x X — t = u *0
【解】 tf^jc — r ) dr ......= (x — u) f (u) (— du) =x /(u)du — uf (u)du9
0 0 0
tf(x — t)dt x /(u)dw — uf (u)du / ( u ) dw
由lim 0____________________ lim- 0 --------------=lim o_____________
•r-*0 x11 •Zf 0 x-*0 nxn—1 lo n (n —])工” 2
得 /?— 2=1，即 77=3，
tf(2 ）,
ox dy
故Hm 虽_込存在，应选（A）.
SIOQ J芒+寸
（4）【答案】（A）.
【解】 因为幕级数工a”_z"的收敛半径为R,所以当\x\ O,Lo在L内，逆时针），且设L与L；所围成的区域为Dy ,L0围
成的区域为D2,
由, > Pd_z 十 Qdy = 11 Oclz djy = 0 得
L+L~ JJ
° D1
r f 4z — y ] 工 + y 」 -—7牡+—
L0 4工十》 4无2 + j/2
)(4工—夕)dr + (尤+』)djy =三』『 「 2 r
]cLrd3/=pX7cX^XE-=7t・
L° r D.
2
得千e
（17）【解】 由（九+ l）a”+】 (m
从而lijn仝二=1,即幕级数工的收敛半径为R=l,
故当& |< i时，幕级数2>”工"收敛.
n = 1=1 + jcnanx +万
1吕 =1 + xS\jc ) + *S (工)9
n = \ ” "=1
1
即 S'Q) - S(x) 解得
2(1 ―工)
由 S(0) = 0 得 C=2,故 S(e) = • 一 2.
a/1 — x
(18)【解】 因为丫的法向量为(无9夕9一之)9所以
J =『； ] [(力$ + y2 — J ) + 2jc 2 + 2y2 — dS
也丿2&2 +/)
14
(19)【证明】(I )令 M = max | /(j? ) | — | /(c) | ,其中 c G [0,2],
tG[0,2]
由拉格朗日中值定理，存在& 6 (0,c),$2 e (c,2),使得
y(c)-/(o)=/,(e1)c,
/(2) -/(c) =/'苛2)(2 —c),
则〔/''(&)I c —M, | /z (?2)I(2 — c) =M,
当 C 6 (0,1 ]时，由 |/'(「)上=M 得 I^M,取 £=&；
当 c 6 [1,2)时，2 —c C (0,1],由 |y'(&)丨(2 —c) = M 得 |y'(W2)|MM,取 £=&•
则存在 W 6 (0,2),使 |y'(w)|$M.
(II )(反证法)不妨设M > 0,则c 6 (0,2),当c工1时，由拉格朗日中值定理，存在
W1 e (0,c),$2 6 (c,2),使得
/(c) = /(c) —/(0) =/，($i)c,其中 OV£i < c ,
-fCc) =f(2)-/(c) =F($2)(2 —c),其中 c
A — 1 2
| AE — A | = =A (A —5)=0,
2 A -4
解得A的特征值为入i =0,入2 =5;
令 B =("彳)，丫 = D，则 g® ‘刃)=0〃Y；
\2 h> \y2/
ftr A = tr B , (a + 6 = 5 ,. 〜
因为A〜〃，所以J . . . BP 解得a =4,6 =1.
\ I A | = I B | , \ab = 4 ,
(U)由 0E—A = (—1 2 『—2)得
\ 2 —4丿 \0 0 '
矩阵A的属于入i =0的特征向量ar =Q ;
1打得
4 2
由 5E - A =
2 1 0 0 /
-1),
矩阵A的属于;(2 =5的特征向量a 2
2 /
1 /2 _ 1 ° °)；
，则 Q[AQ,
0 5/
寸得
-4 - 2 1
由 0 E — B =
—2 — 1 0 '
0
-1
矩阵B的属于入1 =0的特征向量01 =
2
由 5E - B = ( (一 1 2 - 4 2\ 丿 打 1 0 丿 得
\0
2
矩阵氏的属于入2 =5的特征向量02 =
9
1 /-I 2 0 0\
令@ =京 2 1 ，贝U Q}bq2 =
0 5 /
由 Q；AQi =QjBQ2 ^B=Q2QlAQtQl，
2 - 1\ 1 厂1 2) _ 1厂4
所求的正交矩阵为Q=Q,Q2 1 2 丿°厉 5 ( 3
\ 2 4/r
（21） 解】（i）方法一
（反证法）设P不可逆，则a,Aa线性相关，即a,Aa成比例，
于是 a =kAa 或 Aa = la , •
因为a不是A的特征向量，所以Aa =la不可能；
若a =kAa .因为a为非零向量，所以k工0,于是Aa =}a，矛盾，
k
故a,Aa线性无关，即P可逆.
方法二
（反证法）设P不可逆，即a ,Aa线性相关，则存在不全为零的常数k.,k2,使得
k ] a \ k 2 A a 0 9
显然怡2工0,因为若k2 =0,则Qa=（）,由a工（）得kx =0,矛盾，故匕工0.
k
由紅。+k2Aa = 0得Aa = — —a，矛盾，故P可逆.
b 2
（H ）由 AP — A （a ,Aa ） = （Aa ,ALa ） = （Aa .6a — Aa ） =P （ ° ）得
4 - V
卩i
AP#
/°】
—
6
J
\
.
/0 6 \ ,
设B = （ J,则A〜
A 一 6
由 | AE -B = =（A +3）（A -2） =0.
-1 1 +A
得儿=—3,入2 =2,因为4工入2,所以B可以相似对角化，则A也可以相似对角化.
（22） 【解】（I ）二维随机变量（Xi ,Y）的分布函数为
F（z,j/）=P{Xi <
= *P{X| KS I X3=O}+yP{X1 丨 X3=l}
= *P{X| W_z,X2 £》}
= yP{X1 <^}P{X2 <3.}+yP{X1 <^,X1 <3；},
当x 3/时，同理可得
F（JC 9夕）=+①（2 ）0（j/ ） + +①（夕）9
f 1 、/ 、I 1
—0（jr ） + —, x z}=l-P{T s,T > 5 +H P{T> s+t}
P{T > s +/ T> s}=
P{T> s} P{T>s}
l-P{T^s+t} e 5 丿 (f)m-(T£)M
=----------------------------------=----------------=e
1-P{T<5} -(f)m
e
(n
)t的概率密度为
［巴二
』
g
)'"
,t > 0,
f(t)=fz(o em e
lo,
其他.
L(^)= y(^)/G2).../an)= mn9~mnCtxt2-t„r~1e i=1'，其中门 > 0,i2 > 00,
n ”
In L(0) = n In m 一 mn In 9 + (m 一 1)In 匚一d ,r,，
i = 1 i = 1
令L(0)=—讐+加厂“+" £疔=0得
dt7 C7 , — 1
故9的最大似然估计值为9 =
