(2.3.26)--高等数学公式._05.2026考研数学研途—杨超数学全程班_00.书籍和讲义_{0}--全部课件_已加水印

更懂考研，更懂你 1 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 前 言 凡事预则立，不预则废。如果想在考研数学中取得高分，一 本适合自己并能提高效率的基础手册非常重要。为了帮助考研学 子更为高效的复习，我给大家总结并编写了这本考研数学基础手 册。 考研数学包含三个科目：高等数学、线性代数、概率论与数 理统计。本手册根据考生在考研数学复习过程中的需要，以最新 的考研数学大纲为基础，收录了初等数学中重要的公式及结论、 考研数学高频概念、性质、公式等，同时也对部分重点知识点做 出特别说明及注释，可供考研学子在考研数学的全程复习过程中 使用。在基础学习阶段，掌握教材的同时，可依据本手册总览考 研数学的理论体系。在强化阶段，深入学习知识点的同时，可随 时翻阅本基础手册巩固基本公式及重要结论。在冲刺阶段，梳理 真题并进行模拟训练的同时，可依据本手册再次回顾考研数学中 重要的定义性质，巩固重要公式及定理。 我相信，这本书一定能够帮助考研学子节省复习时间，增强 做题效率，提高考试成绩。在您打开手册的这一刻，预示着我们 的考研数学复习即将开启，我将一直陪伴大家直到考研结束。由 于编写匆忙，不足之处望读者批评指正。 王冰岩 2 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 目 录 第一篇 中学公式...............................................................................4 第一章 初等代数.........................................................................4 第二章 平面解析几何..................................................................8 第三章 三角函数.........................................................................9 第二篇 高等数学.............................................................................12 第一章 初等函数.......................................................................12 第二章 极限...............................................................................13 第三章 连续性与间断点............................................................17 第四章 一元函数微分学............................................................18 第五章 中值定理.......................................................................22 第六章 导数的应用................................................................... 23 第七章 不定积分.......................................................................26 第八章 定积分...........................................................................30 第九章 微分方程.......................................................................36 第十章 向量代数与空间解析几何（数一）............................. 41 第十一章 多元函数微分学........................................................48 第十二章 二重积分................................................................... 53 第十三章 多元函数积分学（数一）.........................................57 3 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 第一篇 中学公式 第一章 初等代数 1、乘法公式与因式分解 （1）(ab)2  a2 2abb2 . （2）a2 b2  (ab)(ab) . （3）(ab)3  a3 3a2b3ab2 b3.   （4）a3 b3  (a b) a2 abb2 .   （5）an bn  (a b) an1 an2ban3b2 abn2 bn1 . 2、常用不等式 （1）设a b  0, n  0，则 an bn. （2）设a b  0，n为正整数，则 n a  n b . ab （3）a2 b2  2ab，  ab(a  0,b  0). 2 （4）绝对值不等式 ①|ab|  |a||b|. ② ab  a  b . ③|ab|  |a||b|. ④|a|  a  |a|. 3、指数运算 （1） am an=amn. （2） am an  amn. 4 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你  n （3） am  amn . （4）(ab)m  ambm（以上（1）至（4）式中a  0,b  0,m,nQ）. （5） m . an  n am  m 1 （6）a n  （（5）、（6）式中 a0,m,nN*,n1 ）. m an 4、对数运算 形如：log N, (a  0,a 1,N  0). a （1）对数恒等式 N  a log a N ,更常有 N  elnN . （2）log (MN)  log M log N . a a a  M  （3）log    log M log N . a a a  N    （4）log Mn  nlog M a a . 1 （5）log n M  log M . a a n log M log M  b （6）换底公式 . a log a b （7）log 10. a （8）log a 1. a （9）log N  b  ab  N (a  0,a 1,N  0). a 5、数列 （1）等差数列 设a —首项，a —通项，d —公差，S —前n项和. 1 n n ①a  a  n1  d . n 1 5 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 a a n(n1) ②S  1 n nna  d . n 1 2 2 1 ③设a,b,c成等差数列，则等差中项b  (ac). 2 （2）等比数列 设a —首项，q —公比，a —通项，则： 1 n ①通项a  a qn1. n 1   a 1qn ②前n项和 S  1 . n 1q （3）常用数列前n 项和 1 ①123n  n(n1). 2 1 ②12 22 32 n2  n(n1)(2n1). 6 6、排列、组合与二项式定理 （1）排列 Am  n(n1)(n2)[n(m1)]. n （2）全排列 An  n(n1)321 n!. n n(n1)(nm1) n! （3）组合Cm   . n m! m!(nm)! （4）组合的性质： ①Cm Cnm. n n ②Cm Cm Cm1. n n1 n1 （5）二项式定理： n(n1) n(n1)[n(k1)] (ab)n an nan1b an2b2 ankbk bn. 2! k! 6 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 7、—元二次方程 形如： ax2 bxc  0 . b b2 4ac b b2 4ac （1）根： ， . x  x  1 2 2a 2a b c （2）韦达定理：x  x   ， x x  . 1 2 1 2 a a  0,方程有两不等实根  （3）判别式  b2 4ac 0,方程有两相等实根.   0,方程有两共轭虚根  注：虚数单位i,i2  1，复数 z  a bi 的模 | z||abi| a2 b2 . 7 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 第二章 平面解析几何 1、两点之间的距离公式：若 A  x ,y  ,B  x ,y  1 1 2 2 则 d   x x 2   y  y 2 . AB 1 2 1 2 2、平面直线的点斜式方程： y  y  k  x x . 0 0 3、圆的标准方程：(xa)2 (y b)2  r2. x2 y2 4、椭圆的标准方程：  1(a 0,b 0). a2 b2 x2 y2 5、双曲线的标准方程：  1(a 0,b 0)（焦点在 x轴）; a2 b2 y2 x2 或  1(a 0,b 0) （焦点在 y 轴）. b2 a2 6、抛物线的标准方程： y2  2px  p  0 （焦点在 x轴）; 或x2  2py(p  0)（焦点在 y 轴）. 8 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 第三章 三角函数 1、同角三角函数 （1）sincsc=1. （2）cossec=1. （3） tancot=1. （4） sin2+cos2=1 . （5） 1+tan2=sec2. （6） 1+cot2=csc2. sin （7）tan . cos cos （8）cot . sin 2、二倍角公式 （1）sin2=2sincos. （2） cos2=cos2sin2=12sin2=2cos21 . 2tan （3）tan2= . 1 tan2 cot21 （4）cot2= . 2cot 1cos2 （5）sin2 . 2 1cos2 （6）cos2 . 2 9 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 3、三角函数的和差化积与积化和差公式   （1）sinsin 2sin cos . 2 2   （2）sinsin 2cos sin . 2 2   （3）cos cos 2cos cos . 2 2   （4）cos cos 2sin sin . 2 2 （5） . 1 sincos sin sin    2 1 （6）coscos cos  cos  .   2 1 （7）cossin sin sin .   2 1 （8）sinsin  cos cos  .   2 4、和角与差角公式 （1）sin   sincoscossin. （2）cos   coscossinsin. tan tan （3）tan   . 1 tantan  b  （4） asin bcos a2  b2 sin  , tan  .  a  5、半角公式  1cos （1）sin  . 2 2 10 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你  1cos 1cos sin （2） tan     . 2 1cos sin 1cos  1cos （3） cos   . 2 2  1cos 1cos sin （4） cot     . 2 1cos sin 1cos 6、万能公式 x 2t 1t2 令t  tan ，有sin x  ，cosx  2 1t2 1t2 . 11 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 第二篇 高等数学 第一章 初等函数 1、三角函数 （1）正弦函数： y sin x ， x（,)，为有界的奇函数， 也是最小正周期为2的周期函数. （2）余弦函数： y  cosx，x（,)，为有界的偶函数， 也是最小正周期为2的周期函数.  （3）正切函数： y  tan x ，x（,)，且x  k ，其中 2 k  0,1,2,,为无界奇函数，最小正周期为的周期函数. （4）余切函数： y  cot x，x（,)，且 x  k，其中 k  0,1,2,,为无界奇函数，最小正周期为  的周期函数. 2、反三角函数 （1）反正弦函数： y  arcsinx， x 1，是 y sin x 在    ,  上    2 2 的反函数. （2）反余弦函数：y  arccosx ， x 1，是 y  cosx在 0， 上 的反函数. （3）反正切函数：y  arctan x ，x（,) ，是 y  tan x 在      , 上的反函数，且 y   为其水平渐近线.  2 2  2 （4）反余切函数： y  arccot x，x（,)，是 y  cot x在 12 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 (0,) 上的反函数，且 y  0, y 为其水平渐近线. 第二章 极限 1、极限存在的充要条件 （1）数列极限存在的充要条件： lim x  A  lim x  lim x  A. n 2n 2n1 n n n （2）函数极限存在的充要条件： lim f  x   A  lim f  x   lim f  x   A. xx 0 xx 0  xx 0  lim f  x   A  lim f  x   lim f  x   A . x x x 2、极限存在的准则 （1）夹逼准则： ①（数列）：若 y  x  z ，且lim y  limz  a，则limx  a. n n n n n n n n n ②（函数）：若 g  x  f  x  h  x ，且limg  x   limh  x   A， x x 则lim f  x   A . x （2）单调有界准则：单调有界数列必存在极限. 3、两个重要极限 sin x （1）lim 1. x0 x x 1  1 （2） lim  1 x  x  lim1   e . x0 x x 4、极限的重要性质 13 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 （1）唯一性：lim f (x)  A，lim f (x)  B，则 A  B . x0 x0 （2）有界性（或局部有界性）： ①若n   时， x  a，则M  0 ，使对一切n， x  M . n n ② lim f  x  A存在，则 0，M  0，当0 x x 时， xx 0 0 有 f  x  M . ③lim f  x   A存在，则 X  0 ，M0，当 x  X 时，有 f  x  M . x （3）保号性 ①若 lim f  x  A0，则 0，当0 x x 时， f  x 0. xx 0 0 ②lim f  x   A 0 ，则 当 x  X 时，有 f  x 0. X  0 x ③若 f  x 0且lim f x A，则 A 0. x 5、极限的四则运算法则 若lim f  x   A，limg  x   B 则有 （1）lim f  x  g  x   A B .   （2）lim f  x g  x   AB .     f x A （3）lim   B  0  .   g x B 6、无穷小量的运算性质 （1）有限个无穷小的代数和是无穷小量. （2）有限个无穷小的乘积是无穷小量. （3）有界函数与无穷小的乘积是无穷小量. 注：无穷个无穷小的和或积不一定是无穷小量. 7、极限和无穷小的关系 14 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 lim f  x   A f  x   A x  ，其中 lim x  0. xx xx 0 0 8、无穷小的比较 设lim x  0，lim x 0.  x  （1）若lim 0，则 x 是比 x 高阶的无穷小，  x  记为 x   o x  .    x  （2）若lim  ，则 x 是比 x 低阶的无穷小.  x   x  （3）若lim  x  c  c0 ，则 x 与 (x) 是同阶无穷小.  x  （4）若lim 1，则 x 与 x 是等价无穷小，记为 x  ~ x .  x   x  （5）若lim C  C 0 ，则 x 是 x 的k 阶无穷小. k  x  9、常用的等价无穷小替换 当 x  0 时： （1） x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x. （2） x ~ ex 1~ ln  1 x  . （3） ax 1~ xlna . 1 （4）1cosx ~ x2 . 2 （5） 1 x a 1~x . 1 （6） x sin x ~ x3. 6 10、麦克劳林公式 15 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 1 1 （1）sin x  x x3 o(x3). （2）arcsin x  x x3 o(x3). 6 6 1 1 （3）tan x  x x3 o(x3) . （4）arctan x  x x3 o(x3) . 3 3 1 1 （5）ln(1 x)  x x2  x3 o(x3). 2 3 1 1 （6）cosx 1 x2  x4 o(x4). 2 4! 1 （7）ex 1 x x2 o(x2). 2 (1) （8）(1 x)  1x x2 o(x2). 2 11、关于极限的几个重要结论    q 1 （1）limqn   . （2）lim n a 1. n  0 q 1 n （3）lim n n 1. （4） lim xx 1. n x0   （5） lim arctan x  . （6） lim arctan x   . x 2 x 2  当n  m  a xn  a xn1  a a （7）lim 0 1 n   0 当n  m （其中a 0,b 0）. xb xm b xm1 b  b 0 0 0 1 m 0  0 当n  m 12、洛必达法则 （1）条件： ① x  x （或 x   ）时，都趋于零或都趋于无穷大量. 0 ② f  x  ,g  x  在x 点的去心邻域（或 x >X 时）可导且 g  x  0. 0 16 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 f  x  ③ lim 存在. xx g x  0 x f  x  f  x  （2）结论： lim  lim . xx g  x  xx g x  0 0 x x 第三章 连续性与间断点 1、函数连续性 在点 x 连续：设 f  x 在 x 的某邻域内有定义，且 lim f  x   f  x  ， 0 0 0 xx 0 则称函数 f  x 在点 x 连续， x 点为函数的连续点. 0 0 2、第一类间断点     lim f x ， lim f x 都存在的间断点称为第一类间断点，注意极 xx xx 0 0 限的不同： 可去间断点： lim f  x   lim f  x  . xx xx 0 0 跳跃间断点： lim f  x   lim f  x  . xx xx 0 0 3、第二类间断点 使 f (x)左右极限至少一个不存在的间断点称为第二类间断点. 无穷间断点： lim f  x   ，或 lim f  x   . xx xx 0 0   震荡间断点： lim f x 不存在，且函数值摆动. xx 0 4、闭区间上连续函数的性质 （1）最值定理：若函数 f  x 在 a,b 上连续， f  x 在 a,b 必有最 小值和最大值. （2）有界性定理：若函数 f  x 在 a,b 上连续，则 f  x 在 a,b 上 17 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 必有界. （3）介值定理：若 f  x 在 a,b 上连续且 f  a  f  b ，c 是介于 f  a ，f  b 之间的一个常数，则必 a,b ，使得 f c . （4）零点定理：若 f  x 在 a,b 上连续 f  a  f  b 0，则  a,b ，使得 f 0 . 第四章 一元函数微分学 1、导数定义 设函数 f  x 在点 x 的某个邻域内有定义， 0 f  x △x  f  x  f  x  f  x  如果 f  x  lim 0 0 或 f x  lim 0 存在， 0 △x0 △x 0 xx 0 xx 0 则称函数 f x在 x 点可导. 0 2、左右导数 f  x △x  f  x  f  x  f  x  左导数： f x  lim 0 0  lim 0 .  0 △x0 △x xx xx 0 0 f  x △x  f  x  f  x  f  x  右导数： f(x) lim 0 0  lim 0 .  △x0 △x xx xx 0 0 可导的充要条件： f  x  A f  x  f ' x  A. 0  0  0 3、几何意义 切线方程 y  f  x   f  x  x x . 0 0 0 1 法线方程 y f  x   x x  ，其中 f  x  0. 0 f ' x  0 0 0 4、微分的定义 设函数 f  x 在x 点的某个邻域内有定义，给自变量以增量△x ， 0 18 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 得到函数增量△y，若△y  A△xo △x （其中 A 是不依赖于△x 的常数），则称函数 y  f  x 在 x 点可微，称是函数 y  f  x 在 x 0 0 点的微分，记为dy  A△x . 5、导数的运算法则 设u u  x ，v v  x  均可导，则 （1）  u  v   u  v . （2） uv  uvvu'.  u uvuv （3）    v  0  .  v v2 6、基本求导公式 （1）C  0（C为常数）. （2） x x1. （3） sinx   cosx . （4） cosx   sinx . （5） tanx  sec2 x . （6） cotx   csc2 x . （7） secx  secxtanx . （8） cscx   cscxcotx .   （9） ax  ax lna. （10） log x   1 . a xlna 19 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 （11） ln x   1 . x （12） arcsinx   1 . 1 x2 （13） arccosx    1 . 1 x2 （14） arctanx   1 . 1 x2 （15） arccot x    1 . 1 x2 7、莱布尼兹公式 n 若u(x) ，v(x) 均n阶可导，则  uv n   Ciu i v ni . n i0 其中 u 0  u ， v 0  v . 8、可微的充要条件 可微 可导. 9、可导与连续的关系 若函数 f  x 在 x 点可导，则它必在 x 点连续.连续不一定可导. 0 0 10、复合函数的导数 设 y  f (u)，u (x)，如果(x)在 x处可导，f (u)在对应点u 处 可导，则复合函数 y  f  x 在 x处可导，且有：   dy dy du   f  x  x  （链式法则）.   dx du dx 11、反函数求导 dx 1 设x (y)是 y  f (x)的反函数，则 '(y) ，其中 dy f '(x) 20 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 f '(x)0. 12、隐函数求导 设 y  y(x)是由方程F(x, y)  0所确定，两边对 x求导，把 y 看作 中间变量，用复合函数求导公式计算，解出 y的表达式, dy F 即   x . dx F y 13、积分函数求导 d (x) （1）  f (t)dt  f[(x)]'(x) dx a d (x) （2）  2 f (t)dt  f[(x)]' (x) f[(x)]'(x) 2 2 1 1 dx (x) 1 d (x) (x) （3）  g(x) f (t)dt  g'(x) f (t)dt  g(x) f[(x)]'(x) dx a a 14、高阶求导公式 （1）C(n)  0. （2）(ax)(n)  ax lnn a .  1  (n) (1)nann! （3）   axb (axb)n1 . (n1)! （4）(lnx)(n)  (1)n1 xn . n （5）(sin x)(n) sin(x ) 2 . n （6）(cosx)(n)  cos(x ) 2 . 15、参数方程求导 21 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 设 x  t ， y  t  确定函数 y  y  x ，其中 t ， t 存在， dy dy  t  d2y  t  t  t  ' t  dt 则   ，  . dx dx  t  dx2 3 t  dt 第五章 中值定理 1、费马引理 设函数 y  x 在点x 的某邻域U  x 内有定义，并且在x 处可导， 0 0 0 如果取得极值，则 f x 0. 0 2、罗尔定理 设函数 f  x  满足在闭区间  a,b  上连续.在开区间  a,b  内可 导. f  a   f  b ，则存在 a,b ，使得 f  0. 3、拉格朗日中值定理 设函数 y(x)满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导； f  b  f  a  则存在 a,b ，使得 =f . ba 4、柯西中值定理 设函数 f  x  和 g  x  满足：在闭区间上 a,b  皆连续.在开区间  a,b  内 皆 可 导 . 且 g x   0 ， 则 存 在  a,b  使 得 ： f  b  f  a  f   . g  b  g  a  g 5、泰勒定理（泰勒公式） 设 f  x  在包含x 的开区间 a,b 内具有直到n 1阶的导数，则对 0 22 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 x a,b 有 fx f  x  f x  xx  f x 0   xx 2  f n x 0   xx nR  x  0 0 0 2! 0 n! 0 n 其中R  x   o  x  x n，R  x 称为皮亚诺型余项. n 0 n f n1 R n  x    n1  !  x x 0 n1，  x 0  x x 0  01  （或在 x与 x 之间）称为拉格朗日余项. 0 第六章 导数的应用 1、函数的极值 设函数 f  x 在x 点的某个邻域U  x 有定义，如果对x 的某去心 0 0 0 邻域 0  内任一点 x，有 f  x  f  x  （或 f  x  f  x  ）则称 U x 0 0 0 f  x 是 f  x 的一个极大（小）值，称x 为极大（小）值点. 0 0 2、极值的必要条件 设函数 f  x 在x 点可导且在x 点处取得极值，则必有 f  x  0， 0 0 0 称 f  x  0的点 x 为驻点. 0 0 3、极值的充分条件 （1）第一充分条件：设 f  x  0（或 f  x 不存在但 f  x 在 0 0 x 点处连续）， f  x 在 x 的某去心邻域 0  内可导. U x 0 0 0 ①若 x x ,x  时 f  x  0 0 ，而x x ,x 时， 0 0 0 0 f  x 0 0 ，则 f  x 在x 点处取得极大（小）值. 0 ②若 xU 0  x 时， f '  x 不变号，则 f  x 在 x 点不取得极值. 0 0 （2）第二充分条件：设函数 f  x 在 x 点处具有二阶导数，且 0 f  x  0， f  x  0，则当 f  x 0 0 时， f  x 在 x 点 0 0 0 0 23 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 处取得极大（小）值. 4、函数的最值的求法 （1）在闭区间 a,b 用上的最值的求法：比较连续函数在驻点、 导数不存在的点及区间端点处的函数值的大小而得. （2）当函数在开区间内可导且只有一个驻点时，若函数在驻点 处取得极大（小）值，则为函数在区间内的最大（小）值. 5、曲线的凹凸性 设函数 f  x  在区间 I 上连续，若对 I 上任意两点 x ,x ，恒有 1 2  x  x  f  x  f  x  f  1 2   1 2 ，则称曲线 y  f  x 在区间 I 上是向  2  2 凹（凸）的. 6、凹凸性的判定 设函数 f  x 在 a,b 上连续，在 a,b 内具有二阶导数，那么如果 在 a,b 内 f  x 0，则曲线 y  f  x 在 a,b 上是凹的. 如果在 a,b 内 f  x 0，则曲线 y  f  x 在 a,b 上是凸的. 7、拐点 （1）定义：设函数在 y  f  x 在区间 I 内连续，x 是 I 的内点， 0 如果曲线 y  f  x 在经过点 x , f  x 时凹凸性发生了改变，则称 0 0 点 x , f  x 为曲线的拐点. 0 0 （2）充分条件： ①第一充分条件：若函数 f (x)在x  x 处 f ''(x )  0（或 f ''(x )不 0 0 0 存在，但在x  x 处连续），当 x变动经过 x 时， f ''(x)变号，则 0 0 24 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 (x , f (x ))为 f (x)拐点. 0 0 ②第二充分条件：设 f  x  在 x x 的某邻域内有三阶导数， 0 f  x 0， f  x   0则 x , f  x 为 f  x 的拐点. 0 0 0 0 8、渐近线 （1）水平渐近线 若 lim f  x  b或 lim f  x  b，则 y  b 为 f  x 的水平渐近线. x x （2）垂直渐近线 若 lim f (x)  或 lim f (x)  ，则 x  x 为 y f(x)的垂直渐近线. xx xx 0 0 0 （3）斜渐近线 f  x   f  x   若 a lim ，b lim  f  x ax  或 a  lim ,b lim   f  x ax  . x x x  x x x  则直线 y  ax b 是曲线 y  （f x）的斜渐近线. 9、导数的经济应用（数学三） （1）边际函数 设 f  x 可导，经济学上称 f  x 为边际函数，并称 f  x 为 f  x  0 在x x 处的边际值，边际值的经济意义：在此点处，当 x增加一 0 个单位时， f  x 近似地（增加或减少） f  x 个单位. 0 ①边际成本：MC  C（ x），其中 x为产量（或销量）. ②边际收益：MR  R x ，其中 x为产量（或销量）. ③边际利润：ML  L（ x） MR  MC ，其中 x为产量（或销量）. △y （2）弹性函数：设 y  f  x 可导，称 E  lim y  f x x 为 x △x0 △x f x x 25 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 函数 y  f  x 的对 x的弹性函数，它表示自变量 x改变 1%时，函 数值 y 改变的百分数. p 需求对价格的弹性：设需求函数Q p ，则E p 称为需 p p 求对价格的弹性，它一般都为负. p 供给对价格的弹性：设供给函数Q  p  ，则E p 称为 p p 供给对价格的弹性，它一般都为正. 第七章 不定积分 1、原函数的概念 设 f  x 是定义在某区间 I 上的函数，如果存在F  x ，xI 都有 F  x   f  x 或dF  x  f  x  dx，则称函数F  x 为 f  x 在区间 I 上 的一个原函数. 2、原函数的存在性 （1）连续函数一定存在原函数. （2）具有可去间断点或者跳跃间断点或者无穷间断点的函数一 定没有原函数. 3、不定积分 在区间 I 上，函数 f  x  带有任意常数项的原函数称为 f  x  的不 定积分，记为 f  x  dx. 4、基本性质 （1）kf  x  dx k f  x  dx（k  0为常数）. 26 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 （2）f  x  f  x  f  x dx  f  x  dx f  x  dx f  x  dx.   1 2 k 1 2 k （3） f  x  dx   f  x 或d f  x  dx  f  x  dx .   （4）Fxdx FxC或dFxFxC . 5、基本积分公式 xk1 （1）xkdx C ， (k  1) k 1 1 （2） dx ln x C x ax （3）axdx C ，特例exdxex C lna （4）cosxdx sinxC sinxdx  cosxC 1 （5） dx  cscxdx  ln cscx cotx C sin x 1 （6） dx  secxdx  ln secx  tan x C cosx 1 （7） dx  csc2 xdx  cot x C sin2 x 1 （8） dx  sec2 xdx  tan x C cos2 x （9）tanxdx  ln cosx C （10）cotxdx ln sinx C （11）secxtanxdx secxC （12）cscxcotxdx  cscxC 1 1 x （13） dx  arctan C a2  x2 a a 27 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 1 （14） dx  arctan x C 1 x2 1 x （15） dx  arcsin C a2  x2 a 1 （16） dx  arcsin x C 1 x2 dx 1 a x （17）  ln C a2  x2 2a a x dx 1 1 x （18）  ln  C 1 x2 2 1 x dx （19）  ln x x2 a2 C x2 a2 6、 常见的几种凑微分形式 1 （1） f  axb  dx   f  axb  d  axb  a  0 . a 1 （2） f (axn b)xn1dx   f (axn b)d(axn b),(a  0). na       （3） f ex exdx   f ex d ex . 1 1 1 1 （4） f   dx   f  d  .  x x2  x  x 1 （5） f  lnx  dx   f  lnx  d  lnx . x 1 （6） f ( x) dx  2 f ( x)d( x). x （7） f  sinx  cosxdx   f  sinx  d  sinx . （8）  f  cosx  sinxdx   f  cosx  d  cosx . 28 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 （9）  f (tanx)sec2 xdx   f  tanx  d  tanx  . （10） f  cotx  csc2 xdx   f  cotx  d  cotx .   f arcsinx （11） dx   f  arcsinx  d  arcsinx . 1 x2   f arctanx （12） dx  f  arctanx  d  arctanx . 1 x2  1 f arctan   x  1  1 （13）  dx   f arctan darctan  1 x2  x  x . 7、分部积分法 uvdx uv  vudx 或udv  uv  vdu . 8、换元积分法 设 f (u)du  F  u C ，则  f  x  x  dx   f  x d x  设ux  f  u  du  F  u C      F  u C  F x C.   9、三角函数代换 被积函数所含根式 所作代换 变量的取值 x  asint   a2  x2  t  2 2 29 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 dx  acosdt x  atant    t  a2  x2 2 2 dx  asec2tdt x  asect  t(0, ) x2 a2 2 dx  asect tantdt 第八章 定积分 1、可积的充分条件 （1）设函数 f  x 在 a,b 连续，则 f  x 在 a,b 上可积. （2）设 f  x 在区间 a,b 上有界，且只有有限个间断点，则 f  x  在 a,b 上可积. 2、可积的必要条件：可积必有界. 3、定积分的基本性质 （1） b f  x  dx   b f  t  dt . a a b a （2） f (x)dx   f (x)dx . a b （3） b 1dx ba . a （4） b f  x  g  x dx  b f  x  dx  b g  x  dx .   a a a （5） b kf  x  dx k b f  x  dx （k 为常数）. a a （6） b f  x  dx  c f  x  dx  b f  x  dx . a a c （7）比较定理 设 f  x g  x ，x a,b ，则 b f  x  dx   b g  x  dx. a a 推论：①当 f  x 0， x a,b 时， b f  x  dx 0. a 30 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 ②  b f  x  dx   b f  x  dx. a a （8）估值定理：设m  f (x)  M ，x[a,b]，其中m,M 为常数， b 则m  b a   f  x  dx  M  b a . a （9）积分中值定理：设 f  x  在 a,b 上连续，则 a,b ，使 b  f  x  dx   b a  f . a （10）平均值：称 1  b f  x  dx 为 f (x)在[a,b]上的平均值. ba a 4、变上限积分函数的导数 （1）若 f  x  在 a,b 上连续，则 F  x   x f  t  dt 在 a,b 上可导， a 且F x  f  x . （2）若 f  x 在 a,b 上连续， x 在 a,b 上可导， 设 F  x    x f  t  dt ，则F x   f    x    x . a （3）若 f  x 在 a,b 上连续， x ， x 在 a,b 上可导，   则  x f  x  dt  f  x  x  f  x  x .     x x 5、牛顿—莱布尼兹公式 设 f  x  在 x a,b 连续，F  x 是 f  x  的一个原函数， b 则 b f  x  dxF  x  F  b F  a . a a 6、定积分的常用结论 （1）设 f  x 在l,l 上连续，则 31 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 0, 当f  x 为奇函数  l f  x  dx    l 2 l f  x  dx, 当f  x 为偶函数  0 （2）设 f  x  是以 T 为周期的连续函数， a 为任意实数，则 T  aT f  x  dx  T f  x  2 f  x  dx T a 0  2 （3）（华里士公式） n 1 n 3 1     ,当n为偶数     n n  2 2 2  2sinn xdx   2 cosn xdx  0 0  n 1 n 3  2 1, 当n为奇数  n n  2 3 7、定积分的换元法 设函数 f  x  在 a,b 上连续，若 x  t 满足： （1） t 在,上连续，且 t   0. （2）a ，b .并且当t 在,上变化时， t 的值 在 a,b 上变化，则 b f  x  dx    f  t  t  dt .   a  8、分部积分公式 设u  x ，v  x 在 a,b 上具有连续导函数u x ，v x  ， b 则 a u  x  v x  dxu  x  v  x   b v  x  u x  dx. b a a 9、广义积分 （1）无穷限的广义积分 设 f  x  连续，则 ①  f  x  dx  lim  b f  x  dx . a b a ② b f  x  dx  lim  b f  x  dx.  a a 32 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 ③ + f  x  dx c f  x  dx  f  x  dx  lim  c f  x  dx lim  b f  x  dx.   c a a b c （2）无界函数的广义积分（瑕积分） ① b f  x  dx  lim  b f  x  dx（当 x b 时， f  x ）. a 0 a ② b f  x  dx  lim  b f  x  dx （当 x a 时， f  x ）. a 0 a ③ b f  x  dx lim c f  x  dx lim b f  x  dx（当xc时，f  x  ）. a 0 a 0 c （3）四个常见的反常积分的敛散性（重要结论）  dx ① (a  0)：当 p 1时，收敛；当 p 1时，发散. a xp  dx ② (a1)：当 p 1时，收敛；当 p 1时，发散. a xlnp x a dx ③ (a  0)：当 p 1时，收敛；当 p 1时，发散. 0 xp  ④ xke xdx(k  0) ：当 0时，收敛；当 0时，发散. 0 （4）敛散性的判别方法 ①比较判别法 若0 f (x)  g(x)，有   A.若 f (x)dx发散，则 g(x)dx发散. a a   B.若 g(x)dx收敛，则 f (x)dx收敛. a a ②比较判别法的极限形式 f (x)  设 0 f (x)  g(x)，若 lim ( 0)，那么 f (x)dx与 x g(x) a   g(x)dx 有相同的敛散性. a 注：无界函数反常积分有类似的结论. 33 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 10、平面图形面积 （1）直角坐标系 模型 I： S   b y  x   y  x dx ，其中 y  x  y  x ， x a,b . 1  2 1  2 1 a 模型 II： S   d x  y x  y dy ，其中 x  y  x  y ，y c,d . 2  2 1  2 1 c 注：复杂图形分割为若干个小图形，使其中每一个符合模型 I 或 模型 II 加以计算，然后再相加. （2）极坐标系 1  模型 I：S   r2 d. 1 2  1  模型 II：S   r2r2d .   2 2  2 1 11、旋转体体积 （1）平面图形由曲线 y  y  x 0 与直线 x  a,x b和 x 轴围成 b 绕 x 轴旋转一周的体积V  y2  x  dx . x a 绕 y轴旋转一周的体积V  2 b xy  x  dx. y a （2）平面图形由曲线 x  x  y 0 与直线 y c, y  d 和 y轴围成 绕 y轴旋转一周的体积V  d x2  y  dy . y c d 绕 x 轴旋转一周的体积V  2 yx  y  dy . x c 12、平面曲线弧长（数学一、二） b （1）L: y  f (x)，a  x  b ，l   1 f '2(x)dx . a  xx  t   L: ,t,l  x2 t y2 t  dy （2） .  y y  t    （3）()，，l   2()'2()d.  34 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 13、平行截面面积已知的立体体积（数学一、二） b V   S  x  dx （其中S（x）表示截面积函数）. a 14、旋转体的侧面积（数一、数二） （1）若平面曲线 y  f (x)  0，(a  x b)，则 b S  2 f  x  1 f2 x  dx. a （2）若平面曲线为r  r()，()，则  S 2 r()sin [r()]2 [r'()]2d .  x  x(t) （3）若平面曲线为 ，(t )，则 y  y(t)  S  2 y(t) [x'(t)]2 [y'(t)]2dt .  15、物理应用 b （1）变力做功：W   F(x)dx a b （2）液体的侧压力：P   gxf (x)dx a 1 b  f  x  dx （3）函数平均值： ba a 35 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 第九章 微分方程 一、一阶微分方程的形式及解法 1、可分离变量方程 f  x  g  y  dx f  x  g  y  dy  0，分离变量两边同除g (y)f (x)0， 1 1 2 2 1 2 f (x) g (y) 得 1 dx  2 dy  0，然后两边积分即可. f (x) g (y) 2 1 2、齐次方程  y y du y f   的解法：令u  ，则 y  ux， y  u  x 于是，  x  x dx du du dx du 原方程u  x  f (u)     ln|x |C . dx f (u)u x f (u)u 3、可化为齐次方程的方程 dy  a xb y  c  形如  f  1 1 1  . dx  a x b y c  2 2 2 （1）当c  c  0时， 1 2  y  a b dy  a xb y   1 1 x   y  f  1 1  f   g  . dx a 2 xb 2 x  a b y    x  2 2 x  a b a b dy  a xb y c  （2） 1 1 0，即 1  1 则：  f  2 2 1 g  a xb y . a b a b dx  a xb yc  2 2 2 2 2 2 2 2 2 du 令a x b y  u ，则  a b g(u). 2 2 2 2 dx a b a x b y c  0 （3） 1 1  0,c ,c 不全为 0，解方程组 1 1 1 ， a b 1 2 a x b y c  0 2 2 2 2 2 dY  Y  求交点(,)，令 x  X ,y Y ，则原方程    . dX  X  36 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 4、—阶线性方程 y p(x)y  q(x) 则 y   q(x)e p(x)dx dxC  e p(x)dx .     5、伯努利方程（数学一） y p(x)y  q(x)yn 其中n  0,1. 1 dz 令 z  y1n 则方程  p(x)z  q(x). 1n dx dz (1n)p(x)z  (1n)q(x). dx 6、全微分方程（数学一） M N M(x,y)dx  N(x,y)dy 0 为全微分方程  . y x 二、二阶微分方程的形式及解法 1、二阶常系数线性齐次微分方程 y pyqy  0 ，其中 p,q 均为常数, 特征方程：2  pq 0 （1）当,为互异实根时，方程（1）通解为 y(x) Ce 1 x C e 2 x. 1 2 1 2 （2）当 时，通解为 y(x)  C C x  e 1 x. 1 2 1 2 （3）当i（复根）时，通解为 y(x)  eax  C cosxC sinx . 1 2 2、二阶常系数线性非齐次方程 y py qy  f (x) ，其中 p,q 均为常数. 通解的求法程序： （1）求对应的齐次方程的通解Y  x ； （2）用待定系数法求出非齐次方程的特解 y* x ； 37 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 （3）写出非齐次方程的通解 y* x Y  x  . 二阶常系数非齐次线性方程的非齐次项 f  x 与特解 y*的关系: y py qy  f (x) 特解 y* x 的形式 f (x)  p (x)eax, a 不是特征根， y*(x) =R  x  eax. n n 其中 p (x)为 x 的n 次 a 是特征方程的单根， y*(x) =xR  x  eax . n n 多项式. a 是特征方程的重根， y*(x)  x2R (x)eax n （R 为n 次多项式的一般形式）. n f (x)  P (x)eax sinx或 y*(x)  xkeax Q (x)cosxW (x)sinx , n n n f (x)  P (x)eax cosx, i不是特征根， k 0; n 其中 p (x)为 x 的n 次 i是特征根，k 1. n 多项式. （Q (x),W (x) 为n 次多项式一般形式）. n n 3、欧拉（Euler）方程（数学一） 形如 x2yaxyby  f (x) 的微分方程称为二阶欧拉方程，其中 a,b是常数. 解法：当x 0时，作变量代换 x et ，则 dy dy dt 1 dy d2y 1 d2y dy     ,     ， dx dt dx x dt dx2 x2  dt2 dt  原欧拉方程变为 d2y (a1) dy by  f  et . dt2 dt 这是一个以t 为自变量， y 为未知函数的二阶线性常系数微分方 程.当 x0时，通过变量代换 x  et ，可类似求解. 38 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 三、高于二阶的常系数线性齐次微分方程 1、n 阶常系数线性齐次微分方程 一般形式 y(n)  p y(n1)  p y(n2)  p y p y 0， 1 2 n1 n 其中 p (i 1,2,,n)为常数. i 相应的特征方程为n  pn1  p n2  p  p 0 . 1 2 n1 n （1）若特征方程有n 个不同的实根,,, 1 2 n 则方程通解 y Ce 1 x C e 2 x C e  n x . 1 2 n （2）若  为特征方程的 k 重实根 (k  n) 则方程通解中含有 0  C C xC xk1  e 0 x. 1 2 k 2、可降阶微分方程（数学一、二） （1）方程 y(n)(x)  f (x)求n 次定积分得解. （2）方程的 y f  x,y特点是不显含未知函数 y ，令u  y(x)， 则微分方程 y f  x,y变为一阶微分方程u(x)  f (x,u). （3）方程 y f  y,y的特点是不显含自变量 x ，令u  y，则 d2y du du dy   uu ， 则 微 分 方 程 y f  y,y 变 为 d2x dx dy dx uu  f (y,u), ，这是一个以 y 为自变量，u(y) 为未知函数 的一阶微分方程. 四、一阶常系数差分方程（数学三） 1、—阶常系数非齐次线性差分方程 y ay  f (t),其中 f (t)  0，a为非零常数. t1 t 当 f (t)  0时，变为 y  ay  0 ，则称为一阶常系数齐次线性差 t1 t 39 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 分方程. 2、非齐次差分方程的解的性质 （1）若 y*是非齐次差分方程的一个特解， y (t)是相应齐次差分 c 方程的通解，则非齐次差分方程的通解为 y  y  t  y*. t C t （2）若 y 与  y 分别是差分方程 y ay  f  t 和 y ay  f  t  t t t1 t 1 t1 t 2 的解，则 y   y 是差分方程 y ay  f  t  f (t)的解. t t t1 t 1 2 3、解法 （1）齐次差分方程的通解为 y (t) C(a)t ，其中 C 为任意常数. C （2）非齐次差分方程的特解 y*形式的设定如下表: t 非齐次 f (t) 的形式 取待定特解 设定特解的形式 的条件 f (t) P (t) a  1 y* Q (t)  B  Bt  B tm m t m 0 1 m b bt b tm B ,B ,B 为待定常数 0 1 m 0 1 m a  1 y* tQ (t) i m f (t)  dt P (t) ad  0 y*  dt Q  t  m t m d 为非零常数 ad 0 y* tdt Q (t) i m 40 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 第十章 向量代数与空间解析几何（数一） 一、向量代数 设向量a  xi yj  zk  x,y,z  1、向量a 的模 a  x2  y2  z2 . 2、单位向量   a  x y z  a0   , , . a  x2  y2 x2 x2  y2 x2 x2  y2 x2  3、向量a 的方向余弦 x y z cos ，cos ，cos . x2  y2  x2 x2  y2  x2 x2  y2  x2  4、设M  x ,y ,z ，M  x ,y ,z ，则 M M  x x ,y  y ,z z . 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 5、加减运算 设a  (x , y ,z )，b (x , y ,z )，则ab  (x  x , y  y ,z  z ). 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 6、数乘向量 设a   x, y,z ，为数量，则  x,y,z . 7、数量积（点积，内积） ， ， a  (x , y ,z ) b (x , y ,z ) 1 1 1 2 2 2 则向量a与b 的数量积为ab a b cos  a,b  x x  y y  z z . 1 2 1 2 1 2 8、向量积（叉积，外积） 设两向量a 与b ，若存在—个向量 c ，满足条件： ① c  a b sin  a,b  . ②c  a ，c  b，即c 垂直于a,b所确定的平面. 41 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 ③a,b,c 成右手系. 则向量c 称为向量a 与b的向量积，记c  ab i j k y z x z x y ab x y z  1 1 i 1 1 j 1 1 k 1 1 1 y z x z x y x y z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9、混合积 设有三个向量a  x ,y ,z ，b  x ,y ,z ，c  x ,y ,z ，先作a,b 1 1 1 2 2 2 3 3 3 的矢量积ab，再与c 作数量积 ab c ，则其称为a,b,c 的混合 积，记为 a,b,c . x y z 1 1 1 且  a,b,c  ab c x y z . 2 2 2 x y z 3 3 3 二、直线与平面方程 1、平面直线方程 A （1）一般式： Ax  By C  0 ，斜率k   . B （2）斜截式： y  kx b ，其中k 为斜率，b为 y轴截距. （3）点斜式： y  y  k  x x ，直线过点 x ,y  ，斜率为k . 0 0 0 0 x y （4）截距式：  1，其中a  0,b  0，a,b为 x 轴、y轴截距. a b x y 1 y y xx （5）两点式： 1  1 或 x y 1 0. y  y x x 1 1 2 1 2 1 x y 1 2 2 x  x lt, m （6）参数式： 0 斜率为k  ，过 x ,y  点. y  y  mt, l 0 0 0 42 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 2、空间直角坐标系中的平面方程 （1）—般式： Ax  By Cz  D  0. （2）点法式：A  x x  B  y y C  z  z 0，平面过 x , y ,z , 0 0 0 0 0 0  法向量n  A,B,C . x y z （3）截距式：   1. a b c 3、点到直线与点到平面的距离 （1）点到直线的距离 Ax By C  x ,y  到直线 Ax  By C  0的距离d  0 0 . 0 0 A2 B2 （2）点到平面的距离  x , y ,z  到 Ax  By Cz  D  0 的 距 离 0 0 0 Ax By Cz D d  0 0 0 . A2 B2 C2 4、空间直线方程 Ax B y C z  D  0, （1）一般式： 1 1 1 1 A x B y C z  D  0, 2 2 2 2 x  x lt, 0  （2）参数式：y  y  mt,，直线过 x , y ,z ，方向数为l,m,n . 0 0 0 0  z  z  nt, 0 x  x y  y z  z （3）标准式（对称式）： 0  0  0 直线过 x , y ,z ， 0 0 0 l m n 方向数为l,m,n . （4）两点式： 43 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 y  y x  x z  z 1  1  1 直线过 x ,y ,z ， x ,y ,z . y  y x  x z  z 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 5、直线间、平面间、直线与平面间关系 A （1）设直线 L : A x B y C  0，令k   1 . 1 1 1 1 1 B 1 A 直线 L : A x  B y  C  0，令k   2 . 2 2 2 2 2 B 2 A B C ① L ∥L  k  k 或 1  1  1 . 1 2 1 2 A B C 2 2 2 ② L  L  k k  1或 A A  B B  0 . 1 2 1 2 1 2 1 2 A B C ③ L 与 L 重合 1  1  1 . 1 2 A B C 2 2 2 k k ④ L 与 L 夹角:tan 2 1 . 1 2 1k k 1 2 （2）设平面 : A x  B y  C z  D  0. 1 1 1 1 1 平面 : A x  B y  C z  D  0 . 2 2 2 2 2 x x y  y z  z 直线L : 1  1  1 . 1 l m n 1 1 1 x  x y  y z  z 直线L : 2  2  2 . 2 l m n 2 2 2 A A  B B C C ①平面间夹角，则cos 1 2 1 2 1 2 . A2  B2 C2 A2  B2 C2 1 1 1 2 2 2 A B C 平面 ∥平面  1  1  1 . 1 2 A B C 2 2 2 平面  平面  A A  B B  C C  0 . 1 2 1 2 1 2 1 2 44 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 l l  m m  n n ②直线间夹角，则cos 1 2 1 2 1 2 . l2  m2  n2 l2  m2  n2 1 1 1 2 2 2 l m n 直线L ∥直线L  1  1  1 . 1 2 l m n 2 2 2 直线L 直线 L  l l  m m  n n  0. 1 2 1 2 1 2 1 2 l A mB nC ③直线与面的夹角sin 1 1 1 1 1 1 . l2 m2 n2 A2 B2 C2 1 1 1 1 1 1 直线L ∥平面  Al  B m C n  0 . 1 1 11 1 1 1 1 l m n 直线L 平面  1  1  1 . 1 1 A B C 1 1 1 三、空间曲面 （1）球面 x2  y2  z2  R2，球心在原点，半径为 R .  xa 2  y b 2  z c 2  R2，球心在（a,b,c），半径为 R . x2 y2 z2 （2）椭球（圆）   1 ，其中 a,b,c 为三个半轴，其在 a2 b2 c2 x x y y z z M  x ,y ,z 点处的切平面方程为 0  0  0 1. 0 0 0 a2 b2 c2 x2 y2 z2 （3）单叶双曲面   1. a2 b2 c2 x2 y2 z2 （4）双叶双曲面   1. a2 b2 c2 f  x,z 0   （5）旋转曲面 曲线  绕 x 轴旋转 f x, y2  z2  0绕 z y 0 轴旋转 .   f  x2  y2,z  0 45 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 四、空间曲线的切线及法平面方程（数学一） x  t   （1）曲线 y  y  t  在  x ,y ,z  ，即 t t 处的切线方程： 0 0 0 0  z  z  t   x x y  y z  z 0  0  0 . x t  y t  z t  0 0 0 法平面方程： x t  x x  y t  y  y  z t  z  z 0. 0 0 0 0 0 0  F  x,y,z  0 （2）空间曲线  的一般式方程为  G  x,y,z   0 则在曲线上P  x ,y ,z 处的切向量为曲面F  x,y,z 0和 0 0 0 G  x,y,z 0在该点的法向量 n 和 n 的向量积，即切向量 1 2  n n ，其中 1 2 n   F x , y ,z  ,F x , y ,z  ,F x , y ,z  , 1 x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0 n   G x , y ,z  ,G  x , y ,z  ,G x , y ,z . 2 x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0 记n n  A,B,C ，则 1 2 x  x y  y z  z P  x ,y ,z  点的切线方程为 0  0  0 . 0 0 0 A B C P  x ,y ,z  的法平面方程为： 0 0 0 . A  x x  B  y  y C  z  z 0 0 0 0 五、空间曲面在其上某点处的切平面和法线方程（数学一） （1）设曲面 为z  f  x,y ，则在 上的点P  x ,y ,z  处的： 0 0 0 z z 切平面方程：  x x   y  y  z  z 0. x x 0 ,y 0 ,z 0  0 y 0 0 x ,y ,z 0 0 0 46 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 x x y y z z 0  0  0 法线方程： z z 1 . x y x 0 ,y 0 ,z 0  x 0 ,y 0 ,z 0  （3）设曲面 为隐式方程F  x,y,z 0则在 上一点P  x ,y .z  0 0 0 的切平面方程： F  x x  F  y  y  F  z  z   0. x x ,y ,z  0 y 0 z x ,y ,z  0 0 0 0 x ,y ,z 0 0 0 0 0 0 xx y y zz 0  0  0 法线方程： . F F F x x 0 ,y 0 ,z 0  y x 0 ,y 0 ,z 0  z x 0 ,y 0 ,z 0  六、空间曲线在坐标面上的投影 1、曲线在某坐标面上的投影曲线，简称为曲线的投影.  F  x, y,z  0 2、设空间曲线 L 的一般方程是 ，消去 z 得柱面方程  G  x, y,z   0 H（x,y）0 H  x,y 0，从而 L 在 xoy 平面上投影曲线的方程就是 . z 0 类似地，在空间曲线 的一般方程中消去 x 或 y，得曲线关于 L yoz 或 zox 面的投影柱面方程R（y,z）0 或T（x,z） 0，从而曲线 L 关 R  y,z  0, T  x,z 0, 于 yoz 或 zox 面的投影曲线方程分别为  x 0. y 0. 47 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 第十一章 多元函数微分学 一、偏导数与全微分 1、偏导数 f(xx,y) f(x,y) 设 在 某邻域内有定义，若 lim 存在， z  f(x,y) (x,y) x0 x z 则称该极限为 f  x,y 在 x,y 处对 x 的偏导数，记为 . x z f  x△x,y  f  x,y  即  lim , x △x0 △x 同理 z f  x,y △y  f  x,y  .  lim y △y0 △y 2、全微分 设函数z  f  x,y 在P  x,y 点的某邻域内有定义，分别给 x, y 以增 量 △x,△y ，相应地得到函数的全增量 △z ，若其可表示为 △z  A△x B△y o . 其中 A,B与△x,△y无关，  △x 2 △y 2 ,o 为△x0 ，△y0时， 的高阶无穷小，则称函数 （f x,y）在P  x,y 处可微. A△xB△y称 为 f  x,y  在 P  x,y  处的全微分.当 z  f  x,y  在 P  x,y  点可微时， z z z z A ，B  则dz  dx dy. x y x y 注：验证二元函数函数的可微性，只需验证： △z  f  x,y △x f  x,y △y lim x y  0， 0  其中  △x 2  △y 2 . 48 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 3、二阶混合偏导与次序无关定理 设z  f  x,y 具有二阶连续偏导数，则有 f x,y  f x,y . xy yx 4、可微与偏导存在的关系 z z 若 z  f  x,y 在P  x,y 点处可微，则 , 必存在， x y z z 且有dz  dx dy ，反之偏导存在不一定可微. x y z z 若 z  f  x,y 的两个偏导数 , 在P  x,y 上某领域内存在，且在 x y P  x,y 点连续.则 z  f  x,y 在P  x,y 点处可微. 5、复合函数微分法 （1）设 z  f  u,v ，u  x,y  ，v  x,y ，则 z z u z v      x u x v x  z z u z v       y u y v y （2）设 z  f  u,v ，u  x  ，v  x ，则 dz z du z dv     dx u dx v dx （3）设 z  f  x,u,v ，u  x ，v  x ，则 z f f u f v      x x u x v x 注：复合函数一定要设中间变量，抽象函数的高阶偏导数，其中 间变量用数字 1，2，3…表示更简洁. 49 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 6、隐函数微分法 dy F x,y  （1）设F  x,y  0，则   x . dx F x,y  y z F'(x,y,z) z F'(x, y,z) （2）设F(x, y,z)  0，则   x ，   y . x F'(x,y,z) y F'(x, y,z) z z  F  x,y,z  0, （3）设由方程组  确定的隐函数为 y  y  x ，z  z  x ，  G  x,y,z 0, dy dz dy dz 则 , 可通过解关于 , 的线性方程组得到，即 dx dx dx dx  dy dz F F  F 0   x y dx z dx .  dy dz  G G G 0  x y dx z dx 二、偏导数的应用 1、多元函数的极值 设函数P  x ,y ， z  （f x,y）在P  x ,y 的某邻域内有定义，若 0 0 0 0 对于该邻域内异于点的任一点Q（x,y）恒有： f  x,y   f  x ,y  0 0 （或 f  x ,y ）则称 f  x ,y 为 f  x,y  的极小值（或极大值）. 0 0 0 0 2、极值的必要条件 设 z  f  x,y  在 P  x ,y  点的一阶偏导数存在，且 P  x ,y  是 0 0 0 0 z z z  f  x,y 的极值点，则 0且 0. x y x 0 ,y 0  x 0 ,y 0  3、函数取极值的充分条件 设 z  f  x,y 在 P  x ,y 点的某邻域内有连续的二阶偏导数，且 0 0 f x ,y 0，f x ,y 0，A f x ,y ，B  f x ,y ，C  f x ,y  x 0 0 y 0 0 xx 0 0 xy 0 0 yy 0 0 若 AC  B2  0 则P  x ,y 是 z  f  x,y 的一个极值点： 0 0 50 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 ①若 A  0 ，则P  x ,y 为极小值点. 0 0 ②若 A 0，则P  x ,y 为极大值点. 0 0 4、二元函数极值解题步骤 （1）无条件极值 ①求出 z  f  x,y 的驻点 x ,y  . 0 0 ②用充分条件判别 x ,y 是否为极值点. 0 0 （2）条件极值（拉格朗日乘数法） A.求 z  f  x,y 在 x,y 0条件下的极值: ①令F  x,y  f  x,y  x,y  . f  x,y  x,y  0, x x  ②解方程组f  x,y  x,y  0,求得驻点 x ,y  . y y 0 0   x,y 0,  ③ x ,y 即为 f  x,y 的极值点. 0 0 B.求u  f  x,y,z 在 x,y,z 0的极值: ①令F  x,y,z  f  x,y,z  x,y,z . f  x,y,z  x,y,z   0, x x  f  x,y,z   x,y,z   0, ②解方程组 y y 求得驻点 x ,y ,z . f  x,y,z  x,y,z   0, 0 0 0 z z   x,y,z   0,  ③若 x ,y ,z 为其解， f  x ,y ,z 即为 f  x,y,z 的极值. 0 0 0 0 0 0 C.求函数u  f  x,y,z 在 x,y,z  0，  x,y,z  0的条件下的 1 2 极值： ①令F  x,y,z  f  x,y,z  x,y,z   x,y,z  1 1 2 2 51 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 ②③与前面第②③步类似. 5、方向导数与梯度（数一） （1）方向导数 ①定义：l 为平面上以点M  x ,y 为起点，cos，cos是l 方 0 0 0 向的方向余弦，将 z  f  x,y 限制在l 上，则 x  x tcos， 0 f  x tcos, y tcos  f  x , y  y  y tcos.若 lim 0 0 0 0 存在，则 0 t0 t 该极限为函数 f  x,y  在 x ,y  沿射线 l 方向的方向导数，记为 0 0 f . l x ,y  0 0 ②计算公式：如果函数 f  x,y  在点M  x ,y 可微分，那么函数 0 0 0 在该点沿任何方向 的方向导数存在，且有 l f  f  x ,y  cos f  x ,y  cos， l x 0 0 y 0 0 x ,y  0 0 其中cos，cos是l 方向的方向余弦. 注：对于u  f  x,y,z 有类似的定义.如果 f  x,y,z 在 P  x ,y ,z  0 0 0 点可微分，则函数在该点的方向导数为 f  f  x ,y ,z  cos f  x ,y ,z  cos f  x ,y ,z  cos. l x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0 x ,y ,z  0 0 0 （2）梯度 ①定义设 f  x,y  在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数，对于每   一点P  x ,y D，向量 f  x ,y  i  f  x ,y  j ，称为 f  x,y  在 0 0 x 0 0 y 0 0   点P  x ,y 的梯度，即 gradf  x ,y   f  x ,y  i  f  x ,y  j . 0 0 0 0 x 0 0 y 0 0 ②对于具有连续偏导数的三元函数 f  x,y,z ，在其定义区域内 52 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 的每一点P  x ,y ,z ，其梯度向量为 0 0 0    gradf  x ,y ,z   f  x ,y ,z  i  f  x ,y ,z  j  f  x ,y ,z  k . 0 0 0 x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0 第十二章 二重积分 1、二重积分的性质 （1）kf  x,y  dk f  x,y  d，k 为常数. D D （2）f  x,y  g  x,y d  f  x,y  dg  x,y  d.   D D D （3）f  x,y  g  x,y d  f  x,y  dg  x,y  d.   D D D 1 2 其中D D  D，D D . 1 2 1 2 （4）1d A，其中 为 的面积. A D D （5）比较定理：若在 D 上恒有 f  x,y  g  x,y ， 则  f  x,y  dg  x,y  d . D D （6）估值定理：设M,m分别为 f  x,y 在闭区域 D 上的最大、 最小值， A 为 D 的面积，则mA  f (x,y)d MA. D （7）中值定理：若 f  x,y  在闭区域 D 上连续， A 为 D 的面积， 则在 D 上至少存在一点,，使得 f  x,y  d f ,A. D （8）二重积分的对称性奇偶性 ①如果积分区域 D 关于x轴对称，则二重积分 0, f  x,y  f  x,y    f  x,y  d 2 f  x,y  d, f  x,y  f  x,y  D 为 y 0 的部分.  1 D  D 1 53 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 ②如果积分区域 关于 y 轴对称，则二重积分 D 0, f x,y  f  x,y    f  x,y  d 2 f  x,y  d, f x,y  f  x,y  D 为 x0 的部分.  1 D  D 1 ③如果 关于直线 y  x 对称，则 D 1   f  x,y  d  f  y,x  d  f  x,y  f  y,x  d . 2  D D D 2、二重积分的计算 （1）直角坐标系 A.当区域为D:a  x  b, y (x)  y  y (x)，则 1 2 b y (x)  f(x,y)dxdy dx 2 f(x,y)dy a y (x) 1 D B.当区域为D:c  y  d,x (y)  x  x (y) ，则 1 2 d x (y)  f (x, y)dxdy   dy 2 f (x, y)dx c x (y) 1 D （2）极坐标系 当积分区域可由极坐标表示时，即D: x cos, y sin， 则 f (x, y)dxdy  f (cos,sin)dd D D 3、二重积分的应用 （1）计算体积 在曲面z  f (x, y)与区域 D 之间的直柱体体积为 V   f (x,y)dxdy D （2）计算曲面面积 54 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 设曲面z  f (x, y)，则曲面面积为S   1(z' )2 (z' )2dxdy x y D xy （3）计算质量 设(x, y)为平面薄板 D 的面密度，则M  (x, y)dxdy D （4）计算质心  1 x  x(x,y)dxdy   M 设质心坐标(x, y)，则 D 1 y  y(x,y)dxdy   M D （5）计算转动惯量 平面薄板对坐标轴和原点的转动惯量分别为： I  y2(x,y)dxdy x D I  x2(x,y)dxdy y D I  (x2  y2)(x,y)dxdy 0 D 4、二重积分的解题步骤 （1）画出积分区域 的图形，注意观察区域是否有对称性. D （2）选择坐标系用极坐标系计算二重积分的一般原则: ①积分区域的边界曲线方程用极坐标方程表示比较简单（常见 的与圆有关的区域）. ②被积函数表达式用极坐标表示较简单（含 x2y2 ，为实数） 直角坐标系：  f  x,y  d f  x,y  dxdy . D D 极坐标系：  f  x,y  d f  rcos,rsin rdrd . D D 55 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 （3）选择积分次序 直角坐标系积分顺序一般为：分块越少越好. 的边界曲线 D 方程、被积函数关于哪个变量表达式复杂，则此变量应先定 限.另外若被积函数是单变量的函数，通常先对此变量定限. 极坐标系：一般先对后对r 定限. （4）确定累次积分上下限（累次积分中上限大于下限） 定限口诀：后积先定限，限内画条线（与先积分变量坐标轴同向）， 先交为下限，后交为上限（上限是后积分变量的函数）. （5）计算累次积分. 56 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 第十三章 多元函数积分学（数一） 一、三重积分 1、三重积分的定义 设 f  x,y,z 是空间有界闭区域 上的有界函数， n  f  x,y,z  dv lim  f ,,△v . i i i i d0  i1 其中d  max  d  ，d 为△v 的直径 i 1,2,,n . 1in i i i 物理意义：三重积分 I 表示体密度为 f  x,y,z 的空间形体 的质量. 2、三重积分的性质 （1）kf  x,y,z  dv  k f  x,y,z  dv，k 为常数.   （2）  f  x,y,z  g  x,y,z  dv    f  x,y,z   dv g  x,y,z  dv .     f  x,y,z dv   f  x,y,z dv   f  x,y,z  dv （3）     ,    1 2 其中   ,    . 1 2 1 2 （4） 1dv V ，V 为 的体积. （5）比较定理：若在 上恒 f  x,y,z  g  x,y,z ，  f  x,y,z  dv g  x,y,z  dv .   （6）估值定理：设M,m分别为 f  x,y,z 在 上的最大、最小值， V 为 的体积，则mV   f  x,y,z  dvMV .  57 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 （7）中值定理：若u  f (x, y,z)在上连续，V 为体积，则 在上至少存在一点,,，使得  f  x,y,z  dv f ,,V .  （8）三重积分的对称性奇偶性: ①若 关于 xoy  yoz,xoz 面对称 0, 若f  x, y,-z  =-f  x, y,z    f  x, y,z  dv   2 f  x, y,z  dv，若f  x, y,-z  =f  x, y,z      1 其中 是 在 xoy  yoz,xoz 面上（前，右）方的部分. 1 ②轮换对称性 如果积分区域关于变量 x,y,z 具有轮换对称性（即 x换成 y ， y 换成 z ， z 换成 x，其它表达式均不变）， 则 f  x  dv  f  y  dv  f  z  dv.    二、线面积分性质 1、第一类曲线积分的性质 （1）设L  L  L 则 f  x,y  ds   f  x,y  ds  f  x,y  ds. 1 2 L L L 1 2 （2）  f  x,y g  x,y   ds  f  x,y  dsg  x,y  ds ，,为常数. L L L （3）设在 L 上 f  x,y  g  x,y ，则 f  x,y  ds  g  x,y  ds. L L 特别地，有  f  x,y  ds   f  x,y  ds. L L （4）若 f  x,y 1，则 f  x,y  ds  L（ L 为曲线的弧长）. L （5）第一类曲线积分对称性奇偶性 ①若 关于 y 轴对称，则 L 58 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 0, 若f x, y  =  f  x, y    f  x, y  ds   2 f  x, y  ds,若f x, y  =f  x, y   L  L 1 其中L 是 L 在 x轴右方的部分. 1 ②若 关于 x轴对称，则 L 0, 若f  x,y  =  f  x, y    f  x, y  ds   2 f  x, y  ds,若f  x,y  =f  x, y   L  L 1 其中 是 在 y 轴上方的部分. L L 1 ③轮换对称性 如果积分区域关于变量 x, y 具有轮换对称性（即 x换成 y ，y 换成 x，其表达式不变）， 1 则 f  x,y  ds   f  y,x  ds   f  x,y  f  y,x  ds. 2 L L L 2、第二类曲线积分的性质 （1） L 为有向曲线弧， L为与 L 方向相反的曲线，则  P  x,y  dx  P  x,y  dx， Q  x,y  dy  Q  x,y  dy . L L L L （2）设L  L  L ，则 PdxQdy  PdxQdy  PdxQdy . 1 2 L L L 1 2 3、第一类曲面积分的性质 （1） f  x,y,z  1时，S   1ds为曲面面积.  （2）  f  x,y,z  dS   f  x,y,z  dS   f  x,y,z  dS ，其中   . 1 2    1 2 4、第二类曲面积分的性质 59 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 （1）若   ，  ，则 Pdydz   Pdydz  Pdydz . 1 2 1 2    1 2 （2）设 为有向曲面， 表示与 相反的侧，则  Pdydz  Pdydz . Qdzdx  Qdzdx . Rdxdy  Rdxdy.       三、三重积分的解题步骤 （1）画出 的图形 三重积分可利用积分区域对称性和被积函数奇偶性进行化简. （2）选择坐标系 选择柱坐标的原则： ① 在 xoy 面上的投影区域是圆或圆的一部分（通常积分区域是 除球外的旋转体） ②被积函数 f  x,y,z 含有 x2  y2  ，为实数 选择球坐标的原则: ① 的边界曲面的方程用球面坐标表示比较简单（常见的有球体、 顶点在原点的圆锥面与球面所围立体）. ②被积函数 f  x,y,z 中含有 x2  y2  z2 . 直角坐标系：  f  x,y,z  dv dxdy z 2 x,y f  x,y,z  dz或 zx,y 1  D xy .  f  x,y,z  dv  d dz f  x,y,z  dxdy z  D z 柱坐标系：  f  x,y,z  dv f  rcos,rsin,z  rdrd .   球坐标系：  f  x,y,z  dv f  rsincos,rsinsin,rcos r2sindrdd   60 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 （3）选择积分次序 直角坐标和柱坐标系一般都是先往 xoy 面投影，若投影区域适 合使用极坐标，则选择柱坐标系（柱坐标系是先定后定r 最 后再定 z ）.投影区域适合选用直角坐标，则选择直角坐标系. 球坐标系的定限次序一般为：先后最后定r . （4）确定累次积分上下限. （5）计算累次积分. 四、多元积分的应用 1、求曲顶柱体的体积 如 果  的 底 面 在 坐 标 平 面 上 ， 则  的 体 积 V  1dV 或  V   z  x,y  dxdy ，其中 D 是 在 xoy 面上的投影. D 2、空间曲面的面积 设曲面S 由方程z  f  x,y 给出，D 为曲面 S 在 xoy 面上的投影 xy 区域，函数 f  x,y  在D 上具有连续偏导数 f  x,y 和 f  x,y ，则 xy x y z  2 z  2 曲面面积 A  1     dxdy . x y D xy 3、质心 设平面薄片 D 的面密度为 x,y ，假定 x,y 在 D 上连续，薄 x x,y  d  y x,y  d 片的质心坐标 x,y 为x  D ， y  D .  x,y  d  x,y  d D D 61 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 设空间立体 的体密度为 x,y,z ，假定 x,y,z 在 上连续， 该立体的质心坐标 为 x,y,z x x,y,z  dv  y x,y,z  dv z x,y,z  dv x   y   z    x,y,z  dv  x,y,z  dv  x,y,z  dv    4、转动惯量 设薄片 D 的面密度为 x,y ，假定 x,y 在 D 上连续.该薄片对 于 x轴、 y 轴的转动惯量为I ，I ，则 x y I  y2 x,y  d ，I  x2 x,y  d . x y D D 设空间立体 的体密度为 x,y,z ，假定 x,y,z 在 上连续， 该立体对 x轴、 y 轴、 z 轴的转动惯量为I ，I ，I ，则 x y z I    y2  z2   x,y,z  dv. x  I    x2  z2   x,y,z  dv. y  I    x2  y2   x,y,z  dv. z  5、空间物体对质点的引力 设物体占有空间区域 ，在点 x,y,z  处的密度为 x,y,z ， 外 有一质点M  x ,y ,z ，其质量为m ，假定 x,y,z 在 上连续， 0 0 0 0 0    则物体对质点的引力为F  F ,F ,F ，其中 x y z Gm  x,y,z  x x  F   0 0 dv , x 3   x x 2  y y 2  z z 2 2  0 0 0  62 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 Gm  x,y,z  y y  F   0 0 dv ， y 3   x x 2  y y 2  z z 2 2  0 0 0  Gm  x,y,z  z z  F   0 0 dv z 3 ，G 为引力常数.   x x 2  y y 2  z z 2 2  0 0 0  五、三大公式 1、格林公式（第二类曲线积分和二重积分的关系） （1）设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P  x,y  和 Q  x,y  在 D 上 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 则 有 Q P   PdxQdy     dxdy.其中 L 为 D 的取正向的边界曲线. L  x y  D （2）平面曲线积分与路径无关的等价条件（格林公式的应用） 设函数P  x,y ，Q  x,y  在单连通区域 D 内具有一阶连续偏导数， Q P 则 PdxQdy 与路径无关  ， x,y D L x y    PdxQdy 0， L 为任一简单分段光滑封闭曲线 L 存在函数u  x,y ， x,y D，使du  x,y  PdxQdy， 且u  x,y    x,y PdxQdy . x ,y  0 0 2、高斯公式（第二类曲面积分和三重积分的关系） 设空间闭区域  是由分片光滑的闭曲面  所围成的，函数 P  x,y,z ，Q  x,y,z ，R  x,y,z 在 上具有一阶连续偏导数，则 63 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你 P Q R   Pdydz Qdzdx Rdxdy      dv.   x y z   其中 是 的整个边界曲面的外侧. 3、斯托克斯公式（空间闭曲面的曲面积分与其边界曲线的曲线 积分的关系） 设为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以为边界的分片光滑 的有向曲面，的正向与 的侧符合右手规则，P,Q,R 在包含曲 面 在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有 R Q P R Q P   PdxQdy  Rdz     dydz    dzdx   dxdy  y z   z x   x y    dydz dzdx dxdy cos cos cos           dS x y z x y z   P Q R P Q R 其中n  cos,cos,cos为 的单位法向量. 六、通量、散度、旋度 1、散度     设 A(x, y,z)  P(x, y,z)i Q(x, y,z) j  R(x, y,z)k , P Q R   P Q R 称   为 在点 x,y,z  的散度，记divA   . A x y z x y z 2、通量    设 A(x,y,z)  P(x,y,z)i Q(x,y,z)j  R(x,y,z)k ，P,Q,R 有一阶连续偏  导数，为场内一有向曲面， 为上点 x,y,z  处的单位法向量， n 64 内部资料，翻印必究更懂考研，更懂你   则  AndS 称为  通过曲面向着指定侧的通量（流量）. A  3、旋度     设 A(x, y,z)  P(x, y,z)i Q(x, y,z) j  R(x, y,z)k ，则旋度    i j k  R Q P R  Q P     rot A   i     j    k  .  y z   z x   x y  x y z P Q R 65 内部资料，翻印必究