(137)--阶段测试01（试卷）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

高等数学（上）基础测评 一、选择题，每小题5分，共50分. 1.设当x0时，1cosxln  1x2 是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比  ex2 1  高阶的无穷小，则正整数n等于 （A）1. （B）2. （C）3. （D）4. x 2.设函数 f x 在,内连续，且 lim f x0，则常数a，b满足 aebx x （A）a  0，b  0. （B）a  0，b  0. （C）a  0，b  0. （D）a  0，b  0. 3.以下四个命题中，正确的是 （A）若 fx在0,1内连续，则 f x在0,1内有界. （B）若 f x在0,1内连续，则 f x在0,1内有界. （C）若 fx在0,1内有界，则 f x在0,1内有界. （D）若 f x在0,1内有界，则 fx在0,1内有界. 1 f   ,x0, 4.设 f x在,内有定义，且lim f xa, gx  x 则 x  0, x0, （A）x0必是gx的第一类间断点 （B）x0必是gx的第二类间断点 （C）x0必是gx的连续点 （D）gx在点x0处的连续性与a的取值有关 5.设 fx在[a,b]上连续,且 fa0, fb0,则下列结论中错误的是 （A）至少存在一点x a,b ,使得 f x  f a. 0 0 （B）至少存在一点x a,b ,使得 f x  f b. 0 0 （C）至少存在一点x a,b ,使得 fx 0 0 0 （D）至少存在一点x a,b ,使得 f x 0 0 0 6.设 f x xsinxcosx，下列命题中正确的是 π π （A） f 0是极大值， f   是极小值. （B） f 0是极小值, f   是极大值. 2 2 π π （C） f 0是极大值， f   也是极大值. （D） f 0是极小值， f   也是极小值. 2 27.当a取下列哪个值时，函数 f x2x3 9x2 12xa恰有两个不同的零点？ （A）2. （B）4. （C）6. （D）8. 8.具有特解y 2xex,y 3ex的3阶常系数齐次线性微分方程是 1 2 （A）y y y y  0. （B）y y y y  0. （C）y6y11y6y  0. （D）y2y y2y  0. 9.设y  yx是二阶常系数微分方程y pyqy e3x满足初始条件y0 y00的 ln  1x2 特解，则当x0时，函数 的极限 yx （A）不存在. （B）等于1. （C）等于2. （D）等于3.10.设 f x连续，则 d  x tf  x2 t2 dt  dx 0 （A）xf  x2 ． （B）xf  x2 ． （C）2xf  x2 ． （D）2xf  x2 ． 二、填空题，每小题5分，共30分. 3 1x 2 11.曲线y  的斜渐近线方程为________. x 12.曲线y lnx上与直线x y 1垂直的切线方程为________． 13.设 y 1sinxx ，则dy ________. xπ 1 1 xex,  x ,  14.设 f x   2 2 则 2 f x1dx  ______. 1 1  1,x , 2  2 1 15.微分方程xy'2y  xlnx满足y1 的解为________． 9 16.已知 f '  ex  xex，且 f 10，则 f x________．三、解答题，共70分.  1 cos2 x 17. （本题满分10分）求lim  . x0sin2 x x2  dx 18.（本题满分12分）求 .  2x2 1  x2 1 19.（本题满分12分）过坐标原点作曲线 y lnx的切线，该切线与曲线 y lnx及x轴围 成平面图形D． （Ⅰ）求D的面积A；（Ⅱ）求D绕直线xe旋转一周所得旋转体的体积V ．20.（本题满分 12 分）设 f x,gx在0,1上的导数连续，且 f 00, fx0， gx0.证明:对任何a0,1，有 a 1  gx fxdx f xgxdx f ag1. 0 0 21.（本题满分12分）设L是一条平面曲线，其上任意一点Px,y（x0）到坐标原点的 1  距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点 ,0 . 2  （Ⅰ）试求曲线L的方程； （Ⅱ）求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小.22.（本题满分12分）函数 f x在0,上可导， f 01，且满足等式 x (x1)fx f x   f tdt.   0 （Ⅰ）构造一个关于 f x的二阶微分方程，并求导数 fx； （Ⅱ）证明：当x  0时，成立不等式:ex  f x1.