(137)--阶段测试01（试卷）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{3}--全部课件

高等数学（上）基础测评
一、选择题，每小题5分，共50分.
1.设当x0时，1cosxln  1x2 是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比  ex2 1 
高阶的无穷小，则正整数n等于
（A）1. （B）2. （C）3. （D）4.
x
2.设函数 f x 在,内连续，且 lim f x0，则常数a，b满足
aebx
x
（A）a  0，b  0. （B）a  0，b  0.
（C）a  0，b  0. （D）a  0，b  0.
3.以下四个命题中，正确的是
（A）若 fx在0,1内连续，则 f x在0,1内有界.
（B）若 f x在0,1内连续，则 f x在0,1内有界.
（C）若 fx在0,1内有界，则 f x在0,1内有界.
（D）若 f x在0,1内有界，则 fx在0,1内有界. 1
f
 
,x0,
4.设 f x在,内有定义，且lim f xa, gx  x 则
x 
0, x0,
（A）x0必是gx的第一类间断点
（B）x0必是gx的第二类间断点
（C）x0必是gx的连续点
（D）gx在点x0处的连续性与a的取值有关
5.设 fx在[a,b]上连续,且 fa0, fb0,则下列结论中错误的是
（A）至少存在一点x a,b ,使得 f x  f a.
0 0
（B）至少存在一点x a,b ,使得 f x  f b.
0 0
（C）至少存在一点x a,b ,使得 fx 0
0 0
（D）至少存在一点x a,b ,使得 f x 0
0 0
6.设 f x xsinxcosx，下列命题中正确的是
π π
（A） f 0是极大值， f
 
是极小值. （B） f 0是极小值, f
 
是极大值.
2 2
π π
（C） f 0是极大值， f
 
也是极大值. （D） f 0是极小值， f
 
也是极小值.
2 27.当a取下列哪个值时，函数 f x2x3 9x2 12xa恰有两个不同的零点？
（A）2. （B）4. （C）6. （D）8.
8.具有特解y 2xex,y 3ex的3阶常系数齐次线性微分方程是
1 2
（A）y y y y  0.
（B）y y y y  0.
（C）y6y11y6y  0.
（D）y2y y2y  0.
9.设y  yx是二阶常系数微分方程y pyqy e3x满足初始条件y0 y00的
ln
 1x2
特解，则当x0时，函数 的极限
yx
（A）不存在. （B）等于1. （C）等于2. （D）等于3.10.设 f x连续，则 d  x tf  x2 t2 dt 
dx 0
（A）xf
 x2
． （B）xf
 x2
． （C）2xf
 x2
． （D）2xf
 x2
．
二、填空题，每小题5分，共30分.
3
1x
2
11.曲线y  的斜渐近线方程为________.
x
12.曲线y lnx上与直线x y 1垂直的切线方程为________．
13.设 y 1sinxx ，则dy ________.
xπ 1 1
xex,  x ,

14.设 f x   2 2 则 2 f x1dx  ______.
1 1
 1,x , 2
 2
1
15.微分方程xy'2y  xlnx满足y1 的解为________．
9
16.已知 f '  ex  xex，且 f 10，则 f x________．三、解答题，共70分.
 1 cos2 x
17. （本题满分10分）求lim  .
x0sin2 x x2 
dx
18.（本题满分12分）求 .
 2x2 1  x2 1
19.（本题满分12分）过坐标原点作曲线 y lnx的切线，该切线与曲线 y lnx及x轴围
成平面图形D．
（Ⅰ）求D的面积A；（Ⅱ）求D绕直线xe旋转一周所得旋转体的体积V ．20.（本题满分 12 分）设 f x,gx在0,1上的导数连续，且 f 00, fx0，
gx0.证明:对任何a0,1，有
a 1
 gx fxdx f xgxdx f ag1.
0 0
21.（本题满分12分）设L是一条平面曲线，其上任意一点Px,y（x0）到坐标原点的
1 
距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点 ,0 .
2 
（Ⅰ）试求曲线L的方程；
（Ⅱ）求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小.22.（本题满分12分）函数 f x在0,上可导， f 01，且满足等式
x
(x1)fx f x   f tdt.
 
0
（Ⅰ）构造一个关于 f x的二阶微分方程，并求导数 fx；
（Ⅱ）证明：当x  0时，成立不等式:ex  f x1.