文档内容
00 KE4
.理解函数的概念 掌握函数的表示法 会建立应用问题的函数关系.
1 , ,
.了解函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性.
2 、 、
.理解复合函数及分段函数的概念 了解反函数及隐函数的概念.
3 ,
.掌握基本初等函数的性质及其图形 了解初等函数的概念.
4 ,
.理解极限的概念 理解函数左极限与右极限的概念以及函数存在与左极限 右极限的关系.
5 , 、
数学一、数学二 .掌握极限的性质及四则运算法则.
6
大纲要求 .掌握极限存在的两个准则 并会利用其求极限 掌握利用两个重要极限求极限的方法.
7 , ,
.理解无穷小量 无穷大量概念 掌握无穷小量的比较方法 会用等价无穷小量求极限.
8 、 , ,
.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.
9
理解函数连续性的概念 含左连续与右连续 会判别函数间断点的类型.
10 ( ),
.了解连续函数的性质和初等函数的连续性 理解闭区间上连续函数的性质 有界性 最大值和最小
11 , ( 、
值定理 介值定理 并会应用这些性质.
、 ),
.理解函数的概念 掌握函数的表示法 会建立应用问题的函数关系.
1 , ,
.了解函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性.
2 、 、
.理解复合函数及分段函数的概念 了解反函数及隐函数的概念.
3 ,
.掌握基本初等函数的性质及其图形 了解初等函数的概念.
4 ,
.理解极限的概念 理解函数左极限与右极限的概念以及函数存在与左极限 右极限的关系.
5 , 、
数学三 .了解极限的性质与极限存在的两个准则 掌握极限的四则运算法则 掌握利用两个重要极限求极限
6 , ,
大纲要求 的方法.
.理解无穷小量 无穷大量概念 掌握无穷小量的比较方法 会用等价无穷小量求极限.
7 、 , ,
.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.
8
.理解函数连续性的概念 含左连续与右连续 会判别函数间断点的类型.
9 ( ),
.了解连续函数的性质和初等函数的连续性 理解闭区间上连续函数的性质 有界性 最大值和最小
10 , ( 、
值定理 介值定理 并会应用这些性质.
、 ),
本章重难点 1.极限的定义和性质; 2.无穷小量比阶; 3.函数极限计算; 4.数列极限计算
1考点清单 一刷 二刷 三刷
考点 函数的概念 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 1】 • • • • • •
考点 函数的四种特性 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 2】 • • • • • •
考点 基本初等函数 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 3】 • • • • • •
第一节 考点 分段函数 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 4】 • • • • • •
考点 初等函数 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 5】 • • • • • •
考点 复合函数 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 6】 • • • • • •
考点 反函数 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 7】 • • • • • •
考点 函数极限的定义 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 1】 • • • • • •
考点 极限性质 唯一性 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
第二节 【 2】 1: • • • • • •
考点 极限性质 局部保号性 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 3】 2: • • • • • •
考点 极限性质 局部有界性 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 4】 3: • • • • • •
考点 无穷小量 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
第三节 【 1】 • • • • • •
考点 无穷大量 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 2】 • • • • • •
考点 带有皮亚诺余项的泰勒定理 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
第四节 【 1】 • • • • • •
考点 常见的麦克劳林公式 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 2】 • • • • • •
考点 极限四则运算的内容 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 1】 • • • • • •
第五节 考点 极限四则运算的性质 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 2】 • • • • • •
考点 重要的极限推论 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 3】 • • • • • •
考点 洛必达法则 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 1】 • • • • • •
考点 利用拉格朗日中值定理求极限 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 2】 • • • • • •
考点 七种未定式的极限计算 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
第六节 【 3】 • • • • • •
考点 左右开弓法求极限 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 4】 • • • • • •
考点 已知极限结果反求其中待定参数 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 5】 • • • • • •
考点 已知一个极限求另外一个极限 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 6】 • • • • • •
考点 数列极限的定义 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 1】 • • • • • •
考点 数列极限的性质 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 2】 • • • • • •
第六节 考点 海涅定理 或称归结原则 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 3】 ( ) • • • • • •
考点 夹逼准则 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 4】 • • • • • •
考点 单调有界数列必有极限 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 5】 • • • • • •
考点 函数连续的定义 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 1】 • • • • • •
考点 函数连续的判定方法 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
第七节 【 2】 • • • • • •
考点 连续函数的结论 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 3】 • • • • • •
考点 函数的间断点及其分类 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 4】 • • • • • •
2第一节 微积分预备知识
考点1 函数的概念
设x与y是两个变量 D是一个非空的实数集 若存在一个对应法则f 使得对于每一个x D 按照这
, , , ∈ ,
个对应法则 有唯一确定的实数值y与之对应 则称f为定义在D上的一个函数 记为y fx 称x为函
, , , = (),
数的自变量y为函数的因变量 D为函数的定义域 并把相应的函数值的全体E yy fx x D 称
, , , ={| = ( ), ∈ }
为函数的值域.
.若两个函数为同一函数,当且仅当两函数的定义域的对应法则完全相同,例如y f(x)与y f(t)
1 = =
为同一个函数,也说明函数的表示与自变量用什么字母无关.
.函数定义域是指函数自变量的取值范围,具体问题中务必明确函数自变量是哪个部分,例如函
2
数f(x2 )与f(x)的自变量均为x;
+5
.在同一对应法则下,f( )括号内整体的取值范围是一样的.
3 □
例1.1 设fx 的定义域为 则fx2 的定义域为
() [5,10], ( +1) ( ).
. . . . . . . .
A [-3,-2] B [2,3] C [-2,2] D [-3,-2]∪[2,3]
例1.2 设函数fx 的定义域为 1
(-1) 0,
2
3
则函数f x 的定义域为 .
, (arcsin ) ( )
π
A. 0,
6
π
B. 0,
3
1
C. 0,
2
π π
D. - ,-
2 6
考点2 函数的四种特性
1.奇偶性
设fx的定义域D关于原点对称 若对 x D 恒有f x fx 则称fx 为偶函数 若对 x D
() , ∀ ∈ , (- )= (), () ; ∀ ∈ ,
恒有f x fx 则称fx为奇函数
(- )=- (), () ..若f(x)偶函数,则f(x)图像关于y轴对称.
1
.若f(x)奇函数,则f(x)图像关于原点x 对称,且当f(x)在x 处有定义时,f() .
2 =0 =0 0 =0
.设f(x)在区间(l,l)内有定义,则F(x)f(x)f(x)为偶函数,G(x) f(x) f( x)
3 - = + - = - -
为奇函数
.
.奇函数 奇函数 偶函数;奇函数 偶函数 奇函数;偶函数 偶函数 偶函数.
4 × = × = × =
.奇函数 奇函数 奇函数;偶函数 偶函数 偶函数;奇函数 偶函数无法确定.
5 ± = ± = ±
例1.3 以下四个函数
:
x x x x
- -
f x e+e f x e-e
① 1()= ; ② 2()= ;
2 2
x
f x 1- f x x x2
③ 3()=ln x; ④ 4()=ln(+ +1).
1+
其中是奇函数的个数是 .
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.周期性
设函数fx的定义域为D 若存在一个正数T 使得对于任意x D 有x T D 且fx T fx
() , , ∈ , + ∈ , (+ )= (),
则称fx 为周期函数 且正数T为fx 的周期.
() , ()
需掌握几个常见周期函数的最小正周期T:
()y ωx,T 2π; ()y ωx,T 2π; ()y ωx,T π;
1 =sin =ω 2 =cos =ω 3 =tan =ω
()y ωx,T π; ()y x ,T ; ()y 2x,y 2x,T .
4 =cot =ω 5 =|sin| =π 6 =sin =cos =π
3.单调性
设fx 在区间I上有定义 若对区间I中任意两点x x 当x x 时 恒有fx fx 成立 则
() , 1,2, 1< 2 , (1)< (2) ,
称fx 在区间I上是单调递增.
()
若对区间I中任意两点x x 当x x 时 恒有fx fx 成立 则称fx在区间I上是单调递减.
1,2, 1< 2 , (1)> (2) , ()
4.有界性
设函数fx 的定义域为D 且区间I D 若存在常数M 使得对于任意x I均有 fx M
() , ⊂ , >0, ∈ | ( )|≤ ,
则称fx 在I内有界 否则 则称fx 在I内无界.
() , , ()
4. 函数f(x)在区间I上有界的充分必要条件是:f(x)在区间I上即有上界,也有下界.
1
.常见的有界函数有:
2
() x , x , 1 , 1 ;
1 -1≤sin ≤1 -1≤cos ≤1 -1≤sinx≤1 -1≤cosx≤1
() π x π, x ; π x π, x .
2 - ≤arcsin ≤ 0≤arcsin ≤π - 0 ≠1)
a a
>1 0< <1
图象
定义域 R
值域
(0,+∞)
过定点
(0,1)
单调性 单调递增 单调递减
极限 ax ax . ax ax .
xli
→
m
+∞
=+∞,xli
→
m
-∞
=0 xli
→
m
+∞
=0,xli
→
m
-∞
=+∞
8指数函数中常考y x,图像与性质如下:
=e
图象
极限 x x .
xli
→
m
+∞
e=+∞,xli
→
m
-∞
e=0
4.对数函数
定义 函数y
=log a
x
(
a
>0
且a
≠1)
叫做对数函数
a a
>1 0< <1
图象
定义域 xx
{| >0}
值域 R
过定点
(1,0)
单调性 单调递增 单调递减
指数函数中常考y x,图像与性质如下:
=ln
图象
定义域 x
>0
值域 R
过定点
(1,0)
单调性 单调递增
A
运算性质 AB A B A B Aα α AA .
ln( )=ln +ln ,lnB=ln -ln ,ln =ln ( >0)
95.幂函数
名称 幂函数y xαα R
= (∈ )
第一象限
内的函数
图象
α α α
<0 =0 >0
过定点
(1,1)
α
0, <0,
极限 xα α
lxi
→
m
∞
= 1, =0,
α .
+∞, >0
xa
(1)
xa
·
xb
=
xa+b
,(2)xb=
xa-b
,
运算性质
n
xa b xab x-m 1 1 .
(3)( )= ,(4) =
xm
n=m xn
考点4 分段函数
x x
如果自变量的不同变化范围内用不同表达式表示的函数称为分段函数 例如fx sin , >0
, ()= x x
e-1, ≤0
考点5 初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的用一个表达式表示的函数称为初等函
x x
数 一般地 不能用一个数学式子表达的函数为非初等函数 例如分段函数fx sin , >0 符号函
, , , ( )= x x ,
e-1, ≤0
x
1, >0
数 x x
sgn =0, =0
x
-1 <0
10
均为非初等函数.
注 注意绝对值函数y x 与幂指函数y f(x)g(x)(f(x) )也都是为初等函数.
【 】 =|| = >0
考点6 复合函数
设函数fu 的定义域为U 函数u gx 的定义域为D 值域为Z.若Z U 则称y fgx 是定义在
() , = () , ⊆ , = [()]
D上的复合函数 其中x为自变量y为因变量u为中间变量.此外y fu 称为外层函数u gx 为内层
, , , ,= () ,= ()
函数.
x x x2 x
例1.4 设gx 2- , ≤0fx , <0 则gfx 为 .
()=x
x
,()=
x x
, [()] ( )
+2, >0 - , ≥0
x2 x x2 x x2 x x2 x
.2+ , <0. .2- , <0. .2- , <0. .2+ , <0.
A x x B x x C x x D x x
2- , ≥0 2+ , ≥0 2- , ≥0 2+ , ≥0 x
1, ≤1,
例1.5 设fx
()=
x
0, >1,
11
则fffx .
{[()]}=( )
x
0, ≤1,
.. .. . . .fx
A0 B1 C -1 D ()=
x
1,||>1,
.
x x x
例1.6 设函数f x 则f f
sin =cos +1, sin + cos = .
2 2 2
例1.7 设函数fx 1
x
+
x3
则 fx
+x =x4
+1
,
x
li
→
m
2+
()= .
考点7 反函数
设函数fx 的定义域为D 值域为R .若对于任意的y R 有唯一确定的x D 使得y fx 则
() , y ∈ y, ∈ , = ( ),
由此可以确定了一个y关于x的新函数 记为x f-1y 并称其为y fx 的反函数.
, = (), = ()
.单调的函数一定具有反函数.
1
.函数y f(x)与其反函数y f-1 (x)关于y x对称.
2 = = =
.函数y f(x)与其反函数y f-1 (x)定义域与值域互相做调换.
3 = =
.若函数y f-1 (x)是函数y f(x)的反函数,则有
4 = =
f-1 [f(x)]x,f[f-1 (x)]x.
= =例1.8 求反双曲正弦函数y x x2 的反函数.
=ln(+ +1)
例1.9 求函数fx x 与gx x 的具体表达式.
()=arcsin(sin ) ()=sin(arcsin )
【分析】 解决这一问题,首先需要具备两个知识基础:
()若函数y f-1 (x)是函数y f(x)的反函数,则有
1 = =
f-1 [f(x)]x,f[f-1 (x)]x.
= =
()函数y x是y x在区间 π,π
2 =arcsin =sin -
2 2
12
内的反函数.
【解析】 因为f(x ) ( x)f(x),所以f(x) ( x)是以 为周期的周期函数.
+2π =arcsinsin = =arcsinsin 2π
当 π x π时,y x是y x的反函数,于是 f(x) ( x)x.
- ≤ ≤ =arcsin =sin =arcsinsin =
2 2
当π x 3 时,由于 f(x) ( x) [ ( x)],此时 π x π,于是
< ≤ π =arcsinsin =arcsinsinπ- - ≤π- <
2 2 2 2
f(x) [ ( x)] x.
=arcsinsinπ- =π-
因此,在一个周期 π x 3 内,
- ≤ ≤ π
2 2
x, π x π,
- ≤ ≤
f(x) 2 2
=
x, π x 3 .
π- < ≤ π
2 2
而对于g(x) ( x),定义域是[ ,].当x [ ,]时,y x是y x的反函数,于
=sinarcsin -11 ∈ -11 =arcsin =sin
是g(x) ( x)x.
=sinarcsin =第二节 函数极限的定义及基本性质
考点1 函数极限的定义
定义1:自变量趋向于定点x 时函数的极限
0
fx A 对于 ε δ 当 x x δ时 有fx A ε.
lximx ()= ⇔ ∀ >0,∃ >0, 0<| - 0|< , | ()- |<
→ 0
()定义中“x x ”表示“x 的某去心邻域”,若利用数学语言表达,即
1 → 0 0
δ ,当 x x δ时.
∃ >0 0<| - 0|<
()极限 f(x)与f(x)在x 处的函数值无关.
2 lximx 0
→ 0
()极限存在的必要条件.
3
若极限 f(x)存在,则函数f(x)在x x 的某去心邻域内处处有定义.
lximx = 0
→ 0
例1.10 给出以下四个命题
:
若 fx A 则 fx A . 若 fx A 则 fx A.
① lximx ()= , lximx| ()|=| | ② lximx| ()|=| |, lximx ()=
→ 0 → 0 → 0 → 0
若 fx 则 fx . 若 fx 则 fx .
③ lximx ()=0, lximx| ()|=0 ④ lximx| ()|=0, lximx ()=0
→ 0 → 0 → 0 → 0
其中真命题的个数是 .
( )
. . .
A1. B.2 C.3. D.4
本题所对应的结论大家可以记住,将来在一些考题中可以直接使用:
()若 f(x) A,则 f(x) A ,但反之却不一定成立;
1 lximx = lximx| |=| |
→ 0 → 0
()若 f(x) ,则 f(x) ,反之也成立.
2 lximx =0 lximx| |=0
→ 0 → 0
定义2:自变量趋向于定点x 时函数的左右极限
0
右极限
(1)
fx A ε δ 当 x x δ时 有fx A ε.
lim ()= ⇔∀ >0,∃ >0, 0< - 0< , | ()- |<
x x +
→ 0
左极限
(2)
fx A ε δ 当 δ x x 时 有fx A ε.
lim ()= ⇔∀ >0,∃ >0, - < - 0<0 , | ()- |<
x x -
→ 0
13注 f(x) A f(x) f(x) A.
【 】lxi
→
mx
0
= ⇔
x
l
→
i
x
m
0 +
=
x
l
→
i
x
m
0 -
=
定义3:自变量趋向于无穷大时函数的极限
fx A ε M 当x M 时 有fx A ε.
(1) xlim ()= ⇔∀ >0,∃ >0, > , | ()- |<
→+∞
fx A ε M 当x M 时 有fx A ε.
(2) xlim ()= ⇔∀ >0,∃ >0, <- , | ()- |<
→-∞
fx A ε M 当x M 时 有fx A ε.
(3)lxim ()= ⇔∀ >0,∃ >0, ||> , | ()- |<
→∞
写出极限 f(x) A中x 所代表的范围.
lxim = →□
→□
()x x δ ,当 x x δ时.
1 → 0 ⇔∃ >0 0<| - 0|<
()x x + δ ,当 x x δ时.
2 → 0 ⇔∃ >0 0< - 0<
()x x - δ ,当 δ x x 时.
3 → 0 ⇔∃ >0 - < - 0<0
()x M ,当x M 时.
4 →+∞⇔∃ >0 >
()x M ,当x M 时.
5 →-∞⇔∃ >0 <-
()x M ,当x M 时.
6 →∞ ⇔∃ >0 ||>
考点2 极限性质1：唯一性
若极限 fx 存在 其极限值是唯一的.
lximx () ,
→ 0
考点3 极限性质2：局部保号性
1.去帽保号性
若 fx 则在x 的去心邻域内fx
(1) lximx ()>0, 0 ()>0;
→ 0
若 fx 则在x 的去心邻域内fx .
(2) lximx ()<0, 0 ()<0
→ 0
保号性推论:
()若 f(x) A,则在x 的去心邻域内f(x) A;
1 lximx > 0 >
→ 0
若 f(x) A,则在x 的去心邻域内f(x) A.
lximx < 0 <
→ 0
()若 f(x) g(x),则在x 的去心邻域内f(x)g(x);
2 lximx >lximx 0 >
→ 0 → 0
若 f(x) g(x),则在x 的去心邻域内f(x)g(x).
lximx 1 B. (0)
fx 在x 某去心邻域内可能无定义. f .
C. () =0 D. (0)=2026
14x
例1.12 设函数fx x2 x x2 x gx x π +1 则当x充分大时
()=( + +1- -2 -3), ( )= tan x2 x , ,
4 +3
有 .
( )
fx gx . fx gx . fx gx . fx gx .
A. ()> () B. ()≥ () C. ()< () D. ()≤ ()
例1.13 设极限 fx A 则在x 的某去心邻域内 必有 .
lxim ()= ≠0, =0 , ( )
→0
fx A x. fx A x.
A. ()> - B. ()< +
fx 1 A . fx 1 A .
C.| ()|> | | D.| ()|< | |
3 3
2.加帽保号性
若在x 的去心邻域内fx 且 fx A 存在 则A .
(1) 0 ()>0, lximx ()= ( ), ≥0
→ 0
若在x 的去心邻域内fx 且 fx A 存在 则A .
(2) 0 ()≥0, lximx ()= ( ), ≥0
→ 0
注 小于 时也有相似的结论.
【 】 0
例1.14 已知下列四个命题
若 fx 则在x 的某去心邻域内fx
① lxim ()>1, =0 ,()>1;
→0
若 fx gx 则在x 的某去心邻域内fx gx
② lxim ()>lxim (), =0 ,()> ();
→0 →0
若在x 的某去心邻域内fx 且 fx 存在 则 fx
③ =0 ()>1,lxim () ,lxim ()>1;
→0 →0
fx
若 () 则在x 的某去心邻域内fx
④ lxim x>0, =0 ,()>0;
→01-cos
其中正确的个数是 .
( )
. .
A.1. B.2 C.3. D.4
考点4 极限性质3：局部有界性
1.局部有界性.
若 fx A 则fx 在x 的去心邻域内fx 有界.
(1) lximx ()= , () 0 ()
→ 0
若 fx 则fx 在x 的去心邻域内fx 无界.
(2) lximx ()=∞, () 0 ()
→ 0
152.闭区间连续函数的有界定理.
若函数fx 在ab 内连续 则fx 在ab 内有界.
() [,] , () [,]
3.开区间连续函数的有界定理.
若函数fx 在ab 内连续 且 fx 与 fx 均存在 则fx 在ab 内有界.
() (,) , lim () lim () , () (,)
x
→
a+ x
→
b-
若函数fx 在ab 内连续 且 fx 存在 则fx 在ab 内有界.
() [,) , lim () , () (,)
x
→
b-
若函数fx 在ab 内连续 且 fx 存在 则fx 在ab 内有界.
() (,] , lim () , () (,)
x
→
a+
x x
例1.15 函数fx ||sin(-2) 在下列哪个区间内有界 .
()=xx x 2 ( )
(-1)(-2)
. . . .
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
【解析】 显然f(x)的无定义点为x ,x ,x ,因为f(x)为初等函数,所以f(x)在[ ,),(,),
=0 =1 =2 -10 01
(,),(,]上连续.
12 23
又因为
x (x ) x (x ) (x )
||sin -2 - sin -2 -sin -2 sin2(存在),
x
li
→
m
0-
x(x
-1
)(x
-2
) 2=
x
li
→
m
0-
x(x
-1
)(x
-2
) 2=
x
li
→
m
0-
(x
-1
)(x
-2
) 2=
-4
x (x ) x (x ) (x )
||sin -2 sin -2 sin -2 sin2(存在),
x
li
→
m
0+
x(x
-1
)(x
-2
) 2=
x
li
→
m
0+
x(x
-1
)(x
-2
) 2=
x
li
→
m
0+
(x
-1
)(x
-2
) 2=
4
x (x )
||sin -2 ,
lximx(x )(x ) 2=∞
→1 -1 -2
x (x ) x (x ) x
||sin -2 || -2 || ,
lximx(x )(x ) 2=lximx(x )(x ) 2=lximx(x )(x )=∞
→2 -1 -2 →2 -1 -2 →2 -1 -2
所以f(x)在( ,)内有界,应选 .
-10 A
第三节 无穷小量及无穷大量
考点1 无穷小量
1.无穷小量的定义
若 fx 则称fx 为x 时的无穷小量.
lxim ()=0, () →□
→□
()无穷小量必须与自变量的趋向挂钩.
1
()无穷小量 有界函数 无穷小量.
2 × =
()反解定理: f(x)a f(x)a α,其中α是x 时的无穷小.
3 lxim = ⇔ = + →□
→□
2.无穷小量的比阶
设 fx gx 且gx 则
lim ()=0,lim ()=0, ()≠0,
fx
若 () 则称fx 是比gx 高阶的无穷小量 记fx ogx .
(1) limgx =0, () () , ()= [()]
()
fx
若 () 则称fx 是比gx 低阶的无穷小量.
(2) limgx =∞, () ()
()
16fx
若 () A 则称fx 与gx 是同价无穷小量.
(3) limgx = ≠0, () ()
()
fx
若 () 则称fx 与gx 是等价无穷小量 记为fx gx .
(4) limgx =1, () () , ()~ ()
()
fx
若 () A k 则称fx 是gx 的k阶无穷小量.
(5) lim gx k= ≠0,>0, () ()
[()]
若x 时,f(x) Axk(A ,k ),则当x 时,f(x)为x的k阶无穷小量.
→0 ~ ≠0 >0 →0
3.常见的等价无穷小
当x 时 有
→0 ,
x x x x x x x x
sin ~ ,arcsin ~ ,tan ~ ,arctan ~ ,
x x x x x 1x2 xα αx.
ln(1+ )~ ,e-1~ ,1-cos ~ ,(1+ )-1~
2
以上等价无穷小替换公式均可推广使用,例如:当x ( )时,
□
,此时不难得出:当
→□ □≠0 e -1~□
x 时,ax x ln a x a(a ).
→0 -1=e -1~ ln >0
4.等价无穷小的代换准则
(1)准则1:乘除法因式可用等价无穷小代换.
设αx βx α x β x 均为x 下的无穷小量 且αx α x
(),(),1(),1() →□ , ()~ 1(),
αx α x
βx β x 则αxβx α xβ x () 1().
()~ 1(), ()()~ 1()1(),βx ~β x
() 1()
(2)准则2:加减法慎用等价无穷小代换(要使用必先检验).
设αx βx α x β x 均为x 下的无穷小量 且αx α x
(),(),1(),1() →□ , ()~ 1(),
βx β x 若 β ( x ) β 1( x ) 时 则αx βx α x β x .
()~ 1(), lxi
→
m
□
α
(
x
)
=lxi
→
m
□
α
1(
x
)
≠-1 , ()+ ()~ 1()+ 1()
(3)准则3:非零因子在等价中可以先算出(淡化).
设αx 为x 下的无穷小量 且 βx A 则
() →□ , lxim ()= ≠0,
→□
βx A
αxβx A αx () .
()()~ · (),αx ~αx
() ()
例1.16 当x + 时 若 α x x α1均是比x高阶的无穷小 则α的取值范围是 .
→0 ,ln(1+2 ),(1-cos ) ,
17例1.17 当x 时αx kx2 与 βx x x x是等价无穷小 则k .
→0 ,()= ()= 1+ arcsin - cos , =
例1.18 当x + 时 下列无穷小中阶数最低的是 .
→0 , ( )
x2
. x x . . 1+ .
A (1+ -1)(3 -1) Bln x2
1-
. xln(1+ x) . . 2x.
C (1+sin ) -1 D1-cos
注 当x 时,若 u(x) , u(x)v(x) ,且u(x) ,v(x) ,则
【 】 →□ lxim =0lxim =0 ≠0 ≠0
→□ →□
[ u(x)]v(x) u(x)v(x).
1+ -1~
若利用该技巧,易得当x + 时,( x) ln ( 1+ x) ( x)· x x2.
→0 1+sin -1~ln1+ sin ~
5.无穷小量的和取低阶原则
当x 时 若 fx 且g x ofx i n 则
→□ , lxim ()=0, i()= [()](=1,2,…,),
→□
fx g x g x g x fx
()+ 1()+ 2()+…+ n()~ (),
即有限个无穷小量的代数和 其阶数取决于其中的最低阶项.
,
例1.19 当x 时αx x x与 βx k x2 x2 是等价无穷小 则k .
→0 ,()=cos -cos2 ()= (e -cos ) , =
6.两个重点的等价无穷小代换公式
当fx 时 fx fx .
(1) ()→1 ,ln ()~ ()-1
当fx 时fαx αfx .
(2) ()→1 , ()-1~ [()-1]
注 当x 时,有
【 】 →0
() (x x2 )x;
1ln + 1+ ~
() x 1x2 ;
2lncos ~-
2
() n x 1·1x2 ,其中n为正整数.
31- cos ~n
2
18n
x 3 x x
例1.20 极限 (1- cos )(1- cos )…(1- cos ) .
lxim xn -1 =
→0 (1-cos )
例1.21 当x 时 tan x sin x 与a x3 x4 是等价无穷小 则a .
→0 ,e -e ln(e +sin ) , =
例1.22 极限 ln(sin
2x
+e
x
)-
x
.
lxim x2 2 x x=
→0ln( +e )-2
7.高阶无穷小运算法则
设mn为正整数
, ,
加减法的低阶吸收原则 oxm oxn oxl l mn
(1) ( )± ( )= ( ),=min{ ,}
∙∙∙∙∙∙
oxm oxn oxm+n
乘法的叠加原则 ( )· ( )= ( )
(2)
∙∙∙∙
xm
·
o
(
xn
)=
o
(
xm+n
)
数乘的无关原则 oxm okxm koxm k
(3) ( )= ( )= ( ),(≠0)
∙∙∙∙
8.等价无穷小的充要条件
当x 时fx gx fx gx ogx .
→□ ,()~ ()⇔ ()= ()+ [()]
例1.23 当x 时αx βx 是非零无穷小量 给出以下四个命题
→0 ,(),() , :
若αx βx 则α2x β2x
① ()~ (), ()~ ();
若α2x β2x 则αx βx
② ()~ (), ()~ ();
若αx βx 则αx βx oαx
③ ()~ (), ()- ()= (());
若αx βx oαx 则αx βx
④ ()- ()= (()), ()~ (),
其中所有真命题的序号为 .
19考点2 无穷大量
1.无穷大量的定义
若 fx 则称fx 为x 时的无穷大量.
lxim ()=∞, () →□
→□
()与无穷小量相同,无穷大量也必须与自变量的趋向挂钩.
1
()无穷大量 有界函数却不一定是无穷大,例如 x 1 .
2 × lxim sinx=1
→∞
()无穷大量 无穷大量 无穷大量,无穷大量 有界变量 无穷大量.
3 × = ± =
()若 f(x) ,且f(x) ,则 1 ;若 f(x) ,则 1 .
4 lxim =0 ≠0 lximf(x)=∞ lxim =∞ lximf(x)=0
→□ →□ →□ →□
2.无穷大量的比阶
设 fx gx 且gx 则
lim ()=∞,lim ()=∞, ()≠0,
fx
若 () 则称fx 是比gx 低阶的无穷大量.
(1) limgx =0, () ()
()
fx
若 () 则称fx 是比gx 高阶的无穷大量.
(2) limgx =∞, () ()
()
fx
若 () A 则称fx 与gx 是同价无穷大量.
(3) limgx = ≠0, () ()
()
fx
若 () 则称fx 与gx 是等价无穷大量 记为fx gx .
(4) limgx =1, () () , ()~ ()
()
当x 时,若 f(x) ,且g(x)是f(x)的高阶无穷大,则
→□ lxim =∞
→□
f(x)g(x)g(x),
+ ~
这也是我们经常所谓的“抓大头”.
例如,当x 时,x2 x x2 ,x2 x2 x.
→+∞ + +1~ +1~ =
3.等价无穷大的代换准则(与等价无穷小有相似的结论)
(1)准则1:乘除法因式可用等价无穷小代换.
设αxβxαxβx均为x 下的无穷大量 且αx αxβx βx 则αxβx αxβx
(),(),1(),1() →□ , ()~ 1(),()~ 1(), ()()~ 1()1(),
αx αx
() 1().
βx ~βx
() 1()
(2)准则2:加减法慎用等价无穷大代换.
βx
设αx βx α x β x 均为x 下的无穷大量 且αx α x βx β x 若 ()
(),(),1(),1() →□ , ()~ 1( ),( )~ 1( ), lxi
→
m
□
α
(
x
)
=
β x
1() 时 则αx βx α x β x .
lxi
→
m
□
α
1(
x
)
≠-1 , ()+ ()~ 1()+ 1()
20例1.24 设函数fx x2 x 则下列计算错误的是 .
()= 4 +2 +3, ( )
fx
. () . fx x
Axlim x =2 Bxlim [()+2 ]=∞
→+∞ →+∞
fx
. () . fx x 1
Cxlim x =-2 Dxlim [()-2 ]=-
→-∞ →+∞ 2
第四节 带有皮亚诺余项的泰勒公式
考点1 带有皮亚诺余项的泰勒定理
定理1:设函数fx 在x 处具有n阶导数 则当x x 时有
() 0 , → 0
f″x f(n)x
fx fx f'x x x (0)x x 2 (0)x x n o x x n .
()= (0)+ (0)(- 0)+ (- 0)+…+ n (- 0)+ [(- 0)]
2! !
定理2:若取x 则称此时的泰勒公式为麦克劳林 Maclaurin 公式.
0=0, ( )
设函数fx 在x 处具有n阶导数 则当x 时有
() =0 , →0
f″ f(n)
fx f f' x (0)x2 (0)xn oxn .
()= (0)+ (0)+ +…+ n + ( )
2! !
考点2 常见的麦克劳林公式
当x 时 有
→0 ,
x3 x5 x2 n +1
x x n ox2 n +1 .
(1)sin = - + +…(-1) n + ( )
3! 5! (2 +1)!
x x 1x3 ox3 注意 此公式后面的项无此规律 .
(2)arcsin = + + ( )( , )
6
x x 1x3 ox3 注意 此公式后面的项无此规律 .
(3)tan = + + ( )( , )
3
x x 1x3 1x5 n 1 x2 n +1 ox2 n +1
(4)arctan = - + -…+(-1) n + ( )
3 5 2 +1
x2 xn
x x oxn .
(5)e=1+ + +…+n + ( )
2! !
x2 x3 xn +1
x x n oxn +1 .
(6)ln(1+ )= - + -…+(-1)n + ( )
2 3 +1
x2 x4 x2 n
x n ox2 n .
(7)cos =1- + -…+(-1) n + ( )
2! 4! (2 )!
mm mm m n
xn ( -1)x2 ( -1)( - +1)xn oxn .
(8)(1+ )=1+ +…+ n + ( )
2! !
1 x x2 x3 xn oxn
(9) x=1+ + + +…+ + ( )
1-
1 x x2 x3 nxn oxn
(10) x=1- + - +…+(-1) + ( )
1+
21.对f(x)g(x)型:相消不为零原则,即通常将f(x),g(x)展开至系数不相等的x的最低次幂.
1 -
f(x)
.对 型:通常将分子分母展开至同阶.
2 g(x)
.常用的由泰勒公式导出的等价无穷小公式.
3
当x 时,有
→0
()x x 1x3 ; ()x x 1x3 ;
1 -sin ~ 2 -arcsin ~-
6 6
()x x 1x3 ; ()x x 1x3 ;
3 -tan ~- 4 -arctan ~
3 3
()x ( x) 1x2 ; ()x x 1x2.
5 -ln1+ ~ 6e-1- ~
2 2
例1.25 设px a bx cx2 x3 当x 时 若px x是比x3 高阶的无穷小量 则下列
()= + + +d , →0 , ()-tan ,
选项正确的是 .
( )
.a b c d 1. .a b c d 1.
A =1,=1,=0,= B =0,=2,=0,=
3 3
.a b c 1d 1. .a b c d 1.
C =0,=1,= ,= D =0,=1,=0,=
2 3 3
例1.26 已知fx x x x xgx x x .当x 时 fx 是gx
( )= -sincoscos2 , ( )=e -1-ln(1+ ) →0 , ( ) ( )
的 .
( )
.高阶无穷小量. .等价无穷小量.
A B
.低阶无穷小量. .同阶但非等价无穷小量.
C D
x x x
例1.27 求极限 cos2 +2sin -1.
lxim x4
→0
e -1
22x x
例1.28 求极限 arctan2 -2arctan .
lxim x3
→0
x
例1.29 已知函数fx 1+ 1 记a fx .
()= x-x, =lxim ()
sin →0
求a的值
(Ⅰ) ;
若当x 时fx a与xk是同阶无穷小量 求常数k的值.
(Ⅱ) →0 ,()- ,
x x x
例1.30 求极限 (1-cos )[-ln(1+tan )].
lxim 4x
→0 sin
23第五节 极限四则运算
考点1 极限四则运算的内容
设 fx 及 gx 均存在 则
lxim () lxim () ,
→□ →□
fx gx fx gx
(1)lxim[()± ()]=lxim ()±lxim ();
→□ →□ →□
fxgx fx gx
(2)lxim[()()]=lxim ()·lxim ();
→□ →□ →□
fx
f
(
x
)
lxi
→
m
□
()
gx .
(3)lxi
→
m
□
g
(
x
)
=
lxim
g
(
x
)
(lxi
→
m
□
()≠0)
→□
考点2 极限四则运算的性质
fx 存在 gx 存在 则 fx gx 存在.
(1)lxim () ,lxim () , lxim[()± ()]
→□ →□ →□
fx 存在 gx 不存在 则 fx gx 不存在.
(2)lxim () ,lxim () , lxim[()± ()]
→□ →□ →□
fx 不存在 gx 不存在 则 fx gx 未知.
(3)lxim () ,lxim () , lxim[()± ()]
→□ →□ →□
fx 存在 gx 存在 则 fxgx 存在.
(4)lxim () ,lxim () , lxim[()()]
→□ →□ →□
fx 存在 gx 不存在 则 fxgx 未知.
(5)lxim () ,lxim () , lxim[()()]
→□ →□ →□
fx 不在 gx 不存在 则 fxgx 未知.
(6)lxim () ,lxim () , lxim[()()]
→□ →□ →□
例1.31 下列命题中正确的是 .
( )
.若 fx gx 存在 则 fx 与 gx 均存在.
A lim[()+ ()] , lim () lim ()
.若 fx gx 存在 且 gx 存在 则 fx 存在.
B lim[()+ ()] , lim () , lim ()
.若 fx gx 存在 则 fx 与 gx 均存在.
C lim[()· ()] , lim () lim ()
.若 fx gx 存在 且 gx 存在 则 fx 存在.
D lim[()· ()] , lim () , lim ()
x x x
例1.32 求极限 1+ sin -cos .
lxim x2
→0
24x x
例1.33 求极限 sin(tan )-tan(sin ).
lxim x3
→0
考点3 重要的极限推论
βx A
若 βx A 则 αxβx A αx () .
lxi
→
m
□
()= ≠0, lxi
→
m
□
()()= lxi
→
m
□
(),lxi
→
m
□
α
(
x
)
=lxi
→
m
□
α
(
x
)
在极限内乘除法非零项因式 一般称为非零因子 可以先算出极限.
( )
例1.34 下列运算过程中没有错误的是 .
( )
tan x sin x tan x sin x tan x x
. e -e e -e e -1 tan .
Alxim 3x =lxim x3 =lxim x3 =lxim x3 =∞
→0 sin →0 →0 →0
x x x x x x x x
. -sincos -sincos -sin 1.
Blxim x3 =lxim x3 =lxim x3 =
→0 ln(1+ ) →0 →0 6
x x 1x2 x 1x2 x 1x2
ln(1+ )- + x - + x - +
. 2 ln(1+ ) 2 2
Clxim x2 =lxim x2 +lxim x2 =lximx2+lxim x2
→0 →0 →0 →0 →0
x x 1x2
- +
2 1.
=lxim x2 =
→0 2
- x2 x - x2 x -
x2
+
1x2
. e -cos e -1+1-cos 2 1.
Dlxim x2 =lxim x2 =lxim x2 =-
→0 →0 →0 2
25第六节 函数极限计算
一般地 函数极限的计算方法除了前三节中学习的等价无穷小代换 泰勒公式展开 极限四则运算等方
, 、 、
法之外 还可以利用洛必达法则与拉格朗日中值定理求解一类特殊的极限问题 下面我们主要介绍这两种
, ,
重要的极限计算方法.
考点1 洛必达法则
法则1:设
fx gx
(1)lxim ()=0,lxim ()=0;
→□ →□
当x 时f'x 与g'x 均存在 且g'x
(2) →□ , () () , ()≠0;
f'x fx f'x
() A 或 则 () () A 或 .
(3)lxi
→
m
□
g'
(
x
)
= ( ∞), lxi
→
m
□
g
(
x
)
=lxi
→
m
□
g'
(
x
)
= ( ∞)
法则2:设
fx gx
(1)lxim ()=∞,lxim ()=∞;
→□ →□
当x 时f'x 与g'x 均存在 且g'x
(2) →□ , () () , ()≠0;
f'x fx f'x
() A 或 则 () () A 或 .
(3)lxi
→
m
□
g'
(
x
)
= ( ∞), lxi
→
m
□
g
(
x
)
=lxi
→
m
□
g'
(
x
)
= ( ∞)
f'(x)
.注意若洛必达法则中第()条中 不存在且不是无穷大,此时洛必达法则失效,并不能
1 3 lximg'(x)
→□
f(x) f'(x)
得出 .
lximg(x)=lximg'(x)
→□ →□
.当x 时,有 x xα ax xx(α ,a ).
2 →+∞ ln ≤ ≤ ≤ >0 >1
速算: ln
x
,
x100
, ln
(
1+
x)
.
xlim x = xlim x = xlim x =
→+∞ →+∞ e →+∞
【答案:,,】
000
例1.35 设可导函数f x 与g x 满足 f x g x 且g'x 则 极限
( ) ( ) lxim ( )=∞,lxim ( )=∞, ( )≠0, “
→∞ →∞
fx f'x
() 是 极限 () 的 .
lxi
→
m
∞
g
(
x
)
=1” “ lxi
→
m
∞
g'
(
x
)
=1” ( )
.充分必要条件. .充分非必要条件.
A B
.必要非充分条件. .既非充分也非必要条件.
C D
注 根据本题可以看出,洛必达法则一般不能从前推后.
【 】
26例1.36 求极限 e
x2
-e 2-2cos
x
.
lxim x4
→0
考点2 利用拉格朗日中值定理求极限
1.拉格朗日中值定理
若函数fx 在ab 连续 ab 可导 则至少存在一点 ξ ab 使得fb fa f'ξ b a .
() [,] ,(,) , ∈(,) ()- ()= ()(- )
2.利用拉格朗日中值定理求极限
利用拉格朗日中值定理求解函数极限计算问题往往题中会有典型标志 相同对应法则两函数作
———“
差 此时可对其利用拉格朗日中值定理 即
”, ,
fb fa f'ξ b a 其中 ξ 介于ab之间.
()- ()= ()(- ), ,
x x
例1.37 求极限 e tan -e .
lxim x3
→0
x
例1.38 求极限 x π .
lxim -arctanx
→∞ 4 +1
考点3 七种未定式的极限计算
函数极限计算求解的基本思路是 定型 化简 定法 即先判定函数极限的类型 再对函数进行相应的
: — — , ,
化简 最后再确定极限计算的方法.
,
1.常见的极限化简方法
非零因子淡化 乘除法中的非零项可以先算出
(1) ( );
加减法中极限存在项可拆出计算
(2) ;
遇到根式想有理化
(3) ;
遇到幂指函数想幂指转换化.
(4)
2.常用的极限求解方法
等价无穷小 泰勒公式 洛必达法则 极限四则运算 拉格朗日中值定理.
; ; ; ;
270
1. 型未定式
0
常用求解方法:等价无穷小,泰勒公式,洛必达法则,四则运算,拉格朗日中值定理.
x x
例1.39 求极限 2 tan -2 arcsin .
lxim x x
→0arctan -sin
x x
例1.40 求极限 1+tan - 1+sin .
lxim x x x2
→0 ln(1+ )-
例1.41 若 (1+ ax2 ) sin x -1 则a .
lxim x3 =6, =
→0
∞
2. 型未定式
∞
常用求解方法:抓大头,洛必达法则,上下同除最大项.
例1.42 设函数fx 为三次多项式ax3 bx2 cx d 且
f
(
x
)-
x3 f
(
x
) 则a b
() + + + , lxim x2 =2,lxim x =4, +
→∞ →0
c d .
+ + =
283.∞-∞型未定式
常用求解方法:通分,倒代换,提出最大项.
例1.43 求极限 1 cos
2x
.
lxim 2x- x2
→0 sin
例1.44 求极限 x x2 1
lxim - ln1+x
→∞
29
.
例1.45 求极限 x2 x x2 x 与 x2 x x2 x .
xlim ( + +1- - +1) xlim ( + +1- - +1)
→+∞ →-∞
4.1∞型未定式(重点)
常用求解方法: u(x)v(x)1∞ lim v(x)·[u(x) -1 ] .
lim =e
例1.46 求极限
x2
lxim x a x b
→∞(- )(+ )
x
.1
例1.47 求极限 x x xx4.
lxim(cos2 +2sin )
→0
例1.48 设n为正整数 求极限 e
x
+e 2
x
+…+e
nx x1
.
, lxim n
→0
【解析】 方法一:本题为“ ”型未定式极限,于是
∞
1
e
x
+e
2 x
+
…
+e
nx x1 xli
→
m
0
x1· e x +e2 x n+ … +e nx -1 xli
→
m
0
e x +e2 x +nx … +e nx - n
lxim n =e =e
→0
洛 xli
→
m
0
e x +2e2 x n+ … + n e nx 1+2+n … + n n
2
+1
.
e =e =e
方法二:本题为“ ”型未定式极限,于是
∞
1
e
x
+e
2 x
+
…
+e
nx x1 xli
→
m
0
x1· e x +e2 x n+ … +e nx -1 xli
→
m
0
e x +e2 x +nx … +e nx - n
lxim n =e =e
→0
n1
xlim
e x -1+e2 x -x1+ … +e nx -1 n1
xlim
e x x-1
+xlim
e2 x x-1
+
…
+xlim
e nx x-1
→0 →0 →0 →0
=e =e
n1(
1+2+
…
+
n) n
2
+1
.
=e =e
x2
1
1+x
例1.49 求极限 .
lxim x
→∞ e
【解析】 本题中含有幂指函数,可先对幂指函数进行幂指转换处理.
x2
1+x
1
e
x2ln 1+x1
x2ln 1+x1
-
x
lxim x =lxim x =lxime
→∞ e →∞ e →∞
xli
→
m
∞
x2ln 1+x1
-
x
xli
→
m
∞
x2
ln
1+x1 -x1
=e =e
xli → m ∞ x2· - 1 2 x1 2 - 1 2.
=e =e
注 注意下面的错误解法:
【 】
x2 x
1 1
x 1+x 1+x
由于 1 ,于是
lxim1+x =e lxim x =lxim
→∞ →∞ e →∞
30
x
x
e .
x =lxim x=1
e →∞e
x
原因在于错误地对极限中“ 1 项”先计算了极限.
1+x5. 0·∞型未定式
常用求解方法:转化为“0”型或“∞”型未定式极限.
0 ∞
例1.50 求极限 x x .
lxim ln||
→0
6. 00,∞0 型未定式
常用求解方法:利用指对数变换 u(x)v(x) lim v(x)· ln u(x) .
lim =e
例1.51 求极限 x x2
x2
.
xlim (+ 1+ )
→+∞
考点4 左右开弓法求极限
fx a fx fx a.
(1)lxi
→
mx
0
()= ⇔
x
li
→
m
x 0 +
()=
x
li
→
m
x 0 -
()=
fx a fx fx a.
(2)lxim ()= ⇔xlim ()=xlim ()=
→∞ →+∞ →-∞
常见的需要分左右极限的情况:
∞
型.
(1)e
例如,当x 时,x ;当x 时,x .
→+∞ e→+∞ →-∞ e→0
型.
(2)arctan∞
例如,当x 时, x π;当x 时, x π.
→+∞ arctan → →-∞ arctan →-
2 2
fx 型 且fx 或fx .
(3)| ()| , ()→0 ()→∞
例如,当x + 时,x x;当x - 时,x x.
→0 ||= →0 ||=-
再例如,当x 时,x x;当x 时,x x.
→+∞ ||= →-∞ ||=-
取整函数x 且x Z 整数 .
(4) [], → ( )
分段函数在分段点处求极限 且分段点两侧函数不一样.
(5) ,
31例1.52 若x 表示不超过x的最大整数 求极限 2 1 x .
[] , lxim arctanx-2[]
→0 π
x1
x
例1.53 求极限 e +2 sin .
lxi
→
m
0
e
x4
+1
+
|
x
|
例1.54 年数学三 已知 a 1 x x1 存在 求a的值.
(2021 ) lxim[arctanx+(1+||)] ,
→0
考点5 已知极限结果反求其中待定参数
b
例1.55 设 1 a x
lximx2- x2- cos
→0
32
则 .
=1, ( )
.a 1b . .a 1b . .a 1b . .a 1b .
A = ,=1 B =- ,=1 C = ,=-1 D =- ,=-1
2 2 2 2例1.56 已知 ln(1+
x
)-(
ax
+
bx2
) 求参数ab.
lxim x2 =2, ,
→0
例1.57 已知 x2 x ax b 求参数ab.
xlim (9 - +1- - )=0, ,
→+∞
考点6 已知极限求另外一个极限
x xfx fx
例1.58 已知 ln(1+ )+2 () 求 1+2 ().
lxim x2 =1,lxim x
→0 →0
33第六节 数列极限
考点1 数列极限的定义
x A 对 ε 存在正整数N 当n N时 有x A ε.
lnim n= ⇔ ∀ >0, >0, > , | n- |<
→∞
. x A,几何上表示对于a点的任意ε邻域(a ε,a ε),无论ε多么小,总存在正整数N,使
1lnim n= - +
→∞
得数列{x }从第N 项起所有点x 均落在区间(a ε,a ε)内,至多有N个点落在该邻域外.
n +1 n - +
.若数列{x }极限存在,则称该数列收敛,否则就称该数列发散.
2 n
.若数列{x }收敛于A,则任一子数列也收敛于A.
3 n
例1.59 设x 是数列 下列命题中不正确的是 .
{n} , ( )
.若 x a 则 x x a ∙ . ∙∙ .若 x x a 则 x a.
A lnim n= , lnim 2 n=lnim 2 n +1= B lnim 2 n=lnim 2 n +1= , lnim n=
→∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞
.若 x a 则 x x a. .若 x x a 则 x a.
C lnim n= , lnim 3 n=lnim 3 n +1= D lnim 3 n=lnim 3 n +1= , lnim n=
→∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞
例1.60 给出以下四个命题
:
若 x A 则 x A . 若 x A 则 x A.
1 lnim n= , lnim| n|=| | ② lnim| n|=| |, lnim n=
→∞ →∞ →∞ →∞
若 x 则 x . 若 x 则 x .
③ lnim n=0, lnim| n|=0 ④ lnim| n|=0, lnim n=0
→∞ →∞ →∞ →∞
其中真命题的个数是 .
考点2 数列极限的性质
1.唯一性
若数列x 收敛 其极限值是唯一的.
{n} ,
2.有界性
若 x A 存在 则数列x 有界 但反之却不一定成立.
lnim n= ( ), {n} ,
→∞
若 x 则数列x 无界 但反之却不一定成立.
lnim n=∞, {n} ,
→∞
343.保号性
若 x 则存在正整数N 当n N时x .
lnim n>0, >0, > ,n>0
→∞
若 x 则存在正整数N 当n N时x .
lnim n<0, >0, > ,n<0
→∞
1.极限保号性推论.
()若 x A,则存在正整数N ,当n N时,x A.
1 lnim n> >0 > n>
→∞
()若 x A,则存在正整数N ,当n N时,x A.
2 lnim n< >0 > n<
→∞
2.极限保序性.
()若 x y ,则存在正整数N ,当n N时,x y .
1 lnim n>lnim n >0 > n> n
→∞ →∞
()若 x y ,则存在正整数N ,当n N时,x y .
2 lnim n0 > n< n
→∞ →∞
注意,当 x y 时,是无法确定n 时x 与y 的大小的.
lnim n=lnim n →∞ n n
→∞ →∞
例1.61 设a b c 均为非负数列 且 a b c 则必有 .
{n},{n},{n} , lnim n=0,lnim n=1,lnim n=∞, ( )
→∞ →∞ →∞
.a b 对任意n成立. .b c 对任意n成立.
A n< n B n< n
.极限 ac 不存在. .极限 bc 不存在.
C lnim nn D lnim nn
→∞ →∞
例1.62 若 a a 则当n充分大时有 .
lnim n= ≠0, ( )
→∞
a a
.a ||. .a ||.
A|n|> B|n|<
2 2
.a a 1. .a a 1.
C n> -n D n< +n
考点3 海涅定理（或称归结原则）
若函数极限 fx A存在 a 为函数fx 的定义域内任一收敛于x 的数列 且满足a x
lximx ()= ,{n} ( ) 0 , n≠ 0
→ 0
n N 那么相应的函数值数列fa 必收敛 且
(∈ +), {(n)} ,
fa A.
lnim (n)=
→∞
注 . 数列极限不能使用洛必达法则求极限.
【 】1
.若 f(x) A,则 f(n) A.
2 xlim = lnim =
→+∞ →∞
35例1.63 求极限 1 1 1
lnim + +…+nn
→∞1·2 2·3 (+1)
36
n
.
例1.64 求极限 n π 1 .
lnimtan -n
→∞ 4
n n n
例1.65 求极限 a + b 其中a b .
lnim , (>0,>0)
→∞ 2
考点4 夹逼准则
如果数列x y 及z 满足下列条件
{n},{n} {n} :
若从某一项起 存在N 当n N时y x z
(1) , >0, > ,n≤ n≤ n;
y a z a
(2)lnim n= ,lnim n= ,
→∞ →∞
那么数列x 极限一定存在 且 x a.
{n} , lnim n=
→∞
例1.66 设数列x y z 满足x y z 且 z x 则 y .
{n},{n},{n} n≤ n≤ n, lnim(n- n)=0, lnim n( )
→∞ →∞
.存在且等于零. .等于 . .不存在且不为 . .不一定存在.
A B ∞ C ∞ Dn
例1.67 求极限 1 2 ... .
lnim n2 n +n2 n + +n2 n
→∞ 3 +2 -1 3 +2 -2 3 +
例1.68 求极限 n an bn cn 其中abc .
lnim + + , ,,≥0
→∞
重要结论: n an bn cn (a,b,c)(a,b,c ).
lnim + + =max ≥0
→∞
大家可自行完成下面三个例题:
例 求极限 n a- n b- n 其中a b .
1: lnim + , > >0
→∞
例 求极限 n n n n n.
2: lnim 1+2+3+4+5
→∞
n
例 莫斯科经济学院 年竞赛题 设x 求极限fx xn
x2 n
3:( 1975 ) ≥0, ()=lnim 1+ +
→∞ 2
考点5 单调有界数列必有极限
如果数列x 满足条件
{n}
x x x x x
1≤ 2≤ 3≤…≤ n≤ n +1≤…,
就称数列x 是单调增加的 如果数列x 满足条件
{n} ; {n}
x x x x x
1≥ 2≥ 3≥…≥ n≥ n +1≥…,
就称数列x 是单调减少的.单调增加和单调减少的数列统称为单调数列.
{n}
单调增有上界的数列必有极限 单调减有下界的数列必有极限.
;
37已知数列{x }满足递推关系式x f(x ),证明数列{x }极限存在并求该数列极限,这类问题
n n +1= n n
常称为递推数列极限问题,这类问题常用单调有界准则求解.
首先,需要确定数列的单调性与有界性,证明该数列单调增加有上界(或单调减小有下界),即确定
数列极限存在;再设极限 x A,对递推关系两边同取极限得到关于A的等式,即可求得数列极限.
lnim n=
→∞
1.证明数列的有界性:常用不等式放缩,数学归纳法.
(数学归纳法)数学归纳法证明分两步:
证明当n 时命题成立
(1) =1 ;
假设当n k时命题成立 证明出n k 时命题也成立
(2) = , = +1 ,
则该命题对一切正整数均成立.
2.证明数列的单调性:常用作差法,作比法,求导法.
(1)作差法:x x 与 比较
n +1- n 0 ;
x
(2)作比法:n +1与 比较
x 1 ;
n
(3)利用导数判定单调性:
已知x fx 则
n +1= (n),
若f'x 当x x 时 x 单调递增 当x x 时 x 单调递减.
① ()>0, 1< 2 ,{n} ; 1> 2 ,{n}
若f'x 时 x 无单调性.
② ()<0 ,{n}
例1.69 设x x x n 证明数列x 极限存在 并求极限.
1=10,n +1= 6+ n(=1,2,…), {n} ,
38例1.70 设数列x 满足x 1x 3 n x 证明x 极限存在 并求此极限.
{n} n +1=
2
n+x
n
(=1,2,…),1>0, {n} ,
例1.71 设数列x 满足 x x x n .
{n} 0< 1<π,n +1=sin n,=1,2,…
证明 x 存在 并求此极限
(Ⅰ) lnim n , ;
→∞
求 x n +1 x 1 n2 .
(Ⅱ) lni
→
m
∞
x
n
39第七节 连续与间断
考点1 函数连续的定义
定义1:设函数fx 在点x 的某邻域内有定义 若 fx fx 则称fx 在x 处连续 并称x
() 0 , lximx ()= (0), () 0 , 0
→ 0
为fx 的连续点.
()
定义2:若 fx fx 则称fx 在x 处右连续 若 fx fx 则称fx 在x 处左连续.
lim ()= (0), () 0 ; lim ()= (0), () 0
x → x 0 + x → x 0 -
函数fx 在x 处连续的充分必要条件是fx 在x 处既左连续也右连续.
() 0 ,() 0
考点2 函数连续的判定方法
1.初等函数在其定义区间内均连续.
2.利用连续的定义判定连续性,即
在x 处不需要分左右极限时 fx fx
(1) 0 :lximx ()= (0);
→ 0
在x 处不需要分左右极限时 fx fx fx .
(2) 0 :lim ()=lim ()= (0)
x → x 0 - x → x 0 +
x
lncos(-1) x
, ≠1,
例1.72 若函数fx πx
()=1-sin
2
a x .
, =1
40
在x 处连续 则a .
=1 , =
xfx
例1.73 已知函数fx 连续 且 1-cos[ ()] 则f .
() ,lxi → m 0 (e x2 -1) f ( x ) =1, (0)=例1.74 已知下列四个命题
若fx 在x 处连续 则fx 在x 的某邻域内处处有定义
① () 0 , () 0 ;
若fx 在x 处连续 且fx 则在x x 的某邻域内fx
② () 0 , (0)>0, = 0 ()>0;
fx 在x 处连续的充分必要条件为fx 在x 处即左连续又右连续
③ () 0 () 0 ;
若fx 在x 处有定义 则fx 在x 处连续
④ () 0 , () 0 ,
其中正确的个数是 .
考点3 连续函数的结论
定理1(四则运算法则) 设函数fx gx 在点x 处连续 则
(),() 0 ,
fx
fx gx fx gx ()gx
()± (),()· (),gx ((0)≠0)
()
在点x 处也连续.
0
定理2(复合函数的连续性) 设函数y fgx 是由函数y fu 与u gx 复合而成 若u gx
= [()] = () = () , = ()
在x x 处连续 且gx u 而y fu 在u u 处连续 则复合函数y fgx 在x x 处连续.
= 0 , (0)= 0, = () = 0 , = [()] = 0
x2 x c
+1, ||≤
例1.75 设函数fx
()=2 x c
x , ||>
||
41
在 内连续 则c .
(-∞,+∞) , =
例1.76 设fx 1 1 1 x 1
()= x+ x- x , ∈ ,1
π sinπ π(1- ) 2
试补充定义f 使得fx 在1
, (1) ( ) ,1
2
上
连续.考点4 函数的间断点及其分类
1.第一类间断点
fx 与 fx 均存在.
lim () lim ()
x → x 0 - x → x 0 +
可去间断点 fx 存在 但 fx fx
(1) :lximx () , lximx ()≠ (0);
→ 0 → 0
跳跃间断点 fx 与 fx 均存在 但 fx fx .
(2) :lim () lim () , lim ()≠lim ()
x → x 0 - x → x 0 + x → x 0 - x → x 0 +
2.第二类间断点
fx 与 fx 至少有一个不存在.
lim () lim ()
x → x 0 - x → x 0 +
无穷间断点 fx 与 fx 至少有一个是
(1) :lim () lim () ∞;
x → x 0 - x → x 0 +
振荡间断点 fx 与 fx 至少有一个是不存在 且不是 .
(2) :lim () lim () ( ∞)
x → x 0 - x → x 0 +
函数的无定义点一定是函数的间断点,分段函数的分段点可能是函数的间断点.
xx
例1.77 函数fx || -1 的可去间断点的个数为 .
()=xx x
(+1)ln||
x
例1.78 函数fx 的可去间断点个数为 .
()= x
ln| -1|
42例1.79 年真题 函数fx e
x1
-1 ln|1+ x | 的第二类间断点的个数为 .
(2020 ) ()= x x ( )
(e-1)(-2)
.. .. .. ..
A0 B1 C2 D3
ax3
ln(1+ ) x
x x, <0,
-arcsin
x
例1.80 设函数 fx 6, =0,
( )=ax
x2 ax
e + - -1 x .
x , >0
x
sin
4
43
问a为何值时 fx 在x 处连续a为何值
, ( ) =0 ;
时x 是fx 的可去间断点.
,=0 ()00
.理解导数和微分的概念 理解导数与微分的关系 理解导数的几何意义 会求平面曲线的切线方程和
1 , , ,
法线方程 了解导数的物理意义 会用导数描述一些物理量 理解函数的可导性与连续性之间的关系.
, , ,
.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则 掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则
2 ,
运算法则和一阶微分形式的不变性 会求函数的微分.
,
.了解高阶导数的概念 会求简单函数的高阶导数.
数学一、数学二 3 ,
.会求分段函数的导数 会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.
大纲要求 4 ,
.理解函数的极值概念 掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法 掌握函数最大值和最小
5 , ,
值的求法及其应用.
.会用导数判断函数图形的凹凸性 会求函数图形的拐点以及水平 铅直和斜渐近线 会描绘函数的
6 , 、 ,
图形.
.了解曲率 曲率圆与曲率半径的概念 会计算曲率和曲率半径.
7 、 ,
.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系 了解导数的几何意义与经济意义 含边际与弹性的
1 , (
概念 会求平面曲线的切线方程和法线方程.
),
.掌握基本初等函数的导数公式 导数的四则运算法则及复合函数的求导法则 会求分段函数的导数
2 、 , ,
会求反函数和隐函数的导数.
.了解高阶导数的概念 会求简单函数的高阶导数.
数学三 3 ,
.了解微分的概念 导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性 会求函数的微分.
大纲要求 4 、 ,
.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.
5
.掌握函数单调性的判别方法 了解函数极值的概念 掌握函数极值 最大值和最小值的求法及其
6 , , 、
应用.
.会用导数判断函数图形的凹凸性 会求函数图形的拐点以及水平 铅直和斜渐近线 会描绘函数的
7 , 、 ,
图形.
1.利用导数定义求极限; 2.导数计算; 3.函数的单调性与曲线的凹凸性; 4.函数的极值与曲线的拐点;
本章重难点
5.渐进线;6.曲率(仅数学一、数学二要求)
44考点清单 一刷 二刷 三刷
考点 导数定义 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 1】 • • • • • •
考点 可导与连续间的关系 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
第一节 【 2】 • • • • • •
考点 单侧导数 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 3】 • • • • • •
考点 导数的广义化定义 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 4】 • • • • • •
考点 必备知识 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 1】 • • • • • •
考点 复合函数的导数计算 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 2】 • • • • • •
考点 隐函数的导数计算 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 3】 • • • • • •
第二节 考点 参数方程的导数计算 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 4】 • • • • • •
考点 分段函数的导数计算 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 5】 • • • • • •
考点 反函数的导数计算 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 6】 • • • • • •
考点 高阶导数的计算 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 7】 • • • • • •
考点 导数的几何意义 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
第三节 【 1】 • • • • • •
考点 切线方程 法线方程 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 2】 、 • • • • • •
考点 微分的定义 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 1】 • • • • • •
第四节 考点 微分的计算 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 2】 • • • • • •
考点 微分的几何意义 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 3】 • • • • • •
考点 函数的单调性 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 1】 • • • • • •
考点 函数的极值 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 2】 • • • • • •
考点 函数的最值 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 3】 • • • • • •
第五节 考点 曲线的凹凸性 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 4】 • • • • • •
考点 曲线的拐点 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 5】 • • • • • •
考点 渐进线 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 6】 • • • • • •
考点 曲率 模糊 掌握 模糊 掌握 模糊 掌握
【 7】 • • • • • •
45第一节 导数定义
考点1 导数定义
若函数y fx 在点x x 的某个邻域内有定义 若极限
= () = 0 ,
y fx x fx
Δ (0+Δ )- (0)
lixm x=lixm x
Δ →0Δ Δ →0 Δ
存在 则称fx 在点x 处可导 并称此极限值为fx 在点x 处的导数 记为f'x 即
, () 0 , () 0 , (0),
fx x fx
f'x (0+Δ )- (0)
(0)=lixm x ,
Δ →0 Δ
y
也记做d .
x
x x
d = 0
.导数定义也可取不同的形式,在解题中常用的有:
1
f(x h)f(x)
(1)增量定义:f'(x) 0+ - 0 ;
0 =lhim h
→0
f(x)f(x)
(2)计算型定义:f'(x ) - 0 .
0 =lximx x x
→ 0 - 0
f(x)f(x)
.函数f(x)在x x 处可导 f'(x ) - 0 存在;
2 = 0 ⇔ 0 =lximx x x
→ 0 - 0
f(x)f(x)
函数f(x)在x x 处不可导 f'(x ) - 0 不存在.
= 0 ⇔ 0 =lximx x x
→ 0 - 0
.若y f(x)在点x 处可导,则f(x)在点x 处一定连续,反之不然.
3 = 0 0
例如,y x 在x 处连续,但却在x 处不可导.
=|| =0 =0
例2.1 下列函数中 在x 处不可导的是 .
, =0 ( )
.fx x x . .fx x x .
A ()=||sin|| B ()=||sin ||
.fx x . .fx x .
C ()=cos|| D ()=cos ||
46gx 1 x
例2.2 已知g g' 且fx ()sinx, ≠0
(0)= (0)=0, ()=
x
0, =0
47
则 .
, ( )
. . . .
A0 B1 C2 D -1
例2.3 设函数fx 对任意x均满足等式f x afx 且有f' b 其中ab为非零常数
() (1+ )= (), (0)= , , ,
则 .
( )
.fx 处x 不可导. .fx 在x 处可导 且f' a.
A () =1 B () =1 , (1)=
.fx 在x 处可导 且f' b. .fx 在x 处可导 且f' ab.
C () =1 , (1)= D () =1 , (1)=
考点2 可导与连续间的关系
若函数fx 在x x 处可导 则fx 在x x 处连续 但反之不一定成立 例如y x 在x 处
() = 0 , () = 0 , , =| | =0
连续 但却在x 处不可导.
, =0
考生务必梳理清楚“有定义”、“连续”与“可导”三者的关系,这里可通过三个小例题加深大家的
理解:
例1 若f(x)在x x 处连续,则f(x)在x x 邻域内存在(或有定义). ( )
= 0 = 0 √
例2 ()若f(x)在x x 处可导,则f(x)在x x 处连续. ( )
1 = 0 = 0 √
()若f'(x)在x x 处可导,则f(x)在x x 处连续. ( )
2 = 0 = 0 √
例3 ()若f″(x)存在,则f″(x)在x x 处连续. ( )
1 0 = 0 ×
()若f″(x )存在,则f'(x)在x x 处连续. ( )
2 0 = 0 √
()若f″(x )存在,则f(x)在x x 处连续. ( )
3 0 = 0 √fx
例2.4 已知fx 满足 () 给出下列四个结论
() lxim x =1,
→1 ln
f . fx f' . f'x
① (1)=0 ②lxim ()=0 ③ (1)=1 ④lxim ()=1
→1 →1
其中正确的序号是 .
例2.5 设函数fx 在区间 有定义 且 fx 则 .
() (-1,1) ,lxim ()=0, ( )
→0
fx
.当 () 时fx 在x 处可导
A lxim x =0 ,() =0
→0
||
fx
.当 () 时fx 在x 处可导
B lxi → m 0 x2 =0 ,() =0
fx
.fx 在x 处可导时 ()
C () =0 ,lxim x =0
→0
||
fx
.fx 在x 处可导时 ()
D () =0 ,lxi → m 0 x2 =0
考点3 单侧导数
fx h fx fx fx
右导数:f'x (0+ )- (0) ()- (0)
+(0)=
h
li
→
m
0+
h =
x
li
→
m
x 0 +
x
-
x
0
;
fx h fx fx fx
左导数:f'x (0+ )- (0) ()- (0).
-(0)=
h
li
→
m
0-
h =
x
li
→
m
x 0 -
x
-
x
0
f(x)在点x 处可导 f(x)在点x 处左、右导数都存在且相等.
0 ⇔ 0
48 1 x
例2.6 设函数fx arctanx, >0,
()=
k x b x
tan + , ≤0
49
在x 处可导 则 .
=0 , ( )
.k b .k b π .k b π .k b π
A =1,=0 B =1,= C =-1,= D =-1,=-
2 2 2
x
1-cos x
例2.7 设fx x , >0,
()=
x2gx x .
(), ≤0
其中gx 是有界函数 则fx 在x 处 .
() , () =0 ( )
.极限不存在. .极限存在但不连续. .连续但不可导. .可导.
A B C D
例2.8 设函数fx gx x x 其中gx 在点x 处连续 则gx 是fx 在点x 处可
()= ()| - 0|, () 0 , (0)=0 () 0
导的 .
( )
.充分必要条件 . 充分非必要条件
A B
.必要非充分条件 . 既非充分也非必要条件
C D
注 可以记住该结论,即
【 】
“设函数f(x)g(x)x x ,其中g(x)在点x 处连续,则f(x)在点x 处可导 g(x) .”
= | - 0| 0 0 ⇔ 0 =0
例2.9 函数fx x2 x x3 x 不可导点的个数是 .
()=( - -2)| - | ( )
.. .. .. ..
A0 B1 C2 D3例2.10 设函数fx 可导 F x fx x 则f 是F x 在x 处可导
( ) , ( )= ( )(1+|sin |), (0)=0 ( ) =0
的 .
( )
.充分必要条件 . 充分非必要条件
A B
.必要非充分条件 . 既非充分也非必要条件
C D
考点4 导数的广义化定义
fx fx
函数fx 在x x 处可导 f'x (0+□)- (0)存在 其中 .
() = 0 ⇔ (0)=lim , □→0
□
例2.11 设函数fx 在x 处连续 且
f
(
x2
) 则 .
() =0 ,lxim x2 =1, ( )
→0
.f 且f' 存在. .f 且f' 存在.
A (0)=0 -(0) B (0)=1 -(0)
.f 且f' 存在. .f 且f' 存在.
C (0)=0 +(0) D (0)=1 +(0)
例2.12 设f 则函数fx 在点x 可导的充要条件为 .
(0)=0, () =0 ( )
f x f x
. (1-cos )存在. . (e-1)存在.
Alxim x2 Blxim x
→0 →0
fx x f x fx
. (-sin )存在. . (2 )- ()存在.
Clxim x2 Dlxim x
→0 →0
50fx x fx x
例2.13 设f'x 存在 则 (0+5 )- (0+2 ) .
(0) ,lxim x =
→0
例2.14 若f' 存在 且f 则
x2f
(
x
)-2
f
(
x3
) .
(0) , (0)=0,lxim x3 =( )
→0
. f' . .f' . .f' . ..
A -2 (0) B - (0) C (0) D0
例2.15 年真题 设函数fx 在x 处可导 且
(2022 ) () =1 ,
f x2 f 2x
(e )-3 (1+sin )
lxim x2 =2,
→0
求f' .
(1)
51第二节 导数计算
考点1 必备知识
1.导数表
c' xα' αxα -1α实常数
()=0 ( )= ( )
x' x x' x
(sin )=cos (cos )=-sin
x' 2x x' 2x
(tan )=sec (cot )=-csc
x' x x x' x x
(sec )=sectan (csc )=-csccot
x' 1 a a x' 1
(log a )=x a(>0,≠1) (ln )=x
ln
ax' ax aa a x' x
( )= ln (>0,≠1) (e)=e
x' 1 x' 1
(arcsin )=
x2
(arcsin )=-
x2
1- 1-
x' 1 x' 1
(arcsin )=
1+
x2 (arccot )=-
1+
x2
x x2 a2 1 x x2 a2 ' 1
[ln(+ + )]= x2 a2 [ln(+ - )]= x2 a2
+ -
2.求导法则
设fx gx hx 在x处可导 则
(),(),() ,
fx gx ' f'x g'x
(1)[()± ()]= ()± ();
fx gx ' f'xgx fxg'x
(2)[()· ()]= ()()+ () ();
fx gx hx ' f'xgxhx fxg'xhx fxgxh'x
[()· ()· ()]= ()()()+ () ()()+ ()() ();
fx
()
(3)gx
()
52
f'xgx fxg'x
' ()()- () ()gx .
= g2x (()≠0)
()
考点2 复合函数的导数计算
设y fu u φx fu 与 φx 都可导 则复合函数y fφx 在x处可导 且有
= (),= (),() () , = [()] ,
y y u
d d d f'φx φ'x .
x= u· x= [()] ()
d d d
x y
例2.16 设函数y
=
f3
x
-2
,
f'
(
x
)=arcsin
x2
,
则d
x x =0=
.
3 +2 d x π x
3 x x arctan - , ≤1,
例2.17 设函数fx e , ≤0, gx 4
()= x 3 x ( )=
(+1), >0, 1x x .
(-1), >1
2
53
若函数y fgx 则
= [ ( )],
y
d .
x =( )
x
d =1
.1 . .3 .5
A B2 C D
2 2 2
考点3 隐函数的导数计算
方程Fxy 确定了一元函数y fx
(1) (,)=0 = ();
求导方法:方程两边同时对x求导
(2)
注意 方程中y为x的函数.
(3) :
例2.18 设函数y yx 由方程x x 1 x2 xy y 确定 则y″ .
= () arctan - ln(1+ )+ +e=1 , (0)=
2
例2.19 设函数y fx 由方程y x x(1- y)确定 则 xf 1
= () - =e , lxim x -1
→∞
.
=( )
.. .. .. . .
A1 B0 C2 D -1
考点4 由参数方程确定的函数的导数计算（仅数学一、数学二要求）
x xt
设函数y fx 是由参数方程 = (),确定的函数 其中xt与yt均可导 且y't 则y f
= () y yt , () () , ()≠0, =
= ()
x 的导数为
()
y y y
d d d
y t y't 2y d x d x
d d ()d d d 1 .
d
x=
d
x =x'
(
t
)
,
d
x2=
d
x =
d
t ·
d
x
t t
d d例2.20 设函数y yx 由参数方程
x
=2e
t
+
t
+1, 确定 则d
2y
.
= () y t t t2 , x2 t =
=4(-1)e+ d =0
x t3
例2.21 设函数y fx 由参数方程 =1+ 确定 则极限 xf 2 f
= () y t2 , xli → m +∞ 2+x - (2)
=e
54
.
=
例2.22 设函数y yx 由参数方程 x =arctan t , 确定 则d y .
= (), y ty2 t , x t =
2 - +e=5 d =0
考点5 分段函数的导数计算
求导方法:分段点外直接计算,分段点处用导数定义.
n
例2.23 莫斯科经济学院 年竞赛题 求fx xn
x2 n
x 求f'x .
( 1975 ) ()=lnim 1+ + (>0), ()
→∞ 2x2 x x
例2.24 年真题 已知函数fx , >0,求f'x .
(2019 ) ()=xx
x
()
e+1, ≤0,
考点6 反函数的导数计算
设函数y fx 二阶可导f'x 则y fx 的反函数为x f-1y 在点x处的导数为
= () , ()≠0, = () = ()
x
d 1 或f-1y ' 1
y=f'x , [ ()]=f'x ;
d () ()
d2x f″x f″x
() 或f-1y ″ () .
y2=- f'x 3 , [ ()]=- f'x 3
d [ ()] [ ()]
例2.25 设y x x 的反函数为x gy 则反函数的导数g' 与g″ 分别为 .
=6sin +3e = (), (3) (3)
考点7 高阶导数的计算
1. 高阶导数的定义
若函数y fx 的导数y' f'x 仍可导 则称f'x 的导数为y fx 的二阶导数 记为y″f″x
= () = () , () = () , , ( )
d2y
或 即
x2 ,
d
f'x h f'x
f″x (+ )- ().
()=lhim h
→0
dny
一般地 函数fx 的n 阶导数的导数称为fx 的n阶导数 记为y(n)f(n)x 等 即
, () -1 () , , (),xn ,
d
f(n -1)x h f(n -1)x
f(n)x (+ )- ().
()=lhim h
→0
2. 常见的高阶导数公式
ax (n) ax naa a x (n) x ax (n) an ax.
(1)( ) = ln (>0,≠1);(e) =e;(e ) = e
(n) an nn
1 (-1) !.
(2)ax b = ax bn +1
+ ( + )
an n -1n
ax b (n) (-1) (-1)!.
(3)[ln( + )] = ax bn
( + )
xa (n) aa a n xa - na n xa (n) a n .
(4)( ) = (-1)…(- +1) (≥ );( ) =0(< )
n n
x (n) x π x (n) x π .
(5)(sin ) =sin + ,(cos ) =cos +
2 2
553. 高阶导数的求法
方法一:利用常见的高阶导数计算公式
方法二:利用莱布尼茨公式
设u ux v vx 均n阶可导 则有
= (),= () ,
(
uv
)
(n)
=
u(n)v
+
C n1u(n -1)v'
+
C n2u(n -2)v2
+…+
Cn n-1u'v(n -1)
+
uv(n).
方法三:利用泰勒公式
任何一个无穷阶可导的函数均有
f″ f(n)
fx f f' x (0)x2 (0)xn
()= (0)+ (0)+ +…+ n +…,
2! !
若fx 可展开为
()
f
(
x
)=
a
0+
a
1
x
+
a
2
x2
+…+
a
n
xn
+…,
f(n)
则必有a (0)解得f(n) a n .
n= n , (0)= n· !
!
方法四:利用递归法
例2.26 设函数fx x 则f(n) .
()=ln(1-2 ), (0)=
例2.27 设函数fx x2 2 x 则f(n) .
()= e , (0)=
例2.28 设函数fx 具有任意阶导数 且f'x fx 2 则当n为大于 的正整数时fx 的n
() , ()=[()], 2 ,( )
阶导数f(n)x .
()=( )
.nfx n .n fx n +1
A [()] B (+1)·[()]
.n fx n . n fx n +1
C ! [()] D ! [()]
56第三节 导数几何意义及切线、法线方程
考点1 导数的几何意义
若函数y fx在点x x 处导数f'x 存在 则在几何上f'x 表示曲线y fx在点x fx 处的
= () = 0 (0) , (0) = () (0,(0))
切线的斜率k即k f'x .
, = (0)
f h f h
例2.29 设fx 是以 为周期的可导函数 且 (2-3 )- (2+ ) 则曲线y fx 在点
() 3 ,lhim h =-4, = ( )
→0
f 处的切线斜率为 .
(-1,(-1))
考点2 切线方程、法线方程
曲线y fx 在点x fx 处的切线方程为
= () (0,(0))
y fx f'x x x
- (0)= (0)(- 0);
曲线y fx 在点x fx 处的法线方程
= () (0,(0)) :
y fx 1 x x f'x .
- (0)=-f'x (- 0)( (0)≠0)
(0)
x
例2.30 设函数y fx 由 xy +1 确定 则曲线y fx 在x 处的法线方
= ( ) sin( )-ln y =1 , = ( ) =0
程为 .
例2.31 设函数fx 在x 处连续 且 f (2 x ) 1-tan x si 1 n x 则曲线y fx 在x 处
() =0 ,lxim x =lxim x , = ( ) =0
→0 →0 1+tan
的切线方程是 .
57例2.32 若曲线y x2 与曲线y a xa 相切 则a .
= = ln (≠0) , =
t t2
x 2+
= t3 ,
例2.33 曲线 1+
t t2
y 2-
= t3 ,
1+
58
上对应于t 的点处的法线与x轴的交点坐标为 .
=1
例2.34 已知曲线的极坐标方程为r θ 则该曲线上对应于θ π的点处的切线的直角坐标方
=1-cos, =
6
程为 .
第四节 微分的定义、计算及几何意义
考点1 微分的定义
设函数y fx 在点x 的某邻域内有定义 当自变量x在点x 处有增量 x时 若相应的函数增量
= () 0 , 0 Δ ,
可表示为
y fx x fx A x o x
Δ = (0+Δ )- (0)= ·Δ + (Δ ),
其中A与 x无关o x 是 x 时比 x高阶的无穷小量 则称函数fx 在点x 处可微 其中 y的
Δ ,(Δ ) Δ →0 Δ , () 0 , Δ
线性主部A x称为函数fx 在点x 处的微分 记为y A x.
·Δ () 0 , d|x = x 0 = ·Δ考点2 微分的计算
若函数fx 在点x 处可微时 A f'x 记 x x 则fx 在点x 处的微分
() 0 , = (0), Δ =d , () 0
y f'x x f'x x.
d|x = x 0 = (0)Δ = (0)d
. 若函数f(x)可微时,则函数f(x)的微分 y f'(x)x f'(x)x.
1 d = Δ = d
.函数f(x)在点x 处可微 f(x)在点x 处可导.
2 0 ⇔ 0
例2.35 设y xx 则y .
=(1+sin ), d|x =π=
例2.36 设函数fu 可微y f 2x 当自变量x在x π处取得增量 x . 时 相应函
() ,= (cos ) =- Δ =-01 ,
4
数增量 y的线性主部为 . 则f' 1 .
Δ 02, =
2
考点3 微分的几何意义
如右图所示 y fx x fx 表示曲线y fx
,Δ = (0+Δ )- (0) = ( )
在点x 处 当自变量增量为 x时的纵坐标增量.微分 y
0 , Δ d|x = x 0
表示曲线y fx 在点x fx 处的切线 当自变量增量为
= () (0,(0)) ,
x时的纵坐标增量.
Δ
例2.37 设函数y fx 具有二阶导数 且f'x f″x x为自变量x在x 处的增量 y
= () , ()>0, ()>0,Δ 0 ,Δ
与 y分别为fx 在点x 处对应的增量与微分 若 x 则 .
d () 0 , Δ >0 ( )
. y y. . y y. .y y . . y y .
A00, () ; () ()
则fx 在区间I上严格单调减少.
<0, ()
若函数fx 在区间I上f'x 且f'x 不在任何子区间内恒取等号 则fx 在区间I上仍严格
() ()≥0, () , ( )
单调增加.若函数fx 在区间I上f'x 且f'x 不在任何子区间内恒取等号 则fx 在区间I上仍
() ()≤0, () , ()
严格单调减少.
.上述定理中区间I,是开区间、闭区间、邻域或无穷区间均适用.
1
.若可导函数f(x)在区间I内单调增加(或单调减少),则对任意x I,有f'(x) (或f'(x) ).
2 ∈ ≥0 ≤0
.若导数f'(x ) 时,则函数f(x)在该点邻域内单调递增,注意这句话是错误的,也是考生经
3 0 >0
常容易犯错误的点. ∙∙∙
但是,当增加“f'(x)在x x 处连续”的前提条件,该命题就是正确的,即“若f'(x)在x x 处
= 0 = 0
连续,且f'(x) ,则函数f(x)在该点邻域内单调递增”.
0 >0
例2.38 设函数fx 在 内可导 且对于任意x x 当x x 时 均有fx fx
() (-∞,+∞) , 1,2, 1> 2 , (1)> (2),
则 .
( )
.对任意xf'x . 对任意xf' x
A , ()>0 B , (- )≤0
.函数 fx 单调增加 . 函数 f x 单调增加
C - () D - (- )
注 注意以下几条曲线之间的关系:
【 】
()曲线y f(x)与y f(x)关于y轴对称;
1 = - =
()曲线y f(x)与y f(x)关于原点 对称;
2 =- - = 0
()曲线y f(x)与y f(x)关于x轴对称.
3 =- =
例2.39 设函数fx 连续 且f' 则存在δ 使得 .
() , (0)>0, >0, ( )
.fx 在 δ 内单调增加. .fx 在 δ 内单调减少.
A () (0,) B () (- ,0)
.对任意的x δ 有fx f . .对任意的x δ 有fx f .
C ∈(0,), ()> (0) D ∈(- ,0), ()> (0)
60注意本题中A选项是极易错选的,需明确“函数f(x)在一点处导数的正负性无法确定f(x)在该
点邻域内的单调性,除非导函数f'(x)在该点处连续”,例如
1x x2 1,x
+ sinx ≠0
f(x) 2
=
, x
0 =0
61
,
显然f(x)在x 处连续,且
=0
f(x)f()
- 0 1 x 1 1 ,
lxim x =lxim + cosx = >0
→0 →0 2 2
但当x 时,f'(x) 1 x 1 1在x 的去心邻域内时正时负,即f(x)在x 的去心
≠0 = +2sinx-cosx =0 =0
2
邻域内振荡,不单调.
例2.40 设函数fx 可导 且fxf'x 则 .
() , () ()>0, ( )
.f f . f f
A (1)> (-1) B (1)< (-1)
.f f . f f
C| (1)|>| (-1)| D | (1)|<| (-1)|
常见的函数构造形式可总结如下:
()f'(x)f(x) 1[f2 (x)'].
1 ⇒
2
f'(x)
() f(x).
2f(x)⇒ln| |
()f'(x)g(x)g'(x)f(x) [f(x)g(x)'].
3 + ⇒
f(x)
()f'(x)g(x)g'(x)f(x)
4 - ⇒ g(x)
'.
()f'(x)f(x) [xf(x)'].
5 + ⇒ e
()f'(x)f(x) [
-
xf(x)'].
6 - ⇒ e
例2.41 设函数fx 与gx 为恒大于零的可导函数 且f'xgx fxg'x . 若fx 与
() () , ()( )- ( ) ( )<0 ( )
gx 的导函数均大于零 则当a x b时 有 .
() , < < , ( )
.fxgb fbgx . .fxga fagx .
A ()()> ()() B ()()> ()()
.fxgx fbgb . .faga fbgb .
C ()()> ()() D ()()> ()()考点2 函数的极值
1.极值的定义
设函数fx 在点x 的某邻域内有定义 若对该邻域内任意一点xx x 均有fx fx 或f
() 0 , ( ≠ 0) ( )> (0)(
x fx 则称fx 是函数fx 的一个极小值 或极大值 .函数的极小值与极大值统称为极值 使函
()< (0)), (0) () ( ) ,
数取得极值的点x 称为极值点.
0
2.极值的必要条件
若函数fx 在点x 处取极值 则f'x 或f'x 不存在.
() 0 , (0)=0 (0)
极值点只可能出现在驻点或一阶导数不存在的点处,例如x 是函数f(x) x2 的极小值点,此
=0 =
时f'() (即驻点);x 是函数f(x) x 的极小值点,此时f'()不存在.
0 =0 =0 =|| 0
3.极值的第一充分条件
设函数fx 在点x 处连续 在点x 的某去心邻域内可导 则
() 0 , 0 ,
若在x 左去心邻域f'x 在x 右去心邻域f'x fx 为极大值
(1) 0 ()>0, 0 ()<0,(0) ;
若在x 左去心邻域f'x 在x 右去心邻域f'x fx 为极小值
(2) 0 ()<0, 0 ()>0,(0) ;
若f'x 在点x 的左右去心邻域内不变号 则fx 不是fx 的极值.
(3) () 0 , (0) ()
4.极值的第二充分条件
设函数fx 在点x 处具有二阶导数 且f'x
() 0 , (0)=0,
当f″x 时fx 为极大值
(1) (0)<0 ,(0) ;
当f″x 时fx 为极小值
(2) (0)>0 ,(0) ;
当f″x 时 无法判定fx 是否为函数的极值.
(3) (0)=0 , (0)
例2.42 设函数fx x x x 下列命题正确的是 .
()= sin +cos , ( )
.f 是极大值f π 是极小值 .f 是极小值f π 是极大值
A (0) , B (0) ,
2 2
.f 是极大值f π 也是极大值 .f 是极小值f π 也是极小值
C (0) , D (0) ,
2 2
x2 x x
例2.43 年 已知函数fx , >0,求f'x 并求fx 的极值.
(2019 ) ()=xx
x
(), ()
e+1, ≤0,
62例2.44 年 已知可导函数y yx 满足ax y2 y x y b 且y
(2023 ) = ( ) e + + -ln(1+ )cos + =0, (0)=0,
y' .
(0)=0
求ab的值
(Ⅰ) , ;
判断x 是否为yx 的极值点.
(Ⅱ) =0 ()
fx
例2.45 设函数fx 在x 的某邻域内连续 且 () . 给出以下四条结论
() =0 ,lxim x2 =2 :
→0ln(1+ )
f f'
① (0)=0; ② (0)=0;
fx
x 是函数fx 的极大值点 ()
③ =0 () ; ④lxim x =0,
→0
其中正确结论的个数是 .
( )
. . . .
A 1 B 2 C 3 D 4
考点3 函数的最大值和最小值
求函数fx 在区间ab 上的最大值和最小值的方法步骤
() [,]
求出fx 在区间ab 内的驻点与f'x 不存在的点
(1) () (,) () ;
计算fx 在上述点及区间端点处的函数值
(2) () ;
比较上述函数值的大小 最大者为fx 在区间ab 上的最大值 最小者为fx 的最小值.
(3) , () [,] ; ()
例2.46 数列 n n 的最大项为 .
{ }
63考点4 曲线的凹凸性
1.凹凸性定义
若对区间I上任意不同的两点x x 恒有
(1) 1,2,
x x
f 1+ 2 1fx fx
< [(1)+ (2)],
2 2
则曲线y fx 在区间I内是凹的 如图 所示
= () , 1 ;
若对区间I上任意不同的两点x x 恒有
(2) 1,2,
x x
f 1+ 2 1fx fx
> [(1)+ (2)],
2 2
则曲线y fx 在区间I内是凸的 如图 所示.
= () , 2
图1 图2
同时,若曲线y f(x)在区间[a,b]内是凹曲线,则曲线在[a,b]上任意一点的切线位于曲线下方
=
(如图 所示),曲线在[a,b]上任意两点之间的割线位于曲线上方(如图 所示).
3 4
图3 图4
若曲线y f(x)在区间[a,b]内是凸曲线,上述结 论 刚好相反.
=
2.凹凸性的判定
设函数fx 在ab 内具有二阶导数 若在ab 内f″x 或f″x 则曲线y fx 在a
() (,) , (,) ()>0( ( )<0), = ( ) (,
b 内是凹 或凸 的.
) ( )
64例2.47 已知fx 在 内均有f″x 且gx f f f x
() [0,1] ()>0, ()= (0)+[(1)- (0)],
hx f f' x 则在区间 j上必有 .
()= (0)+ (0), - ( )
.gx fx hx . hx gx fx
A ()≥ ()≥ () B ()≥ ()≥ ()
.gx hx fx . hx fx gx
C ()≥ ()≥ () D ()≥ ()≥ ()
例2.48 设 a b 且a b 则下列结论正确的是 .
0< <2,0< <2 ≠ , ( )
a b a b a b
.a a bb a b + . .+ .
A ln +ln >(+ )ln B a + b < a+ b
2 2 e e
e
a b a b a b
.a a bb a b + . .+ .
C ln +ln <(+ )ln D a + b = a+ b
2 2 e e
e
fx fx
例2.49 设a x x x by fx 在ab 内二阶可导且f″x 又k (2)- (1)
< 1< 2< 3< ,= () (,) ( )<0, 1= x x ,
2- 1
fx fx fx fx
k (3)- (2)k (3)- (1)则有
2= x x ,3= x x , ( )
3- 2 3- 1
.k k k .k k k
A 1> 2> 3 B 1> 3> 2
.k k k .k k k
C 2> 1> 3 D 3> 1> 2
考点5 曲线的拐点
1.拐点的定义
曲线上凹胡与凸弧的分界点称为曲线的拐点.注意 拐点是曲线上的点 不能写成x x 的形式 应写
, , = 0 ,
成坐标x fx 形式.
(0,(0))
2.拐点的必要条件
若点x fx 是曲线y fx 的拐点 则f″x 或f″x 不存在.
(0,(0)) = () , (0)=0 (0)
曲线拐点的横坐标只可能在两类点处取得:二阶导数为0或二阶导数不存在的点处.
653.拐点的第一充分条件
设函数fx 在点x 处连续 在点x 的某去心邻域内二阶可导 则
() 0 , 0 ,
若f″x 在点x 的左右去心邻域内变号 则x fx 是y fx 的拐点
(1) () 0 , (0,(0)) = () ;
若f″x 在点x 的左右去心邻域内不变号 则x fx 不是y fx 的拐点.
(2) () 0 , (0,(0)) = ()
4.拐点的第二充分条件
若f″x f‴x 则x fx 是曲线y fx 的拐点.
(0)=0, (0)≠0, (0,(0)) = ()
例2.50 若曲线y x3 ax2 bx 有拐点 则b .
= + + +1 (-1,0), =
例2.51 曲线y x x 2 3 的拐点为 .
=(-5)
例2.52 设fx x x 则 .
()=| (1- )|, ( )
.x 是fx 的极值点 但 不是曲线y fx 的拐点.
A =0 () , (0,0) = ()
.x 不是fx 的极值点 但 是曲线y fx 的拐点.
B =0 () , (0,0) = ()
.x 是fx 的极值点 且 是曲线y fx 的拐点.
C =0 () , (0,0) = ()
.x 不是fx 的极值点 也不是曲线y fx 的拐点.
D =0 () ,(0,0) = ()
66例2.53 设函数fx 在 内连续 其 阶导数f″x 的图形如右图所示 则曲线y fx
() (-∞,+∞) , 2 () , = ( )
的拐点的个数为 .
( )
. . . .
A 0 B 1 C 2 D 3
例2.54 已知fx 在 内连续 且f'x 图形如右图所示 则fx .
() (-∞,+∞) , () , ()( )
.fx 有 个极值点 曲线y fx 有 个拐点
A () 2 , = () 2
.fx 有 个极值点 曲线y fx 有 个拐点
B () 2 , = () 3
.fx 有 个极值点 曲线y fx 有 个拐点
C () 2 , = () 4
.fx 有 个极值点 曲线y fx 有 个拐点
D () 3 , = () 2
考点6 渐近线的求法
1.垂直渐近线
若 fx 或 fx 或 fx 则x x 为曲线y fx 的一条垂直渐近线.
lxi
→
mx
0
()=∞
x
li
→
m
x 0 -
()=∞
x
li
→
m
x 0 +
()=∞, = 0 = ()
2.水平渐近线
若 fx A或 fx A或 fx A 则y A为曲线y fx 的一条水平渐近线.
lxim ()= xlim ()= xlim ()= , = = ()
→∞ →-∞ →+∞
3.斜渐近线
fx
若 ()a fx ax b 则直线y ax b是曲线y fx 在x 方向上的一
xlim x = ≠0, xlim [()- ]= , = + = () →+∞
→+∞ →+∞
条渐近线.
fx
若 ()a fx ax b 则直线y ax b是曲线y fx 在x 方向上的一
xlim x = ≠0, xlim [()- ]= , = + = () →-∞
→-∞ →-∞
条渐近线.
例2.55 曲线y x
1
2
x2
+
x
+1 的渐近线条数为 .
=e arctan x x ( )
(+1)(-2)
.. .. .. ..
A0 B1 C2 D3
67例2.56 年 曲线y x 1 的斜渐近线方程为
(2023 ) = ln(e+x )
-1
.y x . .y x 1. .y x. .y x 1.
A = +e B = +e C = D = -e
考点7 曲率（仅数学一、数学二要求）
1. 曲率计算公式
设函数fx 具有二阶导数 则曲线y fx 在点Mxy 处的曲率为
() , = () (,)
y″
K | | .
= 3
y'2 2
(1+ )
曲率是描述曲线弯曲程度的量 曲线在某点处的曲率越大 曲线在该点处的弯曲程度就越大.
, ,
2. 曲率半径、曲率圆与曲率中心
若曲线Cy fx 在点M xy 处的曲率为K 且K 则称
: = ( ) ( , ) , ≠0,
R 1为曲线在点Mxy 处的曲率半径.
=K (,)
如右图所示 在点M xy 处曲线C的法线上 位于曲线凹的一侧
, ( ,) ,
取一点D 使得 MD R 1 则称以D为圆心 R为半径的圆为曲线
, | |= =K, ,
C在点Mxy 处的曲率圆 称圆心D为曲线C在点Mxy 处的曲率
(,) , ( ,)
中心.
x t2
例2.57 曲线 = +7, 上对应于t 的点处的曲率半径是 .
y t2 t . =1 ( )
= +4+1
.10. .10. . . . .
A B C10 10 D5 10
50 100
68
