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专题 17 曲线积分与曲面积分
主讲 武忠祥 教授
（一）对弧长的线积分（第一类线积分）
n
1 定义 ∫ f(x,y)ds=lim∑ f(ξ,η)Δs
i i i
L λ→0
i=1
2 性质 ∫ f(x,y)ds=∫ f(x,y)ds （与积分路径方向无关）
∩ ∩
L(AB) L(BA)
3 计算(平面)
1）直接法：
⎧x= x(t)
（1)若L:⎨ ，α≤t ≤β，则
⎩y = y(t)
β
∫ f(x,y)ds=∫ f(x(t),y(t)) x′2(t)+ y′2(t)dt.
L α
（2) 若L:y = y(x) ，a≤ x≤b，则
b
∫ f(x,y)ds=∫ f(x,y(x)) 1+ y′2(x)dx
L a
（3) 若L:ρ=ρ(θ) ，α≤θ≤β，则
β
∫ f(x,y)ds=∫ f(ρcosθ,ρsinθ) ρ2 +ρ′2dθ
L α
几个常用曲线
1.心形线 ρ=a(1±cosθ)
2 2 2 ⎧x=acos3θ
2.星形线 x3 + y3 =a3, ⎨
⎩y =asin3θ
⎧x=a(θ−sinθ)
3.摆线 ⎨ ,
⎩ y =a(1−cosθ
4.双纽线 (x2 + y2)2 =a2(x2 − y2),ρ2 =a2cos2θ.
2）利用奇偶性.
（1) 若积分曲线L关于y 轴对称, 则.
1⎪ ⎧2∫ f(x,y)ds, 当f(x,y)关于x为偶函数.
∫ f(x,y)ds=⎨ L
x≥0
L ⎪ ⎩ 0, 当f(x,y)关于x为奇函数.
（2)若积分曲线L关于x轴对称,则
⎪ ⎧2∫ f(x,y)ds, 当f(x,y)关于y为偶函数.
∫ f(x,y)ds=⎨ L
y≥0
L ⎪ ⎩ 0, 当f(x,y)关于y为奇函数.
3）利用对称性
若积分曲线关于直线y = x对称,则∫ f(x,y)ds=∫ f(y,x)ds
L L
特别的 ∫ f(x)ds=∫ f(y)ds
L L
4 计算(空间)
1）直接法
对空间线积分∫ f(x,y,z)ds，通常化为定积分计算，即
L
若曲线L的方程为：x= x(t),y= y(t),z = z(t) (α≤t ≤β)
β
则∫ f(x,y,z)ds = ∫ f(x(t),y(t),z(t)) x′2(t)+ y′2(t)+ z′2(t)dt
L α
2）变量对称性
【例1】设L为x2 + y2 =2y,则I = ∫ [(x+1)2 + y2]ds = ________.,
L
【解】I = ∫ [x2 +2x+1+ y2]ds
L
=2∫ yds+2π
L
其中计算积分∫ yds可以用以下4种方法
L
【方法1】x=cost,y =1+sint,(0≤t ≤2π).
2π
∫ yds = ∫ (1+sint)dt =2π
L 0
【方法2】 ρ=2sinθ，(0≤θ≤2π).
π
∫ yds =2∫ 2sin2θdθ=2π
L 0
【方法3】 ∫ yds = ∫ [(y−1)+1]ds = ∫ds （奇偶性）
L L L
=2π
【方法4】 ∫ yds = y⋅l （形心公式）
L
2=2π
【例 2】(2018 年)设 L 为球面 x2 + y2 +z2 =1 与平面 x+ y+z =0 的交线，则
∫ xyds= ________.
L
【解1】由变量对称性知
1
∫ xyds= ∫ (xy+ yz+xz)ds
L 3 L
1
= ∫ (2xy+2yz+2xz)ds
6 L
1
= ∫ [(x+ y+z)2 −(x2 + y2 +z2)]ds
6 L
1 1 π
= ∫ [02 −1]ds =− ⋅2π=−
6 L 6 3
【解2】
（二）对坐标的线积分(第二类线积分)
n
1 定义 ∫ P(x,y)dx+Q(x,y)dy=lim∑[P(ξ,η)Δx +Q(ξ,η)Δy ]
i i i i i i
L λ→0
i=1
2 性质 ∫ Pdx+Qdy=−∫ Pdx+Qdy （与积分路径方向有关）
∩ ∩
L(AB) L(BA)
3 计算方法(平面)
⎧x= x(t)
1)直接法 设有光滑曲线L:⎨ ，t∈[α,β]，其起点和终点分别对应参数t =α
⎩y= y(t)
和t =β，P(x,y),Q(x,y)在L上连续，则
β
∫ Pdx+Qdy =∫ [P(x(t),y(t))x′(t)+Q(x(t),y(t))y′(t)]dt
L α
2)格林公式
设闭区域D由分段光滑的的曲线L围成，函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连
续偏导数，则有
⎛∂Q ∂P⎞
∫Pdx+Qdy =∫∫⎜ − ⎟dσ
⎜ ⎟
L ⎝ ∂x ∂y ⎠
D
其中L为D取正向的边界曲线.
33)补线用格林公式
4)利用线积分与路径无关
Q(x ,y)dy+∫
1
（1）线积分与路径无关的判定
定理 设函数P(x,y)，Q(x,y)在单连通域D上有一阶连续偏导数，则以下四条
等价：
1）线积分∫ Pdx+Qdy与路径无关；
L
2）∫ Pdx+Qdy =0,其中L为D中任一分段光滑闭曲线；
L
∂P ∂Q
3） = , ∀(x,y)∈D;
∂y ∂x
4）P(x,y)dx+Q(x,y)dy =dF(x,y).
（2）计算:
a) 改换路径计算
一般是沿平行于坐标轴的直线积分.
(x ,y ) x y
∫ 2 2 Pdx+Qdy = ∫ 2P(x,y )dx+∫ 2Q(x ,y)dy
1 2
(x ,y ) x y
1 1 1 1
(x ,y ) y x
或∫ 2 2 Pdx+Qdy = ∫ 2 2Q(x,y )dx
2
(x ,y ) y x
1 1 1 1
b) 利用原函数计算
设Pdx+Qdy =dF(x,y)，即F(x,y)为Pdx+Qdy的原函数，则
(x ,y )
∫ 2 2 Pdx+Qdy = F(x ,y )−F(x ,y )
2 2 1 1
(x,y)
1 1
求原函数方法:①偏积分;②凑微分.
4.两类线积分的联系: ∫Pdx+Qdy = ∫(Pcosα+Qcosβ)ds.
L L
5.计算方法(空间)
1)直接法
设分段光滑的曲线L由参数方程x= x(t),y = y(t),z = z(t), t∈[α,β]给出，其起
点和终点分别对应参数t =α和t =β，P,Q,R在L上连续，则
∫ P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz
L
β
= ∫ {P[x(t),y(t),z(t)]x′(t)+Q[x(t),y(t),z(t)]y′(t)+R[x(t),y(t),z(t)]z′(t)}dt
α
42)斯托克斯公式
设L为空间分段光滑的有向闭曲线，∑是以L为边界的分片光滑曲面，L的方
与∑的法方向符合右手法则，函数P,Q,R在∑上具有一阶连续偏导数，则有
∫ P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz
L
cosα cosβ cosγ
∂ ∂ ∂
= ∫∫ dS
∂x ∂y ∂z
∑
P Q R
⎛∂R ∂Q⎞ ⎛∂P ∂R⎞ ⎛∂Q ∂P⎞
= ∫∫⎜ − ⎟dydz+⎜ − ⎟dzdx+⎜ − ⎟dxdy
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠
∑
【例1】（2013年）设L :x2 + y2 =1, L :x2 + y2 =2, L :x2 +2y2 =2, L :2x2 + y2 =2
1 2 3 4
y3 x3
为四条逆时针方向的平面曲线，记 I = ∫(y+ )dx+(2x− )dy(i=1,2,3,4), 则
i 6 3
L
i
{ }
max I ,I ,I ,I =
1 2 3 4
（A）I . （B）I . （C）I . （D）I .
1 2 3 4
【解】
【例 2】(2012 年)已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周x2 + y2 =2x到点(2,0)，再沿圆
周x2 + y2 =4到(0,2)的曲线段. 计算曲线积分I = ∫ 3x2ydx+(x3 + x−2y)dy.
L
【解】 取L 为有向线段x=0,y从 2 到 0；由L与L 围成的平面区域记为D. 根据格林公
1 1
式，得
I = ∫ 3x2ydx+(x3 + x−2y)dy
L
= ∫ 3x2ydx+(x3 + x−2y)dy−∫ 3x2ydx+(x3 + x−2y)dy
L+L L
1 1
∂(x3 + x−2y) ∂(3x2y) 0
= ∫∫[ − ]dxdy−∫ (−2y)dy
∂x ∂y 2
D
52
= ∫∫1dxdy−∫ 2ydy
0
D
π
= −4
2
4x− y x+ y
【例3】(2020年) 计算曲线积分I =∫ dx+ dy,其中L是x2 + y2 =2,方
4x2 + y2 4x2 + y2
L
向为逆时针方向.
【解】取L 为4x2 + y2 =1，方向为顺时针方向：由L与L 围成的平面区域记为D.
1 1
4x− y x+ y
I =∫ dx+ dy
4x2 + y2 4x2 + y2
L
4x− y x+ y 4x− y x+ y
= ∫ dx+ dy − ∫ dx+ dy
4x2 + y2 4x2 + y2 4x2 + y2 4x2 + y2
L+L L
1 1
4x− y x+ y
根据格林公式，得 ∫ dx+ dy
4x2 + y2 4x2 + y2
L+L
1
⎡ ∂ ⎛ x+ y ⎞ ∂ ⎛ 4x− y ⎞⎤
=∫∫⎢
⎜
⎜
⎟
⎟−
⎜
⎜
⎟
⎟⎥dxdy
⎣ ∂x⎝4x2 + y2 ⎠ ∂y⎝4x2 + y2 ⎠⎦
D
=0
4x− y x+ y
所以 I =−∫ dx+ dy
4x2 + y2 4x2 + y2
L
1
=−∫(4x− y)dx+(x+ y)dy
L
1
⎡∂(x+ y) ∂(4x− y)⎤
= ∫∫ − dxdy =π
⎢ ⎥
⎣ ∂x ∂y ⎦
4x2+y2≤1
【例4】（1995年）设函数Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数，曲线积分
∫ 2xydx+Q(x,y)dy
L
与路径无关，并且对任意t恒有
(t,1) (1,t)
∫ 2xydx+Q(x,y)dy = ∫ 2xydx+Q(x,y)dy,
(0,0) (0,0)
求Q(x,y).
6【解】由曲线积分与路径无关的条件知
∂Q ∂
= (2xy)=2x.
∂x ∂y
于是，Q(x,y)= x2 +C(y)，其中C(y)为待定函数.
(t,1) 1 1
∫ 2xydx+Q(x,y)dy = ∫ [t2 +C(y)]dy =t2 +∫ C(y)dy,
(0,0) 0 0
(1,t) t t
∫ 2xydx+Q(x,y)dy = ∫ [12 +C(y)]dy =t +∫ C(y)dy.
(0,0) 0 0
1 t
由题设知 t2 +∫ C(y)dy =t +∫ C(y)dy.两边对t求导，得
0 0
2t =1+C(t), C(t)=2t −1.
从而C(y)=2y−1，所以Q(x,y)= x2 +2y−1.
∂f(x,y)
【例 5】（2016 年）设函数 f(x,y)满足 =(2x+1)e2x−y,且 f(0,y)= y+1,L 是从
∂x t
∂f(x,y) ∂f(x,y)
点(0,0)到点(1,t)的光滑曲线，计算曲线积分I(t)=∫ dx+ dy,并求I 的
L ∂x ∂y t
t
最小值.
∂f(x,y)
【解】由 =(2x+1)e2x−y知，
∂x
f(x,y)=∫(2x+1)e2x−ydx = xe2x−y +C(y)
又 f(0,y)= y+1,则C(y)= y+1, f(x,y)= xe2x−y + y+1
∂f(x,y) ∂f(x,y)
I(t)= ∫ dx+ dy
L ∂x ∂y
t
= f(1,t)− f(0,0) =e2−t +t
I′=−e2−t +1=0, t =2，I′′(2)=1>0, I(2)=3为最小值.
t
【例6】（2002年）设函数 f(x)在(−∞,+∞)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y >0)内
的有向分段光滑曲线，其起点为(a,b)，终点为(c,d). 记
1 x
I = ∫ [1+ y2f(xy)]dx+ [y2f(xy)−1]dy,
L y y2
（1）证明曲线积分I 与路径L无关；
7（2）当ab =cd 时，求I 的值.
【证】因为
∂ ⎧1 ⎫ 1 ∂ ⎧ x ⎫
⎨ [1+ y2f(xy)]⎬= f(xy)− + xyf′(xy)= ⎨ [y2f(xy)−1]⎬
∂y⎩y ⎭ y2 ∂x⎩y2 ⎭
在上半平面内处处成立，所以在上半平面内曲线积分I 与路径无关.
dx xdy
I = ∫ − +∫ yf(xy)dx+ xf(xy)dy,
L y y2 L
dx xdy dx 1 x c a
∫ − = ∫ +xd = ∫ d = − .
L y y2 L y y L y d b
设F(x)为 f(x)的一个原函数，则
∫ yf(xy)dx+ xf(xy)dy = ∫ f(xy)d(xy)= F(cd)−F(ab).
L L
c a
所以当ab=cd 时，F(cd)−F(ab)=0，由此得I = − .
d b
【例 7】（2001 年）计算I = ∫ (y2 − z2)dx+(2z2 − x2)dy+(3x2 − y2)dz，其中L是平
L
面x+ y+ z =2与柱面|x|+| y|=1的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向.
【解1】记S为平面x+ y+ z =2上L所围成部分的上侧，D为S 在xOy坐标面上的投影.
由斯托克斯公式得
1 1 1
3 3 3
∂ ∂ ∂
I = ∫∫ dS
∂x ∂y ∂z
S
y2 −z2 2z2 −x2 3x2 − y2
2
=− ∫∫(4x+2y+3z)dS =−2∫∫(x− y+6)dxdy
3
S D
=−12∫∫dxdy =−24.
D
【解2】I =∫ [y2 −(2−x− y)2]dx+[2(2−x− y)2 −x2]dy+(3x2 − y2)(−dx−dy)
C
= ∫ [2y2 −3x2 −(2−x− y)2]dx+[2(2−x− y)2 + y2 −4x2]dy
C
8= ∫∫(−12−2x+2y)dxdy =−24
D
（三）对面积的面积分(第一类面积分)
n
1 定义 ∫∫ f(x,y,z)dS =lim∑ f(ξ,η,ζ)ΔS
i i i i
λ→0
∑ i=1
2 性质 ∫∫ f(x,y,z)dS =∫∫ f(x,y,z)dS （与积分曲面的方向无关）
∑ −∑
3 计算
1.直接法:
设曲面∑:z = z(x,y),(x,y)∈D
xy
∫∫ f(x,y,z)dS = ∫∫ f[x,y,z(x,y)] 1+ z′2 + z′2dxdy
x y
∑ D
xy
若曲面由方程x = x(y,z)或 y = y(z,x)给出，也可类似地把对面积的面积分化为相应
的二重积分.
2.利用奇偶性
若曲面∑关于xoy面对称,则
⎪
⎧2∫∫ f(x,y,z)dS, 当f(x,y,z)关于z为偶函数;
∫∫ f(x,y,z)dS =⎨
∑
z≥0
∑ ⎪ ⎩ 0, 当f(x,y,z)关于z为奇函数.
3．利用对称性
【例1】（2000年）设S:x2 + y2 + z2 =a2(z ≥0)，S 为S 在第一卦限中的部分，则有（C）.
1
（A）∫∫xdS =4∫∫xdS （B）∫∫ydS =4∫∫xdS
S S S S
1 1
（C）∫∫zdS = 4∫∫xdS （D）∫∫xyzdS =4∫∫xyzdS
S S S S
1 1
【解】
【例2】（1995年）计算曲面积分∫∫zdS ，其中Σ为锥面z = x2 + y2 在柱体x2 + y2 ≤2x
Σ
内的部分.
9【解】Σ在xOy平面上的投影区域D:x2 + y2 ≤2x.
dS = 1+ z2 + z2 dσ= 2dσ.
x y
π
2cosθ
∫∫zdS = ∫∫ x2 + y2 ⋅ 2dσ= 2∫ 2 dθ∫ r2dr
π
− 0
Σ D 2
16 2 π/2 32
= ∫ cos3θdθ= 2.
3 0 9
x2 y2
【例3】（1999年）设S 为椭球面 + + z2 =1的上半部分，点P(x,y,z)∈S，π为S
2 2
z
在点P处的切平面，ρ(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面π的距离，求∫∫ dS .
ρ(x,y,z)
S
【解】设(X,Y,Z)为π上任意一点，则π的方程为
xX yY
+ + zZ =1,
2 2
1
−
⎛x2 y2 ⎞ 2
从而知 ρ(x,y,z)=⎜ + + z2⎟ .
⎜ ⎟
⎝ 4 4 ⎠
⎛x2 y2 ⎞
由z = 1−⎜ + ⎟ ，有
⎜ ⎟
⎝ 2 2 ⎠
⎛∂z⎞ 2 ⎛∂z⎞ 2 4− x2 − y2
dS = 1+⎜ ⎟ +⎜ ⎟ dσ= dσ
⎜ ⎟
⎝∂x⎠ ⎝∂y⎠ ⎛x2 y2 ⎞
2 1−⎜ + ⎟
⎜ ⎟
2 2
⎝ ⎠
zdS 1 1 2π 2 3
∫∫ = ∫∫(4− x2 − y2)dσ= ∫ dθ∫ (4−r2)rdr = π.
ρ(x,y,z) 4 4 0 0 2
S D
（四）对坐标的面积分（第二类面积分）
n
1 定义 ∫∫R(x,y,z)dxdy=lim∑R(ξ,η,ζ)(ΔS )
i i i i xy
λ→0
∑ i=1
2 性质∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=−∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy（与积分曲面的方向
∑ −∑
有关）
3 计算
101) 直接法:
（1）设有向曲面∑:z = z(x,y), (x,y)∈D ,则
xy
∫∫R(x,y,z)dxdy =±∫∫R[x,y,z(x,y)]dxdy
∑ D
xy
若有向曲面∑的法线向量与z轴正向夹角为锐角，即曲面的上侧，上
式中取正号，否则取负号;
（2）设有向曲面∑:x = x(y,z), (y,z)∈D ,则
yz
∫∫P(x,y,z)dydz =±∫∫P[x(y,z),y,z]dydz
∑ D
yz
若有向曲面∑的法线向量与x轴正向夹角为锐角，即曲面的前侧，上
式中取正号，否则取负号;
（3）设有向曲面∑: y = y(z,x), (z,x)∈D ,则
zx
∫∫Q(x,y,z)dzdx =±∫∫Q[x,y(z,x),z]dzdx
∑ D
zx
若有向曲面∑的法线向量与y轴正向夹角为锐角，即曲面的右侧，上
式中取正号，否则取负号.
2)高斯公式:
设空间闭区域Ω由分片光滑闭曲面∑所围成，函数P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)
在Ω上具有一阶连续偏导数，则有
⎛∂P ∂Q ∂R⎞
∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =∫∫∫⎜ + + ⎟dv
⎜ ⎟
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
∑ Ω
外
3) 补面用高斯公式.
2.两类面积分的联系
∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS = ∫∫(Pdydz+Qdzdx+Rdxdy)
∑ ∑
【 例 1 】（ 2019 年 ） 设 Σ 为 曲 面 x2 + y2 +4z2 =4(z ≥0) 的 上 侧 ， 则
∫∫ 4−x2 −4z2dxdy = ____.
Σ
11【解】∫∫ 4−x2 −4z2dxdy = ∫∫ ydxdy
Σ x2+y2≤4
π 2 32
=4∫2dθ∫ r2sinθdr =
0 0 3
{ }
【例2】（2021年）设Σ为空间区域 (x,y,z)x2 +4y2 ≤4,0≤ z ≤2 表面的外侧，则曲面积
分∫∫x2dydz+ y2dzdx+zdxdy = _________.
∑
【解1】高斯公式∫∫x2dydz+ y2dzdx+zdxdy = ∫∫∫(2x+2y+1)dv
∑ Ω
= ∫∫∫dv =4π
Ω
【解2】直接法
【例3】（2018年）设∑是曲面x= 1−3x2 −3y2 的前侧，计算曲面积分.
I = ∫∫xdydz+(y3+2)dzdx+z3dxdy
∑
⎧3y2 +3z2 =1
【解】设S 为平面x=0被⎨ 所围部分的后侧，Ω为∑与S 所围的空间体，
⎩ x=0
∫∫xdydz+(y3+2)dzdx+z3dxdy = ∫∫∫(1+3y2 +3z2)dxdydz
∑+S Ω
2π 3 1−3ρ2
= ∫ dθ∫ 3 dρ∫ (1+3ρ2)ρdρ
0 0 0
3
=2π∫ 3 ρ(1+3ρ2) 1−3ρ2dρ
0
14π
=
45
∫∫xdydz+(y3+2)dzdx+z3dxdy =0
S
14π
则 I =
45
xdydz+ ydzdx+ zdxdy
【例 4】（2009 年）计算曲面积分I = ∫∫ ，其中Σ是曲面
3
Σ (x2 + y2 + z2)2
122x2 +2y2 +z2 =4的外侧.
【解】 取Σ :x2 + y2 +z2 =1的内侧，Ω为Σ与Σ 之间的空间体.
1 1
I = ∫∫ _∫∫
∑+∑ ∑
1 1
根据高斯公式
xdydz+ ydzdx+zdxdy
∫∫ = ∫∫∫0dxdydz =0,
3
Σ+Σ 1 (x2 + y2 +z2)2 Ω
xdydz+ ydzdx+zdxdy
∫∫ =∫∫xdydz+ ydzdx+zdxdy
3
Σ 1 (x2 + y2 +z2)2 Σ 1
= ∫∫∫3dxdydz =4π.
x2+y2+z2≤1
所以I =4π.
【例 5】（2020 年）设∑为曲面z = x2 + y2 (1≤ x2 + y2 ≤4)的下侧, f(x)是连续函数，
计算
I =∫∫[xf(xy)+2x− y]dydz+[yf(xy)+2y+ x]dzdx+[zf(xy)+z]dxdy
∑
【解】因为Σ的法向量为(x,y,−z)，所以
1
I =∫∫ [(x2 + y2 −z2)f(xy)+2x2 +2y2 −z2]dS
2(x2 + y2)
Σ
2
= ∫∫ x2 + y2 dS
2
Σ
记D ={(x,y)|1≤ x2 + y2 ≤4}，
2 2
⎛∂z⎞ 2 ⎛∂z ⎞ 2 ⎛ x ⎞ ⎛ y ⎞
又 ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ +1= ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +1= 2，所以
⎝∂x⎠ ⎝∂y⎠ ⎜ x2 + y2 ⎟ ⎜ x2 + y2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
I =∫∫ x2 + y2 dxd y
D
2π 2 14π
= ∫ dθ∫ r2dr =
0 1 3
13
