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专题 16 微积分在物理中μ的应用
主讲 武忠祥 教授
（一）定积分在物理中的应用
1. 质心 2. 引力
3. 压力 4. 变力作功
【例1】（2014年2）一根长为1的细棒位于x轴的区间[0,1]上，若其线密度ρ=−x2 +2x+1,
则该细棒的质心坐标x = _______.
11
【解】应填
20
质心的横坐标为
1 1
∫ xρ(x)dx ∫ x(−x2 +2x+1)dx 11
11
x = 0 = 0 = 12 =
∫ 1 ρ(x)dx ∫ 1 (−x2 +2x+1)dx 5 3 20
0 0
【例2】（1991年2）如图，x轴上有一线密度为常数
μ，长度为l的细杆，有一质量为m的质点到杆右端
的距离为a. 已知引力系数为k，则质点和细杆之间引力的大小为（ ）.
0 kmμdx lkmμdx 0 km dx l kmμdx
（A）∫ （B）∫ （C）∫ （D）2∫2
−l(a−x)2 0(a−x)2 − l (a+ x)2 0 (a+ x)2
2
【解】选（A）
【例3】（2020年2）斜边长为2a的等腰直角三角形平板铅直的沉没在水中，且斜边与水面
相齐，记重力加速度为g,水的密度为ρ,则该平板一侧所受的水压力为______.
【解】以斜边的中点为原点，垂直于水平面向下的方向为x轴的正向.设该平板一侧所受的
水压力为F ，则压力微元为
dF =2ρgx(a−x)dx
a 1
则 F = ∫ 2ρgx(a−x)dx = a3ρg
0 3
1【例 4】（1999 年 1,2）为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口
（见图）. 已知井深30m，抓斗自重400 N，缆绳每米重50 N，抓斗抓起的污泥重2000 N，
提升速度为3 m/s，在提升过程中，污泥以20 N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉. 现将抓起污泥
的抓斗提升至井口，问克服重力需要作多少焦耳的功？
（说明：①1N×1 m=1J; m、N、s、J分别表示米、牛顿、秒、焦耳；②抓斗的高度及位于井
口上方的缆绳长度忽略不计.）
【解】如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功
w= w +w +w ,
1 2 3
其中w 是克服抓斗自重所作的功；w 是克服缆绳重力所作的
1 2
功；w 为提出污泥所作的功. 由题意知
3
w =400×30=12000.
1
将抓斗由x处提升到x+dx处，克服缆绳重力所作的功为
dw =50(30−x)dx,
2
30
从而 w = ∫ 50(30−x)dx =22500.
2
0
在时间间隔[t,t +dt]内提升污泥需作功为
dw =3(2000−20t)dt,
3
30
将污泥从井底提升至井口共需时间 =10，所以
3
10
w = ∫ 3(2000−20t)dt =57000.
3
0
因此，共需作功
w=12000+22500+57000=91500(J).
【例5】（2003年1）某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克
服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系
数为k，k >0），汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案，要求汽锤每次击打桩
时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(00，求x(t).
dx
【解】由题意，有 =kx(N −x), x = x ..
dt t=0 0
分离变量并积分，得 x= NCekNt (1+CekNt).
x Nx ekNt
代入初始条件，得C = 0 ，故x= 0 .
N −x N −x + x ekNt
0 0 0
【例 2】（2015 年 2）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率
与该时刻物体和介质的温度差成正比.现将一初始温度为120oC的物体在20oC 恒温介质中
4冷却，30min后物体温度降至30oC，若要将物体的温度继续降至21oC,还需冷却多长时
间？
【解】设t时刻物体的温度为T(t)(oC),由题设知
dT
=−k(T −20) (k >0)
dt
解该方程得 T(t)=20+Ce−kt
又 T(0)=120,则C =100, T(t)=20+100e−kt
1 ln10
T(30)=30,则e−k30 = , k =− .
10 30
代入T(t )=21,得t =60,
0 0
则还需要30分钟物体物体温度降至21 oC.
【例 3】（2004 年 1,2）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机
尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆
时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比
（比例系数为k =6.0×106）. 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？
（注：kg表示千克，km/h表示千米/小时.）
【解】由题设,飞机的质量m=9000kg，着陆时的水平速度v =700km/h. 从飞机接触跑
0
道开始计时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).
【解一】 根据牛顿第二定律，得
dv
m =−kv.
dt
dv dv dx dv
又 = ⋅ =v ,
dt dx dt dx
由以上二式得
m
dx =− dv，
k
m m
积分得x(t)=− v+C. 由于v(0)=v ,x(0)=0，故得C = v ，从而
k 0 k 0
m
x(t)= (v −v(t)).
k 0
当v(t)→0时，
5mv 9000×700
x(t)→ 0 = =1.05(km).
k 6.0×106
所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.
dv
【解二】 根据牛顿第二定律，得m =−kv，所以
dt
dv k
=− dt.
v m
k
− t
两端积分得通解v =Ce m ，代入初始条件v =v 解得C =v ，故
t=0 0 0
k
− t
v(t)=v e m .
0
飞机滑行的最长距离为
+∞
+∞ mv − k t mv
x = ∫ v(t)dt =− 0 e m = 0 =1.05(km).
0 k k
0
【解三】 根据牛顿第二定律，得
d2x dx d2x k dx
m =−k , + =0，
dt2 dt dt2 m dt
k k
其特征方程为r2 + r =0，解之得r =0,r =− ，故
m 1 2 m
k
− t
x =C +C e m .
1 2
dx kC − k t mv
由x =0,v = =− 2 e m =v ，得C =−C = 0 ，于是
t=0 t=0 dt m 0 1 2 k
t=0 t=0
mv − k t
x(t)= 0 (1−e m ).
k
mv
当t →+∞时，x(t)→ 0 =1.05(km). 所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.
k
V
【例4】（2000年2）某湖泊的水量为V ，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为 ，流入
6
V V
湖泊内不含A的水量为 ，流出湖泊的水量为 . 已知 1999 年底湖中A的含量为5m ，
6 3 0
超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超
m
过 0 . 问至多需经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至m 以内？（注：设湖水中A的
V 0
浓度是均匀的.）
【解】 设从2000年初（令此时t =0）开始，第t年湖泊中污染物A的总量为m，浓度为
6m m V m
，则在时间间隔[t,t +dt]，排入湖泊中A的量为 0 ⋅ dt = 0 dt，流出湖泊的水中A
V V 6 6
m V m
的量为 ⋅ dt = dt，因而在此时间间隔内湖泊中污染物A的改变量
V 3 3
⎛m m⎞
dm=⎜ 0 − ⎟dt.
⎝ 6 3 ⎠
m − t 9
由分离变量法解得m= 0 −Ce 3，代入初始条件m =5m ，得C =− m . 于是
2 t=0 0 2 0
m − t
m= 0 (1+9e 3).
2
令m=m ，得t =6ln3，即至多需经过6ln3年，湖泊中污染物A的含量降至m 以内.
0 0
（三）多元积分在物理中的应用（仅数一要求）
1. 质量 2. 质心（形心）
3. 变力沿曲线作功 4. 转动惯量
【例1】（2017年）设薄片型物体S 是圆锥面z = x2 + y2 被柱面z2 =2x割下的有限部分，
其上任一点的密度为μ(x,y,z)=9 x2 + y2 +z2.记圆锥面与柱面的交线为C.
（Ⅰ）求C在xoy平面上的投影曲线的方程；
（Ⅱ）求S的质量M.
⎧x2 + y2 =2x,
【解】 （Ⅰ）投影曲线方程为⎨
⎩ z =0.
（Ⅱ）M = ∫∫9 x2 + y2 +z2dS
S
=9∫∫ （2 x2 + y2) 1+z2 +z2dxdy
x y
D
=18∫∫ x2 + y2dxdy
D
π
2cosθ
=18∫2 dθ∫ ρ2dρ=64
π
− 0
2
【例2】（2000年）设有一半径为R的球体，P 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点
0
的密度与该点到P 距离的平方成正比（比例常数k >0），求球体的质心位置.
0
7~ ~
【解】设所考虑的球体为Ω、球心为O，以定点P 为原点，射线PO为正z轴建立直角坐
0 0
标系，则球面的方程为
x2 + y2 + z2 =2Rz.
设Ω的重心位置为(x,y,z)，由对称性，得
∫∫∫kz(x2 + y2 + z2)dv
x =0, y =0, z = Ω .
∫∫∫k(x2 + y2 + z2)dv
Ω
π π 2Rcosϕ 32
∫∫∫(x2 + y2 + z2)dv =4∫ 2dθ∫ 2dϕ∫ r4sinϕdr = πR5,
0 0 0 15
Ω
π π
2Rcosϕ
而 ∫∫∫z(x2 + y2 + z2)dv =4∫ 2dθ∫ 2dϕ∫ r5sinϕcosϕdr
0 0 0
Ω
64 π 8
= πR6∫2cos7ϕsinϕdϕ= πR5,
3 0 3
5 ⎛ 5 ⎞
故z = R. 因此，球体Ω的重心位置为⎜0,0, R⎟.
4 ⎝ 4 ⎠
【例3】（2013年）设直线L过点A(1,0,0),B(0,1,1)两点，将L绕z轴旋转一周得到曲面∑，
∑与平面z =0,z =2所围成的立体为Ω.
（1）求曲面∑的方程；
(2) 求Ω的形心坐标.
x−1 y z
【解】过点(1,0,0)和(0,1,1)的直线方程为 = =
−1 1 1
其参数方程为x=1+t,y =−t,z =−t
设(x,y,z)是曲面上任一点则
x2 + y2 =(1+t)2 +t2,z =−t,
消去t，得曲面∑的方程为 x2 + y2 =(1−z)2 + z2
∫∫∫zdv 2
π∫ (2z3 −2z2 + z)dz
7
z = Ω = 0 =
∫∫∫dv π∫ 2 (2z2 −2z+1)dz 5
0
Ω
8【例4】（1990年）质点P沿着以AB为直径的半圆周，从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过程
中受到变力F 作用（见图），F的大小等于点P与原点O之间的距离，其方向垂直于直线
π
段OP，且与y轴正向的夹角小于 .求变力F 对质点P所作的功.
2
【解】按题意，变力F =−yi + xj.
∩
圆弧AB的参数方程是
⎧x =2+ 2cosθ, 3 π
⎨ − π≤θ≤ .
⎩y =3+ 2sinθ, 4 4
变力F所作的功
W = ∫ − ydx+ xdy
∩
AB
π [ ]
= ∫ 4 2(3+ 2sinθ)sinθ+ 2(2+ 2cosθ)cosθdθ
3
− π
4
=2(π−1).
9
