(416)--专题十六物理应用（数一二）笔记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高等数学17堂课 专题16 微积分在物理中的应用 （电子版讲义） 主讲 武忠祥 教授一、定积分在物理中的应用 b  x(x)dx 1. 质心 x  a b  (x)dx a km m kq q 2. 引力 万有引力 F  1 2 点电荷引力 F  1 2 2 2 r r 3. 压力 压 强 p  gh 压力 P  p  A 4. 变力作功 功 W  F  s【例1】(2014年2） 一根长为 的细棒位于 x 轴的区间 [0,1] 上, 1 若其线密度   x 2  2x  1, 则该细棒的质心坐标 x  _______ . 【解 】 质心的坐标为 b  x(x)dx a x  b 1  (x)dx  x(x)dx a x  0 1  (x)dx 0 1  x( x 2  2x  1)dx  0 1  ( x 2  2x  1)dx 0 11  20【例2】(1991年）如图，x 轴上有一线密度为常数 ,长度为 的细 l 杆,有一质量为 m 的质点到杆右端的距离为 a .已知引力系数为 ,则质点和细杆之间引力的大小为（ ）. k kmd x kmd x km m 0 l （A） （B）  F  1 2 l (a  x) 2 0 (a  x) 2 r 2 kmd x l kmd x 0 （C） （D） 2  2 l  (a  x) 2 0 (a  x) 2 2【例3】(2020年2）斜边长为 2a 的等腰直角三角形平板铅直的沉 没在水中，且斜边与水面相齐，记重力加速度为 g, 水的密度为 p  gh P  p  A , 则该平板一侧所受的水压力为 ______ . 【解】以斜边的中点为原点，垂直于水平面向下的方向为 x 轴的 正向.设该平板一侧所受的水压力为 ，则压力微元为 F dF  2gx(a  x)dx a 1 F   2gx(a  x)dx  a 3g 0 3【例4】(1991年1,2）为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底, 抓起污泥后提出井口.已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以 20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口， 问克服重力需做要多少焦耳的功？ （说明：①1N×1m=1J; m、N、s、J分别表示米、 牛顿、秒、焦耳；②抓斗的高度及位于井口上方 的缆绳长度忽略不计.） 【解】设 是克服抓斗自重所作的功； 是克服缆绳 w w 1 2 重力所作的功； 为提出污泥所作的功.由题意知 w 3 w  w  w  w , w  400 30  12000. 1 2 3 1 30 d w  50(30  x)d x, w   50(30  x)d x  22500. 2 2 0 10 d w  3(2000  20t)d t, w   3(2000  20t)d t  57000. 3 3 0 w  12000  22500  57000  91500(J).【例5】(2003年1）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻 力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为 ， k k  0 ） 汽锤第一次击打将桩打进地下 a m. 根据设计方案,要求汽锤每次 击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数 r(0  r  1). （1）汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？ （2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ k k x 【解】 W   1 kx d x  x 2  a 2 , 1 1 0 2 2 W  rW ,W  rW  r 2 W 2 1 3 2 1 W  W  W  W  rW  r 2 W  (1  r  r 2 )W 1 2 3 1 1 1 1 1  (1  r  r 2 ) ka 2 2 1 x W  W  W   3 kxdx  kx 2 x  1  r  r 2 a, 1 2 3 0 2 3 3（2）由归纳法可知 x  1  r    r n1 a n 1  r n  a. 1  r 1 lim x  a, n n 1  r【例6】(2011年2）一容器的内侧是由图中曲 线绕 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 1 1 x 2  y 2  2 y( y  ) 与 x 2  y 2  1( y  ) 2 2 连接而成. （I）求容器的容积； （II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出， 至少需要做多少功？ （长度单位：m，重力加速度为gm/s2，水的密度 为103kg/m3） 1 1 9 【解】 V  2 2 x 2 d y  2 2 (1  y 2 )d y  . 1 1 4 1 2 W  10 3  2 (1  y 2 )(2  y)g d y  10 3  (2 y  y 2 )(2  y)g d y 1 1 2 27  g 8二、微分方程在物理中的应用 dy 1. 变化率问题 变化率 dx 2 d s dv 2. 牛顿第二定律 F  ma  m  m 2 dt dt 3. 混合问题 d Q  d Q  d Q 1 2【例1】(1997年1）在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新 技术的人进行的，设该人群的总人数为 在 时刻已掌握 N ， t  0 新技术的人数为 x ，在任意时刻 t 已掌握新技术的人数为 x(t) 0 （将 视为连续可微变量)其变化率与已掌握新技术人数和未掌 x(t) 握新技术人数之积成正比，比例常数 求 k  0 ， x(t). dx 【解】由题设可知  kx(N  x), x  x . dt t0 0 kNt NCe 分离变量并积分,得 x  1  Ce kNt x 代入初始条件,得 C  0 N  x 0 kNt Nx e 故 x  0 N  x  x e kNt 0 0【例2】(2015年2）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体 温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温度差成正比.现将一 初始温度为 的物体在 恒温介质中冷却， 后物体温 120 C 20 C 30min 度降至 ,若要将物体的温度继续降至 还需冷却多长时间？ 30 C 21 C, 【解】设 时刻物体的温度为 由题设知 t T(t)( C), dT  k(T  20) （ k  0) dt 解该方程得 T (t)  20  Ce kt 又 则 T(0)  120, C  100, T(t)  20  100e kt T(30)  30, 1 ln10 e k30  , k  . T(t )  21, 得 t  60, 0 0 10 30 则还需要 30 分钟物体物体温度降至 21 C.【例3】(2004年1,2）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离， 在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速 减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为 700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速 度成正比（比例系数为k =6.0×106).问从着陆点算起,飞机滑行 的最长距离是多少？（注：kg表示千克，km/h表示千米/小时.） 【解1】设 时刻飞机的滑行距离为 ,速度为 .根据牛顿第 t x(t) v(t) 二定律,得 dv dv dv dx dv m  kv.    v dt dt dx dt dx m m dx   dv x(t)   v  C k ，k m m v(0)  v , x(0)  0 C  v x(t)  (v  v(t)). 0 0 0 k k mv 9000 700 v(t)  0 x(t)  0   1.05(km). k 6.010 6【例3】(2004年1,2）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离， 在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速 减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为 700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速 度成正比（比例系数为k =6.0×106).问从着陆点算起,飞机滑行 的最长距离是多少？（注：kg表示千克，km/h表示千米/小时.） 【解2】设 时刻飞机的滑行距离为 ,速度为 .根据牛顿第 t x(t) v(t) 二定律,得 dv dv k m  kv.   dt. dt v m k  t 两端积分得 v  Ce m ,代入初始条件 v  v 解得 C  v t0 0 0 k  t 故 v(t)  v e m . 0 飞机滑行的最长距离为  k  mv  t mv x   v(t)dt   0 e m  0  1.05(km). 0 k k 0【例3】(2004年1,2）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离， 在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速 减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为 700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速 度成正比（比例系数为k =6.0×106).问从着陆点算起,飞机滑行 的最长距离是多少？（注：kg表示千克，km/h表示千米/小时.） 【解3】设 时刻飞机的滑行距离为 ，根据牛顿第二定律,得 t x(t) 2 2 d x dx d x k dx m  k   0 2 2 dt dt dt m dt k  t 解之得 x  C  C e m . 1 2 k dx kC  t mv 由 x  0,v    2 e m  v ,得 C  C  0 t0 t0 dt m 0 1 2 k t0 t0 k mv  t mv x(t)  0 (1  e m ). 当 t   时， x(t)  0  1.05(km) k k【例4】(2000年2)某湖泊的水量为 每年排入湖泊内含污染物 V , A 的污水量为 V , 流入湖泊内不含 A 的水量为 V , 流出湖泊的水 6 6 V 量为 , 已知1999年底湖中 的含量为 超过国家规定指标, A 5m , 3 0 为了治理污染,从2000年初起,限定排入湖泊中含 污水的浓度不 A m 超过 0 . 问至多需经过多少年,湖泊中污染物 的含量降至 A m V 0 以内？（注：设湖水中 的浓度是均匀的.） A 【解】设从2000年初（令此时 t  0 ）开始,第 t 年湖泊中污染物 A m 的总量为 m,浓度为 ,则在时间间隔 [t,t  dt] V m V m m V m 排入 流出  dt  dt 0  dt  0 dt V 3 3 V 6 6 t  m m  m  dm   0  dt. m  0  Ce 3  6 3  2 t 9 m  m  5m C   m m  0 (1  9e 3 ). t0 0 0 2 2 m  m t  6ln 3 0三、多元积分在物理中的应用 几 何 所 形 平面板 空间体 曲 线 曲 面 求 体 量 质 量 m  (x, y)d D  x(x, y)d 质 心 x  D (x, y)d D  xd 形 心 x  D d D 转动惯量 I   y2(x, y)d x D 1.变力作功: W   Pdx  Qdy  Rdz  AB 2.通量:    Pdydz  Qdzdx  Rdxdy 【例1】(2017年）设薄片型物体 S 是圆锥面 z  x 2  y 2 被柱面 z 2  2x 割下的有限部分,其上任一点的密度为 (x, y, z)  9 x 2  y 2  z 2 . 记圆锥面与柱面的交线为 C. （Ⅰ）求 在 平面上的投影曲线的方程； xoy C （Ⅱ）求 的质量 S M . x 2  y 2  2x, 【解】(Ⅰ）投影曲线方程为   z  0. （Ⅱ） M   9 x 2  y 2  z 2 dS S  9  （ 2 x 2  y 2 ) 1  z 2  z 2 dxdy x y D  2cos  18  x 2  y 2 dxdy  18  2 d 2 d  64   0 D 2【例2】(2000年）设有一半径为 的球体， 是此球的表面上的一 P R 0 一个定点，球体上任一点的密度与该点到 距离的平方成正比 P 0 （比例常数 k  0 ），求球体的质心位置. 【解】球面的方程为 x 2  y 2  z 2  2Rz,  k(x 2  y 2  z 2 ).  kz(x 2  y 2  z 2 )d v x  0, y  0, z   .  k(x 2  y 2  z 2 )d v    2Rcos 32  (x 2  y 2  z 2 )d v  4  2 d 2 d r 4 sind r  R 5 , 0 0 0 15    2Rcos  z(x 2  y 2  z 2 )d v  4  2 d 2 d r 5 sincosd r 0 0 0   64 8  R 6  2 cos 7sind R 5 , 3 0 3【例3】(2013年）设直线 过点 两点，将 绕 L A(1,0,0), B(0,1,1) L z 轴旋转一周得到曲面 ， 与平面 z  0, z  2 所围成的立体为 . （1）求曲面 的方程；  (2) 求  的形心坐标. x  1 y z 【解】过点 和 的直线方程为 (1,0,0) (0,1,1)    1 1 1 其参数方程为 x  1  t, y  t, z  t 设 是曲面上任一点则 (x, y, z) x 2  y 2  (1  z) 2  z 2  zdv 2  (2z 3  2z 2  z)dz 7 z    0  2  dv  (2z 2  2z  1)dz 5 0 【例4】(1990年）质点 沿着以 P AB 为直径的半圆周,从点 运动到点 A(1,2) 的过程中受到变力 作用(见右图） B(3,4) F 的大小等于点 与原点 之间的距离, F P O 其方向垂直于直线段 且与 y 轴正向 OP,  的夹角小于 .求变力 对质点 所作的功. F P 2 【解1】按题意，变力 F   yi  xj.  x  2  2cos, 3  圆弧 的参数方程是 AB     .  y  3  2sin, 4 4 W    y d x  x d y  AB      4 2(3  2sin)sin 2(2  2cos)cos d  2( 1). 3   4【例4】(1990年）质点 沿着以 P AB 为直径的半圆周,从点 运动到点 A(1,2) 的过程中受到变力 作用(见右图） B(3,4) F 的大小等于点 与原点 之间的距离, F P O 其方向垂直于直线段 且与 y 轴正向 OP,  的夹角小于 .求变力 对质点 所作的功. F P 2 【解2】按题意，变力 F   yi  xj. W    y d x  x d y  AB W    y d x  x d y    ydx  xdy    ydx  xdy   AB ABBA BA 1   2dxdy    (1  x)dx  xdx  2 2 3 D祝同学们 考研路上一路顺利！