26高等数学17堂课
专题16 微积分在物理中的应用
（电子版讲义）
主讲 武忠祥 教授一、定积分在物理中的应用
b
x(x)dx
1. 质心 x a
b
(x)dx
a
km m kq q
2. 引力 万有引力 F 1 2 点电荷引力 F 1 2
2 2
r r
3. 压力 压 强 p gh 压力 P p A
4. 变力作功
功 W F s【例1】(2014年2） 一根长为 的细棒位于 x 轴的区间 [0,1] 上,
1
若其线密度 x 2 2x 1, 则该细棒的质心坐标 x _______ .
【解 】 质心的坐标为 b
x(x)dx
a
x
b
1 (x)dx
x(x)dx
a
x 0
1
(x)dx
0
1
x( x 2 2x 1)dx
0
1
( x 2 2x 1)dx
0
11
20【例2】(1991年）如图，x 轴上有一线密度为常数 ,长度为 的细
l
杆,有一质量为 m 的质点到杆右端的距离为 a .已知引力系数为
,则质点和细杆之间引力的大小为（ ）.
k
kmd x kmd x km m
0 l
（A） （B） F 1 2
l (a x) 2 0 (a x) 2 r 2
kmd x l kmd x
0
（C） （D） 2 2
l
(a x) 2 0 (a x) 2
2【例3】(2020年2）斜边长为 2a 的等腰直角三角形平板铅直的沉
没在水中，且斜边与水面相齐，记重力加速度为 g, 水的密度为 p gh
P p A
, 则该平板一侧所受的水压力为
______ .
【解】以斜边的中点为原点，垂直于水平面向下的方向为 x 轴的
正向.设该平板一侧所受的水压力为 ，则压力微元为
F
dF 2gx(a x)dx
a 1
F 2gx(a x)dx a 3g
0 3【例4】(1991年1,2）为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底,
抓起污泥后提出井口.已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,
抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以
20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口，
问克服重力需做要多少焦耳的功？
（说明：①1N×1m=1J; m、N、s、J分别表示米、
牛顿、秒、焦耳；②抓斗的高度及位于井口上方
的缆绳长度忽略不计.）
【解】设 是克服抓斗自重所作的功； 是克服缆绳
w w
1 2
重力所作的功； 为提出污泥所作的功.由题意知
w
3
w w w w , w 400 30 12000.
1 2 3 1
30
d w 50(30 x)d x, w 50(30 x)d x 22500.
2 2
0
10
d w 3(2000 20t)d t, w 3(2000 20t)d t 57000.
3 3
0
w 12000 22500 57000 91500(J).【例5】(2003年1）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.
汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻
力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为 ，
k k 0 ）
汽锤第一次击打将桩打进地下 a m. 根据设计方案,要求汽锤每次
击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数
r(0 r 1).
（1）汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？
（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？
k k
x
【解】 W 1 kx d x x 2 a 2 ,
1 1
0 2 2
W rW ,W rW r 2 W
2 1 3 2 1
W W W W rW r 2 W (1 r r 2 )W
1 2 3 1 1 1 1
1
(1 r r 2 ) ka 2
2
1
x
W W W 3 kxdx kx 2 x 1 r r 2 a,
1 2 3 0 2 3 3（2）由归纳法可知 x 1 r r n1 a
n
1 r n
a.
1 r
1
lim x a,
n
n 1 r【例6】(2011年2）一容器的内侧是由图中曲
线绕 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由
1 1
x 2 y 2 2 y( y ) 与 x 2 y 2 1( y )
2 2
连接而成.
（I）求容器的容积；
（II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，
至少需要做多少功？
（长度单位：m，重力加速度为gm/s2，水的密度
为103kg/m3）
1 1
9
【解】
V 2 2 x 2 d y 2 2 (1 y 2 )d y .
1 1 4
1
2
W 10 3 2 (1 y 2 )(2 y)g d y 10 3 (2 y y 2 )(2 y)g d y
1
1
2
27
g
8二、微分方程在物理中的应用
dy
1. 变化率问题
变化率
dx
2
d s dv
2. 牛顿第二定律
F ma m m
2
dt dt
3. 混合问题 d Q d Q d Q
1 2【例1】(1997年1）在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新
技术的人进行的，设该人群的总人数为 在 时刻已掌握
N ， t 0
新技术的人数为
x
，在任意时刻
t
已掌握新技术的人数为
x(t)
0
（将 视为连续可微变量)其变化率与已掌握新技术人数和未掌
x(t)
握新技术人数之积成正比，比例常数 求
k 0 ， x(t).
dx
【解】由题设可知 kx(N x), x x .
dt
t0 0
kNt
NCe
分离变量并积分,得 x
1 Ce kNt
x
代入初始条件,得 C 0
N x
0
kNt
Nx e
故
x 0
N x x e kNt
0 0【例2】(2015年2）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体
温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温度差成正比.现将一
初始温度为 的物体在 恒温介质中冷却， 后物体温
120
C
20
C
30min
度降至 ,若要将物体的温度继续降至 还需冷却多长时间？
30
C
21
C,
【解】设 时刻物体的温度为 由题设知
t T(t)( C),
dT
k(T 20) （ k 0)
dt
解该方程得 T (t) 20 Ce kt
又 则
T(0) 120, C 100,
T(t) 20 100e kt T(30) 30,
1 ln10
e k30 , k . T(t ) 21, 得 t 60,
0 0
10 30
则还需要 30 分钟物体物体温度降至 21 C.【例3】(2004年1,2）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，
在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速
减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为
700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速
度成正比（比例系数为k =6.0×106).问从着陆点算起,飞机滑行
的最长距离是多少？（注：kg表示千克，km/h表示千米/小时.）
【解1】设 时刻飞机的滑行距离为 ,速度为 .根据牛顿第
t x(t) v(t)
二定律,得
dv dv dv dx dv
m kv. v
dt dt dx dt dx
m m
dx dv x(t) v C
k ，k
m m
v(0) v , x(0) 0 C v x(t) (v v(t)).
0
0 0
k k
mv 9000 700
v(t) 0 x(t) 0 1.05(km).
k 6.010 6【例3】(2004年1,2）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，
在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速
减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为
700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速
度成正比（比例系数为k =6.0×106).问从着陆点算起,飞机滑行
的最长距离是多少？（注：kg表示千克，km/h表示千米/小时.）
【解2】设 时刻飞机的滑行距离为 ,速度为 .根据牛顿第
t x(t) v(t)
二定律,得
dv dv k
m kv. dt.
dt v m
k
t
两端积分得 v Ce m ,代入初始条件 v v 解得 C v
t0 0 0
k
t
故
v(t) v e m .
0
飞机滑行的最长距离为
k
mv t mv
x v(t)dt 0 e m 0 1.05(km).
0 k k
0【例3】(2004年1,2）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，
在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速
减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为
700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速
度成正比（比例系数为k =6.0×106).问从着陆点算起,飞机滑行
的最长距离是多少？（注：kg表示千克，km/h表示千米/小时.）
【解3】设 时刻飞机的滑行距离为 ，根据牛顿第二定律,得
t x(t)
2 2
d x dx d x k dx
m k 0
2 2
dt dt dt m dt
k
t
解之得 x C C e m .
1 2
k
dx kC t mv
由 x 0,v 2 e m v ,得 C C 0
t0 t0
dt m
0 1 2
k
t0
t0
k
mv t mv
x(t) 0 (1 e m ). 当 t 时， x(t) 0 1.05(km)
k k【例4】(2000年2)某湖泊的水量为 每年排入湖泊内含污染物
V , A
的污水量为 V , 流入湖泊内不含 A 的水量为 V , 流出湖泊的水
6
6
V
量为 , 已知1999年底湖中 的含量为 超过国家规定指标,
A
5m ,
3
0
为了治理污染,从2000年初起,限定排入湖泊中含 污水的浓度不
A
m
超过 0 . 问至多需经过多少年,湖泊中污染物 的含量降至
A m
V
0
以内？（注：设湖水中 的浓度是均匀的.）
A
【解】设从2000年初（令此时 t 0 ）开始,第 t 年湖泊中污染物 A
m
的总量为 m,浓度为 ,则在时间间隔 [t,t dt]
V
m V m
m V m
排入 流出 dt dt
0 dt 0 dt
V 3 3
V 6 6
t
m m m
dm 0 dt. m 0 Ce 3
6 3 2
t
9 m
m 5m C m m 0 (1 9e 3 ).
t0 0 0
2 2
m m t 6ln 3
0三、多元积分在物理中的应用
几
何
所
形 平面板 空间体 曲 线 曲 面
求 体
量
质 量
m (x, y)d
D
x(x, y)d
质 心
x D
(x, y)d
D
xd
形 心
x D
d
D
转动惯量
I y2(x, y)d
x
D
1.变力作功: W Pdx Qdy Rdz
AB
2.通量: Pdydz Qdzdx Rdxdy
【例1】(2017年）设薄片型物体 S 是圆锥面 z x 2 y 2 被柱面
z 2 2x 割下的有限部分,其上任一点的密度为
(x, y, z) 9 x 2 y 2 z 2 . 记圆锥面与柱面的交线为 C.
（Ⅰ）求 在 平面上的投影曲线的方程；
xoy
C
（Ⅱ）求 的质量
S M .
x 2 y 2 2x,
【解】(Ⅰ）投影曲线方程为
z 0.
（Ⅱ） M 9 x 2 y 2 z 2 dS
S
9 （ 2 x 2 y 2 ) 1 z 2 z 2 dxdy
x y
D
2cos
18 x 2 y 2 dxdy 18 2 d 2 d 64
0
D 2【例2】(2000年）设有一半径为 的球体， 是此球的表面上的一
P
R
0
一个定点，球体上任一点的密度与该点到 距离的平方成正比
P
0
（比例常数 k 0 ），求球体的质心位置.
【解】球面的方程为 x 2 y 2 z 2 2Rz, k(x 2 y 2 z 2 ).
kz(x 2 y 2 z 2 )d v
x 0, y 0, z .
k(x 2 y 2 z 2 )d v
2Rcos 32
(x 2 y 2 z 2 )d v 4 2 d 2 d r 4 sind r R 5 ,
0 0 0 15
2Rcos
z(x 2 y 2 z 2 )d v 4 2 d 2 d r 5 sincosd r
0 0 0
64 8
R 6 2 cos 7sind R 5 ,
3 0 3【例3】(2013年）设直线 过点 两点，将 绕
L A(1,0,0), B(0,1,1) L
z 轴旋转一周得到曲面 ， 与平面 z 0, z 2 所围成的立体为 .
（1）求曲面 的方程；
(2) 求 的形心坐标.
x 1 y z
【解】过点 和 的直线方程为
(1,0,0) (0,1,1)
1 1 1
其参数方程为 x 1 t, y t, z t
设 是曲面上任一点则
(x, y, z)
x 2 y 2 (1 z) 2 z 2
zdv 2
(2z 3 2z 2 z)dz
7
z 0
2
dv (2z 2 2z 1)dz 5
0
【例4】(1990年）质点 沿着以
P AB
为直径的半圆周,从点 运动到点
A(1,2)
的过程中受到变力 作用(见右图）
B(3,4)
F
的大小等于点 与原点 之间的距离,
F P O
其方向垂直于直线段 且与 y 轴正向
OP,
的夹角小于 .求变力 对质点 所作的功.
F P
2
【解1】按题意，变力
F yi xj.
x 2 2cos, 3
圆弧 的参数方程是
AB .
y 3 2sin, 4 4
W y d x x d y
AB
4 2(3 2sin)sin 2(2 2cos)cos d 2( 1).
3
4【例4】(1990年）质点 沿着以
P AB
为直径的半圆周,从点 运动到点
A(1,2)
的过程中受到变力 作用(见右图）
B(3,4)
F
的大小等于点 与原点 之间的距离,
F P O
其方向垂直于直线段 且与 y 轴正向
OP,
的夹角小于 .求变力 对质点 所作的功.
F P
2
【解2】按题意，变力 F yi xj. W y d x x d y
AB
W y d x x d y ydx xdy ydx xdy
AB ABBA BA
1
2dxdy (1 x)dx xdx 2 2
3
D祝同学们
考研路上一路顺利！
