(415)--专题十五级数求和（数一三）笔记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高等数学17堂课
专题15 级 数 求 和
（P168-174）
主讲 武忠祥 教授一、基本概念与方法
1)幂级数求和的方法
1
利用已有的几个展开式（ ,e x ,sin x,cos x,ln(1  x),(1  x)  ) 以及
1  x
幂级数的性质（有理运算，逐项求导，逐项积分）来求幂级数的和函数；
2)常数项级数求和的方法
求常数项级数的和最常用的方法是借助于幂级数求和.常见的求和级数
 
 n  n
形式为 a b , 此时，考虑相应的幂级数 a x , 并求出其和函数
S(x),
n n
n0 n0

则  a b n  S(b).
n
n0（一）幂级数的性质
1)有理运算性质
 
设  a x n 的收敛半径为 R ,  b x n 的收敛半径为 R ,
n 1 n 2
n0 n0
 
令 R  min R , R ，则当 x  (R, R)
1 2
  
（1)加减法：  a x n   b x n   (a  b )x n
n n n n
n0 n0 n0
  
（2)乘法： (  a x n ) (  b x n )   c x n
n n n
n0 n0 n0
c  a b  a b    a b
n 0 n 1 n1 n 0

 n
a x
n 
（3）除法: n  0   c x n ,
 n

b x
n n0
n
n02) 分析性质

设幂级数  a x n 的 收敛半径为 R ,和函数为 S(x). 则
n
n0
(1)连续性:和函数 在其收敛域上连续;
S(x)
(2)可积性:和函数 在其收敛域 上可积,且可逐项积分,
S(x)
半径不变.即
  
1
x x x
 S(x)d x    a x n d x    a x n d x   a x n1 .
n n n
0 0 0 n  1
n0 n0 n0
(3)可导性:和函数 在 (R, R) 上可导,且可逐项求导,
S(x)
半径不变.即

    
S  (x)    a x n    (a x n )    na x n1
n n n
 
n0 n0 n0(二）几个常用的展开式

1
(1)  1  x  x 2    x n     x n
(1  x  1)
1  x
n0

1
(2)  1  x  x 2    (1) n x n     (1) n x n
(1  x  1)
1  x
n0
2 n  n
x x x
(3) e x  1  x         (  x  )
2! n! n!
n0
x 3 (1) n x 2n1  (1) n x 2n1
(4) sin x  x         (  x  )
3! (2n  1)! (2n  1)!
n0
x 2 (1) n x 2n  (1) n x 2n
(5) cos x  1         (  x  )
2! (2n)! (2n)!
n0
x 2 (1) n1 x n  (1) n1 x n

(6) ln(1  x)  x        (1  x  1)
2 n n
n1
( 1) ( 1)( n  1)
(7) (1  x)   1 x  x 2    x n   (1  x  1)
2! n!二、经典例题
1. 幂级数求和
 (1) n x 4n4
【例1】幂级数  在 (,) 内的和函数
(2n  1)!
n0
S(x)  ________ .
 (1) n x 4n4  (1) n x 4n2
【解】 
 x
2
(2n  1)! (2n  1)!
n0 n0
 (1) n (x 2 ) 2n1
 x
2
 x 2 sin x 2
(2n  1)!
n0
【例2】求幂级数  (2n  1)x n 的收敛域，并求其和函数.
n0
a 2n  3
【解】  lim n1  lim  1
n a n 2n  1
n
1
R   1. 收敛域是 (1,1).

  
S(x)   (2n  1)x n  2  nx n   x n
n0 n0 n0


1  1  1
 2x(  x n )    2x  
1  x  1  x  1  x
n0
2x 1 1  x
   ,  1  x  1.
(1  x) 2 1  x (1  x) 2
【例3】求幂级数  (n  1)(n  3)x n 的收敛域及和函数.
n0
a
【解】 lim n1  1, R  1, 当 x  1 时原级数显然发散，则其收
n a
n
敛域为 (1,1).
  
 (n  1)(n  3)x n   (n  2)(n  1)x n   (n  1)x n
n0 n0 n0
   
       x 2   x 
 

x
n2
  

x
n1
      
 
     1  x   1  x 
n0 n0
 
 1   1 
   (x  1)      1  
 1  x   1  x 
3  x
 x  (1,1).
(1  x) 3 n
x

【例4】求幂级数 的收敛域及和函数.
n(n  1)
n1
 x n
【解】令 S(x)   x [1,1]
n(n  1)
n1
 x n  x n  x n
当  1  x  0 或 0  x  1 S(x)      
n(n  1) n n  1
n1 n1 n1
 n1
1 x 1 1

  ln(1  x)    ln(1  x)  [ ln(1  x)  x]  1  (  1)ln(1  x)
x n  1 x x
n1
1
S(1)  lim[1  (  1)ln(1  x)]  1
 x
x1
 0, x  0,

1
S(x)  1  (  1)ln(1  x),  1  x  0,0  x  1,
x

1, x  1.
 (1) n1
【例5】求幂级数  x 2n 的收敛域及和函数.
2n  1
n1
a 2n  1
【解】 由于 lim n1  lim  1 因此收敛半径 R  1.
n a n 2n  1
n
 (1) n1

当 x  1 时，原级数为 收敛，因收敛域为 [1,1].
2n  1
n1
 (1) n1
设 S(x)   x 2n1 (1  x  1)
2n  1
n1
 1
则 S  (x)   (1) n1 x 2n2 
1  x 2
n1
1
x
又 ,故
S(0)  0 S(x)   dt  arctan x
0 1  t 2
 (1) n1
于是  x 2n  xS(x)  x arctan x, x [1,1].
2n  1
n1 2n2
x

【例6】求幂级数 的收敛域及和函数.
(n  1)(2n  1)
n0
a (n  1)(2n  1)
【解】由于 lim n1  lim  1
n a n (n  2)(2n  3)
n

1
收敛半径
R  1  1. 当 x  1 时,原级数为 收敛，
(n  1)(2n  1)
n0
收敛域为 [1,1]. 设
 2n2
x

S(x)  (1  x  1)
(n  1)(2n  1)
n0
 x 2n1  2
则 S  (x)  2  S  (x)  2  x 2n  (1  x  1)
2n  1 1  x 2
n0 n0
因为 S(0)  0, S  (0)  0, 所以当 x (1,1) 时，
2
x x
S  (x)   S  (t)dt   dt  ln(1  x)  ln(1  x)
0 0 1  t 2x x x
S(x)   S  (t)dt   ln(1  t)dt   ln(1  t)dt
0 0 0
 (1  x)ln(1  x)  (1  x)ln(1  x) (1  x  1)
又 S(1)  lim S(x)  2ln 2, S(1)  lim S(x)  2ln 2,
x1  x1 
(1  x)ln(1  x)  (1  x)ln(1  x), x  (1,1),
所以 S(x)  
 2ln 2, x  1.
【例7】设幂级数  a x n 在 (,) 内收敛,其和函数 y(x) 满足
n
n0
y   2xy   4 y  0, y(0)  0, y  (0)  1.
2
（I）证明 a  a , n  1,2,;
n2
n  1
n
（II）求 的表达式.
y(x)
 
【解】(1) y    na x n1 , y    n(n  1)a x n2
n n
n1 n2
代入 y   2xy   4 y  0 并整理,得
  
 (n  1)(n  2)a x n   2na x n   4a x n  0
n2 n n
n0 n1 n0
2a  4a  0,
2 0

(n  1)(n  2)a  2(n  2)a  0, n  1,2,,
n2 n
2
a  a , n  1,2,.
n2
n  1
n
【例7】设幂级数  a x n 在 (,) 内收敛,其和函数 y(x) 满足
n
n0
y   2xy   4 y  0, y(0)  0, y  (0)  1.
2
（I）证明 a  a , n  1,2,; 2a  4a  0,
n2
n  1
n

2 0
(n  1)(n  2)a  2(n  2)a  0, n  1,2,,
（II）求 的表达式.
y(x) n2 n
【解】（II）因为 y(0)  a  0, y  (0)  a  1,a  0.
0 1 2
故 a  0 , n  0,1,2,,
2n
2 2 n
1
a  a    a  , (n  0,1,2,)
2n1
2n
2n1
2n (2n  2)  4 2 1 n!
 
 2n1
y(x)   a x n  a x 2n1  x

n 2n1
n!
n0 n0
n0
2
 xe x , x  (,).1
【例8】设 a  1,a  0,a  (na  a ) (n  1,2,3,),
0 1 n1 n  1 n n1

为幂级数  n 的和函数.
S(x) a x
n
n0

（Ⅰ）证明幂级数  n 的收敛半径不小于1；
a x
n
n0
（Ⅱ）证明 (1  x)S  (x)  xS(x)  0(x  (1,1)), 并求 的表达式.
S(x)
【证】（Ⅰ）因为 a  1,a  0, 所以 0  a  1,0  a  1.
0 1 0 1
1
若 0  a  1,0  a  1, 由 a  (na  a )
n1 n n1 n  1 n n1
可知， 0  a  1. 即 0  a  1. 则
n1 n
a x n  x n ,
n

幂级数  a x n 的收敛半径不小于1；
n
n01
【例8】设 a  1,a  0,a  (na  a ) (n  1,2,3,),
0 1 n1 n  1 n n1

为幂级数  n 的和函数.
S(x) a x
n
n0

（Ⅰ）证明幂级数  n 的收敛半径不小于1；
a x
n
n0
（Ⅱ）证明 (1  x)S  (x)  xS(x)  0(x  (1,1)), 并求 的表达式.
S(x)
【证】（Ⅱ）因为

  
S  (x)   na x n1   (n  1)a x n   na x n   a x n
n
n1 n n1
n1
n1 n1 n1
 
 x  na x n1  x  a x n  xS  (x)  xS(x)
n n
n1 n0
(1  x)S  (x)  xS(x)  0(x  (1,1)),
x x
Ce e
解方程得 S(x)  . 由 S(0)  a  1 得 C  1 ,故 S(x)  .
0
1  x 1  x2. 常数项级数求和
 
【例1】已知级数  (1) n1 a  2,  a  5
n 2n1
n1 n1


则级数 a 等于（ ）.
n
n1
（A）3 （B）7 （C）8 （D）9
  
【解】由于  a   (1) n1 a  2  a
n n 2n1
n1 n1 n1
  
则  a  2  a   (1) n1 a
n 2n1 n
n1 n1 n1
 2 5  2  8
故应选(C).
n1
 1 

【例2】 n   ________ .
 2
n1


【解】令 S(x)   nx n1,则当  1  x  1 时

nx
n1
收敛，且有
n1
n1

   
S(x)   nx n1    x n 
 
n1 n1

 1  1
   1 
 1  x  (1  x) 2

n1
 1   1 

n   S   4
 2  2
n1 2n  3
【例3】  (1) n  ( )
(2n  1)!
n0
(A) sin1  cos1. (B) 2sin1  cos1.
(C) 2sin1  2cos1. (D) 2sin1  3cos1.
 2n  3  1  1
【解】  ( 1) n   (1) n  2  (1) n
(2n  1)! (2n)! (2n  1)!
n0 n0 n0
 cos1  2sin1
故应选(B). (1) n (n 2  n  1)
【例4】求级数  的和.
n
2
n0
 (1) n (n 2  n  1)   1  n   1  n
【解】    n(n  1)        ,
n
2  2   2 
n0 n0 n0
 n
 1  1 2

     .
 2  1 3
n0 1 
2

S(x)  x
2
n(n  1)x
n2
, x  (1,1),
n2
 2
2x
S(x)   n(n  1)x n  , x  (1,1),
(1  x) 3
n2
 n
 1  4

n(n  1)    ,
 2  27
n0 1  x 2

arctan x, x  0,
【例5】设 试将 展开成
f (x)   f (x)
x
  1, x  0,
 (1) n
x 的幂级数，并求级数  的和.
1  4n 2
n1

1
【解】   (1) n x 2n , x  (1,1)
1  x 2
n0
 (1) n
x
arctan x   (arctan x)  dx   x 2n1 , x [1,1].
0 2n  1
n0
 (1) n  (1) n
f (x)  1   x 2n   x 2n2
2n  1 2n  1
n1 n0
 (1) n  (1) n1  (1) n 2
 1   x 2n   x 2n 1   x 2n , x [1,1],
2n  1 2n  1 1  4n 2
n1 n1 n1
 (1) n 1  1

 [ f (1)  1]   .
1  4n 2 2 4 2
n1祝同学们
考研路上一路顺利！