(415)--专题十五级数求和（数一三）笔记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高等数学17堂课 专题15 级 数 求 和 （P168-174） 主讲 武忠祥 教授一、基本概念与方法 1)幂级数求和的方法 1 利用已有的几个展开式（ ,e x ,sin x,cos x,ln(1  x),(1  x)  ) 以及 1  x 幂级数的性质（有理运算，逐项求导，逐项积分）来求幂级数的和函数； 2)常数项级数求和的方法 求常数项级数的和最常用的方法是借助于幂级数求和.常见的求和级数    n  n 形式为 a b , 此时，考虑相应的幂级数 a x , 并求出其和函数 S(x), n n n0 n0  则  a b n  S(b). n n0（一）幂级数的性质 1)有理运算性质   设  a x n 的收敛半径为 R ,  b x n 的收敛半径为 R , n 1 n 2 n0 n0   令 R  min R , R ，则当 x  (R, R) 1 2    （1)加减法：  a x n   b x n   (a  b )x n n n n n n0 n0 n0    （2)乘法： (  a x n ) (  b x n )   c x n n n n n0 n0 n0 c  a b  a b    a b n 0 n 1 n1 n 0   n a x n  （3）除法: n  0   c x n ,  n  b x n n0 n n02) 分析性质  设幂级数  a x n 的 收敛半径为 R ,和函数为 S(x). 则 n n0 (1)连续性:和函数 在其收敛域上连续; S(x) (2)可积性:和函数 在其收敛域 上可积,且可逐项积分, S(x) 半径不变.即    1 x x x  S(x)d x    a x n d x    a x n d x   a x n1 . n n n 0 0 0 n  1 n0 n0 n0 (3)可导性:和函数 在 (R, R) 上可导,且可逐项求导, S(x) 半径不变.即       S  (x)    a x n    (a x n )    na x n1 n n n   n0 n0 n0(二）几个常用的展开式  1 (1)  1  x  x 2    x n     x n (1  x  1) 1  x n0  1 (2)  1  x  x 2    (1) n x n     (1) n x n (1  x  1) 1  x n0 2 n  n x x x (3) e x  1  x         (  x  ) 2! n! n! n0 x 3 (1) n x 2n1  (1) n x 2n1 (4) sin x  x         (  x  ) 3! (2n  1)! (2n  1)! n0 x 2 (1) n x 2n  (1) n x 2n (5) cos x  1         (  x  ) 2! (2n)! (2n)! n0 x 2 (1) n1 x n  (1) n1 x n  (6) ln(1  x)  x        (1  x  1) 2 n n n1 ( 1) ( 1)( n  1) (7) (1  x)   1 x  x 2    x n   (1  x  1) 2! n!二、经典例题 1. 幂级数求和  (1) n x 4n4 【例1】幂级数  在 (,) 内的和函数 (2n  1)! n0 S(x)  ________ .  (1) n x 4n4  (1) n x 4n2 【解】   x 2 (2n  1)! (2n  1)! n0 n0  (1) n (x 2 ) 2n1  x 2  x 2 sin x 2 (2n  1)! n0 【例2】求幂级数  (2n  1)x n 的收敛域，并求其和函数. n0 a 2n  3 【解】  lim n1  lim  1 n a n 2n  1 n 1 R   1. 收敛域是 (1,1).     S(x)   (2n  1)x n  2  nx n   x n n0 n0 n0   1  1  1  2x(  x n )    2x   1  x  1  x  1  x n0 2x 1 1  x    ,  1  x  1. (1  x) 2 1  x (1  x) 2 【例3】求幂级数  (n  1)(n  3)x n 的收敛域及和函数. n0 a 【解】 lim n1  1, R  1, 当 x  1 时原级数显然发散，则其收 n a n 敛域为 (1,1).     (n  1)(n  3)x n   (n  2)(n  1)x n   (n  1)x n n0 n0 n0            x 2   x     x n2     x n1               1  x   1  x  n0 n0    1   1     (x  1)      1    1  x   1  x  3  x  x  (1,1). (1  x) 3 n x  【例4】求幂级数 的收敛域及和函数. n(n  1) n1  x n 【解】令 S(x)   x [1,1] n(n  1) n1  x n  x n  x n 当  1  x  0 或 0  x  1 S(x)       n(n  1) n n  1 n1 n1 n1  n1 1 x 1 1    ln(1  x)    ln(1  x)  [ ln(1  x)  x]  1  (  1)ln(1  x) x n  1 x x n1 1 S(1)  lim[1  (  1)ln(1  x)]  1  x x1  0, x  0,  1 S(x)  1  (  1)ln(1  x),  1  x  0,0  x  1, x  1, x  1.  (1) n1 【例5】求幂级数  x 2n 的收敛域及和函数. 2n  1 n1 a 2n  1 【解】 由于 lim n1  lim  1 因此收敛半径 R  1. n a n 2n  1 n  (1) n1  当 x  1 时，原级数为 收敛，因收敛域为 [1,1]. 2n  1 n1  (1) n1 设 S(x)   x 2n1 (1  x  1) 2n  1 n1  1 则 S  (x)   (1) n1 x 2n2  1  x 2 n1 1 x 又 ,故 S(0)  0 S(x)   dt  arctan x 0 1  t 2  (1) n1 于是  x 2n  xS(x)  x arctan x, x [1,1]. 2n  1 n1 2n2 x  【例6】求幂级数 的收敛域及和函数. (n  1)(2n  1) n0 a (n  1)(2n  1) 【解】由于 lim n1  lim  1 n a n (n  2)(2n  3) n  1 收敛半径 R  1  1. 当 x  1 时,原级数为 收敛， (n  1)(2n  1) n0 收敛域为 [1,1]. 设  2n2 x  S(x)  (1  x  1) (n  1)(2n  1) n0  x 2n1  2 则 S  (x)  2  S  (x)  2  x 2n  (1  x  1) 2n  1 1  x 2 n0 n0 因为 S(0)  0, S  (0)  0, 所以当 x (1,1) 时， 2 x x S  (x)   S  (t)dt   dt  ln(1  x)  ln(1  x) 0 0 1  t 2x x x S(x)   S  (t)dt   ln(1  t)dt   ln(1  t)dt 0 0 0  (1  x)ln(1  x)  (1  x)ln(1  x) (1  x  1) 又 S(1)  lim S(x)  2ln 2, S(1)  lim S(x)  2ln 2, x1  x1  (1  x)ln(1  x)  (1  x)ln(1  x), x  (1,1), 所以 S(x)    2ln 2, x  1. 【例7】设幂级数  a x n 在 (,) 内收敛,其和函数 y(x) 满足 n n0 y   2xy   4 y  0, y(0)  0, y  (0)  1. 2 （I）证明 a  a , n  1,2,; n2 n  1 n （II）求 的表达式. y(x)   【解】(1) y    na x n1 , y    n(n  1)a x n2 n n n1 n2 代入 y   2xy   4 y  0 并整理,得     (n  1)(n  2)a x n   2na x n   4a x n  0 n2 n n n0 n1 n0 2a  4a  0, 2 0  (n  1)(n  2)a  2(n  2)a  0, n  1,2,, n2 n 2 a  a , n  1,2,. n2 n  1 n 【例7】设幂级数  a x n 在 (,) 内收敛,其和函数 y(x) 满足 n n0 y   2xy   4 y  0, y(0)  0, y  (0)  1. 2 （I）证明 a  a , n  1,2,; 2a  4a  0, n2 n  1 n  2 0 (n  1)(n  2)a  2(n  2)a  0, n  1,2,, （II）求 的表达式. y(x) n2 n 【解】（II）因为 y(0)  a  0, y  (0)  a  1,a  0. 0 1 2 故 a  0 , n  0,1,2,, 2n 2 2 n 1 a  a    a  , (n  0,1,2,) 2n1 2n 2n1 2n (2n  2)  4 2 1 n!    2n1 y(x)   a x n  a x 2n1  x  n 2n1 n! n0 n0 n0 2  xe x , x  (,).1 【例8】设 a  1,a  0,a  (na  a ) (n  1,2,3,), 0 1 n1 n  1 n n1  为幂级数  n 的和函数. S(x) a x n n0  （Ⅰ）证明幂级数  n 的收敛半径不小于1； a x n n0 （Ⅱ）证明 (1  x)S  (x)  xS(x)  0(x  (1,1)), 并求 的表达式. S(x) 【证】（Ⅰ）因为 a  1,a  0, 所以 0  a  1,0  a  1. 0 1 0 1 1 若 0  a  1,0  a  1, 由 a  (na  a ) n1 n n1 n  1 n n1 可知， 0  a  1. 即 0  a  1. 则 n1 n a x n  x n , n  幂级数  a x n 的收敛半径不小于1； n n01 【例8】设 a  1,a  0,a  (na  a ) (n  1,2,3,), 0 1 n1 n  1 n n1  为幂级数  n 的和函数. S(x) a x n n0  （Ⅰ）证明幂级数  n 的收敛半径不小于1； a x n n0 （Ⅱ）证明 (1  x)S  (x)  xS(x)  0(x  (1,1)), 并求 的表达式. S(x) 【证】（Ⅱ）因为     S  (x)   na x n1   (n  1)a x n   na x n   a x n n n1 n n1 n1 n1 n1 n1    x  na x n1  x  a x n  xS  (x)  xS(x) n n n1 n0 (1  x)S  (x)  xS(x)  0(x  (1,1)), x x Ce e 解方程得 S(x)  . 由 S(0)  a  1 得 C  1 ,故 S(x)  . 0 1  x 1  x2. 常数项级数求和   【例1】已知级数  (1) n1 a  2,  a  5 n 2n1 n1 n1   则级数 a 等于（ ）. n n1 （A）3 （B）7 （C）8 （D）9    【解】由于  a   (1) n1 a  2  a n n 2n1 n1 n1 n1    则  a  2  a   (1) n1 a n 2n1 n n1 n1 n1  2 5  2  8 故应选(C). n1  1   【例2】 n   ________ .  2 n1   【解】令 S(x)   nx n1,则当  1  x  1 时  nx n1 收敛，且有 n1 n1      S(x)   nx n1    x n    n1 n1   1  1    1   1  x  (1  x) 2  n1  1   1   n   S   4  2  2 n1 2n  3 【例3】  (1) n  ( ) (2n  1)! n0 (A) sin1  cos1. (B) 2sin1  cos1. (C) 2sin1  2cos1. (D) 2sin1  3cos1.  2n  3  1  1 【解】  ( 1) n   (1) n  2  (1) n (2n  1)! (2n)! (2n  1)! n0 n0 n0  cos1  2sin1 故应选(B). (1) n (n 2  n  1) 【例4】求级数  的和. n 2 n0  (1) n (n 2  n  1)   1  n   1  n 【解】    n(n  1)        , n 2  2   2  n0 n0 n0  n  1  1 2       .  2  1 3 n0 1  2  S(x)  x 2 n(n  1)x n2 , x  (1,1), n2  2 2x S(x)   n(n  1)x n  , x  (1,1), (1  x) 3 n2  n  1  4  n(n  1)    ,  2  27 n0 1  x 2  arctan x, x  0, 【例5】设 试将 展开成 f (x)   f (x) x   1, x  0,  (1) n x 的幂级数，并求级数  的和. 1  4n 2 n1  1 【解】   (1) n x 2n , x  (1,1) 1  x 2 n0  (1) n x arctan x   (arctan x)  dx   x 2n1 , x [1,1]. 0 2n  1 n0  (1) n  (1) n f (x)  1   x 2n   x 2n2 2n  1 2n  1 n1 n0  (1) n  (1) n1  (1) n 2  1   x 2n   x 2n 1   x 2n , x [1,1], 2n  1 2n  1 1  4n 2 n1 n1 n1  (1) n 1  1   [ f (1)  1]   . 1  4n 2 2 4 2 n1祝同学们 考研路上一路顺利！