(414)--专题十四常数项级数的敛散性（数一三）笔记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高等数学17堂课 专题14 常数项级数的敛散性 （P156-167） 主讲 武忠祥 教授（一）级数的概念与性质  1.级数的概念  u  u  u    u   无穷级数 n 1 2 n n1 n  s  u 部分和 n i i1   u  lim s n n n n1 2.级数的性质   1）若  u 收敛于 s, 则  ku 也收敛，且其和为 ks. n n n1 n1    2）若  u 和  v 分别收敛于 s,. 则  (u  v ) n n n n n1 n1 n1 收敛于 s . 【注】 收敛±发散=发散； 发散±发散=不确定3) 在级数中去掉、加上或改变有限项不影响级数的敛散性. 4) 收敛级数加括号仍收敛且和不变.  5)  u 收敛 lim u  0 n n n n1 （二）级数的审敛准则  (1) 正项级数 (  u ,u  0) n n n1  基本定理：  u 收敛  S 上有界。 n n n1 1)比较判别法：设 u  v , 则 n n    v 收敛   u 收敛 n n n1 n1    u 发散   v 发散 n n n1 n1u 2)比较法极限形式：设 lim n  l (0  l  ) n v n   ①若 0  l  , 则  u 与  v 同敛散. n n n1 n1     ②若 ,则  v 收敛  收敛,  u 发散  发散. l  0  u  v n n n n n1 n1 n1 n1     ③若 l   ,则  v 发散  u 发散.  u 收敛   v 收敛, n n n n n1 n1 n1 n1   1   n 1) 2) aq n p . n1 n1  u  收敛,   1, 3)比值法: 设 lim n1   ,则  u  n 发散,   1, n u n n1   不一定,   1,   收敛,   1, 4)根值法: 设 limn u   ,则  u  n n 发散,   1, n n1   不一定,   1,5)积分判别法 若 f (x) 是 [1,) 上单调减，非负的连续函数，且   u  f (n ) 则  u 与  f (x)dx 同敛散. n n 1 n1 (2) 交错级数 (  (1) n1 u ,u  0) n n n1 莱不尼兹准则: 若 (1) u 单调减; (2) lim u  0 n n n  则  (1) n1 u 收敛. n n1 (3) 任意项级数 1)绝对收敛与条件收敛概念 2)绝对收敛和条件收敛的基本结论   ①绝对收敛的级数一定收敛,即  | u | 收敛   u 收敛. n n n1 n1 ②条件收敛收敛的级数的所有正项(或负项)构成的级 数一定发散.即:   u  | u |  u  | u |  u 条件收敛   n n 和  n n 发散. n 2 2 n1 n1 n1  1  【例1】级数  (1) n   sin  （常数  0 )  n n  n1 （A）发散 （B）条件收敛 （C）绝对收敛 （D）收敛性与 有关 1  1 1 1 1 1 【解1】当  1, (1) n (  sin )   sin   sin ～ 绝对收敛 3 n n n n n n 6n  1  (1) n   sin   n n  当  1, lim  1   0 1 n n  1   条件收敛  (1) n ,  (1) n sin 都收敛 n n n1 n1  1   1  3 1  【解2】 (1) n   sin   (1) n  ( )    n n   n 3!n 3 n 3  1  (1) n 【例2】已知级数  (1) n n sin 绝对收敛,级数  条件收敛,则( ) a 2a n n n1 n1 1 1 （A） 0  . （B）  1. 2 2 3 3 （C） 1  . （D）  2. 2 2    1 1 1 【解1】直接法  (1) n n sin 绝对收敛  n sin 收敛  收敛 a a 1 n n  n1 n1 n1 n 2 3  2  (1) n  条件收敛 0  2  1 1  2 2a n n1 【解2】排除法 1 1  【例3】级数 (  )sin(n  k )（ k 为常数） n n  1 n1 （A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）收敛性与 有关 k 1 1 1 1 n  1  n 1 【解】 (  )sin(n  k)     n n  1 n n  1 n n  1 n n  1( n  1  n) 1 n n  1( n  1  n) 1 绝对收敛 lim  n 1 2 3 n 2 1 1  n n  1( n  1  n) 3 n 2 1 1 1 1 1 1 1    1   1 1   n 2  (n  1) 2  n 2[1  (1  ) 2 ] ～ n 2   n n  1 n 2n 2n n 1 1 【例4】若级数  [sin  k ln(1  )] 收敛,则 k  ( ) n n n2 （A） （B） 1. 2. （C） 1. （D） 2. 1 1 sin  k ln(1  ) 【解1】排除法 lim n n  1  k 若 1  k  0, 原级数发散 . 1 n n 排除 A,B,D. 1 1 1 1 1 【解2】直接法 k  1 sin  ln(1  )   ( ) 2 ( ) 2 n n 2 n n 1 1 1 1 1 1 sin  ln(1  )  [sin  ] [ln(1  )  ( )] n n n n n n【例5】下列级数中发散的是( )   n 1 1 （A） . （B） ln(1  ). n 3 n n n1 n1  (1) n  1  n! （C）  . （D） . ln n n n n2 n1 【解1】直接法  (1) n  1  (1) n  1      ln n ln n ln n n2 n2 n2 【解2】排除法 1  【例6】已知级数 收敛，则 ( )   n ln n n2 （A） 1. （B） 1,  1. （C） 1,  1. （D） 1 或  1, 1.  1 【解】  时收敛，当 时发散;  1  1  n n2  1  时收敛，当 时发散;  1  1   n ln n n2  1  dx    1   nln n 2 x ln x n2 当 时发散; 当 时收敛;   0   0【例7】下列选项正确的是（ ）.    （A）若  u 2 和  v 2 都收敛，则  (u  v ) 2 收敛 n n n n n1 n1 n1    （B）若  | u v | 收敛，则  u 2 与  v 2 都收敛 n n n n n1 n1 n1  1 （C）若正项级数  u 发散，则 u  n n n n1   （D）若级数  u 收敛，且 u  v (n  1,2,) ，则级数  v 也收敛 n n n n n1 n1 【解1】直接法 (u  v ) 2  u 2  v 2  2u v  2u 2  2v 2 n n n n n n n n 【解2】排除法 【例8】设 a  0(n  1,2,3,) ，且  a 收敛，常数 n n n1        0,  ，则级数  (1) n  ntan a （ ）. 2n  n   2  n1 （A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）收敛性与  有关   【解】由 a  0(n  1,2,3,) ，且  a 收敛,可知  a 收敛. n 2n n n1 n1      (1) n  ntan a   ntan a  2n 2n  n   n   (ntan )a 2n n lim    0 n a 2n【例9】设有以下命题：     ① 若 (u  u ) 收敛，则 u 收敛 2n1 2n n n1 n1   ② 若  u 收敛，则  u 收敛 n n1000 n1 n1 u  ③ 若 lim n1  1，则  u 发散 n n u n n1    ④ 若  (u  v ) 收敛，则  u ,  v 都收敛. n n n n n1 n1 n1 则以上命题中正确的是（ ） （A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④ 【解】  【例10】设 a  0,n  1,2, ，若  a 发散，  (1) n1 a 收敛,则 n n n n1 n1 下列结论正确的是（ ）     （A） a 收敛， a 发散 （B）  a 收敛， a 发散 2n1 2n 2n 2n1 n1 n1 n1 n1    （C） (a  a ) 收敛 （D） (a  a ) 收敛 2n1 2n 2n1 2n (D) n1 n1   【解1】直接法  (a  a ) 为级数  (1) n1 a 加括号所得，收敛 . 2n1 2n n n1 n1 1 【解2】排除法 a  n n       或  a   (1) n1 a  2  a  a   (1) n1 a  2  a n n 2n1 n n 2n n1 n1 n1 n1 n1 n1 【例11】若级数  收敛,则级数（ ） a n n1   （A）  a 收敛， （B）  (1) n a 收敛 n n n1 n1   a  a （C） 收敛 （D）  n n1 收敛 a a (D) n n1 2 n1 n1 【解1】直接法    a  a 若级数  a 收敛,则级数  a 收敛,  n n1 收敛 n n1 2 n1 n1 n1   (1) n 【解2】排除法  a   n n n1 n1【例12】设有两个数列 {a },{b }, 若 lim a  0, n n n n   （A）当  收敛时， 收敛. b a b n n n n1 n1   （B）当  发散时， 发散. b a b n n n n1 n1   （C）当  b 收敛时，  a 2 b 2 收敛; n n n n1 n1   （D）当  b 发散时， a 2 b 2 发散. n n n n1 n1   【解1】直接法 当  收敛时， 2 收敛. b b n n n1 n1 若 lim a  0, 则 a  M . a 2 b 2  M 2 b 2 . n n n n n n 【解2】排除法【例13】设 是数列，则下列命题正确的是( ) {u } n   （A）若  u 收敛，则  (u  u ) 收敛. n 2n1 2n n1 n1   （B）若  (u  u ) 收敛，则  u 收敛. 2n1 2n n n1 n1   （C）若  u 收敛，则  (u  u ) 收敛. n 2n1 2n n1 n1     （D）若 (u  u ) 收敛，则 u 收敛. 2n1 2n n n1 n1   【解1】直接法  (u  u ) 为级数  u 加括号所得. 2n1 2n n n1 n1 (1) n1 【解2】排除法 u  (1) n , 排除B; u  , 排除C; n n n u  1, 排除D; n  【例14】设 为正项数列,下列选项正确的是 a n  （A）若 a  a , 则  (1) n1 a 收敛； n n1 n n1  （B）若  (1) n1 a 收敛,则 a  a ; n n n1 n1  （C）若  a 收敛,则存在常数 p  1, 使 lim n p a 存在； n n n n1   （D）若存在常数 p  1, 使 lim n p a 存在, 则 a 收敛 . n n n n1 【解1】直接法  a  若存在常数 p  1, 使 lim n p a  lim n 存在, 则 a 收敛 . n n 1 n n n1 p 1 n 1 【解2】排除法 a  1  , 排除A; a  , n 2n1 2 n n 排除B; 1 1 a  , 排除C; a  , n nln 2 n 2n 2 n1 【例15】已知函数 f (x) 可导,且 f (0)  1,0  f  (x)  . 设数列 2   x 满足 x  f (x ) (n  1,2,). n n1 n  证明:（Ⅰ）级数  (x  x ) 绝对收敛； n1 n n1 （Ⅱ） 存在，且 lim x 0  lim x  2. n n n n 【证】（Ⅰ） x  x  f (x )  f (x ) n1 n n n1 1  f  ()(x  x )  f  () x  x  x  x n n1 n n1 n n1 2 1 1 x  x  x  x    x  x n1 n n n1 n1 2 1 2 2  （Ⅱ）级数  (x  x ) 部分和 S  x  x . n1 n n n1 1 n1 g  (x)  1  f  (x)  0 所以 lim x 存在. 设 lim x  a, 则 a  f (a). n n n n 令 g(x)  x  f (x), g(0)  1  0, g(2)  2  f (2)  1  [ f (2)  f (0)]  1  2 f  ()  0,【例16】设 f ( x) 在 [0,) 上二阶可导，且 f  (x)  0, lim f (x)  1. x  （I）证明级数  [ f (n)  f (n  1)] 收敛，并求其和： n1  （II）证明级数   收敛. f (n) n1 n 【证】（I）令 S   [ f (k)  f (k  1)] ,则 n k1 S  [ f (1)  f (0)]  [ f (2)  f (1)]    [ f (n)  f (n  1)] n  f (n)  f (0) 由 lim f (x)  1 可知， lim S  1  f (0) n x n【例16】设 f ( x) 在 [0,) 上二阶可导，且 f  (x)  0, lim f (x)  1. x  （I）证明级数  [ f (n)  f (n  1)] 收敛，并求其和： n1  （II）证明级数   收敛. f (n) n1 【证】（II）由 f  (x)  0 可知， f  (x) 在 [0,) 上单调减少，又 lim f (x)  1，则 f  (x) 下有界.否则 lim f  (x)  , 又 x x f (x  1)  f (x )  f  (  ) (x  x  1 ) （1） 【例17】设 f (x)在 [0,) 上连续, 且  f 2 (x)dx 收敛, 令 0  a 2 a   1 f (nx)dx, 证明： n ( 0) 收敛。 n  0 n n1 1 【证】 a   f (nx)dx (nx  t) n 0 1 n   f (t)dt n 0 1 1 n n n a 2  ( f (t)dt) 2  ( 1 2 dt) ( f 2 (t)dt) n n 2 0 n 2 0 0 1    f 2 (t)dt n 0 2 a A  令  f 2 (x)dx  A, 则 n  0 n  n 1  a 2 故  n ( 0) 收敛。  n n1祝同学们 考研路上一路顺利！