(414)--专题十四常数项级数的敛散性（数一三）笔记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高等数学17堂课
专题14 常数项级数的敛散性
（P156-167）
主讲 武忠祥 教授（一）级数的概念与性质

1.级数的概念  u  u  u    u   无穷级数
n 1 2 n
n1
n

s  u 部分和
n i
i1


u  lim s
n n
n
n1
2.级数的性质
 
1）若  u 收敛于 s, 则  ku 也收敛，且其和为
ks.
n n
n1 n1
  
2）若  u 和  v 分别收敛于 s,. 则  (u  v )
n n n n
n1 n1 n1
收敛于 s .
【注】 收敛±发散=发散； 发散±发散=不确定3) 在级数中去掉、加上或改变有限项不影响级数的敛散性.
4) 收敛级数加括号仍收敛且和不变.

5)  u 收敛 lim u  0
n n
n
n1
（二）级数的审敛准则

(1) 正项级数 (  u ,u  0)
n n
n1

基本定理：  u 收敛  S 上有界。
n n
n1
1)比较判别法：设 u  v , 则
n n
 
 v 收敛   u 收敛
n n
n1 n1
 
 u 发散   v 发散
n n
n1 n1u
2)比较法极限形式：设
lim n  l (0  l  )
n v
n
 
①若 0  l  , 则  u 与  v 同敛散.
n n
n1 n1
 
 
②若 ,则  v 收敛  收敛,  u 发散  发散.
l  0  u  v
n n
n n
n1
n1
n1
n1
   
③若 l   ,则  v 发散  u 发散.  u 收敛   v 收敛,
n n n n
n1 n1 n1 n1
 
1
  n
1) 2) aq
n p .
n1 n1

u  收敛,   1,
3)比值法: 设 lim n1   ,则  u 
n 发散,   1,
n u
n
n1 
 不一定,   1,


收敛,   1,
4)根值法: 设 limn u   ,则  u

n n 发散,   1,
n
n1 

不一定,   1,5)积分判别法
若 f (x) 是 [1,) 上单调减，非负的连续函数，且


u  f (n ) 则  u 与  f (x)dx 同敛散.
n
n
1
n1
(2) 交错级数 (  (1) n1 u ,u  0)
n n
n1
莱不尼兹准则: 若 (1) u 单调减; (2) lim u  0
n n
n

则  (1) n1 u 收敛.
n
n1
(3) 任意项级数
1)绝对收敛与条件收敛概念
2)绝对收敛和条件收敛的基本结论
 
①绝对收敛的级数一定收敛,即  | u | 收敛   u 收敛.
n n
n1 n1
②条件收敛收敛的级数的所有正项(或负项)构成的级
数一定发散.即:
  u  | u |  u  | u |
 u 条件收敛   n n 和  n n 发散.
n
2
2
n1 n1 n1  1 
【例1】级数  (1) n   sin  （常数  0 )
 n n 
n1
（A）发散 （B）条件收敛
（C）绝对收敛 （D）收敛性与 有关
1  1 1 1 1 1
【解1】当  1, (1) n (  sin )   sin   sin ～ 绝对收敛
3
n n n n n n 6n
 1 
(1) n   sin 
 n n 
当  1, lim  1   0
1
n
n
 1  
条件收敛
 (1) n ,  (1) n sin 都收敛
n n
n1 n1
 1   1  3 1 
【解2】 (1) n   sin   (1) n  ( )
 
 n n 

n 3!n 3 n 3
 1  (1) n
【例2】已知级数  (1) n n sin 绝对收敛,级数  条件收敛,则( )
a 2a
n n
n1 n1
1 1
（A） 0  . （B）  1.
2 2
3 3
（C） 1  . （D）  2.
2 2
  
1 1 1
【解1】直接法  (1) n n sin 绝对收敛  n sin 收敛  收敛
a a 1
n n 
n1 n1 n1
n 2
3

2
 (1) n
 条件收敛 0  2  1 1  2
2a
n
n1
【解2】排除法
1 1

【例3】级数 (  )sin(n  k )（ k 为常数）
n n  1
n1
（A）绝对收敛 （B）条件收敛
（C）发散 （D）收敛性与 有关
k
1 1 1 1 n  1  n 1
【解】 (  )sin(n  k)    
n n  1 n n  1 n n  1 n n  1( n  1  n)
1
n n  1( n  1  n) 1
绝对收敛
lim 
n 1 2
3
n 2
1 1

n n  1( n  1  n) 3
n 2
1 1 1 1 1
1 1    1   1 1
  n 2  (n  1) 2  n 2[1  (1  ) 2 ] ～ n 2  
n n  1 n 2n 2n n
1 1
【例4】若级数  [sin  k ln(1  )] 收敛,则 k  ( )
n n
n2
（A） （B）
1. 2.
（C）
1.
（D）
2.
1 1
sin  k ln(1  )
【解1】排除法 lim n n  1  k 若 1  k  0, 原级数发散 .
1
n
n
排除 A,B,D.
1 1 1 1 1
【解2】直接法
k  1 sin  ln(1  )   ( ) 2 ( ) 2
n n 2 n n
1 1 1 1 1 1
sin  ln(1  )  [sin  ] [ln(1  )  ( )]
n n n n n n【例5】下列级数中发散的是( )
 
n 1 1
（A）
.
（B）
ln(1  ).
n
3 n n
n1 n1
 (1) n  1  n!
（C）  . （D） .
ln n n n
n2 n1
【解1】直接法
 (1) n  1  (1) n  1
  
 
ln n ln n ln n
n2 n2 n2
【解2】排除法
1

【例6】已知级数 收敛，则 ( )
 
n ln n
n2
（A） 1. （B） 1,  1.
（C） 1,  1. （D） 1 或  1, 1.

1
【解】  时收敛，当 时发散;
 1  1

n
n2

1
 时收敛，当 时发散;
 1  1
 
n ln n
n2
 1  dx
 
 1
 
nln n 2 x ln x
n2
当 时发散; 当 时收敛;
  0   0【例7】下列选项正确的是（ ）.
  
（A）若  u 2 和  v 2 都收敛，则  (u  v ) 2 收敛
n n n n
n1 n1 n1
  
（B）若  | u v | 收敛，则  u 2 与  v 2 都收敛
n n n n
n1 n1 n1

1
（C）若正项级数  u 发散，则 u 
n n
n
n1
 
（D）若级数  u 收敛，且 u  v (n  1,2,) ，则级数  v 也收敛
n n n n
n1 n1
【解1】直接法 (u  v ) 2  u 2  v 2  2u v  2u 2  2v 2
n n n n n n n n
【解2】排除法
【例8】设 a  0(n  1,2,3,) ，且  a 收敛，常数
n n
n1
    
  0,  ，则级数  (1) n  ntan a （ ）.
2n
 n 
 2 
n1
（A）绝对收敛 （B）条件收敛
（C）发散 （D）收敛性与  有关
 
【解】由 a  0(n  1,2,3,) ，且  a 收敛,可知  a 收敛.
n 2n
n
n1 n1
    
(1) n  ntan a   ntan a 
2n 2n
 n   n 

(ntan )a
2n
n
lim    0
n a
2n【例9】设有以下命题：
 
 
① 若 (u  u ) 收敛，则 u 收敛
2n1 2n n
n1 n1
 
② 若  u 收敛，则  u 收敛
n n1000
n1 n1
u 
③ 若 lim n1  1，则  u 发散
n
n u
n n1
  
④ 若  (u  v ) 收敛，则  u ,  v 都收敛.
n n n n
n1 n1 n1
则以上命题中正确的是（ ）
（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④
【解】 
【例10】设 a  0,n  1,2, ，若  a 发散，  (1) n1 a 收敛,则
n n n
n1 n1
下列结论正确的是（ ）
   
（A） a 收敛， a 发散 （B）  a 收敛， a 发散
2n1 2n 2n 2n1
n1 n1 n1 n1



（C） (a  a ) 收敛 （D） (a  a ) 收敛
2n1 2n 2n1 2n (D)
n1
n1
 
【解1】直接法  (a  a ) 为级数  (1) n1 a 加括号所得，收敛 .
2n1 2n n
n1 n1
1
【解2】排除法
a 
n
n
     
或  a   (1) n1 a  2  a  a   (1) n1 a  2  a
n n 2n1 n n 2n
n1 n1 n1 n1 n1 n1
【例11】若级数  收敛,则级数（ ）
a
n
n1
 
（A）  a 收敛， （B）  (1) n a 收敛
n n
n1 n1
  a  a
（C） 收敛 （D）  n n1 收敛
a a
(D)
n n1
2
n1 n1
【解1】直接法
   a  a
若级数  a 收敛,则级数  a 收敛,  n n1 收敛
n n1
2
n1 n1 n1
  (1) n
【解2】排除法  a  
n
n
n1 n1【例12】设有两个数列 {a },{b }, 若 lim a  0,
n n n
n
 
（A）当  收敛时， 收敛.
b a b
n n n
n1 n1
 
（B）当  发散时， 发散.
b a b
n n n
n1 n1
 
（C）当  b 收敛时，  a 2 b 2 收敛;
n n n
n1 n1
 
（D）当  b 发散时， a 2 b 2 发散.
n n n
n1 n1
 
【解1】直接法 当  收敛时， 2 收敛.
b b
n n
n1 n1
若 lim a  0, 则 a  M . a 2 b 2  M 2 b 2 .
n n n n n
n
【解2】排除法【例13】设 是数列，则下列命题正确的是( )
{u }
n
 
（A）若  u 收敛，则  (u  u ) 收敛.
n 2n1 2n
n1 n1
 
（B）若  (u  u ) 收敛，则  u 收敛.
2n1 2n n
n1 n1
 
（C）若  u 收敛，则  (u  u ) 收敛.
n 2n1 2n
n1 n1
 
 
（D）若 (u  u ) 收敛，则 u 收敛.
2n1 2n n
n1 n1
 
【解1】直接法  (u  u ) 为级数  u 加括号所得.
2n1 2n n
n1 n1
(1)
n1
【解2】排除法 u  (1) n , 排除B; u  , 排除C;
n n
n
u  1, 排除D;
n 
【例14】设 为正项数列,下列选项正确的是
a
n

（A）若 a  a , 则  (1) n1 a 收敛；
n n1 n
n1

（B）若  (1) n1 a 收敛,则 a  a ;
n n n1
n1

（C）若  a 收敛,则存在常数 p  1, 使 lim n p a 存在；
n n
n
n1


（D）若存在常数 p  1, 使 lim n p a 存在, 则 a 收敛 .
n
n
n
n1
【解1】直接法

a

若存在常数 p  1, 使 lim n p a  lim n 存在, 则 a 收敛 .
n
n 1
n n
n1
p
1 n 1
【解2】排除法 a  1  , 排除A; a  ,
n 2n1 2
n n
排除B;
1 1
a  , 排除C; a  ,
n nln 2 n 2n 2 n1
【例15】已知函数 f (x) 可导,且 f (0)  1,0  f  (x)  . 设数列
2
 
x 满足 x  f (x ) (n  1,2,).
n n1 n

证明:（Ⅰ）级数  (x  x ) 绝对收敛；
n1 n
n1
（Ⅱ） 存在，且
lim x 0  lim x  2.
n n
n n
【证】（Ⅰ） x  x  f (x )  f (x )
n1 n n n1
1
 f  ()(x  x )  f  () x  x  x  x
n n1 n n1 n n1
2
1 1
x  x  x  x    x  x
n1 n n n1 n1 2 1
2 2

（Ⅱ）级数  (x  x ) 部分和 S  x  x .
n1 n n n1 1
n1
g  (x)  1  f  (x)  0
所以 lim x 存在. 设 lim x  a, 则 a  f (a).
n n
n n
令 g(x)  x  f (x), g(0)  1  0, g(2)  2  f (2)  1  [ f (2)  f (0)]  1  2 f  ()  0,【例16】设 f ( x) 在 [0,) 上二阶可导，且 f  (x)  0, lim f (x)  1.
x

（I）证明级数  [ f (n)  f (n  1)] 收敛，并求其和：
n1

（II）证明级数   收敛.
f (n)
n1
n
【证】（I）令 S   [ f (k)  f (k  1)] ,则
n
k1
S  [ f (1)  f (0)]  [ f (2)  f (1)]    [ f (n)  f (n  1)]
n
 f (n)  f (0)
由 lim f (x)  1 可知， lim S  1  f (0)
n
x n【例16】设 f ( x) 在 [0,) 上二阶可导，且 f  (x)  0, lim f (x)  1.
x

（I）证明级数  [ f (n)  f (n  1)] 收敛，并求其和：
n1

（II）证明级数   收敛.
f (n)
n1
【证】（II）由 f  (x)  0 可知， f  (x) 在 [0,) 上单调减少，又
lim f (x)  1，则 f  (x) 下有界.否则 lim f  (x)  , 又
x
x
f (x  1)  f (x )  f  (  ) (x  x  1 ) （1）
【例17】设 f (x)在 [0,) 上连续, 且  f 2 (x)dx 收敛, 令
0
 a 2
a   1 f (nx)dx, 证明： n ( 0) 收敛。
n 
0 n
n1
1
【证】 a   f (nx)dx (nx  t)
n
0
1
n
  f (t)dt
n 0
1 1
n n n
a 2  ( f (t)dt) 2  ( 1 2 dt) ( f 2 (t)dt)
n n 2 0 n 2 0 0
1

  f 2 (t)dt
n 0
2
a A

令  f 2 (x)dx  A, 则 n 
0 n

n
1
 a 2
故  n ( 0) 收敛。

n
n1祝同学们
考研路上一路顺利！