浙江省嘉兴市 2024-2025 学年高一上学期期末测试数学试题❖
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2π
1.- 是( )
3
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2.已知全集U=R，集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则Venn图中的阴影部分(如图)表示的集合是( )
A. {1,2} B. {3,4} C. {5,6} D. {1,2,5,6}
1 1
3.设a，b∈R，则“a>b>0”是“ < ”的( )
a b
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
1 1
4.设a=log 3，b=( ) 3，c=log ，则( )
2 2 32
A. b<c<a B. c<b<a C. c<a<b D. a<b<c
√5
5.已知cosα= ，则( )
5
√5 2√5
A. cos(π+α)= B. sin(-α)=
5 5
3π 2√5 π √5
C. cos( +α)=- D. sin( -α)=
2 5 2 5
6.已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是( )
f(x)=log (x2-ax+6) (1,2) a
2
A. [4,+∞) B. [4,5] C. (-∞,7] D. [4,7]
7.已知函数 ，若 ，则 ( )
f(x)=(x+2) 3+x f(a)+f(b)=-4 a+b=
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1 12A. -4 B. -2 C. 0 D. 4
{ πx
8.已知函数 2-2sin ,0≤x≤2,若存在实数 ， ， 且 ，使得 ，
f(x)= 2 x x x x <x <x f(x )=f(x )=f(x )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
-x+1,x<0.
则x f(x )+x f(x )+x f(x )的取值范围为( )
1 1 2 2 3 3
9 9 9 9
A. (-∞, ] B. (-∞,2] C. [ , ] D. [2, ]
2 4 2 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知幂函数 为常数 ，则下列结论正确的是( )
f(x)=xα (α )
A. 函数f(x)的图象都经过点(1,1)
B. 若α=3，则f(3)=27
C. 若α=-1，则函数f(x)为偶函数
D. 若函数f(x)的图象经过点(4,2)，则函数f(x)在其定义域上单调递减
√3 ωx 1
10.已知函数f(x)= sinωx+cos2 - (ω>0,x∈R)，则( )
2 2 2
A. 若函数f(x)的最小正周期为π，则ω=1
π
B. 若ω=2，则函数f(x)的图象可由函数y=sin2x的图象向左平移 个单位得到
12
π 4π 7π
C. 若ω<5且直线x= 是函数f(x)的一条对称轴，则f(x)在( , )上单调递增
9 9 9
D.
5
若函数f(x)在区间(0,2π)上没有零点，则ω∈(0, ]
12
11.已知定义在R上的函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，满足f(1)=2，f(x)=f(2-x)，且f(x)在
区间[0,1]上单调递增，则( )
A. 若f(x)是偶函数，则f(x)是周期为2的周期函数
B. 若f(x)是偶函数，且函数y=|f(x)|的最大值为3，则f(2k)=-3(k∈Z)
C. 若f(x)是奇函数，则函数y=f(x)-√2在[0,6]上的所有零点之和为18
D. 若f(x)是奇函数，则方程f(x+2)=f(x)+2在[-2,4]上有四个不同的实数根
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2 12第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.log 5-log 15= ．
3 3
1
13.若正数x，y满足xy+9=x，则x+ 的最小值为 ．
y
x-1
14.已知奇函数f(x)的定义域为{x|x≠±2}，当x>0时，f(x)= .若x∈[t,a]，f(x)的值域是
x-2
1
[0, ]，则t+a= ．
2
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|a+2≤x≤3a}，B={x|(x-5)(x-3)≤0}．
(1)若a=2，求A∩B;
(2)若A∪B=B，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
如图，角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆交于点
2√5 √5 3√10 √10
A( , )，B(- , ).
5 5 10 10
π
(1)求sin(α+ )的值;
3
(2)求扇形AOB(阴影部分)的面积．
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3 1217.(本小题15分)
2024年政府工作报告中提出，加快新质生产力，积极打造低空经济.某市积极响应国家号召，不断探索低
空经济发展新模式，引进新型无人机开展物流运输.该市现有相距100km的A，B两集散点到海岸线l(l为
直线)距离均为75√3km(如图)，计划在海岸线l上建造一个港口C，在A，B两集散点及港口C间开展无人
机物流运输.由于该无人机最远运输距离为50√3km，需在A，B，C之间设置补能点M(无人机需经过补
π
能点M更换电池)，且MC⊥l，∠AMB= .设∠MAB=θ．
2
π
(1)当θ= 时，求无人机从A到C运输航程|MA|+|MC|的值;
6
(2)求|MA|+|MB|+|MC|的取值范围．
18.(本小题17分)
1
已知函数f(x)=2x-
．
2x
(1)若alog 2=1，求f(a)的值;
3
(2)根据函数单调性的定义证明函数f(x)在R上单调递增;
1
(3)若存在x∈[4,16]，使得不等式f [(log x) 2-mlog x+1]-x+ ≥0成立，求实数m的取值范围．
2 2 x
19.(本小题17分)
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4 12已知函数f(x)和g(x)的定义域分别为D 和D ，若对任意x ∈D ，恰好存在n个不同的实数x∈D (其
1 2 0 1 i 2
中 ， ， ， ， ，使得 ，则称 为 的“ 重覆盖函数”，其中 ， ，
i=1 2 ⋯ n n∈N* ) g(x )=f(x ) g(x) f(x) n x x
i 0 1 2
⋯，x 为一组关于x 的“覆盖点”．
n 0
判断 是否为 的“ 重覆盖函数”，如果是，求出 的值 如果不是，请说明理由
(1) g(x)=x2-4 f(x)=|x| n n ; ;
1 1
{x+ ,a⩽x< ,
若 2 2 为 ， π 的“ 重覆盖函数”，求实数 的取值范围
(2) g(x)= f(x)=cosx x∈(0, ] 3 a ;
1 4
2-|x-1|, ⩽x<2
2
若 ， 为 的“ 重覆盖函数”，求 的最小值．
(3) g(x)=x2+ax x∈[0,1] f(x)=b n a2+2b2+6b
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5 12答案和解析
1.【答案】C
【解析】
4π 2π
， ，所以 是第三象限角，即- 是第三象限角．
3 3
故选：C．
2.【答案】A
【解析】
∵集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，
∴Venn图中阴影部分表示的集合是：
A∩(∁ B)={1,2}，
U
故选：A．
3.【答案】A
【解析】
1 1 1
因为 a>b>0，所以ab>0 ， >0⇒ < ，
ab a b
1 1
当 < ，若a=-1，b=-3， ⇏a>b>0，
a b
1 1
故“a>b>0”是“ < ”的充分不必要条件．
a b
故答案为：A．
4.【答案】B
【解析】
1 1
∵a=log 3,b=( ) 3,c=log ，
2 2 32
1 1 1
a=log 3>log 2=1，b=( ) 3= ，c=log <log 1=0，
2 2 2 8 32 3
∴a，b，c的大小关系为c<b<a．
故选：B．
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6 125.【答案】D
【解析】
√5 2√5
由cosα= 可得，sinα=±√1-cos2α=± ．
5 5
√5
对于A，cos(π+α)=-cosα=- ，A错误；
5
2√5
对于B，sin(-α)=-sinα=± ，B错误；
5
3π 2√5
对于C，cos( +α)=sinα=± ，C错误；
2 5
π √5
对于D，sin( -α)=cosα= ，D正确．
2 5
故选：D．
6.【答案】B
【解析】
要使函数 在 上单调递减，
f(x)=log (x2-ax+6) (1,2)
2
则y=x2-ax+6在(1,2)上单调递减，且x2-ax+6>0在(1,2)上恒成立，
a 6 6
故 ⩾2且a<x+ 在(1,2)上恒成立，又x∈(1,2)时，x+ ∈(5,7)，
2 x x
所以a⩾4且a⩽5，故4⩽a⩽5，
故选：B．
7.【答案】A
【解析】
由题， ，
f (x)=(x+2) 3+x+2-2
令 ，易知 为奇函数，且 在 上单调递增，
g(x)=f (x-2)+2=x3+x g(x) g(x) R
则f (x)+2=g(x+2)，
由 可得， ，即 ，
f(a)+f(b)=-4 f (a)+2=-f (b)-2=-(f (b)+2) g(a+2)=-g(b+2)=g(-b-2)
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7 12所以a+2=-b-2，即a+b=-4，
故选A．
8.【答案】D
【解析】
令 ，解得x=2k+1,k∈Z，
故当x∈[0,2]时对称轴为x=1，则x +x =2，
2 3
∵f(x )=f(x )=f(x )，
1 2 3
∴x f(x )+x f(x )+x f(x )=f(x )(x +2)，
1 1 2 2 3 3 1 1
又因为f(x )=-x +1，
1 1
1 9
∴x f(x )+x f(x )+x f(x )=f(x )(x +2)=(-x +1)(x +2)=-x2-x +2=-(x + ) 2+ ，
1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 2 4
1 9 9
∵x ∈[-1,0)，x f(x )+x f(x )+x f(x )=-(x + ) 2+ ∈[2, ].
1 1 1 2 2 3 3 1 2 4 4
故选：D．
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8 129.【答案】AB
【解析】
，A正确；
f (1)=1α=1
当 时， ，则 ，B正确；
α=3 f (x)=x3 f(3)=27
1
当α=-1 时，f (x)= ，为奇函数，C错误；
x
若函数f(x)的图象经过点(4,2)，则f (x)=√x，函数f(x)在其定义域上单调递增 ，D错误．
故选AB．
10.【答案】BCD
【解析】
√3 ωx 1 √3 1 π
f(x)= sinωx+cos2 - = sinωx+ cosωx=sin(ωx+ )(ω>0,x∈R)，
2 2 2 2 2 6
对于A、若函数f(x)的最小正周期为π，则ω=2，故A错误；
π π
对于B、若ω=2，则f(x)=sin(2x+ )=sin[2(x+ )]，
6 12
π
故函数f(x)的图象可由函数y=sin2x的图象向左平移 个单位得到，故B正确；
12
π
对于C、若ω<5且直线x= 是函数f(x)的一条对称轴，
9
π π
则 ω+ 且ω<5，解得ω=3，则f(x)=sin(3x+ )，
9 6
4π 7π
由x∈( , )，得 ，f(x)单调递增，故C正确；
9 9
π π π
对于D、当x∈(0,2π)时，ωx+ ∈( ,2πω+ )
6 6 6
若函数f(x)在区间(0,2π)上没有零点，则2π ，
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9 125
又ω>0，则ω∈(0, ]，故D正确，
12
故选BCD．
11.【答案】ABD
【解析】
对于A选项，若f(x)是偶函数，则f(x)=f(-x)，又f(x)=f(2-x)，
∴f(x)=f(x+2)，所以f(x)是周期为2的周期函数;
对于B选项，因为|f(x)|的最大值为3，f(1)=2，f(0)=-3，由周期性可知f(2k)=-3(k∈Z);
对于C选项，因为f(x)是奇函数，所以f(x)是周期为4，且为过原点的连续函数，
故函数y=f(x)-√2在[0,6]上有4个零点，它们的和为12;
对于D选项，由f(x+2)=f(x)+2，
由图象平移可知，y=f(x+2)与y=f(x)+2在[-2,4]上有四个不同的交点．
故选ABD．
12.【答案】-1
【解析】
5 1
log 5-log 15=log =log =-1．
3 3 315 33
故答案为：-1．
13.【答案】16
【解析】
9
∵正数x，y满足xy+9=x，∴y+ =1，
x
1 1 9 9 √ 9
则x+ =(x+ )(y+ )=10+xy+ ⩾10+2 xy· =16，当且仅当xy=3时等号成立，
y y x xy xy
1
所以x+ 的最小值为：16．
y
故答案为：16
7
14.【答案】-
3
【解析】
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10 12x+1
由已知可得当x<0时，-x>0，则f (x)=-f (-x)=- ，
x+2
x-1
{ ,x>0
x-2
所以f(x)= 0,x=0 ，
x+1
- ,x<0
x+2
1 4
令f (x)=0，则x=-1，0，1;令f (x)= ，则x=- ．
2 3
作出函数f(x)的图象如下：
1 4
若x∈[t,a]，f(x)的值域是[0, ]，可得t=- ，a=-1，
2 3
7
所以t+a=- ．
3
7
故答案为：- ．
3
15.解：(1)当a=2时，A={x|4≤x≤6}，B={x|3≤x≤5}，
∴A∩B={x|4≤x≤5}；
(2)∵A∪B=B，∴A⊆B，
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11 12当A=⌀时，a+2>3a，∴a<1;
{a+2≤3a
5
当A≠⌀时，B={x|3≤x≤5}， a+2≥3 ，∴1≤a≤ ;
3
3a≤5
5
综上所述，实数a的取值范围为：(-∞, ]．
3
√5 2√5
16.【答案】解：(1)由三角函数定义可知，sinα= ，cosα= ，
5 5
π 1 √3 √5+2√15
∴sin(α+ )= ×sinα+ ×cosα=
3 2 2 10
√10 3√10
(2)sinβ= ，cosβ=- ，
10 10
3√10 2√5 √10 √5 √2
cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα=(- )× + × =- ，
10 5 10 5 2
3π 5π
∴β-α= +2kπ，k∈Z，或β-α= +2kπ，k∈Z．
4 4
又∵0<∠AOB<π，
3
∴∠AOB= π，单位圆的半径为r=1，
4
1 3π 3π
∴S = × r2= ．
扇形AOB 2 4 8
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12 12π π
17.解：(1)当θ= 时，|MA|=100⋅cos =50√3km，作MM'⊥AB，
6 6
则|MM'|=25√3km，所以|MC|=75√3-25√3=50√3km，
故从A到C运输航程|MA|+|MC|=100√3km；
(2)由已知|MA|=100⋅cosθ，|MB|=100⋅sinθ，
|MA||MB|
|MM'|= =100sinθcosθ，|MC|=75√3-100sinθcosθ，
|AB|
因为无人机最远运输距离为50√3km，
{|MA|=100⋅cosθ≤50√3
π π
所以 |MB|=100⋅sinθ≤50√3 ，所以θ∈[ , ]，
6 3
|MC|=75√3-100sinθcosθ≤50√3
|MA|+|MB|+|MC|=100cosθ+100sinθ+75√3-100sinθcosθ
=100(cosθ+sinθ)+75√3-100sinθcosθ，
π
令t=cosθ+sinθ，cosθ+sinθ=√2sin(θ+ )，
4
π 5π 7π √3+1
因为θ+ ∈[ , ]，所以t∈[ ,√2]，
4 12 12 2
|MA|+|MB|+|MC|=100t-50(t2-1)+75√3=-50t2+100t+50+75√3=-50(t-1) 2+100+75√3
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13 12√3+1
当t= 时，(|MA|+|MB|+|MC|) =100√3+50，
2 max
当t=√2时，(|MA|+|MB|+|MC|) =100√2+75√3-50，
min
故|MA|+|MB|+|MC|的范围是[100√2+75√3-50,100√3+50]．
1
18.解：(1)∵alog 2=1，∴a= =log 3，
3 log 2 2
3
1 1 8
∴f(a)=2log 2 3- =3- = ．
2log
2
3 3 3
(2)证明：任取x ，x ∈R，且x <x ，
1 2 1 2
1 1 1 1
则f(x )-f(x )=2x 1- -(2x 2- )=2x 1- -2x 2+
1 2 2x
1
2x
2
2x
1
2x
2
1 1 1
=2x 1-2x 2+( - )=(2x 1-2x 2)(1+ )
2x
2
2x
1
2x 1⋅2x
2
∵x <x ，
1 2
∴0<2x 1<2x 2，
1
∴2x 1-2x 2<0，1+ >0，
2x 1⋅2x
2
故f(x )-f(x )<0，即f(x )<f(x )，所以f(x)在R上单调递增．
1 2 1 2
1 1
(3)∵f(log x)=2log 2 x- =x+ ，
2 2log
2
x x
1
∴f [(log x) 2-mlog x+1]≥x- =f(log x)
2 2 x 2
由(2)可知，f(x)在R上单调递增，
∴(log x) 2-mlog x+1≥log x∴(log x) 2-log x+1≥mlog x
2 2 2 2 2 2
1
要存在x∈[4,16]，使得不等式f [(log x) 2-mlog x+1]-x+ ≥0成立，
2 2 x
只要存在 ，使得 成立，
x∈[4,16] (log x) 2-log x+1≥mlog x
2 2 2
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14 12∵x∈[4,16]，∴log x∈[2,4]，令t=log x(t∈[2,4])
2 2
只要存在t∈[2,4]，使得mt≤t2-t+1成立，
1
即m≤(t+ -1) ，
t max
1
∵t∈[2,4]，根据对勾函数的性质可得函数y=t+ -1在t∈[2,4]上单调递增，
t
1 13
∴t+ -1≤ ，当且仅当t=4时取等号，
t 4
13
∴m≤ ．
4
19.解：(1)f(x)=|x|，
对任意x ∈D ，f(x )∈[0,+∞)，
0 1 0
恰好存在2个不同的实数x ，x ，使得g(x )=f(x )，
1 2 i 0
∴g(x)是f(x)的“n重覆盖函数”，n=2;
√2
(2)因为f(x)∈[ ,1)，
2
g(x)为f(x)的“3重覆盖函数”，
√2
故g(x)与y=k，k∈[ ,1)恒有三个交点，
2
1 - |1 -1 | √2 1
由g(x)图象可知，a+ ≤2 2 ，可得a≤ - ;
2 2 2
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15 12(3)由已知g(x)=x2+ax与f(x)=b在x∈[0,1]上有交点，
设方程x2+ax-b=0的两根为x ，x ，其中必有一根在[0,1]上，不妨设x ∈[0,1]，
1 2 2
则x +x =-a，x x =-b，
1 2 1 2
a2+2b2+6b=(x +x ) 2+2x2x2-6x x =x2-4x x +x2+2x2x2
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
2x 4x2 4x2
=(2x2+1)x2-4x x +x2=(2x2+1)(x - 2 ) 2- 2 +x2≥- 2 +x2 ，
2 1 1 2 2 2 1 2x2+1 2x2+1 2 2x2+1 2
2 2 2
4x2
t 2 5 1
令t=2x2+1，t∈[1,3]，则- 2 +x2=( + )- ≥- ，
2 2x2+1 2 2 t 2 2
2
√2 2x √2
当且仅当x = ，x = 2 = 时取到等号．
2 2 1 2x2+1 2
2
1
此时a=-√2，b=- ，△=a2+4b=0，满足条件．
2
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16 12
