241202_120056-9.基础习题册高数第九章详解_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_00.配套书籍_2026考研数学习题册答案详解_基础

第九章 二重积分 9-1 基础过关 1.【答案】 D  { ( x , y ) | 1  2 x 2  y 2  0 } 【解析】二重积分  D ( 1  2 x 2  y 2 ) d x d y 表示以区域 D 为底，以曲面 z  1  2 x 2  y 2 为曲 顶的曲顶柱体的体积的代数和，所以要使二重积分达到最大值，需要被积函数 1  2 x 2  y 2  0 ，即积分区域为 D  { ( x , y ) | 1  2 x 2  y 2  0 } . 2.【答案】（1） D ( x y ) 2 d D ( x y ) 3 d          ；（2）(x y)2d(x y)3d； D D （3）ln(x y)d[ln(x y)]2d；（4） D D D l n ( x y ) d D [ l n ( x y ) ] 2 d          . 【解析】（1）积分区域 D 上， 0  x  y  1 ，此时 ( x  y ) 2  ( x  y ) 3 ， 所以 D ( x y ) 2 d D ( x y ) 3 d          ； （2）如图，当 ( x , y )  D 时， x  y  1 ，此时 ( x  y ) 2  ( x  y ) 3 ， 所以 D ( x y ) 2 d D ( x y ) 3 d          ； （3）如图，当 ( x , y )  D 时， 1  x  y  2 ，此时0ln(x y)1， l n ( x  y )  [ l n ( x  y ) ] 2 ，所以 D l n ( x y ) d D [ l n ( x y ) ] 2 d          ； （4）当 ( x , y )  D 时， 3  x  y  6 ，此时 1  l n 3  l n ( x  y )  l n 6 ， ln(x y)[ln(xy)]2，所以ln(x y)d[ln(x y)]2d. D D3.【答案】A 【解析】 如图，当(x,y)D时， 0  x  y  4 ，即 0  x  4 y  1 ，所以 x  4 y  x  4 y  3 x  4 y ， 故 I 1  I 2  I 3 . 4.【答案】A 【解析】记  D f ( u , v ) d u d v  A ，则 f ( x , y )  x 2  y 2  A ，代入上式得： A 3 D 2 9 ( x A 2 π y 9 2 ( 3 1 A 2 ) π d ) x d y 2 π2 0 d 2 0 c o s r r d r A S D π2 0 1 6 3 c o s 3 d A π                       32 所以 f(x,y) x2  y2  ，故应选（A）. 9(1π) 5.【答案】（1） 8 3 ；（2） 2 3 0 ；（3） 1 ；（4）  3 π 2 【解析】（1）积分区域 D 关于 x 轴及 y 轴均对称，设D {(x,y)|0 x1,0 y1}， 1 则 2 2 ( x y ) d D 4 4 4 D ( 1 1 0 1 3 ( ( x x x 2 2 3 y y 1 3 2 1 3 x ) d y ) 3 1 0 ) 1 0 d 8 3 4 x 1 0 d 4 x 1 0 1 ( 0 ( x x 2 2 1 3 y ) 2 d ) d x y                       （2）D ( 3 x 2 y ) d ( 2 0 2 0 4 d ( x x 4 2 0 2 2 x x x ( 3 2 3 x 2 x x 3 2 2 ) y ) d 2 0 ) d x y 2 0 3 2 0 ( 3 x y y 2 ) 2 0 x d x                      （3） 3 2 3 ( x 3 x y y ) d D 1 d 0 1 ( 0 1 ( 0 1 4 x x x x 3 3 4 1 0 y ( x 3 2 1 2 3 3 2 x x x 2 3 3 2 2 x 2 y 1 4 1 4 y ) d x 1 4 x y y 3 4 ) d y 1 ) d 0 x                        1 0  1 （4） xcos(x y)d  dx x xcos(x y)dy  xsin(x y)x dx 0 0 0 0 D   1  x(sin2xsinx)dx xd( cos2xcosx) 0 0 2  1  1  x( cos2xcosx)  ( cos2xcosx)dx 2 0 2 0  3 1 3   sin2xsinx)   2 4 2 0 6．【答案】（1） 5 6 5 ；（2） 6 1 4 5 ；（3） e  e  1 13 ；（4） 6 【解析】 （1）  x  1 x 1 2 3 x yd dx x ydy   xy2 dx 0 x2 03  D  x2  1 2 1 7 2 4 11 1  6   (x4 x4)dx  x4  x5   3 0 311 5  55 0 （2）积分区域D关于x轴对称，被积函数关于y 为偶函数，所以D x y 2 d 2 2 0 d 2 0 r c o s ·r 2 s i n 2 ·r d r 6 5 4 2 0 c o s s i n 2 d 6 4 5 1 3 s i n 3 20 6 1 4 5                     . （3） D e x y d e 0 1 0 1 1 2 d x  2 x e 2 x e 1 e x x 1 1 1 1 x e e e y d  1 1 x y d x 0 1 1 d 0 1 0 x  e e x 1 x x 1 e 1 2 e 2 x x e y d  1 d 2 x 1 y x 1 0                                            （4） D ( x 2 y 2 x ) d 2 d y 0 1 2 3 0 1 2 2 0 1 9 9 6 y y2 x 9 4 4 y ( 3 y x 3 2 1 8 + y y 2 3 8 y 2 x y 3 2 2 0 x 1 2 ) d x d y 1 x 2 3 6 y y2 d y                          7.【答案】（1） I   4 0 d x  2 x x f ( x , y ) d y   4 0 d y  y2 y4 f ( x , y ) d x （2） I   r  r d x  0 r 2  x 2 f ( x , y ) d y   r 0 d y   2 2 r  y 2 2 r  y f ( x , y ) d x （3） I   2 1 d x  x 1x f ( x , y ) d y   1 12 d y  2 1y f ( x , y ) d x   2 1 d y  2 y f ( x , y ) d x （4） I 2 0 d 2 1 f ( r c o s , r s i n ) r d r 2 1 r d r 2 0 f ( r c o s , r s i n ) d               【解析】提示：先画出对应的图像，然后对于直角坐标系，作出对应的坐标轴的平行线进 行定限，对于极坐标系，作出对应的射线以及圆弧进行定限. 更多详解请查看视频解析. 8.【答案】（1） 4 0 d se 0 c f ( r c o s , r s i n ) r d r 2 4 d c 0 sc f ( r c o s , r s i n ) r d r                 ；  2sec （2）3d f(r)rdr；  0 4（3） 2 0 d 1 sin 1 c o s f ( r c o s , r s i n ) r d r          ；  sec （4）4d f(rcos,rsin)rdr 0 tansec 【解析】利用直角坐标和极坐标的转换公式，先还原出积分区域，再按照要求重新定限. 更多详解请查看视频解析. 3 1 9.【答案】（1） a4；（2） a3[ 2ln(1 2)]；（3） 4 6 2  1 1 ；（4） a4 8 【解析】（1） 2 0 ad x 0 2 a x x 2 ( x 2 y 2 ) d y 4 2 0 a d 4 2 0 2 0 c a o co s s 4 d r 2 r d 4 r a 4 2 0 3 4 1 2 1 4 r 2 4 2 0 a co 3 4 s a d 4                              （2） a x  asec a3  a3   dx x2  y2dy 4d rrdr  4 sec3d 4 secdtan 0 0 0 0 3 0 3 0 a3   π   sectan4 4 tan2secd 3  0 0  a3  π π    24 sec3d4 secd 3  0 0  a3 π a3  [ 2ln(sectan) 4] [ 2ln( 21)] 6 0 61 x  1  sin 1 π π （3）dx (x2  y2) 2dy=4dcos2 rdr 4tansecdsec4  21； 0 x2 0 0 r 0 0 a a2y2  a 1 a  （4） dy (x2  y2)dx2d r2rdr   r4  a4   0 0 0 0 2 4 8  0 10.【答案】  ( e 4  1 ) 【解析】 D e x 2 y 2 d 4 2 0 d 2 0 e r 2 r d r e r 2 2 0 ) ( e 4 1 )                 . 11.【答案】  4 ( 2 l n 2  1 ) 【解析】 D l n (1 x 2 y 2 ) d t 2 0 d 1 1 l 0 2 r n 4 (1 2 1 r l n 2 ) t d r d t = r 4 ( t 2 l n 2 t 1 l n 0 2 t ) 1 (1 = 4 r ( 2 2 ) d l n (1 2 r 1 2 ) )                            12.【答案】  6  4 2 【解析】原式 4 0 d 2 1 a r c t a n r r s c i o n s r d r 4 0 d 2 1 r d r 2 2 4 0 r 2 2 2 1 6 4 2                           13.【答案】 9 4 【解析】 D x y 2 2 d 2 1 d x x 1x x y 2 2 d y 2 1 x y 2 x 1x d x 2 1 ( x x 3 ) d x 1 2 x 2 1 4 x 4 2 1 9 4                      .  14.【答案】 (2) 8 【解析】D 1 1 x x 2 2 y y 2 2 d r 2 0 2 4 d t 1 0 1 0 4 1 1 1 1 0 1 t 1 1 2 r r d 2 2 t t t d r d t r 1 0 4 1 2 t 1 0 t 1 2 1 1 d 2 t 1 0 t t 2 1 1 d t 4 r r 2 2 a d r r c s 2 i n t 1 0 d (1 t 2               4       2      1      2 t   1 0        4      2        1        8  (   2 )   1 0 2 1   t ) 2  15.【答案】 1 4 a 4 【解析】 2 2 ( x y ) d D 3 a 3 a 3 a 2 3 a a a d a y 1 3 2 y y a 3 y y 3 y ( a 2 a 2 x a 2 2 y a y 2 2 y 2 y 2 1 3 ) 1 3 d ( x y a 3 a d 3 a a 3 ) y d y 1 3 x 3 x y 2 y y a d y                        1 3 a 3     y   3 a a     1 4 a 4     16.【答案】 2 3  ( b 3  a 3 ) 【解析】 D x 2 y 2 d 2 0 d b a r r d r 2 1 3 r 3 b a 2 3 ( b 3 a 3 ) .                 4 17.【答案】 3 【解析】  2y 1 2y 1 1  m(x2  y2)d dy (x2  y2)dx  x3  y2x  dy D 0 y 0 3  y  1 11 7   1 2 7    (2 y)3 2y2  y3  dy    (2 y)4  y3  y4  03 2   12 3 12  0 4  3 7 18.【答案】 2【解析】记 D  { ( x , y )∣ 0  x  1 , 0  y  1 } ，由 2 x  3 y  z  6 可得 z  6  2 x  3 y ，则 V     D 1  0 9  2  ( 6 ( 6 x  y   2 x x 2 2 x   y 1 0 3   y ) 3 2 7 2 d x y d 2 y ) 1 0  d x  1 0  d 1  x 0  1   0  ( 9 2 6   2 2 x x   d x 3 y ) d y 19.【答案】 1 7 6 【解析】记 D  { ( x , y )∣ x  y  1 , x  0 , y  0 } ，由 x 2  y 2  6  z 可得 z  6  x 2  y 2 ， 则 1x 1 1x 1 1 V (6x2  y2)dxdy  dx (6x2  y2)dy  (6yx2y y3) dx 0 0 0 3 D 0 1 1 1   1 1 1   6(1x)x2 x3  (x1)3 dx 3(1x)2  x3  x4  (x1)4     0 3   3 4 12  0 17  6 9-2 基础真题 1.【答案】C 【解析】定积分是一常数，因此，令 f(u,v)dudv A，则 f(x,y) xy A D 两边在 D 上取二重积分，则 A   D f ( x , y ) d x d y   D x y d x d y  A  D d x d y   1 0 x d x  x 0 2 y d y  A  1 0 x 2 d x  1 1 2  1 3 A 解得 A  1 8 . 2.【答案】A 【解析】如图所示， OAB所围区域记为D ， 2  O B C 所围区域记为D . 3由于 x y 关于x是奇函数，积分域 D 2 关于 y 轴对称，则 D 2 x y d x d y  0 ，同理 D 3 x y d x d y  0 . 从而  D x y d x d y  D 2 x y d x d y + D 3 x y d x d y  0 . 又 c o s x s i n y 是 y 的奇函数， D 关于 3 x 轴对称，则cosxsin ydxdy 0，又cosxsin y 是 D 2 x 的偶函数，D 关于y 轴 2 对称，则 D 2 c o s x s i n y d x d y  2 D 3 c o s x s i n y d x d y ，从而有  D c o s x s i n y d x d y  D 2 c o s x s i n y d x d y + D 3 c o s x s i n y d x d y  2 D 1 c o s x s i n y d x d y 故  D ( x y  c o s x s i n y ) d x d y  2 D 1 c o s x s i n y d x d y . 3.【答案】A 【解析】由于在区域D上，x2  y2 1，所以 1  x 2  y 2  x 2  y 2  ( x 2  y 2 ) 2  0 ， 又由于当 u  [ 0 , 1 ] 时，cosu是单调减少函数，所以 cos x2  y2 cos(x2  y2)cos(x2  y2)2 由二重积分的性质知 D c o s x 2 y 2 d D c o s ( x 2 y 2 ) d D c o s ( x 2 y 2 ) 2 d               . 故选项（A）正确. 4.【答案】A 【解析】因为 F ( u , v ) D uv f ( x x 2 2 y y 2 2 ) d x d y v 0 d u 1 f ( r r 2 ) r d r v u 1 f ( r 2 ) d r            ， F 故 vf(u2). 选项（A）正确. u5.【答案】 e 2  1 【解析】联立y  x和 y  x3 ，可解得两曲线的交点横坐标 x  0 和 x  1 ，于是  D e x 2 d x d y   1 0 d x  x 3 x e x 2 d y   1 0 ( x  x 3 ) e x 2 d x  e 2  1 . 6.【答案】 1 5 4 4 【解析】原式    0  e  y 2 d y  1213 y y x d x  1 2   0   1 4 y  1 9 y  e  y 2 d y  7 5 2   0  y e  y 2 d y  1 5 4 4 . 7.【答案】 a 3 b 0 2 【解析】由 x a  y b  1 ，得 y  b  1  x a  2 . 因此 I   D y d x d y   a 0 d x  b 0 1  xa 2 y d y   a 0 d x  1 2 y 2  b 0 1  xa 2  b 2 2  a 0  1  x a  4 d x x 令t 1 ，有 a x  a (1  t ) 2 ， d x   2 a ( 1  t ) d t ，故 I  b 2 2  0 1 t 4 2 a ( t  1 ) d t  a b 2  1 0 ( t 4  t 5 ) d t  a b 2  5 t 5  6 t 6  1 0  a 3 b 0 2 . 8.【答案】 π 2  l n 2  1 2  【解析】利用极坐标. 原式= π2 0 d 1 0 1 1 r r 2 2 r d r π 2 1 0 1 2 r 2 1 r d r π 2 l n ( 1 r 2 ) 1 2 r 2 10 π 2 l n 2 1 2                     9.【答案】  1 a 2  1 b 2  π R 4 4 【解析】方法一：利用极坐标进行计算.2 2 x y d x d y 2 2 a b D 2 0 R 4 π 4 d 2 0 π R 0 1 a r a 2 2 2 c o c o 2 s s 2 1 b r b 2 2 2 s i s n i n 2 2 d r d r 1 a 2 1 b 2 π R 4 4                           【解析】方法二：由轮换对称性可知，  x2 y2   y2 x2  1  x2 y2   y2 x2     dxdy     dxdy      dxdy a2 b2  a2 b2  2 a2 b2  a2 b2  D D D 1 1 1      (x2  y2)dxdy 2a2 b2  D 1 1 1  2π R  1 1 πR4    d r3dr       2a2 b2  0 0 a2 b2  4 10.【答案】 3 2 π 1 1 【解析】作平移变换，令u  x ,v y ，将偏心圆D： 2 2 2 2  1  1 3  x    y   ，  2  2 2 转化为标准圆 D u v : u 2  v 2  3 2 ，于是  D ( x  y ) d x d y  D uv ( u  v  1 ) d u d v  D uv ( u  v ) d u d v  D uv d u d v  0  3 2 π  3 2 π 11.【答案】 1 0 9 2 【解析】原式 0 π4 d 2 0 c o s r r d r 8 3 π4 0 c o s 3 d 8 3 π4 0 ( 1 s i n 2 ) d ( s i n )                 8 3 s i n 1 3 s i n 3 π4 0 1 0 9 2        . 8 12.【答案】 15 【解析】 π cos π 1 cos 3 4 π 8  xdxdy 2 d rcosrdr 2 cos2d r2dr  2cos3d  π 0  π 0 5 0 15 D 2 2π 13.【答案】 2 【解析】 I         1  2   2  y e d    e      2 e   y  y   2  2 y d 2 x d x x y  e    2 x 1 2 2 d  x         e 0  e     x e   2  2 x d x 2 2 x d x 2 d x  x   y e  y 2 d y 令 2 x 2  t ，则 x  1 2 t 12 ， d x  2 1 2 t  12 d t ，故 I   1 2   0  e  t  t  12 d t   1 2   1 2    1 2  π   π 2 . 14.【答案】e1 【解析】设 D 1  { ( x , y ) 0  x  1 , 0  y  x } ， D 2  { ( x , y ) 0  x  1 , x  y  1 } ， 则  D e m 2 a x { x 2 ,y } d x d y     D D   1 1 1 0 1 0 e e d x m x x e 2 a x { x 2 d x d x  e 0 2 x d x 2 ,y } d y  2 x d y   x d   D 2  1 y 0 y e  e 2 m a x { x    e D 2 2 y d x d y 1 y 2 y  d y e d x 0 0 2 y d y  e  1 ,y 2 } d x d y 15.【答案】 3 8 【解析】 π 42 xy[1x2  y2]dxdy  2d r2sincos[1r2]rdr 0 0 D π 42  2sincosd r3[1r2]dr 0 0 π 1 2  1 42   sin2  r3dr 2r3dr 2  0 1  0 11 1 3   =   24 2 816.【答案】  2 1 d x  1 0  x f ( x , y ) d y 【解析】本题考查的知识点是将二次积分转换为二重积分，然后交换次序.  0  1 d y  1 2  y f ( x , y ) d x    0  1 d y  2 1  y f ( x , y ) d x    D f ( x , y ) d x d y ， 其中 D  { ( x , y ) 1  y  x  2 ,  1  y  0 }  { ( x , y ) 1  x  y  0 , 1  x  2 } . 故  0  1 d y  1 2  y f ( x , y ) d x    D f ( x , y ) d x d y    2 1 d x  0 1  x f ( x , y ) d y   2 1 d x  1 0  x f ( x , y ) d y . 17.【答案】  12 0 d x  x 2 x f ( x , y ) d y 【解析】画出积分区域 D 的草图，如图所示，便可得到先对 y 积分，后对 x 积分的二次积 分. 18.【答案】D 【解析】因为从 x 2  y 2  2 y 解出 y  1  1  x 2 ，它们分别是内层积分的上、下限.故选 项（A）可排除； 把直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分时，面积元素drdrd，故选 项（C）可排除； 由于 f xy 关于 y 轴的奇偶性是位置的，故选项（B）可以排除，于是应选（D）. 当然，将二重积分化为极坐标系下的二次积分可直接得到（D）. 因为区域D： π 2sin 02sin，0π，故 f(xy)dxdy d f(r2sincos)rdr. 0 0 D19.【答案】C 【解析】题中二重积分得积分区域 D 如图所示， 其在直角坐标系下， D   ( x , y ) y  x  1  y 2 , 0  y  2 2  ，故应选（C）. 20.【答案】B 【解析】画出该二重积分所对应的积分区域 D : π 2  x  π ，sinx y1 交换为先x后 y ，则积分区域可化为： 0  y  1 ， π  a r c s i n y  x  π . π 1 1 π 所以 dx f(x,y)dy  dy f(x,y)dx，因此选项（B）正确. π sinx 0 πarcsiny 2 9-3 拓展拔高 1.【答案】C 【解析】D关于 x 轴及 y 轴对称，若m为奇数，则xnym为关于 y 的奇函数，  xnymd0；若n为奇数，则xnym为关于x的奇函数，  xnymd0；故 x2y21 x2y21 m,n中至少有一个为奇数即可，选（C）. 2.【答案】D 【解析】令 f(u)ueu，则当u1时， f(u)(1u)eu 0，故 f(u)在(,1]上单 O y 1 x  2 D 调增加；因为当(x,y)D时， x  1 , y  1 ，所以当 ( x , y )  D ，且 ( x , y )  ( 0 , 0 ) ， x  y  1 时， x 3  y 3  x 2  y 2  | x |  | y | 1 ，从而 ( x 3  y 3 ) e  x 3  y 3  ( x 2  y 2 ) e  x 2  y 2  ( x  y ) e  x  y ，即 I 3  I 2  I 1 ，故应选（D）. 3.【答案】B 【解析】积分区域 D 1 , D 2 , D 3 如图所示， 显然， D 3  D 2  D 1 ；由于 4 x 2  y 2  4  0  ( x , y )  D 2 且4x2  y2 4，故 D   D 2 3 ( 4 x 2  y 2  4 ) d x d y  0 ， 从而 I 2  D 3 ( 4 x 2  y 2  4 ) d x d y  D   D 2 3 ( 4 x 2  y 2  4 ) d x d y  D 3 ( 4 x 2  y 2  4 ) d x d y  I 3 ， 由轮换对称性，得 D 1 D 3 ( 4 x 2 y 2 4 ) d x d y 5 2 5 2 D 1 D 2 π 0 ( 3 d x 2 2 1 r y 3 d 2 ) r d x d 4 y 3 π 4 D 1 D 7 5 4 3 d π x d y 1 2 π 2 7 4 π 0                      故 I 1  D 3 ( 4 x 2  y 2  4 ) d x d y  D   D 1 3 ( 4 x 2  y 2  4 ) d x d y  D 3 ( 4 x 2  y 2  4 ) d x d y  I 3 ，于 是， I 2  I 3  I 1 ，选（B）. 4.【答案】C 【解析】由题意画图，D 2   ( x , y ) | x 2  ( y  1 ) 2  1  ， D 3  { ( x , y ) | x 2  ( y  1 ) 2  2 } ，又 f ( x , y )  ( 2 y  x 2  y 2 ) e  x 2  y 2 ，于是点 ( x , y ) 在D 内部时， 2 f ( x , y )  0 ；点 ( x , y ) 在 D 2 外部且在 D 3 内部时， f ( x , y )  0 ； 所以 I 1 D 1 f ( x , y ) d D 2 f ( x , y ) d D 1 D 2 f ( x , y ) d D 2 f ( x , y ) d I 2                  ； I   f(x,y)d  f(x,y)d  f(x,y)d  f(x,y)dI ； 3 1 D D D D D 3 1 3 1 1 故I I I ，选（C）. 3 1 2 5.【答案】D 【解析】 D 1 : x 2  y 2  1 ，D :x2  y2 ( 2)2为圆域， 2 D 3 : ( x 2 2 ) 2  y 2  1 ， y2 D :x2  1为椭圆域，关系如图所示， 4 ( 2)2  1  被积函数 f(x,y)1  x2  y2 为连续函数，在  2  D 4 上 f ( x , y )  0 ，而 D 4 区域外 f ( x , y )  0 ，所以 I  f(x,y)d f(x,y)d  f(x,y)d  f(x,y)d I ； 4 1 D D D D D 4 1 4 1 1同理 I 4 D 4 f ( x , y ) d D 2 f ( x , y ) d D 2 D 4 f ( x , y ) d D 2 f ( x , y ) d I 2                  ； D 与D 的公共部分记为 4 3 D * ，D 内的其余部分 4 f ( x , y )  0 ，而D 内的其余部分 3 f ( x , y )  0 ，所以I I ，故maxI ,I ,I ,I  I ，选（D）. 4 3 1 2 3 4 4 6.【答案】A 【解析】由于平面域D既关于 x 轴对称，也关于 y 轴对称，且tanxy2是关于 x 的奇函 数， x 2 y 是关于 y 的奇函数，则  D t a n x y 2 d x d y  0 ，  D x 2 y d x d y  0 ， I 1   D 2 x 2 d x d y ， I 2   D 2 t a n y 2 d x d y ，又由于平面域D关于 y  x 对称，则 I 2   D 2 t a n y 2 d x d y   D 2 t a n x 2 d x d y   D 2 x 2 d x d y  I 1 ； I 3    D  D ( 2 x x y 2 d  x d y y 2 )  d x I d 1 y   D  x 2  2 y 2  y 2  d x d y   D  x 2  2 x 2  x 2  d x d y 则I I I ，故选（A）. 3 1 2 7.【答案】 3 4 x 2  y 2  y 2 【解析】因 f ( x , y ) 连续，从而 f ( x , y ) 在区域 x 2  y 2  1 上可积，设 x 2 y 2 1 f ( x , y )d A      ， 则 f ( x , y )  A π x 2  y 2  y 2 ，两边在D上积分得：  A  A A   x2  y2  y2 d  x2  y2d  y2d     x2y21 x2y21 x2y21 A 2 1 2 1 2  2    d r2dr d r3sin2dr  A2sin2d A  0 0 0 0 3 0 3 4 得： A  3 4  3 ，故 f(x,y) x2  y2  y2. 4 8.【答案】C 1 1 【解析】由题意y  x 可写为 2 4 x  y 2  y ； y  x  1 可写为 x  y  1 ，积分区域如 1 y1 图所示，故交换积分次序后为 dy f(x,y)dx. 1 y2y9.【答案】 1 1 6 5 【解析】如图所示，令 D 1  { ( x , y ) | 0  x  1 , 0  y  1 } ，由二重积分得对称性得： I D x y d 2 D 1 x y d           . 再令 D 1 1  { ( x , y ) | 0  x  1 , 0  y  x } ， D 1 2   ( x , y ) | 0  x  1 , x  y  1  ，则 I 2 D 11 x y d D 12 y x d 2 ( I 1 I 2 )               而 x 1 x 1 x 1 2 1 3 2 1 3 4 I  dx x ydy dx (x y)2d(x y)  (x y)2 dx  x2dx 1 0 0 0 0 3 0 3 0 15 0 1 1 1 1 1 I  dx yxdy dx (yx)2d(yx) 2 0 x 0 x 1 1 2 1 3 2 1 3 4 5 4   (yx)2 dx  (1x)2dx (1x)2  3 0 3 0 15 15 x 0 16 故I 2(I I ) . 1 2 15 10.【答案】D 【解析】在积分区域内补充一条曲线: y   t a n x ，这样就使得积分区域被分为两个部分，5   ( x y  1 )d x d y D    D   D 上 x x 5 5 y y d d x x d d y y    D   D 下 d x x 5 d y y d  x d D y  上  D 下  D x d 5 x y d d y x d y   D d x d y （其中 D 上 为区域 D 在 x 轴上方的部分， D 下 为区域 D 在 x 轴下方的部分），上面的部分关 于y轴对称，被积函数 x 5 y 是关于 x 的奇函数，所以 D 上 x 5 y d x d y  0 ，同理 D 下 x 5 y d x d y  0 ， 故  D ( x 5 y  1 )d x d y    D 1 d x d y    2 ，故选（D）.  11.【答案】 48 【解析】如图所示，用直线 y  x 将D划分为 D 1 和 D 2 两部分，则D 关于 1 y 轴对称， D 2 关 于x轴对称，于是  D  D 1 1  1 x  2 ( x s 2 i n ( s ( x i n y ( ) x  y ) x  y 2 )d 2 x y x d )d y x d y  D 2 1  x 2 ( s i n ( x y )  x y 2 )d x d y    0 2 3 2 3      x D 2 1 4 x 0  ( s i 20 y n 2 1 4  t 1 x   2 s x d x i n 1 2  d x d y  2 0 x  s i n t 2 3  6 t )d t   3 4  d  x   2 3 1 2 x 0   2 x y  s i 20   2 n 5 6 1 4  t c 3  4 2 x d 2 o s 1  2 y td t   2    4 8 . 12.【答案】 a 3  a 8 3  【解析】I(a)的积分区域如图阴影部分所示，设D 为由xa，x0，ya， 1 y axx2 所围成，因 D 关于 x 轴对称，则  D y d x d y  0 ，xdxdy2xdxdy，而 D D 1x d x d y D 1 a 0 3 a 2 3 a 2 x d a x 0 c 20 3 a 3 d y o s 3 4 1 2 d 2 0 3 r 3 2 a 0 a co 0 co s 3 a 2 s r d a 1 2 3 6 c o s a 2 3 d r a 3 3 20 c o s 4 d                                      于是 I ( a )  2  D 1 x d x d y  0  a 3  a 8 3  . 13.【答案】 3 2 9  2 3  2 9  【解析】积分区域 D 关于 y 轴对称，设 D 1 为 D 在 y 轴右侧的部分，则由对称性可知  D ( x 2  y 2  x )d x d y  2  D 1 x 2  y 2 d x d y 2 1 1 6 3 6 3 60 d 1 3 c 3 2 sin 0 3 o s 3 8 r 2 2 3 d c r o s 2 2 9 2 6 6 0 d 2 9 3 2 9 1 0 r 2 d 2 r 3 1 6 3 2 9 60 s i n 3 d 2 9                                         14.【答案】D 【解析】在二重积分I 中积分区域D被直线yx分割成关于yx对称的两个部分区域 D {(x,y)|0x1,0 yx}， 1D 2  { ( x , y ) | 0  x  1 , x  y  1 }  { ( x , y ) | 0  y  1 , 0  x  y } ，被积函数 f ( x , y ) 关于变量 x , y 对称，即 f ( x , y )  f ( y , x ) ，从而 D 1 (1 x d 2 y 2 ) 32 D 2 (1 x d 2 y 2 ) 32            d d 故I  2 ；设 3 3 D (1x2  y2)2 D 1 (1x2  y2)2 x r c o s , y r s i n     ，在极坐标系 ( r , )  中 D 1 可表示为 ( r , ) 0 4 , 0 r c o 1 s      ∣      ，所以 I 2 2 2 40 2 d 40 2 2 a 1 co s 0 (1 1 2 1 r d s 40 2 1 r c s i n 2 r d r 1 co s 0 i n s i n r 2 2 2 ) d 32 3 d 40 2 40 2 2 6 1 a 1 co s 0 r c s i d (1 1 n (1 r c o s c o s i n 2 2 r ) 3 2 ) 2 2 s 4 0 ?d                                                       故选（D）. 15.【答案】C 【解析】 由于积分区域D分别关于 x 轴和 y 轴对称，而被积函数 f ( x , y )  x  y 分别是自变量 x 与 y 的偶函数，若记D 是D在第一象限的部分，即 1 D 1  { ( x , y ∣) x  0 , y  0 , x  y  1 }  { ( x , y ∣) 0  x  1 , 0  y  (1  x ) 2 } 则( x  y )dxdy4( x  y )dxdy4( x y)dxdy， D D D 1 1 又因积分区域D 关于直线 1 y  x 对称，从而又有 xdxdy ydxdy， D1 D2 于是1 (1 x)2 ( x  y )dxdy8 xdxdy8 dx xdy 0 0 D D 1 1 1 8 x(1 x)2dx8 x(12 x x)dx 0 0 1 1 3 2 3 2 5  8 ( x 2xx2)dx8 x2 x2  x2 0  3 5  0 2 2 2 1 8 8 1 8   3 5 5 3 15 故选（C）. 16.【答案】 3 3  2 【解析】如图所示 D 关于 y  x 对称，则 D ( x y )d D ( y x )d          ， 故 D ( x y )d 1 2 D ( x y y x )d 0             于是 ( x y 1 )d D 3 1 D 0 s 2 20 d i s n i 3 n td 4 t 1 0 ( c o (1 d x 3 s s i f 0 t ) 2 n (x ) t ) d d y 0 2 t s i n 3 3 1 0 t f ( x ) d 3 c o s 3 1 4 2 x 2 t 2 ( s 5 6 i n 3 4 t ) d 1 2 t 2 3                                         3  2