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中考数学一轮复习 函数基础知识
一．选择题（共10小题）
1．（2024•兰州）如图1，在菱形 中， ，连接 ，点 从 出发沿 方向以
的速度运动至 ，同时点 从 出发沿 方向以 的速度运动至 ，设运动时间为
， 的面积为 ． 与 的函数图象如图2所示，则菱形 的边长为
A． B． C． D．
2．（2024•盐都区三模）小明向各种空水壶内匀速注水，壶内水的深度 （单位： 与注水时间
（单位： 的函数关系如图所示，选项中是各种水壶的平面图，则小明使用的水壶是
A． B．
C． D．
3．（2024•郸城县一模）在矩形 中， 为矩形对角线， ，有一动点 ，沿
方向运动，每秒运动1个单位长度，设点 运动的时间为 秒，线段 的长为 ，
随 变化的函数图象如图所示，则线段 的长为
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A．3 B．4 C．5 D．2.5
4．（2024•齐齐哈尔一模）如图，正方形 的边长是4，点 ， 分别是 ， 的中点，点
， 为正方形 边上的两个动点，点 从点 出发，沿 匀速运动，到达点 时停止
运动；同时，点 从点 出发，沿 匀速运动，动点 ， 速度的大小相同．设点 运
动的路程为 ， 的面积为 ，下列图象中能反映 与 之间函数关系的是
A． B．
C． D．
5．（2024•江西二模）如图，在等边 中， ，动点 从点 出发，沿 方向运
动，过点 作 于点 ，设 的面积为 ，点 的运动路程为 ，则 与 之间的函
数关系的图象正确的是
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A． B．
C． D．
6．（2024•广汉市模拟）如图，矩形 中， ， ， 为矩形边上的一个动点，运动
路线是 ，设 点经过的路程为 ，以 ， ， 为顶点的三角形面积为 ，则
选项图象能大致反映 与 的函数关系的是
A． B．
C． D．
7．（2024•松山区一模）如图1，点 从 的顶点 出发，沿 匀速运动到点 ，图
2是点 运动时，线段 的长度 随时间 变化的关系图象，其中 为曲线部分的最低点，则
的面积是
A．10 B．12 C．20 D．24
8．（2024•江汉区模拟）已知 表示不超过实数 的最大整数，函数 的部分图象如图所示，
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若方程 在 有2个解，则 的取值范围是
A． B． C． D．
9．（2024•鄞州区模拟）如图1，四边形 中， ， ，点 从点 出发，以
每秒1个单位长度的速度，按 的顺序在边上匀速运动，设 点的运动时间为 ，
的面积为 ， 关于 的函数图象如图2所示．当点 运动到 的中点时， 的面积为
A．7 B．7.5 C．8 D．8.6
10．（2024•河南）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会
明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中
的电流 与使用电器的总功率 的函数图象（如图 ，插线板电源线产生的热量 与 的函数图象
（ 如 图 ． 下 列 结 论 中 错 误 的 是
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A．当 时，
B． 随 的增大而增大
C． 每增加 ， 的增加量相同
D． 越大，插线板电源线产生的热量 越多
二．填空题（共9小题）
11．（2024•湖北模拟）函数 中自变量 的取值范围是 ．
12．（2024•黑龙江一模）在函数 中，自变量 的取值范围是 ．
13．（2024•大连模拟）在函数 中，自变量 的取值范围是 ．
14．（2024•五华区校级模拟）函数 中，自变量 的取值范围是 ．
15．（2024•榕城区校级三模）已知函数 ，则自变量 的取值范围是 ．
16．（2024•郑州校级四模）如图1，在 中，点 为 的中点，动点 从点 出发，沿着
的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点 ，在此过程中线段 的长度 随着运动
时间 的函数关系如图2所示，则 的值为 ．
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17．（2024•单县二模）如图，在 中， ， ， ，点 为线段 上的动点，
以每秒1个单位长度的速度从点 向点 移动，到达点 时停止．过点 作 于点 ．作
于点 ，连结 ，线段 的长度 与点 的运动时间 （秒 的函数关系如图所示，
则函数图象最低点 的坐标为 ．
18．（2024•中宁县模拟）如图①，在矩形 中，对角线 与 交于点 ，动点 从点 出
发，沿 匀速运动，到达点 时停止，设点 所走的路程为 ，线段 的长为 ，若 与 之
间的函数图象如图②所示，则矩形 的周长为 ．
19．（2024•临沭县一模）某函数的图象如图所示，当 时，在该函数图象上可找到 个不同的
点 ， ， ， ， ， ， ，使得 ，在下列数值1，2，3，4，5，6中，
的取值不可能为 ．
三．解答题（共6小题）
20．（2024•房山区二模）小平在学习过程中遇到一个函数 ．下面是小平对其研究的
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过程，请补充完整：
（1）函数 的自变量 的取值范围是 ；
（2）下表是 与 的几组对应值．
0 1 1.5 1.8 2.2 2.5 3 4 5 6
0.5 2 3.5 6.8 7.2 4.5 4.5 5.33 6.25
其中 的值为 ；
（3）①根据表格中的数据，在平面直角坐标系 中，画出函数图象；
②过点 作平行于 轴的直线 ，结合图象解决问题：若直线 与函数 的图象有三
个交点，则 的取值范围是 ．
21．（2024•桃江县一模）如图1，在△ 中，动点 从点 出发沿折线 匀速运
动至点 后停止．设点 的运动路程为 ，线段 的长度为 ，图2是 与 的函数关系的大致图
象，其中点 为曲线 的最低点，求 的长．
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22．（2024•安康一模）某兴趣小组通过实验估算某液体的沸点，经过测量，气压为标准大气压，并
得到几组对应的数据如下：
加热时间 0 10 20 30
8 18 28 38
液体温度
（1）兴趣小组发现液体沸腾前，液体温度与加热时间之间满足一次函数关系，求 与 之间的函数
表达式．
（2）当加热 时该液体沸腾，求该液体的沸点．
23．（2024•大渡口区模拟）如图，在 中， ， ， ，点 是 的
中点，动点 从点 出发，沿着折线 （含端点）运动，速度为每秒1个单位长度，到
达 点停止运动，点 ， 分别是射线 ， 上的动点， 的长度等于点 走的路程，
，设点 的运动时间为 ，点 到 的距离 为 ， 的长度为 ．
（1）求 ， 关于 的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（2）在直角坐标系中画出 ， 的图象，并写出函数 的一条性质；
（3）根据图形直接估计当 时 的取值范围： ．（结果保留1位小数，误差不超过
24．（2024•北戴河区一模）一次实践活动中，某小组在装有一段笔直轨道 上，利用长度为
的金属滑块做往返滑动实验，如图，滑块首先沿 方向从左向右匀速滑动，滑动速度为 ，滑
动开始前滑块左端与点 重合，当滑块右端到达点 时，滑块停顿 ，然后再以小于 的速度
匀速返回，直到滑块的左端与点 重合时停止滑动．设滑块运动时间为 时，左端离点 的距离
为 ，右端离点 的距离为 ，记 ．发现滑块在从左向右滑动过程中，当 和
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时，与之对应的 的两个值互为相反数；滑块从点 出发到最后返回点 ，整个过程总用时
（含停顿时间）．
请解答：
（1）滑块从点 到点 的滑动过程中， 值的变化趋势是怎样的？
（注；选答“由负到正”或“由正到负”
（2）滑块从点 到点 的滑动过程中，求 与 的函数表达式；
（3）在整个往返过程中，若 ，求 的值．
25．（2024•临沭县一模）图1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的
数学知识，小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图 2所示的函数图象，并模拟过山车（抽象为
点）的运动．线段 是一段直滑道，为直线 的一部分，点 在 轴上，滑道 为
抛物线 的一部分，在点 处达到最低，其中点 到 轴的距离为2， 轴
于点 ，滑道 为抛物线 的一部分，与滑道 可看作形状相同，开
口方向相反的两段抛物线．
（1）求抛物线 的函数解析式；
（2）当过山车沿滑道从点 运动到点 的过程中，它到 轴的水平距离为多少时到 轴的距离达到
最大？最大是多少？
（3）点 为 上的一点，求点 到 和到 轴的距离之和（图中 的最大值及此时
点 的坐标．
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中考数学一轮复习 函数基础知识
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•兰州）如图1，在菱形 中， ，连接 ，点 从 出发沿 方向以
的速度运动至 ，同时点 从 出发沿 方向以 的速度运动至 ，设运动时间为
， 的面积为 ． 与 的函数图象如图2所示，则菱形 的边长为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】动点问题的函数图象
【专题】动点型；运算能力；推理能力
【分析】根据题意可知， ， ，结合菱形的性质得 ，过点
作 于点 ，则 ，那么 ；设菱形的边长为 ，则
，那么点 和点 同时到达点 和点 ，此时 的面积达到最大值 ，利用最大值即可
求得 ，即可知菱形的边长 ．
【解答】解：根据题意可知， ， ，
四边形 为菱形， ，
，
过点 作 于点 ，连接 交 于 ，如图，
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则 ，
，
设菱形的边长为 ，
，
点 和点 同时到达点 和点 ，此时 的面积达到最大值 ，
，
解得 （负值舍去），
，
故选： ．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，菱形的性质和二次函数的性质，关键是根据图象得出
的面积达到最大值 时， ， 的位置．
2．（2024•盐都区三模）小明向各种空水壶内匀速注水，壶内水的深度 （单位： 与注水时间
（单位： 的函数关系如图所示，选项中是各种水壶的平面图，则小明使用的水壶是
A． B．
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C． D．
【答案】
【考点】函数的图象
【专题】推理能力；函数及其图象
【分析】根据函数图象的变化即可得出结论．
【解答】解： 根据图象可知，刚开始注水的时候，水的深度变化的是先慢后快，且不是线性关系，
水壶应该是下宽上窄型，只有 选项符合，
故选： ．
【点评】本题考查了函数图象的实际应用，数形结合是解题的关键．
3．（2024•郸城县一模）在矩形 中， 为矩形对角线， ，有一动点 ，沿
方向运动，每秒运动1个单位长度，设点 运动的时间为 秒，线段 的长为 ，
随 变化的函数图象如图所示，则线段 的长为
A．3 B．4 C．5 D．2.5
【答案】
【考点】动点问题的函数图象
【专题】推理能力；几何直观；函数及其图象
【分析】由函数图象可知，当运动 7 秒时点 运动到了点 ，此时 ，即 ，
，设 ，则 ，利用勾股定理得到 ，解方程即可得到答
案．
【解答】解：由函数图象可知，当运动7秒时点 运动到了点 ，此时 ，即 ，
点 每秒运动1个单位长度，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
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，
解得 或 （不合题意，舍去），
，
故选： ．
【点评】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，动点问题的函数图象，
4．（2024•齐齐哈尔一模）如图，正方形 的边长是4，点 ， 分别是 ， 的中点，点
， 为正方形 边上的两个动点，点 从点 出发，沿 匀速运动，到达点 时停止
运动；同时，点 从点 出发，沿 匀速运动，动点 ， 速度的大小相同．设点 运
动的路程为 ， 的面积为 ，下列图象中能反映 与 之间函数关系的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】动点问题的函数图象
【专题】运算能力；函数及其图象
【分析】分 在线段 上，以及线段 上两种情况，表示出 与 的函数解析式，即可做出判断．
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【解答】解：当 在线段 上运动时， 的面积为 ，
当 在 上运动时， 的面积为 ，
图象为：
故选： ．
【点评】此题考查了动点问题的函数图象，解决问题的关键是读懂图意，得到相应 与 的函数解
析式．
5．（2024•江西二模）如图，在等边 中， ，动点 从点 出发，沿 方向运
动，过点 作 于点 ，设 的面积为 ，点 的运动路程为 ，则 与 之间的函
数关系的图象正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】动点问题的函数图象
【专题】运算能力；空间观念；几何直观；三角形；函数及其图象；动点型
【分析】分别求出当 时，点 在 上，当 时，点 在 上的函数图象，根据所
求的函数图象即可判断出此题答案．
【解答】解：当 时，点 在 上，如图，
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，
，
，
，
，
，
该图象为开口向上的抛物线；
当 时，点 在 上，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
该图象为开口向下的抛物线，
故选： ．
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【点评】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本
题的解题关键．
6．（2024•广汉市模拟）如图，矩形 中， ， ， 为矩形边上的一个动点，运动
路线是 ，设 点经过的路程为 ，以 ， ， 为顶点的三角形面积为 ，则
选项图象能大致反映 与 的函数关系的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】动点问题的函数图象
【专题】函数及其图象
【分析】根据题意可以分别表示出各段的函数解析式，从而可以明确各段对应的函数图象，从而可
以得到哪个选项是正确的．
【解答】解：由题意可得，
点 到 的过程中， ，故选项 错误；
点 到 的过程中， ，故选项 错误；
点 到 的过程中， ，故选项 错误；
点 到 的过程中， ，
由以上各段函数解析式可知，选项 正确，
故选： ．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，写出各段函数对应的函数解析式，
明确各段的函数图象．
7．（2024•松山区一模）如图1，点 从 的顶点 出发，沿 匀速运动到点 ，图
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2是点 运动时，线段 的长度 随时间 变化的关系图象，其中 为曲线部分的最低点，则
的面积是
A．10 B．12 C．20 D．24
【考点】 ：动点问题的函数图象
【专题】554：等腰三角形与直角三角形；532：函数及其图象；31：数形结合
【分析】由图1看到，点 从 运动到 的过程中， 先从0开始增大，到达点 时达到最大，
对应图2可得此时 ，即 ；点 从 运动到 的过程中， 先减小，到达
时达到最小，对应图 2可得此时 ；而后 又开始增大，到达点 时达到最大 ，即
，所以 为等腰三角形．作 边上的高 ，即能求得 ，即 ，
再求得 面积．
【解答】解：由图形和图象可得 ， 时，
过点 作 于 ，则
故选： ．
【点评】本题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的性质．把图形和图象结合理解得到线段
长度是解决本题的关键．
8．（2024•江汉区模拟）已知 表示不超过实数 的最大整数，函数 的部分图象如图所示，
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若方程 在 有2个解，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】函数的图象
【专题】用函数的观点看方程（组 或不等式；应用意识；函数及其图象；运算能力
【分析】分别作出当 经过 、 、 、 时的图象，再由图象判断出函数
与函数 的图象在 有两个交点时 在 有两个解，即可解答
此题．
【解答】解：当函数 与函数 的图象在 有两个交点时 在
有两个解，
令 经过 ，得 ，
，
令 经过 ，得 ，
，
令 经过 ，得 ，
，
令 经过 ，得 ，
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，
如图，
可以看出经过 的 和经过 的 ，与函数 的图象在 有两
个交点，
，
故选： ．
【点评】本题考查了函数图象，其中函数图象与方程的关系是解题的关键．
9．（2024•鄞州区模拟）如图1，四边形 中， ， ，点 从点 出发，以
每秒1个单位长度的速度，按 的顺序在边上匀速运动，设 点的运动时间为 ，
的面积为 ， 关于 的函数图象如图2所示．当点 运动到 的中点时， 的面积为
A．7 B．7.5 C．8 D．8.6
【答案】
【考点】动点问题的函数图象
【专题】函数及其图象；应用意识
【分析】首先结合图形和函数图象判断出 的长和 的长，进而可得 的长，从而可得 点坐
标，然后再计算出当 时直线解析式，然后再代入 的值计算出 即可．
【解答】解：根据题意得：四边形 是梯形，
当点 从 运动到 处需要2秒，则 ， 面积为4，
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则 ，
根据图象可得当点 运动到 点时， 面积为10，
则 ，则运动时间为5秒，
，
设当 时，函数解析式为 ，
，
解得 ，
当 时，函数解析式为 ，
当 运动到 中点时时间 ，
则 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象、三角形面积公式，利用数形结合的思想方法是解决
问题的关键．
10．（2024•河南）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会
明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中
的电流 与使用电器的总功率 的函数图象（如图 ，插线板电源线产生的热量 与 的函数图象
（ 如 图 ． 下 列 结 论 中 错 误 的 是
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A．当 时，
B． 随 的增大而增大
C． 每增加 ， 的增加量相同
D． 越大，插线板电源线产生的热量 越多
【答案】
【考点】函数的图象
【专题】函数及其图象；几何直观
【分析】由图1中点 可判断选项 ；由图2中图象的增减性可判断选项 、 ；由图1可知
随 的增大而增大，由图2可知 随 的增大而增大可判断选项 ．
【解答】解：由图1可知，当 时， ，故选项 说法正确，不符合题意；
由图2可知， 随 的增大而增大，故选项 说法正确，不符合题意；
由图2可知， 每增加 ， 的增加量不相同，故选项 说法错误，符合题意；
由图1可知 随 的增大而增大，由图2可知 随 的增大而增大，所以 越大，插线板电源线产
生的热量 越多，故选项 说法正确，不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数
形结合的思想解答．
二．填空题（共9小题）
11．（2024•湖北模拟）函数 中自变量 的取值范围是 且 ．
【考点】函数自变量的取值范围
【专题】计算题
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得， 且 ，
解得 且 ．
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故答案为： 且 ．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．（2024•黑龙江一模）在函数 中，自变量 的取值范围是 ．
【考点】函数自变量的取值范围
【专题】函数及其图象
【分析】根据分母不为零是分式有意义的条件，可得答案．
【解答】解：由题意，得
，解得 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不为零得出不等式是解题关键．
13．（2024•大连模拟）在函数 中，自变量 的取值范围是 且 ．
【答案】 且 ．
【考点】函数自变量的取值范围
【专题】函数及其图象；一元一次不等式（组 及应用；运算能力；推理能力
【分析】根据被开方数为非负数和分母不为零，列出式子，求解即可．
【解答】解：根据题意可得： ，
解得： 且 ．
故答案为： 且 ．
【点评】本题主要考查了函数的知识、二次根式的知识、分式的知识，难度不大，认真计算即可．
14．（2024•五华区校级模拟）函数 中，自变量 的取值范围是 ．
【考点】 ：函数自变量的取值范围
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出 的范围．
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【解答】解：根据题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达
式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数
表达式是二次根式时，被开方数非负．
15．（2024•榕城区校级三模）已知函数 ，则自变量 的取值范围是 ．
【答案】 ．
【考点】函数自变量的取值范围；立方根
【专题】运算能力；函数及其图象
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据题意得： ，
解得： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查函数自变量的取值范围，其中知识点为：分母不为 0；二次根式的被开方数是非
负数．
16．（2024•郑州校级四模）如图1，在 中，点 为 的中点，动点 从点 出发，沿着
的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点 ，在此过程中线段 的长度 随着运动
时间 的函数关系如图2所示，则 的值为 4 ．
【答案】4．
【考点】动点问题的函数图象
【专题】函数及其图象
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【分析】根据图象和图形的对应关系即可求出 的长，从而求出 ， ，
然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出 时， ，根
据勾股定理即可求出 ，即可解答．
【解答】解： 动点 从点 出发，线段 的长度为 ，运动时间为 的，
根据图象可知，当 时， ，
，
点 为 边中点，
， ，
由图象可知，当运动时间 时， 最小，即 最小，
根据垂线段最短，此时 ，
如图所示，
此时点 运动的路程 ，
，
在 中，
，
即 ．
故答案为：4．
【点评】此题考查的是动点问题的函数图象，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理
是解决此题的关键．
17．（2024•单县二模）如图，在 中， ， ， ，点 为线段 上的动点，
以每秒1个单位长度的速度从点 向点 移动，到达点 时停止．过点 作 于点 ．作
于点 ，连结 ，线段 的长度 与点 的运动时间 （秒 的函数关系如图所示，
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则函数图象最低点 的坐标为 ， ．
【考点】动点问题的函数图象
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力
【分析】连接 ，利用勾股定理的逆定理判定 为直角三角形，利用矩形的判定定理得到四边
形 为矩形，利用矩形的对角线相等得到 ，再利用垂线段最短的性质得到当
时， 取得最小值，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【解答】解：连接 ，如图，
， ， ，
， ，
，
．
， ，
四边形 为矩形，
．
点 为线段 上的动点，由于垂线段最短，
当 时， 取得最小值，即 取得最小值．
过点 作 于点 ，
， ，
，
，
，
， ．
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当 时， 取得最小值为 ．
函数图象最低点 的坐标为 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查了直角三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质，
矩形的判定与性质，函数的图象，函数的极值，熟练掌握动点问题的函数的图象的特征是解题的关
键．
18．（2024•中宁县模拟）如图①，在矩形 中，对角线 与 交于点 ，动点 从点 出
发，沿 匀速运动，到达点 时停止，设点 所走的路程为 ，线段 的长为 ，若 与 之
间的函数图象如图②所示，则矩形 的周长为 2 8 ．
【考点】 ：动点问题的函数图象
【专题】17：推理填空题；25：动点型
【分析】根据矩形的性质结合图②的最低点的坐标，即可得出 、 的长度，再利用矩形的周长
公式即可求出结论．
【解答】解： 当 时， 最小，且此时 ， ，
， ，
．
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故答案为：28．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象以及矩形的周长，观察图②最低点的坐标，找出矩形的长
和宽的长度是解题的关键．
19．（2024•临沭县一模）某函数的图象如图所示，当 时，在该函数图象上可找到 个不同的
点 ， ， ， ， ， ， ，使得 ，在下列数值1，2，3，4，5，6中，
的取值不可能为 6 ．
【答案】6．
【考点】规律型：点的坐标；函数的图象
【专题】函数及其图象；运算能力
【分析】 ，判断出点 ， ， ， ， ， ， 比例函数
上，根据图象判断出正比例函数 的图象与某函数的图象最多有5个交点，不可能有6个
交点，即可得到答案．
【解答】解：设 ，
则 ， ， ， ， ，
即点 ， ， ， ， ， 在正比例函数 上，
如图，正比例函数 的图象与某函数的图象最多有5个交点，不可能有6个交点．
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故答案为：6．
【点评】此题考查了正比例函数的图象和性质，根据题意构造正比例函数，利用数形结合是解题的
关键．
三．解答题（共6小题）
20．（2024•房山区二模）小平在学习过程中遇到一个函数 ．下面是小平对其研究的
过程，请补充完整：
（1）函数 的自变量 的取值范围是 ；
（2）下表是 与 的几组对应值．
0 1 1.5 1.8 2.2 2.5 3 4 5 6
0.5 2 3.5 6.8 7.2 4.5 4.5 5.33 6.25
其中 的值为 ；
（3）①根据表格中的数据，在平面直角坐标系 中，画出函数图象；
②过点 作平行于 轴的直线 ，结合图象解决问题：若直线 与函数 的图象有三
个交点，则 的取值范围是 ．
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【答案】（1） ；
（2）4；
（3）①见解析；② ．
【考点】函数的图象
【专题】函数及其图象；运算能力
【分析】（1）由分母不能为零，即可得出自变量 的取值范围；
（2）把 代入 则可求出 的值；
（3）①根据描点，连线画出函数图象；②观察函数图象可知，在直线 时即 ，直线
与函数 有2个交点，在 时，有3个交点，故可得结论．
【解答】解：（1） ，
，即 ，
故答案为： ；
（2）当 时， ，
故答案为：4；
（3）（3）①描点，连线得，
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②观察函数图象可知，在直线 时即 ，直线 与函数 有2个交点，在
时，有3个交点，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查函数图象与性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
21．（2024•桃江县一模）如图1，在△ 中，动点 从点 出发沿折线 匀速运
动至点 后停止．设点 的运动路程为 ，线段 的长度为 ，图2是 与 的函数关系的大致图
象，其中点 为曲线 的最低点，求 的长．
【答案】 ．
【考点】动点问题的函数图象
【专题】函数及其图象；推理能力
【分析】过点 作 于点 ，当点 与 重合时，在图2中 点表示当 时，点
到达点 ，此时当 在 上运动时， 最小，勾股定理求得 ．然后等面积法即可求解．
【解答】解：如图过点 作 于点 ，当点 与 重合时，在图 2 中 点表示当
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时，点 到达点 ，此时当 在 上运动时， 最小，
， ， ，
在 △ 中， ， ，
，
，
．
故 的长为 ．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的
关键．
22．（2024•安康一模）某兴趣小组通过实验估算某液体的沸点，经过测量，气压为标准大气压，并
得到几组对应的数据如下：
加热时间 0 10 20 30
8 18 28 38
液体温度
（1）兴趣小组发现液体沸腾前，液体温度与加热时间之间满足一次函数关系，求 与 之间的函数
表达式．
（2）当加热 时该液体沸腾，求该液体的沸点．
【答案】（1） ；
（2） ．
【考点】函数关系式
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【专题】运算能力；函数及其图象
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）将 换算成以秒为单位，代入（1）中得到的函数表达式，求出对应的 值即可．
【解答】解：（1）设 与 之间的函数表达式为 、 为常数，且 ．
将 ， 和 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
．
（2） ，
当 时， ，
该液体的沸点是 ．
【点评】本题考查函数关系式，掌握待定系数法求函数关系式是本题的关键．
23．（2024•大渡口区模拟）如图，在 中， ， ， ，点 是 的
中点，动点 从点 出发，沿着折线 （含端点）运动，速度为每秒1个单位长度，到
达 点停止运动，点 ， 分别是射线 ， 上的动点， 的长度等于点 走的路程，
，设点 的运动时间为 ，点 到 的距离 为 ， 的长度为 ．
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（1）求 ， 关于 的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（2）在直角坐标系中画出 ， 的图象，并写出函数 的一条性质；
（3）根据图形直接估计当 时 的取值范围： ．（结果保留1位小数，误差不超
过
【答案】（1） ， ；
（2）画图见解析，当 时， 有最大值为4（答案不唯一）；
（3） ．
【考点】动点问题的函数图象
【专题】反比例函数及其应用；函数的综合应用；运算能力；推理能力
【分析】（1）分 ， ，两种情况讨论求 关于 的函数关系式，根据三角形面积公式
求 关于 的函数关系式即可；
（2）利用描点法化函数图象，结合图象写出函数 的一条性质即可；
（3）看在哪些区间 的函数的图象在 函数图象的上方即可．
【解答】解：（1） ， ， ，
，
点 是 的中点，
，
当 时，
， ，
，
，
，即 ，
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，
当 时，
过 作 于点 ，
点 是 的中点，
，
，即 ，
，
， ，
，
，
，即 ，
，
，
根据题意，得 ，
， ， ，
，
（2）画图如下：
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根据图象，知：当 时， 有最大值为4（答案不唯一）；
（3）根据图象知：当 时， ．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象
法解决自变量的取值范围问题．
24．（2024•北戴河区一模）一次实践活动中，某小组在装有一段笔直轨道 上，利用长度为
的金属滑块做往返滑动实验，如图，滑块首先沿 方向从左向右匀速滑动，滑动速度为 ，滑
动开始前滑块左端与点 重合，当滑块右端到达点 时，滑块停顿 ，然后再以小于 的速度
匀速返回，直到滑块的左端与点 重合时停止滑动．设滑块运动时间为 时，左端离点 的距离
为 ，右端离点 的距离为 ，记 ．发现滑块在从左向右滑动过程中，当 和
时，与之对应的 的两个值互为相反数；滑块从点 出发到最后返回点 ，整个过程总用时
（含停顿时间）．
请解答：
（1）滑块从点 到点 的滑动过程中， 值的变化趋势是怎样的？
（注；选答“由负到正”或“由正到负”
（2）滑块从点 到点 的滑动过程中，求 与 的函数表达式；
（3）在整个往返过程中，若 ，求 的值．
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【答案】（1）由负到正；（2） 与 的函数表达式为 ；（3）当 或 时，
．
【考点】函数关系式
【专题】运算能力；一次函数及其应用
【分析】（1）根据等式 ，结合题意，即可求解；
（2）设轨道 的长为 ，根据已知条件得出 ，则 ，根据当
和 时，与之对应的 的两个值互为相反数；则 时， ，得出 ，继而求得
滑块返回的速度为 ，得出 ，代入 ，即可求解；
（3）当 时，有两种情况，由（2）可得，①当 时，②当 时，分别令 ，
进而即可求解．
【解答】解：（1） ，
当滑块在 点时， ， ，
当滑块在 点时， ， ，
的值由负到正．
（2）设轨道 的长为 ，当滑块从左向右滑动时，
，
，
是 的一次函数，
当 和 时，与之对应的 的两个值互为相反数；
当 时， ，
，
，
滑块从点 到点 所用的时间为 ，
整个过程总用时 （含停顿时间）．当滑块右端到达点 时，滑块停顿 ，
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滑块从 返回到 所用的时间为 ．
滑块返回的速度为： ，
当 时， ，
，
，
与 的函数表达式为： ；
（3）当 时，有两种情况：
由（2）可得，
①当 时， ，
；
②当 时， ，
．
综上所述，当 或18时， ．
【点评】本题考查了函数关系式，分析得出 ，并求得往返过程中的解析式是解题的关键．
25．（2024•临沭县一模）图1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的
数学知识，小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图 2所示的函数图象，并模拟过山车（抽象为
点）的运动．线段 是一段直滑道，为直线 的一部分，点 在 轴上，滑道 为
抛物线 的一部分，在点 处达到最低，其中点 到 轴的距离为2， 轴
于点 ，滑道 为抛物线 的一部分，与滑道 可看作形状相同，开
口方向相反的两段抛物线．
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（1）求抛物线 的函数解析式；
（2）当过山车沿滑道从点 运动到点 的过程中，它到 轴的水平距离为多少时到 轴的距离达到
最大？最大是多少？
（3）点 为 上的一点，求点 到 和到 轴的距离之和（图中 的最大值及此时
点 的坐标．
【答案】（1） ；
（2）到 轴的水平距离为8时到 轴的距离达到最大，最大为4；
（3）最大值为4，此时 的坐标为 ．
【考点】动点问题的函数图象
【专题】函数及其图象；二次函数的应用；运算能力；推理能力
【分析】（1）先求得 ，根据顶点 得 ，代入 求得 的值，即可
求解函数解析式；
（2）根据两段抛物线形状相同，开口方向相反求得滑道 的函数解析式为
，再结合图象求得最高点的坐标即可；
（3）设 ，则 ， ，整理出 关于 的函数解
析式，分析判断最值即可得到点 坐标．
【解答】解：（1） 点 到 轴的距离为2，
即对于直线 ，当 时， ，
，
滑道 为抛物线 的一部分，在点 处达到最低，
，
代入 得， ，解得： ，
抛物线 的函数解析式为 ；
（2） 滑道 为抛物线 的一部分，与滑道 可看作形状相同，开
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口方向相反的两段抛物线，
，即：滑道 的函数解析式为 ，
当过山车在滑道 段时，在点 时到 轴的距离达到最大，最大为3；
当过山车在滑道 段时，在抛物线 的顶点 时到 轴的距离达
到最大，最大为4；
即：它到 轴的水平距离为8时到 轴的距离达到最大，最大为4；
（3）解：设 ，则 ， ，
，
点 为 上一点，
，且 的值随 的增大而增大，
当 时， ，
当 时， 和 长度之和的最大值为4，此时 的坐标为 ．
【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，求二次函数的函数值，二次函数的性质等，熟练
掌握二次函数的解析式和性质是解题的关键．
40
