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南京市 2022 年初中学业水平考试
数学
一、选择题
1. 实数 的相反数是（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义判断即可；
【详解】解： 的相反数是 ，
故选： A．
【点睛】本题考查了相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；掌握其定义是解题关键．
2. 计算（a2）3，正确结果是（ ）
A. a5 B. a6
C. a8 D. a9
【答案】B
【解析】
【详解】由幂的乘方与积的乘方法则可知，（a2）3=a2×3=a6．
故选B．
3. 估计12的算术平方根介于（ ）
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据 ，即可得出12的算术平方根介于3和4之间．
【详解】∵ ，
∴ ．
∴估计12的算术平方根介于3和4之间．
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故选C．
【点睛】本题主要考查了无理数大小的估算，得出 接近的有理数是解题的关键．
4. 反比例函数 （ 为常数， ）的图像位于（ ）
A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据 及反比例函数 （ 为常数， ）的性质即可解答．
【详解】解：∵ 且 ，
∴ ，
∴反比例函数 （ 为常数， ）的图象位于第一、三象限，
故选： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
5. 已知实数 ， ， ，下列结论中一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐项分析即可．
【详解】解：A、由 不一定有 ，例如 ，满足 ，但是 ，故此
选项不符合题意；
B、当 时， 无意义，故此选项不符合同意；
C、由 不一定有 ，例如 ，满足 ，但是 ，故此选项不符合题
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意；
D、由 可以得到 ，故此选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②
不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号
的方向改变．
6. 直三棱柱的表面展开图如图所示， ， ， ，四边形 是正方形，将其折叠
成直三棱柱后，下列各点中，与点 距离最大的是（ ）
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理判定 是直角三角形，折叠成直三棱柱后，运用勾股定理计算比较大
小即可．
【详解】∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∵四边形 是正方形，将其折叠成直三棱柱，
∴直棱柱的高 ，
∴ ， ， ，
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，
∵ ，
∴选B．
【点睛】本题考查了几何体的展开与折叠，勾股定理及其逆定理，熟练掌握展开图与折叠的意义是解题的
关键．
二、填空题
7. 地球与月球的平均距离大约384000km，用科学记数法表示这个距离为__km．
【答案】3.84 105
【解析】 ×
【分析】根据科学记数法的概念可知：用科学记数法可将一个数表示 的形式．
【详解】384000=3.84×105.
故答案是：3.84×105.
【点睛】考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整
数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8. 若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用分式有意义则分母不等于零即可得出答案．
【详解】解： 在实数范围内有意义，
故x-3≠0，
解得：x≠3．
故答案为：x≠3．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
的
9. 计算 结果为__________．
【答案】
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【解析】
【分析】先把 和 化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．
【详解】解：原式=3 -2 = ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了二次根式的加减法：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．
10. 方程 的解是_____________．
【答案】 =1， =3
【解析】
【分析】利用十字相乘法分解因式解方程即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 =1， =3，
故答案为： =1， =3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化
为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，
这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
11. 如图， 的顶点 、 分别在直线 ， 上， ，若 ， ，则
________．
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【答案】 ##32度
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到 ，再利用平行线的性质得到
即可解答．
【详解】解：过点 作 ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
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12. 若 ， ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则得到 ， 即可解答．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算法则，有理数的加法运算法则，掌握同底数幂的乘法运算法则是
解题的关键．
13. 已知二次函数 （ 、 为常数， ）的最大值为2，写出一组符合条件的 和
的值：________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据最值公式得到 ，即可得到 ，据此写出一组符合条件的a和c的值
即可．
【详解】解：∵二次函数 的最大值为2，
∴ ，
∴ ，
故 时， ，
故答案为： （答案不唯一）．
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【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟知二次函数的最值公式是解题的关键．
14. 在平面直角坐标系中，正方形 如图所示，点 的坐标 ，点 的坐标是 ，则点
的坐标是________．
【答案】
【解析】
【 分 析 】 由 全 等 三 角 形 的 判 定 得 到 ， 再 利 用 全 等 三 角 形 的 性 质 得 到
即可解答．
【详解】解：作 轴， 轴于点 ， 与 交于点 ，
∵点 的坐标 ，点 的坐标是 ，
∴ ， ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查正方形 的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，正确添加辅助线是解题的关键．
15. 如图，四边形 内接于 ，它的3个外角 ， ， 的度数之比为 ，
则 ________．
【答案】 ##72度
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的对角互补以及外角的性质可求出 ，再根据平角的定义求解．
【详解】解：如图，延长 到H，
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四边形 内接于 ，
，
，
， ， 的度数之比为 ，
， ， ， 的度数之比为 ，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查圆内接四边形，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补，外角和是360度．
16. 如图，在平面直角坐标系，横、纵坐标均为整数的点案如下规律依序排列： ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…按这个规律，则
是第________个点．
【答案】99
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【解析】
【分析】先根据点的坐标，找出规律，再计算求解．
【详解】解：横纵坐标和是0的有1个点，
横纵坐标和是1的有2个点，
横纵坐标和是2的有3个点，
横纵坐标和是3的有4个点，
，
横纵坐标和是 的有 个点，
，
，
横纵坐标和是 13 的有 14 点，分别为： 、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、 、
是第 个点，
故答案为：99．
【点睛】本题考查了点的坐标，找到坐标的排列规律是解题的关键．
三、解答题
17. 先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】利用分式的混合运算，化简原式，再把 ， 代入化简后的式子，计算即可．
【详解】解：原式 ，
，
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．
当 ， 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把各分式的分子或分母因式分解，再进行约分，接着进行分式的
加减运算，得到最简分式或整式（若有括号，先把括号内通分，除法运算转化为乘法运算）；然后把满足
条件的字母的值代入进行计算得到对应分式的值．熟练掌握分式的化简求值方法是本题的关键．
18. 解不等式组： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤即可解答．
【详解】解：
由①得：
解得：
由②得： ，
解得： ，
∴原不等式组的解集为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的步骤，掌握解一元一次不等式组步骤是解题的关键．
19. 某文印店用2660元购进一批白色复印纸和彩色复印纸，白色复印纸每箱80元，彩色复印纸每箱180
元，购买白色复印纸得箱数是彩色复印纸得箱数得5倍少3箱，求购买的白色复印纸得箱数和彩色复印纸
得箱数．
【答案】购买的白色复印纸22箱，彩色复印纸5箱
【解析】
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【分析】设购买的白色复印纸 箱，彩色复印纸 箱，根据总价是2660元、购买白色复印纸得箱数是彩色
复印纸得箱数得5倍少3箱，列二元一次方程组，即可求解．
【详解】解：设购买的白色复印纸 箱，彩色复印纸 箱．
由题意得：
解得：
答：购买的白色复印纸22箱，彩色复印纸5箱．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据所给数量关系正确列出方程组．
20. 某企业餐厅，有A、 两家公司可选择，该企业现连续10个工作日选择A公司，接着连续10个工作日
选择 公司，记录送餐用时（单位： ）如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A公司送餐用
26 26 30 25 27 29 24 28 30 25
时
公司送餐用
20 18 21 16 34 32 15 14 35 15
时
根据上表数据绘制的折线统计图如图所示：
（1）根据上述信息，请你帮该企业选择合适的公司订餐，并简述理由；
（2）如果某工作日该企业希望送餐用时不超过 ，应选择哪家公司？请简述理由．
【答案】（1）选择A公司，理由见解析（答案不唯一）
（2）选择 公司，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据两个公司各自的优点进行判断即可；
（2）根据表格中的数据进行选择即可．
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【小问1详解】
解：选择A公司；
理由如下：A公司送餐用时稳定，基本在 之间，而 公司送餐时间不稳定，忽快忽慢，不
利于员工用餐；
选择 公司．
理由如下：A公司平均用时 ，而 公司平均用时 ， 公司平均花时更短．（言之有理即
可）
【小问2详解】
解：选择 公司．
理由如下：从各自10个工作日送餐情况看，A公司的送餐时间没有低于 的，而 公司虽然有4次
超过30分钟，但是其余6次都不超过 ，所以选择 公司．
【点睛】本题主要考查了数据的处理和应用，解题的关键是根据表格中的数据作出正确的选择．
21. 甲城市有2个景点 、 ，乙城市由3个景点 、 、 ，从中随机选取景点游览，求下列事件的概
率：
（1）选取1个景点，恰好在甲城市；
（2）选取2个景点，恰好在同一个城市．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列举出所有的等可能性的结果数，再找到恰好在同一个城市的结果数，最后依据概率计算公式求
解即可．
【小问1详解】
解：随机选取1个景点，有5种等可能结果： 、 、 、 、 ，其中恰好在甲城市的为 、 占2种，
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∴恰好在甲城市的概率 ，即随机选取1个景点，恰好在甲城市的概率为 ．
【小问2详解】
解：随机选取2个景点，共有10种等可能结果： 、 、 、 、 、 、 、 、
、 ，其中满足恰好在同一个城市的为： 、 、 、 ，占其中4种，
∴恰好在同一个城市的概率 即随机选取2个景点，恰好在同一个城市的概率为 ．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，列举法求解概率，熟知概率的相关知识是解题的关键．
22. 如图， ， 平分 ，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ，垂足
为 ，连接 ，求证：四边形 是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先证明四边形 是平行四边形，再根据邻边 ，即可证明平行四边形 是菱形．
【详解】解：证明：∵ 平分 ， ，
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
又∵ 于点 ，
∴ ．
在 和 中，
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，
∴ ．
∴ ．
∴四边形 是平行四边形．
又∵ ，
∴平行四边形 是菱形．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定，涉及平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分
线的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
23. 如图，灯塔 位于港口 的北偏东 方向，且 、 之间的距离为 ，灯塔 位于灯塔 的正
东方向，且 、 之间的距离为 ，一艘轮船从港口 出发，沿正南方向航行到达 处，测得灯塔
位于北偏东 方向上，这时， 处距离港口 有多远（结果取整数）？（参考数据： ，
， ， ， ， ）
【答案】 处距离港口 约
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【解析】
【分析】过点 作 的延长线于点 ，在 中，求得 ，在 中，求得 ，
根据 ，即可求解．
【详解】解：过点 作 的延长线于点
在 中， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
在 中，
∵ ， ，
∴
∴
∴ 处距离港口 约 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
24. 如图，在 中， ，点 、 在 上， ，过 、 、 三点作 ，连接
并延长，交 于点 ．
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（1）求证： ；
（2）若 ， ， ，求 的半径长．
【答案】（1）见解析 （2） 半的径为5
【解析】
【分析】（1）连接 、 、 、 ，先证明 ，得到 ，再由
，可得 垂直平分 ，即 ，
（2）设求 的半径为 ，由（1）可知 为 中点，则 ，利用勾股定理求出
，再求出 ， ， ，由勾股定理建立方程 ，解得 ，
则 的半径为5．
【小问1详解】
证明：连接 、 、 、 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
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∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 垂直平分 ，即 ，
【小问2详解】
解：设求 的半径为 ，
由（1）可知 ，
∴ 为 中点， 为 中点，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ， ， ，
∵
∴ ，
解得 ，
∴ 的半径为5．
【点睛】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股
定理，圆的基本性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
25. 某蔬菜基地有甲、乙两个用于灌溉的水池，他们的最大容量均为 ，原有水量分别为 、
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，现向甲、乙同时注水，直至两水池均注满为止，已知每分钟向甲、乙的注水量之和恒定为
，若其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水，设注水第 时，甲、
乙水池的水量分别为 、 ．
（1）若每分钟向甲注水 ，分别写出 、 与 之间的函数表达式；
（2）若每分钟向甲注水 ，画出 与 之间的函数图像；
的
（3）若每分钟向甲注水 ，则甲比乙提前 注满，求 值．
【答案】（1） ，
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题目列函数表达式即可；
（2）根据给出的每分钟向甲注水 ，可计算出甲36分钟先注满，乙需要54分钟，所以在甲注满后，
乙的注水速度将改变；
（3）根据甲注水的时间=乙注水的时间（乙多注水三分钟的量减掉）列分式方程，从而求得结果．
【小问1详解】
解：由题意可得：若每分钟向甲注水 ，则每分钟向乙注水 ， ，
两个水池同时注满． ，
【小问2详解】
解：若每分钟向甲注水 ，则每分钟向乙注水 ，
，所以此种情况，甲先注满，然后单独向乙注水，
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，
图像如图所示：
【小问3详解】
解：由于甲比乙提前 注满，所以后 ，乙每分钟注入 ，所以在甲注满时，乙只注入到
，所以 ，
解得 ，
经检验， 符合题意，是方程的解，
所以 ．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一次函数的图像、分式方程等，通过给定的条件列出一次函数，通过
给定的点来列出对应的函数图像．
26. 如图，在矩形 中， ， ， 是 上一点， ， 是 上的动点，连
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接 ， 是 上一点，且 （ 为常数， ），分别过点 、 作 、 的垂线相交
于点 ，设 的长为 ， 的长为 ．
（1）若 ， ，则 的值为________；
（2）求 与 之间的函数表达式；
（3）在点 从点 到点 的整个运动过程中，若线段 上存在点 ，则 的值应满足什么条件？直接
写出 的取值范围．
【答案】（1）5 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据 ，得 ，则 ，代入计算即可；
（2）利用 ，得 ，再由 ，得 ，即可证明结论；
（3）根据点P在 上，可得 ，再由点G在 上，可得 ，进而解决问题．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
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∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：5；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
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∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 即 ；
【小问3详解】
解：若点 在 上，则 ，
由（2）得 ，
∴ ，
∵点 从点 到点 运动，
∴ ，
∴ ，
∴ 即 ，
又∵ 是 上一点，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，熟练
掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
27. 在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直
线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．
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例如：如图①，先将 以点 为位似中心缩小，得到 ，再将 沿过点 的直线 翻折，
得到 ，则 与 成自位似轴对称．
（1）如图②，在 中， ， ， ，垂足为 ，下列3对三角形：①
与 ；② 与 ；③ 与 ．其中成自位似轴对称的是________（填
写所有符合条件的序号）；
（2）如图③，已知 经过自位似轴对称变换得到 ， 是 上一点，用直尺和圆规作点 ，
使 与 是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
（3）如图④，在 中， 是 的中点， 是 内一点， ， ，
连接 ，求证： ．
【答案】（1）①② （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题中定义作出图形，即可得出结论；
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（2）先根据题意和轴对称性质作出 轴对称前的 ，即 以点 为位似中心缩小的
，在 作出Q对应的 ，进而作出点 对应的点P即可；
（3）延长 交 于点 ，证明 和 得到 ，进而得到
，证明 得到 ，利用平行线的判定即可得出结论．
【小问1详解】
解：① 与 成自位似轴对称，对称轴为 的角平分线所在的直线，如图；
② 与 成自位似轴对称，对称轴为 平分线所在的直线，如图，
，
③ 与 不成自位似轴对称，
故答案为：①②；
【小问2详解】
解：如图，
1）分别在 和 上截取 ， ，
2）连接 ，在 上截取 ，
为
3）连接 并延长交 于P，则点 即 所求；
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【小问3详解】
证明：延长 交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
27 祝大家学业有成！最新更新~初中高中考试真题/模拟 ~微信： vzan8899
∴ ．
【点睛】本题考查位似和轴对称的性质、相似三角形的判定与性质，理解
题中所给定义，熟练掌握轴对称性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．
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29 祝大家学业有成！
