文档内容
南通市 2023 年初中毕业、升学考试试卷数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡
一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题
卡上指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 计算 ，正确的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据有理数的乘法进行计算即可求解．
【详解】解： ，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键．
2. 2023年5月21日，以“聚力新南通、奋进新时代”为主题的第五届通商大会暨全市民营经济发展大会召
开，40个重大项目集中签约，计划总投资约 元．将 用科学记数法表示为（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数．
【详解】解： ．
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学科网（北京）股份有限公司故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．
确定 的值时，要看把原来的数，变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数，确定 与 的值是解题的关键．
3. 如图所示的四个几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据俯视图是从上边看到的图形即可得到答案．
【详解】三棱柱的俯视图是三角形，故选项A符合题意；
圆柱的俯视图是圆，故选项B不符合题意；
四棱锥的俯视图四边形中间有一个点，故选项C不符合题意；
圆锥的俯视图是圆中间有一点，故选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题的关键．
4. 如图，数轴上 ， ， ， ， 五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数 的点应在（
）
A. 线段 上 B. 线段 上 C. 线段 上 D. 线段 上
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】根据 判断即可．
【详解】 ，
，
由于数轴上 ， ， ， ， 五个点分别表示数1，2，3，4，5，
的点应在线段 上，
故选：C．
【点睛】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算的方法是解题的关键．
5. 如图， 中， ，顶点 ， 分别在直线 ， 上．若 ， ，则 的
度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据平行线的性质求出 的度数，再由 得出 的度数，根据补角的定义即可得
出结论．
【详解】解：如图，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
，
，
，
，
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
的
6. 若 ，则 值为（ ）
A. 24 B. 20 C. 18 D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】根据 得到 ，再将整体代入 中求值．
【详解】解： ，
得 ，
变形为 ，
原式 ．
故选：D．
【点睛】本题考查代数式求值，将 变形为 是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司7. 如图，从航拍无人机 看一栋楼顶部 的仰角 为 ，看这栋楼底部 的俯角 为 ，无人机与
楼的水平距离为 ，则这栋楼的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点 作 ，垂足为 ，根据题意可得 ，然后分别在 和
中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：过点 作 ，垂足为 ，
根据题意可得 ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
．
故则这栋楼的高度为 ．
故选：B．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的定义，根据题目的已
知条件作出正确的辅助线是解题的关键．
8. 如图，四边形 是矩形，分别以点 ， 为圆心，线段 ， 长为半径画弧，两弧相交于点
，连接 ， ， ．若 ， ，则 的正切值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设 ， 交于点 ，根据矩形的性质以及以点 ， 为圆心，线段 ， 长为半径画弧
得到 ， ，设 ，故 ，在 中
求出 的值，从而得到 ，从而得到 ，即可求得答案．
【详解】解：设 ， 交于点 ，
由题意得 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
设 ，
故 ，
在 中， ，
即 ，
解得 ，
，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及正切值的求法，本题中得到
是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司9. 如图， 中， ， ， ．点 从点 出发沿折线 运动到点 停
止，过点 作 ，垂足为 ．设点 运动的路径长为 ， 的面积为 ，若 与 的对应关
系如图所示，则 的值为（ ）
A. 54 B. 52 C. 50 D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】根据点 运动的路径长为 ，在图中表示出来，设 ，在直角三角形中，找到
等量关系，求出未知数的值，得到 的值．
【详解】解：当 时，由题意可知，
，
在 中，由勾股定理得 ，
设 ，
，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ，
，
第8页/共31页
学科网（北京）股份有限公司，
当 时，由题意可知， ，
设 ，
，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中由勾股定理得 ，
中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理列出等式是解题的关键，运用了数形结合的思想解题．
10. 若实数 ， ， 满足 ， ，则代数式 的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】联立方程组，解得 ，设 ，然后根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：依题意， ，
解得：
设
∴
∵
∴ 有最大值，最大值为
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分．
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 计算： =_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接进行同类二次根式的合并即可．
【详解】解： ．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
12. 分解因式： =_______________．
【答案】a（a﹣b）．
【解析】
【详解】解： =a（a﹣b）．
故答案为a（a﹣b）．
【点睛】本题考查因式分解-提公因式法．
13. 在△ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则S ：S ＝_____．
△ADE △ABC
【答案】1：4## ##0.25
【解析】
【分析】根据题意得出DE是 ABC的中位线，根据三角形中位线的性质得出DE BC， DE= BC，证出
△
ADE∽ ABC，相似比为1∶2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到答案．
△【详解】△∵点D、E分别为AB、AC的中点
∴DE是 ABC的中位线
△
∴DE BC， DE= BC
∴ ADE∽ ABC，相似比为：DE∶BC=1∶2
∴△S
ADE
∶S△ABC =12∶22=1∶4
△ △
故答案为：1∶4
【点睛】本题的解题关键在于利用三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半这一性质，证出三
角形相似，以及相似比为1∶2，在利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，解出
本题．
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学科网（北京）股份有限公司14. 某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度 （单位：m/s）与所受阻力 （单位：N）是反比例函数关系，
其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为 ，则所受阻力 为__________．
【答案】2500
【解析】
【分析】根据题意得知函数成反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式，再将 代
入求的值．
【详解】解：设功率为 ，由题可知 ，即 ，将 ， 代入解得
，
即反比例函数为： ，
将 代入，
得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数，熟练掌握将自变量代入解析式求得函数值是解题的关键．
15. 如图， 是 的直径，点 ， 在 上．若 ，则 __________度．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】连接 ，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，可得 ，
，进而即可求解．
【
详解】解：如图所示，连接 ，
∵ 是直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
为
故答案 ： ．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握圆周角定理的推论是解
题的关键．
16. 勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数
学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中 ， 均小于 ， ， ， 是
大于1的奇数，则 ___________（用含 的式子表示）．
【答案】
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质，直角边小于斜边得到 ， 为直角边， 为斜边，根据勾股定理即可得
到 的值．
【详解】解：由于现有勾股数a，b，c，其中 ， 均小于 ，
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学科网（北京）股份有限公司， 为直角边， 为斜边，
，
，
得到 ，
，
，
是大于1的奇数，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，分清楚 ， 为直角边， 为斜边是解题的关键．
17. 已知一次函数 ，若对于 范围内任意自变量 的值，其对应的函数值 都小于 ，则
的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意和一次函数的性质可得到 ，然后求解即可．
【详解】解：一次函数 ，
随 的增大而增大，
对于 范围内任意自变量 的值，其对应的函数值 都小于 ，
，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，明确题意，列出正确的不等式是解题的关键．
的
18. 如图，四边形 两条对角线 ， 互相垂直， ， ，则 的最小值
是___________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【 分 析 】 设 的 交 点 为 ， 的 中 点 分 别 是 ， 连 接
，先证 ，由此得当 最小时，
最小，再根据“两点之间线段最短”得 ，再证四边形 是矩形，且 ，根
据勾股定理的 ，进而求得 的最小值．
【详解】解：设 的交点为 ， 的中点分别是 ，连接
，
互相垂直，
和 为直角三角形，且 分别为斜边，
，
，
当 最小时， 最小，再根据“两点之间线段最短”得 ，
当点 在线段 上时， 最小，最小值为线段 的长，
分别为 的中点，
第15页/共31页
学科网（北京）股份有限公司是 的中位线，
，
同理 ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
四边形 是矩形，
在 中， ，
，
的最小值为 ，
的最小值为 ．
第16页/共31页
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
【点睛】此题只要考查了矩形的判定和性质，三角形的性质，三角形的中位线定理，线段的性质，勾股定
理等，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
两点之间线段最短是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）
19. （1）解方程组：
（2）计算： ．
【答案】（1） ；（2）1
【解析】
【分析】（1）运用加消元法解二元一次方程；
（2）先进行分式的乘法运算，再计算减法得到结果．
【详解】（1）解： ，得
把 代入 ，得
这个方程组的解为
（2）解：原式 ．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
20. 某校开展以"筑梦天宫、探秘苍穹"为主题的航天知识竞赛，赛后在七、八年级各随机抽取20名学生的
竞赛成绩，进行整理、分析，得出有关统计图表．
第17页/共31页
学科网（北京）股份有限公司（1）若该校八年级共有300名学生参赛，估计优秀等次的约有____________人；
（2）你认为七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好些?请从两个方面说明理由．
【答案】（1）90 （2）答案不唯一，见解析
【解析】
【分析】（1）求出优秀等次的频率，再求出总人数，用样本估计总体；
（2）根据平均数，中位数，众数，方差进行评价．
【小问1详解】
解： ，
故答案为：90；
【小问2详解】
解：答案不唯一，如：七年级学生的竞赛成绩更好些．
理由：七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相同，而七年级学生成绩的方差小，成绩更稳定；
七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相同，而七年级学生成绩的优秀及良好占比更高．
八年级学生的竞赛成绩更好些．
理由：七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相同，而八年级学生成绩的中位数高于七年级；
七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相同，而八年级学生成绩的众数高于七年级．
【点睛】本题考查方差、中位数、众数、条形图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数
形结合的思想解答．
21. 如图，点 ， 分别在 ， 上， ， ， 相交于点 ， ．
求证： ．
小虎同学的证明过程如下：
第18页/共31页
学科网（北京）股份有限公司证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．第一步
又 ， ，
∴ 第二步
∴ 第三步
（1）小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；
（2）请写出正确的证明过程．
【答案】（1）二 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据证明过程即可求解．
（2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论．
【小问1详解】
解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，
故答案为：二．
【小问2详解】
证明：∵ ，
，
在 和 中，
第19页/共31页
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
在 和 中，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
22. 有同型号的 ， 两把锁和同型号的 ， ， 三把钥匙，其中 钥匙只能打开 锁， 钥匙只能打
开 锁， 钥匙不能打开这两把锁．
（1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出 钥匙的概率等于___________；
（2）从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁
的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图求概率即可求解．
【小问1详解】
解：共有三把钥匙，取出 钥匙的概率等于 ；
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
【小问2详解】
解：据题意，可以画出如下的树状图：
由树状图知，所有可能出现的结果共有 种，这些结果出现的可能性相等．
其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁(记为事件 )的结果有 种．
∴ ．
【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知
识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 如图，等腰三角形 的顶角 ， 和底边 相切于点 ，并与两腰 ， 分别
相交于 ， 两点，连接 ， ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
第21页/共31页
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）连接 ，根据切线的性质可得 ，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得
，从而可得 和 都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得
，即可解答；
（2）连接 交 于点 ，利用菱形的性质可得 ， ， ，然后在
中，利用勾股定理求出 的长，从而求出 的长，最后根据图中阴影部分的面积 扇形
的面积 菱形 的面积，进行计算即可解答．
【小问1详解】
证明：连接 ，
和底边 相切于点 ，
，
， ，
，
， ，
和 都是等边三角形，
， ，
，
四边形 是菱形；
第22页/共31页
学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
解：连接 交 于点 ，
四边形 是菱形，
， ， ，
在 中， ，
，
，
图中阴影部分的面积 扇形 的面积 菱形 的面积
，
图中阴影部分的面积为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的
已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24. 为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，
具体信息如下：
信息—
第23页/共31页
学科网（北京）股份有限公司工程
每天施工面积（单位： ） 每天施工费用（单位：元）
队
甲 3600
乙 x 2200
信息二
甲工程队施工 所需天数与乙工程队施工 所需天数相等．
（1）求x的值；
（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成
的施工面积不少于 ．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用?
【答案】（1）x的值为600
（2）该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元
【解析】
【分析】（1）根据题意甲工程队施工 所需天数与乙工程队施工 所需天数相等列出分式方
程解方程即可；
（2）设甲工程队先单独施工 天，体育中心共支付施工费用 元，根据先由甲工程队单独施工若干天，
再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于 列出不等式即可得到答
案．
【小问1详解】
解：由题意列方程，得 ．
方程两边乘 ，得 ．
解得 ．
检验：当 时， ．
所以，原分式方程的解为 ．
答：x的值为600．
【小问2详解】
第24页/共31页
学科网（北京）股份有限公司解：设甲工程队先单独施工 天，体育中心共支付施工费用 元．
则 ．
，
．
1400>0，
随 的增大而增大．
当 时， 取得最小值，最小值为56800．
答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，熟练掌握知识点
是解题的关键．
25. 正方形 中，点 在边 ， 上运动（不与正方形顶点重合）．作射线 ，将射线 绕
点 逆时针旋转45°，交射线 于点 ．
（1）如图，点 在边 上， ，则图中与线段 相等的线段是___________；
（2）过点 作 ，垂足为 ，连接 ，求 的度数；
（3）在（2）的条件下，当点 在边 延长线上且 时，求 的值．
【答案】（1）
第25页/共31页
学科网（北京）股份有限公司（2） 的度数为 或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件得到 ，即可得到答案；
（2）当点 在边 上时，过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，证明
，得到 ，推出 为等腰直角三角形，得到答案；
当点 在边 上时，过点 作 ，垂足为 ，延长 交 延长线于点 ，则四边形
是矩形，同理得到 ，得到 为等腰直角三角形得到答案；
（3）由平行的性质得到分线段成比例 ．
【小问1详解】
．
正方形 ，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：①当点 在边 上时（如图），
过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ．
，
四边形 是矩形．
．
， ，
第26页/共31页
学科网（北京）股份有限公司，
为等腰直角三角形， ．
．
．
．
，
．
为等腰直角三角形， ．
．
②当点 在边 上时（如图），
过点 作 ，垂足为 ，延长 交 延长线于点 ，则四边形 是矩形，
同理， ．
．
为等腰直角三角形， ．
．
第27页/共31页
学科网（北京）股份有限公司的
综上， 度数为45°或135°．
【小问3详解】
解：当点 在边 延长线上时，点 在边 上（如图），
设 ，则 ．
．
．
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的分线段成比例以及全等
三角形的判定和性质是解题的关键．
26. 定义：平面直角坐标系 中，点 ，点 ，若 ， ，其中 为常数，且
，则称点 是点 的“ 级变换点”．例如，点 是点 的“ 级变换点”．
（1）函数 的图象上是否存在点 的“ 级变换点”?若存在，求出 的值；若不存在，说明理
由；
（2）点 与其“ 级变换点” 分别在直线 ， 上，在 ， 上分别取点 ，
第28页/共31页
学科网（北京）股份有限公司．若 ，求证： ；
（3）关于x的二次函数 的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在
直线 上，求n的取值范围．
【答案】（1）存在，
（2）见解析 （3）n的取值范围为 且
【解析】
【分析】（1）根据“ 级变换点”定义求解即可；
（2）求出点 的坐标为 ，得到直线 ， 的解析式分别为 和
根据 进行证明．
（3）由题意得，二次函数 的图象上的点的“1级变换点”都在函数
的图象上，得到函数 的图象与直线 必有公共点．
分当 时和当 ， 时分类讨论即可．
【小问1详解】
解：函数 的图象上存在点 的“ 级变换点”
根据“ 级变换点”定义，点 的“ 级变换点”为 ，
把点 代入 中，
得 ，解得 ．
【小问2详解】
第29页/共31页
学科网（北京）股份有限公司证明： 点 为点 的“ 级变换点”，
点 的坐标为 ．
直线 ， 的解析式分别为 和 ．
当 时， ．
，
．
，
．
．
【小问3详解】
解：由题意得，二次函数 的图象上的点的
“1级变换点”都在函数 的图象上．
由 ，整理得 ．
，
函数 的图象与直线 必有公共点．
由 得该公共点为 ．
①当 时，由 得 ．
又 得 ，
第30页/共31页
学科网（北京）股份有限公司且 ．
②当 ， 时，两图象仅有一个公共点，不合题意，舍去．
综上，n的取值范围为 且 ．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，根据题意理解新定义是解题的关键．
第31页/共31页
学科网（北京）股份有限公司
