2004年天津市高考理科数学真题及答案_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_1990-2007年各地高考历年真题_天津

2004 年天津市高考理科数学真题及答案 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分） 是虚数单位， A． B． C． D． 2．（5分）若不等式 的解集为 A． ， B． ， C． ， D． ， 3．（5分）若平面向量 与向量 的夹角是 ，且 ，则 A． B． C． D． 4．（5分）设 是双曲线 上一点，该双曲线的一条渐近线方程是 ， ， 分别是 双曲线的左、右焦点，若 ，则 等于 A．2 B．18 C．2或18 D．16 5．（5分）若函数 在区间 ， 上的最大值是最小值的3倍，则 等于 A． B． C． D． 6．（5分）如图，在棱长为2的正方体 中， 是底面 的中心， 、 分别是 、 的中点，那么异面直线 和 所成的角的余弦值等于 A． B． C． D．7．（5分）点 为圆 的弦 的中点，则直线 的方程为 A． B． C． D． 8．（5分）已知数列 ，那么“对任意的 ，点 都在直线 上”是“ 为等差数 列”的 A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（5分）函数 ， ， 为增函数的区间是 A． ， B． ， C． ， D． ， 10．（5分）如图，在长方体 中， ， ， ，分别过 、 的两个 平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为 ， ．若 ， 则截面 的面积为 A． B． C． D．16 11．（5分）函数 的反函数是 A． B． C． D． 12．（5分）定义在 上的函数 既是偶函数又是周期函数．若 的最小正周期是 ，且当 ， 时， ，则 的值为A． B． C． D． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）某工厂生产 、 、 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 ，现用分层抽样方 法抽出一个容量为 的样本，样本中 种型号产品有16件．那么此样本的容量 ． 14．（4分）如果过两点 和 的直线与抛物线 没有交点，那么实数 的取值范围 是 ． 15 ． （ 4 分 ） 若 ， 则 ．（用数字作答） 16．（4分）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位 数，其中能被5整除的四位数共有 个．（用数字作答） 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）已知 ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的值． 18．（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量 表示所选3人中女生的人数． （1）求 的分布列和 的数学期望； （2）求“所选3人中女生人数 ”的概率． 19．（12分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 ， ， 是 的中点，作 交 于点 ． （1）证明 平面 ； （2）证明 平面 ； （3）求二面角 的大小．20．（12分）已知函数 在 处取得极值． （Ⅰ）讨论 （1）和 是函数 的极大值还是极小值； （Ⅱ）过点 作曲线 的切线，求此切线方程． 21．（12分）掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率： （1）点数为偶数； （2）点数大于2且小于5． 22．（14分）椭圆的中心是原点 ，它的短轴长为 ，相应于焦点 ， 的准线 与 轴相交 于点 ， ，过点 的直线与椭圆相交于 、 两点． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若 ，求直线 的方程； （3）设 ，过点 且平行于准线 的直线与椭圆相交于另一点 ，证明 ．2004年天津市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分） 是虚数单位， A． B． C． D． 【解答】解： ， 故选： ． 2．（5分）若不等式 的解集为 A． ， B． ， C． ， D． ， 【解答】解： 故选： ． 3．（5分）若平面向量 与向量 的夹角是 ，且 ，则 A． B． C． D． 【解答】解 向量 与向量 的夹角是 ， 向量 与向量 反向， 令 （则 ， 又 ， 解得 故 故选： ． 4．（5分）设 是双曲线 上一点，该双曲线的一条渐近线方程是 ， ， 分别是双曲线的左、右焦点，若 ，则 等于 A．2 B．18 C．2或18 D．16 【解答】解：整理准线方程得 ， ， ， 或 或18， 故选： ． 5．（5分）若函数 在区间 ， 上的最大值是最小值的3倍，则 等于 A． B． C． D． 【解答】解： ， 是减函数． ． ． ． ． ． 故选： ． 6．（5分）如图，在棱长为2的正方体 中， 是底面 的中心， 、 分别是 、 的中点，那么异面直线 和 所成的角的余弦值等于A． B． C． D． 【解答】解：取 的中点 ．连接 ，再取 的中点 ，连接 、 ，则 为异面 直线所成的角． 在 中， ， ， ． 由余弦定理，可得 ． 故选： ． 7．（5分）点 为圆 的弦 的中点，则直线 的方程为 A． B． C． D． 【解答】解： 是圆 的弦，圆心为 设 的中点是 满足 因此， 的斜率 可得直线 的方程是 ，化简得 故选： ． 8．（5分）已知数列 ，那么“对任意的 ，点 都在直线 上”是“ 为等差数 列”的 A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解： 点 都在直线 上 ，“ 为等差数列， 若“ 为等差数列，可设 ，则点 都不在直线 上， 对任意的 ，点 都在直线 上”是“ 为等差数列”的充分而不必要条件， 故选： ． 9．（5分）函数 ， ， 为增函数的区间是 A． ， B． ， C． ， D． ， 【解答】解：由 其增区间可由 的减区间得到， 即 ， ， ． 令 ， ， 故选： ． 10．（5分）如图，在长方体 中， ， ， ，分别过 、 的两个 平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为 ， ．若 ， 则截面 的面积为 A． B． C． D．16 【解答】解：由题意知，在长方体 中，平面 平面 ，截面是一个矩形，并且长方体的体积 ， ， ， 则 ，解得 ， 在直角 中， ， 故截面的面积是 ， 故选： ． 11．（5分）函数 的反函数是 A． B． C． D． 【解答】解：函数 ，可得 ， ， 所以函数 的反函数是： 故选： ． 12．（5分）定义在 上的函数 既是偶函数又是周期函数．若 的最小正周期是 ，且当 ， 时， ，则 的值为 A． B． C． D． 【解答】解： 的最小正周期是 函数 是偶函数 ． 故选： ． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）某工厂生产 、 、 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 ，现用分层抽样方 法抽出一个容量为 的样本，样本中 种型号产品有16件．那么此样本的容量 8 0 ． 【解答】解： 故答案是80 14．（4分）如果过两点 和 的直线与抛物线 没有交点，那么实数 的取值范围 是 ． 【解答】解：过 、 两点的直线为： 与抛物线 联立得： ． 因为直线与抛物线没有交点，则方程无解． 即△ ， 解之得 ． 故答案为： 15 ． （ 4 分 ） 若 ， 则 200 4 ．（用数字作答） 【解答】解：令 ，得 ； 令 ，得 ， 故 ． 故答案为：2004 16．（4分）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位 数，其中能被5整除的四位数共有 30 0 个．（用数字作答） 【解答】解：①四位数中包含5和0的情况： ．②四位数中包含5，不含0的情况： ． ③四位数中包含0，不含5的情况： ． 四位数总数为 ． 故答案为：300． 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）已知 ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的值． 【解答】解：（Ⅰ）解： ， 由 ，有 ，解得 ； （Ⅱ）解法一： ． 解法二：由（1）， ，得 ， 于是 ， 代入得 ． 18．（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量 表示所选3人中女生的人数．（1）求 的分布列和 的数学期望； （2）求“所选3人中女生人数 ”的概率． 【解答】解：（1）由题意知本题是一个超几何分步， 随机变量 表示所选3人中女生的人数， 可能取的值为0，1，2． ． 的分布列为 0 1 2 的数学期望为 （2）由（1）知“所选3人中女生人数 ”的概率为 19．（12分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 ， ， 是 的中点，作 交 于点 ． （1）证明 平面 ； （2）证明 平面 ； （3）求二面角 的大小． 【解答】解：方法一： （1）证明：连接 ， 交 于 ，连接 ． 底面 是正方形， 点 是 的中点 在 中， 是中位线， 而 平面 且 平面 ， 所以， 平面（2）证明： 底面 且 底面 ， ，可知 是等腰直角三角形，而 是斜边 的中线， ．① 同样由 底面 ，得 ． 底面 是正方形，有 ， 平面 ． 而 平面 ， ．② 由①和②推得 平面 ． 而 平面 ， 又 且 ，所以 平面 ． （3）解：由（2）知， ，故 是二面角 的平面角． 由（2）知， ， ． 设正方形 的边长为 ， 则 ， ． 在 中， ． 在 中， ， ． 所以，二面角 的大小为 ． 方法二：如图所示建立空间直角坐标系， 为坐标原点，设 ． （1）证明：连接 ， 交 于 ，连接 ． 依题意得 ． 底 面 是 正 方 形 ， 是 此 正 方 形 的 中 心 ， 故 点 的 坐 标 为 且 ．，这表明 ． 而 平面 且 平面 ， 平面 ． （2）证明；依题意得 ， ， ， ． 又 ，故 ． ． 由已知 ，且 ，所以 平面 ． （3）解：设点 的坐标为 ， ， ， ，则 ， ， ， ， ． 从而 ， ， ．所以 ． 由条件 知， ，即 ，解得 点 的坐标为 ，且 ， 即 ，故 是二面角 的平面角． ，且 ， ， ． ． 所以，二面角 的大小为 ．20．（12分）已知函数 在 处取得极值． （Ⅰ）讨论 （1）和 是函数 的极大值还是极小值； （Ⅱ）过点 作曲线 的切线，求此切线方程． 【解答】（Ⅰ）解： ，依 题意， （1） ， 即 解得 ， ． ， ． 令 ，得 ， ． 若 ， ， ， 则 ， 故 在 上是增函数， 在 上是增函数． 若 ， 则 ，故 在 上是减函数．所以， 是极大值； （1） 是极小值． （Ⅱ）解：曲线方程为 ，点 不在曲线上． 设切点为 ， ， 则点 的坐标满足 ． 因 ， 故切线的方程为 注意到点 在切线上，有 化简得 ， 解得 ． 所以，切点为 ，切线方程为 ． 21．（12分）掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率： （1）点数为偶数； （2）点数大于2且小于5． 【解答】解：掷一个骰子，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种．这些点数出现的可能性相 等． （1）点数为偶数有3种可能，即点数为2，4，6， （点数为偶数） ；（3分） （2）点数大于2且小于5有2种可能，即点数为3，4， （点数大于2且小于 ．（6分） 22．（14分）椭圆的中心是原点 ，它的短轴长为 ，相应于焦点 ， 的准线 与 轴相交 于点 ， ，过点 的直线与椭圆相交于 、 两点． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若 ，求直线 的方程；（3）设 ，过点 且平行于准线 的直线与椭圆相交于另一点 ，证明 ． 【解答】（1）解：由题意，可设椭圆的方程为 ． 由已知得 解得 所以椭圆的方程为 ，离心率 ． （2）解：由（1）可得 ． 设直线 的方程为 ．由方程组 得 依题意△ ，得 ． 设 ， ， ， ，则 ，① ．② 由直线 的方程得 ， ．于是 ．③ ， ．④ 由①②③④得 ，从而 ． 所以直线 的方程为 或 （3）证明： ．由已知得方程组 注意 ，解得 因 ， ， ，故 ． 而 ，所以 ． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/23 23:08:19；用户：15217760367；邮箱：15217760367；学号：10888156