文档内容
绝密★启用前
2008 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3
至9页，共150分，考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡颇
擦干净后，再选涂其他答案。不能答在试卷上。
一、本大题共8小题，第小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
（1）若集合A={x|-2≤x≤3}≤3, B={x|x<-1或x>4}, 则集合A∩B等于
（A）{x|x≤3或x>4} （B）{x|－1b>c （B）b>a>c
（C）c>a>b （D）b>c>a
（3）“双曲线的方程为 ”是“双曲线的准线方程为x= ”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（4）已知△ABC中，a= ,b= ,B=60°,那么角A等于
（A）135° (B)90° (C)45° (D)30°
（5）函数f(x)=(x-1)2+1(x<1)的反函数为
（A）f --1(x)=1+ (x>1) （B）f--1(x)=1- (x>1)
（C）f --1(x)=1+ (x≥1) （D）f--1(x)=1- (x≥1)
x-y+1≥0,
（6）若实数x，y满足 x+y≥0, 则z=x+2y的最小值是
x≤0,
(A)0 (B) (C) 1
(D)2
（7）已知等差数列｛a ｝中，a=6,a=15.若 b=a ,则数列
n 2 5 n 2n
｛b｝的前5项和等于
n
(A)30 （B）45
(C)90 (D)186
（8）如图，动点P在正方体ABCD-ABC D 的对角线BD
1 1 1 1 1
上，过点P作垂直平面BBDD的直线，与正方体表面相交
1 1
于M、N.设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是绝密★使用完毕前
2008 年普通高等学校校招生全国统一考试
数学（文史类）（北京卷）
第Ⅱ卷（共110分）
注意事项：
1. 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
三
题号 二 总分
15 16 17 18 19 20
分数
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
(9)若角a的终边经过点P(1,-2),则tan 2a的值为 .
(10)不等式 的解集是 .
(11)已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜= |b| = 4,那么a·b的值为 .
(12)若 展开式中常数项为 ；各项系数之和为
.（用数字作答）
(13)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC, 其中A,B,C
的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则
f(f(0))= ; 函数f(x)在x=1处的导数f′（1）
= .
(14)已知函数 f(x)=x2- cos x, 对于［－ ］上的
任意x,x,有如下条件：
1 2
① x>x; ②x2>x2; ③|x|>x.
1 2 1 2 1 2
其中能使f(x)> f(x)恒成立的条件序号是 .
1 2
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明。演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
已知函数 的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0， ]上的取值范围.
（16）（本小题共14分）
如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小.
（17）（本小题共13分）
已知函数 是奇函数.
（Ⅰ）求a,c的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间.
（18）（本小题共13分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位
至少有一名志愿者.
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率。
（19）（本小题共14分）已知△ABC的顶点A，B在椭圆 上，C在直线l: y=x+2上，且AB∥l.
（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程.
（20）（本小题共13分）
数列{a}满足
n
（Ⅰ）当a=-1时，求λ及a 的值；
2 3
（Ⅱ）数列{a}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；
n
（Ⅲ）求λ的取值范围，使得存在正整数m, 当n＞m时总有a＜0.
n绝密★考试结束前
2008 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类）（北京卷）参考答案
一、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）D （2）A （3）A （4）C
（5）B （6）A （7）C （8）B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9） （10）|x|x＜-2|
（11）-8 （12）10 32
（13）2 -2 （14）②
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）
=
=
因为函数f(x)的最小正周期为π,且ω＞0，
所以
解得ω=1.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
因为0≤x≤ ，
所以 ≤ ≤
所以 ≤sin ≤1.
因此0≤ ≤ ，即f(x)的取值范围为[0， ]
（16）（共14分）
解法一：
（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD.
∵AP=BP，∴PD⊥AB.
∵AC=BC.
∴CD⊥AB.
∵PD∩CD＝D.
∴AB⊥平面PCD.
∵PC 平面PCD，
∴PC⊥AB.
（Ⅱ）∵AC=BC, AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC.
又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，
且AC∩PC=C，
∴BC⊥平面PAC
取AP中点E,连接BE,CE
∵AB=BP
∴BE⊥AP.
∵EC是BE在平面PAC内的射影，
∴CE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
在△BCE中，∠BCE=90°, BC=2, BE= ，
∴sin∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小为aresin
解法二：
（Ⅰ）∵AC=BC, AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC.
∴PC⊥BC.
∵AC∩BC=C,
∴PC⊥平面ABC.
∵AB 平面ABC，
∴PC⊥AB.
(Ⅱ)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.
则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.
设P（0，0，t）,
∵｜PB｜=｜AB｜＝2 ，
∴t=2, P(0,0,2).
取AP中点E，连结BE，CE.
∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,∴CE⊥AP, BE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
∵E(0,1,1),
∴cos∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小为arccos
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数，
所以，对任意的x∈R, g (-x)= -g (x), 即f (-x)- 2= -f (x)+2.
又f(x)=x3+ax2+3bx+c,
所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2.
{
所以
解得a=0，c＝2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=x3+3bx+2.
所以f′(x)=3x2+3b(b≠0).
当b＜0时，由f′(x)=0得x=±
x变化时，f′(x)的变化情况如下表：
x (-∞,- ) - (- , ) ( ,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
所以，当b＜0时，函数f (x)在（-∞，- ）上单调递增，在（- ， ）上单调递
减，在（ ，+∞）上单调递增.
当b＞0时，f′(x)＞0.所以函数f (x)在（-∞，+∞）上单调递增.
（18）（共13分）
解：
（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件E ，那么
A
P（E ）=
A
即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是
（Ⅱ）记甲、乙两个同时参加同一岗位服务为事件E，那么
P（E）＝
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是
P（ ）=1-P(E)=
（19）（共14分）解：（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x.
设A，B两点坐标分别为（x,y）,(x,y).
1 1 2 2
由 得
所以
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，
所以
（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m.
由 得
因为A，B在椭圆上，
所以
设A，B两点坐标分别为（x, y），（x, y）.
1 1 2 2
则
所以
又因为BC的长等于点（0, m）到直线l的距离，即
所以
所以当m=-1时，AC边最长.（这时 ）
此时AB所在直线的方程为y=x-1.
(20)（共13分）
解：（Ⅰ）由于 且a=1，
1
所以当a= -1时，得 ,
2
故
从而
（Ⅱ）数列{a}不可能为等差数列.证明如下：
n
由a=1， 得
1
若存在 ，使｛a｝为等差数列，则a-a=a-a,即
n 3 2 2 1解得 =3.
于是
这与｛a｝为等差数列矛盾，所以，对任意 ，{a}都不可能是等差数列.
n n
（Ⅲ）记 根据题意可知，b ＜0 且 ，即 ＞2 且
1
N*)，这时总存在 N*，满足：当n≥n 时，b ＞0；当n≤n-1
0 n 0
时，b＜0.
n
所以由a =ba 及a=1＞0可知，若n 为偶数，则 ，从而当n＞n
n+1 n n 1 0 0
时a＜0；若n 为奇数，则 ，从而当n＞n 时a＞0.
n 0 0 n
因此“存在m N*，当n＞m时总有a＜0”的充分必要条件是：n 为偶数，
n o
记n=2k(k=1,2, …)，则 满足
o
故 的取值范围是 4k2+2k (k N*).
