文档内容
2009 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ） A． B． C． D．
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（ ，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（
1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合 （A∩B）中的
U
）
元素共有（ ）
∁
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 A． B． C． D．
2．（5分）已知 =2+i，则复数z=（ ） 9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i
10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为 ，Q到
3．（5分）不等式 ＜1的解集为（ ）
α的距离为 ，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）
A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1} B．{x|0＜x＜1}
C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|x＜0}
4．（5分）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的
离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中 A．1 B．2 C． D．4
各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ） 11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（ ）
A．150种 B．180种 C．300种 D．345种 A．f（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数
6．（5分）设 、 、 是单位向量，且 ，则 • 的最小值为（ ） C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函数
A．﹣2 B． ﹣2 C．﹣1 D．1﹣
12．（5分）已知椭圆C： +y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A l，线段AF交C于点B，若
7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A B C 的侧棱与底面边长都相等，A 在底面ABC上的射影D为BC的
1 1 1 1
∈
=3 ，则| |=（ ）
中点，则异面直线AB与CC 所成的角的余弦值为（ ）
1
A． B．2 C． D．3
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ．
14．（5分）设等差数列{a }的前n项和为S ，若S =81，则a +a +a = ．
n n 9 2 5 815．（5分）直三棱柱ABC﹣A B C 的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA =2，∠BAC=120°，则
1 1 1 1
此球的表面积等于 ．
16．（5分）若 ，则函数y=tan2xtan3x的最大值为 ．
三、解答题（共6小题，满分70分）
20．（12分）在数列{a }中，a =1，a =（1+ ）a + ．
17．（10 分）在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c，已知 a2﹣c2=2b，且 n 1 n+1 n
sinAcosC=3cosAsinC，求b．
（1）设b = ，求数列{b }的通项公式；
n n
（2）求数列{a }的前n项和S ．
n n
18．（12 分）如图，四棱锥 S﹣ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，SD⊥底面 ABCD，AD= ，
DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°
21．（12分）如图，已知抛物线 E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四
（I）证明：M是侧棱SC的中点；
个点．
（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．
（Ⅰ）求r的取值范围；
（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．
19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，
假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2
局中，甲、乙各胜1局． 22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x 、x ，且x [﹣1，0]，x [1，2]．
1 2 1 2
（I）求甲获得这次比赛胜利的概率； （1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这 ∈ 些条件的点（ ∈ b，c）的区域；
（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．
（2）证明： ．A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|x＜0}
2009 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）
【考点】7E：其他不等式的解法．
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参考答案与试题解析 【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去
绝对值．
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
【解答】解：∵ ＜1，
1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合 （A∩B）中的
U
元素共有（ ）
∁
∴|x+1|＜|x﹣1|，
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 ∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．
∴x＜0．
【考点】1H：交、并、补集的混合运算． ∴不等式的解集为{x|x＜0}．
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【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．
故选：D．
【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，
【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对
A∩B={4，7，9}∴
U
（A∩B）={3，5，8}故选A．
值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．
也可用摩根律：
U
（
∁
A∩B）=（
U
A）∪（
U
B）
故选：A．
∁ ∁ ∁
4．（5分）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的
【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．
离心率为（ ）
2．（5分）已知 =2+i，则复数z=（ ） A． B．2 C． D．
A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i
【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．
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【专题】11：计算题．
【考点】A1：虚数单位i、复数．
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【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于 0，找到a和b的关系，从而推断
【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．
出a和c的关系，答案可得．
【解答】解： ，∴z=1﹣3i
故选：B．
【解答】解：由题双曲线 的一条渐近线方程为 ，
【点评】求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解．
代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，
3．（5分）不等式 ＜1的解集为（ ）
因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即 ， =1﹣ cos ≥ ．
故选：C． 故选：D．
【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题． 【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律．
5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中 7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A B C 的侧棱与底面边长都相等，A 在底面ABC上的射影D为BC的
1 1 1 1
各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ） 中点，则异面直线AB与CC 所成的角的余弦值为（ ）
1
A．150种 B．180种 C．300种 D．345种
【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．
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【专题】5O：排列组合．
【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．
A． B． C． D．
【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C 1•C 1•C 2=225种选法；
5 3 6
（2）乙组中选出一名女生有C 2•C 1•C 1=120种选法．故共有345种选法．
5 6 2
故选：D． 【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．
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【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！ 【分析】首先找到异面直线AB与CC 所成的角（如∠A AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，
1 1
则只要表示出A B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A B C 的侧棱与底面边长为1，利用勾股定
1 1 1 1
6．（5分）设 、 、 是单位向量，且 ，则 • 的最小值为（ ）
理即可求之．
A．﹣2 B． ﹣2 C．﹣1 D．1﹣ 【解答】解：设BC的中点为D，连接A D、AD、A B，易知θ=∠A AB即为异面直线AB与CC 所成
1 1 1 1
的角；
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
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并设三棱柱ABC﹣A B C 的侧棱与底面边长为1，则|AD|= ，|A D|= ，|A B|= ，
1 1 1 1 1
【专题】16：压轴题．
【分析】由题意可得 = ，故要求的式子即 ﹣（ ）• + =1﹣ cos
由余弦定理，得cosθ= = ．
=1﹣ cos ，再由余弦函数的值域求出它的最小值． 故选：D．
【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．
【解答】解：∵ 、 、 是单位向量， ，∴ ， = ．
∴ • = ﹣（ ）• + =0﹣（ ）• +1=1﹣ cos
8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（ ，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）
10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为 ，Q到
A． B． C． D．
α的距离为 ，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）
【考点】HB：余弦函数的对称性．
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【专题】11：计算题．
【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点 中心对称，令x= 代入函数使其等
于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．
【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点 中心对称．
A．1 B．2 C． D．4
∴ ∴ 由此易得 ．
【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．
故选：A． 菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．
【分析】 分别作 QA⊥α 于 A，AC⊥l 于 C，PB⊥β 于 B，PD⊥l 于 D，连 CQ，BD 则
∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．
9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（ ）
【解答】解：如图
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，
连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°， ，
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率 又∵
得第三个方程．
当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．
【解答】解：设切点P（x ，y ），则y =x +1，y =ln（x +a），
0 0 0 0 0 0
故选：C．
又∵
∴x +a=1
0
∴y =0，x =﹣1
0 0
∴a=2．
故选：B．
【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系， 而根据 ，求出BM，AN，进而可得|AF|．
考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，
11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（ ）
A．f（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数
C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函数
【考点】3I：奇函数、偶函数．
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【专题】16：压轴题．
【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．
【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数， 并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．
∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称， 由题意 ，
∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，
故FM= ，故B点的横坐标为 ，纵坐标为±
故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），
函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数． 即BM= ，
∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），
故AN=1，
f（﹣x+3）=﹣f（x+3），
∴ ．
f（x+3）是奇函数．
故选：A．
故选：D．
【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．
【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
12．（5分）已知椭圆C： +y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A l，线段AF交C于点B，若 13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ﹣ 240 ．
∈
=3 ，则| |=（ ）
【考点】DA：二项式定理．
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A． B．2 C． D．3
【专题】11：计算题．
【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C 0anb0+C 1an﹣1b1+C 2an﹣2b2++C ran﹣rbr++C na0bn，各项的
n n n n n
【考点】K4：椭圆的性质．
菁优网版权所有 通项公式为：T =C ran﹣rbr．然后根据题目已知求解即可．
r+1 n
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C 3x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C 3x7y3，
10 10
【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知 FN=1，进含x3y7的项为C 7x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C 7x3y7． 故此球的表面积为4πR2=20π
10 10
由C 3=C 7=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240． 故答案为：20π
10 10
故答案为﹣240．
【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=C 0anb0+C 1an﹣1b1+C 2an﹣2b2+
n n n
+C ran﹣rbr++C na0bn，属于重点考点，同学们需要理解记忆．
n n
14．（5分）设等差数列{a }的前n项和为S ，若S =81，则a +a +a = 27 ．
n n 9 2 5 8
【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．
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【分析】由s 解得a 即可．
9 5 【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半
【解答】解：∵ 径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．
∴a =9
5
16．（5分）若 ，则函数y=tan2xtan3x的最大值为 ﹣ 8 ．
∴a +a +a =3a =27
2 5 8 5
故答案是27
【点评】本题考查前n项和公式和等差数列的性质． 【考点】3H：函数的最值及其几何意义；GS：二倍角的三角函数．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
15．（5分）直三棱柱ABC﹣A 1 B 1 C 1 的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA 1 =2，∠BAC=120°，则 【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于 tanx的函数，将tanx看破成整体，
此球的表面积等于 20π ． 最后转化成函数的最值问题解决．
【解答】解：令tanx=t，∵ ，
【考点】LR：球内接多面体．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
∴
【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求
出球的半径，然后求出球的表面积．
【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°， 故填：﹣8．
【点评】本题主要考查二倍角的正切，二次函数的方法求最大值等，最值问题是中学数学的重要
可得
由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2， 内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面．以最值为载体，可以考查中学数学的所
设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中， 有知识点．
易得球半径 ，三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10 分）在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c，已知 a2﹣c2=2b，且
sinAcosC=3cosAsinC，求b．
【考点】HR：余弦定理．
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【分析】根据正弦定理和余弦定理将 sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据 a2﹣c2=2b即可得
到答案．
【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．
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则由正弦定理及余弦定理有：
【专题】11：计算题；14：证明题．
， 【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，
连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB， 设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可
化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．
又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．
得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；
法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C
解得b=4或b=0（舍）；
法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA． 点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；
又a2﹣c2=2b，b≠0． 法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数
所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC， 乘向量的方法来证明．
∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，
（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系 D﹣
xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．
即sinB=4cosAsinC由正弦定理得 ，
【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，
故b=4ccosA②由①，②解得b=4．
连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．
设MN=x，则NC=EB=x，
在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴ ．
18．（12 分）如图，四棱锥 S﹣ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，SD⊥底面 ABCD，AD= ， 在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2
DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°
解得x=1，从而 ∴M为侧棱SC的中点M．
（I）证明：M是侧棱SC的中点；
（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小． （Ⅰ）证法二：分别以 DA、DC、DS 为 x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系 D﹣xyz，则
．
设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则 ， ， 设 分别是平面SAM、MAB的法向量，
由题得 ， 则 且 ，
即 且
即
分别令 得z =1，y =1，y =0，z =2，
解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1） 1 1 2 2
所以M是侧棱SC的中点．
即 ，
∴
二面角S﹣AM﹣B的大小 ．
（I）证法三：设 ，
则
又
【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；
空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；
故 ，
空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；
即 ，
19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，
解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点． 假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2
局中，甲、乙各胜1局．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，
（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；
又 ， ， （Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列； （2）求数列{a }的前n项和S ．
n n
CH：离散型随机变量的期望与方差．
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【专题】11：计算题． 【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
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【分析】（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中 【专题】11：计算题；15：综合题．
先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．
【分析】（1）由已知得 = + ，即b =b + ，由此能够推导出所求的通项公式．
n+1 n
（2）由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知 ξ的可能取值是2、
3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望． （2）由题设知a =2n﹣ ，故S =（2+4+…+2n）﹣（1+ + + +…+ ），设T=1+ + +
n n n
【解答】解：记A表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5）
i
B表示第j局乙获胜，j=3、4 +…+ ，由错位相减法能求出T=4﹣ ．从而导出数列{a }的前n项和S ．
i n n n
（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利，
【解答】解：（1）由已知得b =a =1，且 = + ，
∵前2局中，甲、乙各胜1局， 1 1
∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，
即b =b + ，从而b =b + ，
n+1 n 2 1
∴B=A A +B A A +A B A
3 4 3 4 5 3 4 5
由于各局比赛结果相互独立， b =b + ，
3 2
∴P（B）=P（A A ）+P（B A A ）+P（A B A ）
3 4 3 4 5 3 4 5
b =b + （n≥2）．
=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6 n n﹣1
=0.648
于是b =b + + +…+ =2﹣ （n≥2）．
n 1
（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3
又b =1，
由于各局相互独立，得到ξ的分布列 1
P（ξ=2）=P（A 3 A 4 +B 3 B 4 ）=0.52 故所求的通项公式为b n =2﹣ ．
P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=1﹣0.52=0.48
（2）由（1）知a =2n﹣ ，
∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48． n
【点评】认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要
故S =（2+4+…+2n）﹣（1+ + + +…+ ），
n
原因在于没读懂题．另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节．
设T=1+ + + +…+ ，①
n
20．（12分）在数列{a }中，a =1，a =（1+ ）a + ．
n 1 n+1 n
T= + + +…+ + ，②
n
（1）设b n = ，求数列{b n }的通项公式； ①﹣②得，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）
T=1+ + + +…+ ﹣
n
抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：
方程（1）有两个不相等的正根
= ﹣ =2﹣ ﹣ ，
∴
∴T=4﹣ ．
n
∴S =n（n+1）+ ﹣4． 即 ．
n
【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．
解这个方程组得 ， ．
21．（12分）如图，已知抛物线 E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四
个点． （II）设四个交点的坐标分别为
（Ⅰ）求r的取值范围；
、 、 、 ．
（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．
则直线AC、BD的方程分别为y﹣ = •（x﹣x ），y+ = （x﹣x ），
1 1
解得点P的坐标为（ ，0），
则由（I）根据韦达定理有x +x =7，x x =16﹣r2，
1 2 1 2
【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质． 则
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【专题】15：综合题；16：压轴题．
∴
【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：
（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，
令 ，
可求出r的范围．
则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．
（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出
由 三 次 均 值 有 ：
面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，（Ⅱ）由题设知f'（x ）=3x 2+6bx +3c=0，
2 2 2
则 ，
当且仅当7+2t=14﹣4t，即 时取最大值．
故 ．（8分）
经检验此时 满足题意．
由于x [1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，
2
故所求的点P的坐标为 ．
∈
故 ．
【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．
又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10分）
所以 ．
22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x 、x ，且x [﹣1，0]，x [1，2]．
1 2 1 2
（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；
∈ ∈
（2）证明： ．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；7B：二元一次不等式（组）与平面区域；R6：不等式的
证明．
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【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．
【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x 、x 是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立
1 2
不等关系，画出满足条件的区域即可；
（2）先用消元法消去参数b，利用参数c表示出f（x ）的值域，再利用参数c的范围求出f（x ）
2 2
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域和不
的范围即可．
等式的证明，属于基础题．
【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）
依题意知，方程f'（x）=0有两个根x 、x ，且x [﹣1，0]，x [1，2]
1 2 1 2
等价于f'（﹣1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．
∈ ∈
由此得b，c满足的约束条件为 （4分）
满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）
