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2013 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版） 9．（5分）若函数f（x）=x2+ax+ 是增函数，则a的取值范围是（ ）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 A．[﹣1，0] B．[﹣1，+∞） C．[0，3] D．[3，+∞）
求的. 10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A 1 B 1 C 1 D 1 中，AA 1 =2AB，则CD与平面BDC 1 所成角的正弦值等于
1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a A，b B}，则M中元素的个数为（ （ ）
）
∈ ∈ A． B． C． D．
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交
2．（5分） =（ ）
于A，B两点，若 ，则k=（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣8i D．8i
A． B． C． D．2
3．（5分）已知向量 =（λ+1，1）， =（λ+2，2），若（ + ）⊥（ ﹣ ），则λ=（ ）
12．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（ ）
B．
A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0） D．
C．
5．（5分）函数f（x）=log （1+ ）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（ ）
2
D．f（x）既是奇函数，又是周期函数
A． B． C．2x﹣1（x R） D．2x﹣1（x＞0）
∈ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
6．（5分）已知数列{a }满足3a +a =0，a =﹣ ，则{a }的前10项和等于（ ）
n n+1 n 2 n
13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣ ，则cotα= ．
A．﹣6（1﹣3﹣10）B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）
14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种．（用数字作答）
7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（ ）
15．（5分）记不等式组 所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a
A．5 B．8 C．12 D．18
8．（5分）椭圆C： 的左、右顶点分别为A 、A ，点P在C上且直线PA 斜率的取值范 的取值范围是 ．
1 2 2
16．（5 分）已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 O 的半径，
围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA 斜率的取值范围是（ ）
1
，则球O的表面积等于 ．
A． B． C． D．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 ，各局比赛的结果都相互独立
17．（10分）等差数列{a }的前n项和为S ．已知S =a 2，且S ，S ，S 成等比数列，求{a }的通
n n 3 2 1 2 4 n
第1局甲当裁判．
项式．
（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为 a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）
=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC= ，求C． 21．（12分）已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为
1 2
3，直线y=2与C的两个交点间的距离为 ．
（I）求a，b；
（II）设过F 的直线l与C的左、右两支分别相交于 A、B两点，且|AF |=|BF |，证明：|AF |、|
2 1 1 2
AB|、|BF |成等比数列．
2
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边
三角形．
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．
22．（12分）已知函数 ．
（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；
（II）设数列{a }的通项a =1+ ．
n n
20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束故选：A．
【点评】复数代数形式的运算，是基础题．
2013 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
参考答案与试题解析 3．（5分）已知向量 =（λ+1，1）， =（λ+2，2），若（ + ）⊥（ ﹣ ），则λ=（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
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1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a A，b B}，则M中元素的个数为（
【专题】5A：平面向量及应用．
）
∈ ∈ 【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵ ， ．
【考点】13：集合的确定性、互异性、无序性；1A：集合中元素个数的最值．
菁优网版权所有 ∴ =（2λ+3，3）， ．
【专题】11：计算题．
∵ ，
【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．
【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a A，b B}， ∴ =0，
所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，
∈ ∈ ∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．
所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．
故选：B．
故选：B．
【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．
【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．
4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（ ）
2．（5分） =（ ）
A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0） D．
A．﹣8 B．8 C．﹣8i D．8i
【考点】33：函数的定义域及其求法．
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【考点】A5：复数的运算．
菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解．
【分析】复数分子、分母同乘﹣8，利用1的立方虚根的性质（ ），化简即可．
【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），
∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣ ．
【解答】解：【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．
∴则函数f（2x+1）的定义域为 ．
【分析】由已知可知，数列{a }是以﹣ 为公比的等比数列，结合已知 可求a ，然后代入
故选：B． n 1
【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题． 等比数列的求和公式可求
【解答】解：∵3a +a =0
n+1 n
5．（5分）函数f（x）=log （1+ ）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（ ）
2 ∴
A． B． C．2x﹣1（x R） D．2x﹣1（x＞0）
∴数列{a }是以﹣ 为公比的等比数列
n
∈
【考点】4R：反函数． ∵
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【专题】51：函数的性质及应用．
∴a =4
1
【分析】把y看作常数，求出x：x= ，x，y互换，得到y=log （1+ ）的反函数．注意反函数
2
由等比数列的求和公式可得，S = =3（1﹣3﹣10）
的定义域． 10
【解答】解：设y=log （1+ ），
2
故选：C．
把y看作常数，求出x： 【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题
1+ =2y，x= ，其中y＞0，
7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（ ）
x，y互换，得到y=log （1+ ）的反函数：y= ， A．5 B．8 C．12 D．18
2
故选：A．
【考点】DA：二项式定理．
【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转 菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
化．
【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令x的指数为2，写出出展开式
中x2的系数，第二个因式y2的系数，即可得到结果．
6．（5分）已知数列{a }满足3a +a =0，a =﹣ ，则{a }的前10项和等于（ ）
n n+1 n 2 n 【解答】解：（x+1）3的展开式的通项为T =C rxr
r+1 3
令r=2得到展开式中x2的系数是C 2=3，
A．﹣6（1﹣3﹣10）B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10） 3
（1+y）4的展开式的通项为T =C ryr
r+1 4
令r=2得到展开式中y2的系数是C 2=6，
4
【考点】89：等比数列的前n项和．
菁优网版权所有（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是：3×6=18，
∴ = = ，
故选：D．
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，本题解题的关键是
∵ ，
写出二项式的展开式，所有的这类问题都是利用通项来解决的．
∴ ，解得 ．
8．（5分）椭圆C： 的左、右顶点分别为A 、A ，点P在C上且直线PA 斜率的取值范
1 2 2
故选：B．
围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA 斜率的取值范围是（ ） 【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．
1
A． B． C． D．
9．（5分）若函数f（x）=x2+ax+ 是增函数，则a的取值范围是（ ）
【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合． A．[﹣1，0] B．[﹣1，+∞） C．[0，3] D．[3，+∞）
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【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
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【分析】由椭圆C： 可知其左顶点A （﹣2，0），右顶点A （2，0）．设P（x ，y ）
1 2 0 0 【专题】53：导数的综合应用．
【分析】由函数 在（ ，+∞）上是增函数，可得 ≥0 在（ ，
（x ≠±2），代入椭圆方程可得 ．利用斜率计算公式可得 ，再利用已知
0
+∞）上恒成立，进而可转化为a≥ ﹣2x在（ ，+∞）上恒成立，构造函数求出 ﹣2x在
给出的 的范围即可解出．
（ ，+∞）上的最值，可得a的取值范围．
【解答】解：由椭圆C： 可知其左顶点A （﹣2，0），右顶点A （2，0）． 【解答】解：∵ 在（ ，+∞）上是增函数，
1 2
故 ≥0在（ ，+∞）上恒成立，
设P（x ，y ）（x ≠±2），则 ，得 ．
0 0 0
即a≥ ﹣2x在（ ，+∞）上恒成立，
∵ = ， = ，
令h（x）= ﹣2x，则h′（x）=﹣ ﹣2，
当x （ ，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数．
∈
∴h（x）＜h（ ）=3
∴a≥3．
则D（0，0，2），C （1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），
故选：D． 1
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难 =（1，1，0）， =（1，0，﹣2）， =（1，0，0），
度中档．
设 =（x，y，z）为平面BDC 的一个法向量，则 ，即 ，取 =（2，﹣2，1），
1
10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A B C D 中，AA =2AB，则CD与平面BDC 所成角的正弦值等于
1 1 1 1 1 1
（ ）
设CD与平面BDC 所成角为θ，则sinθ=| |= ，
1
A． B． C． D．
故选：A．
【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方
【考点】MI：直线与平面所成的角．
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向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．
【专题】15：综合题；16：压轴题；5G：空间角；5H：空间向量及应用．
【分析】设AB=1，则AA
1
=2，分别以 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立 11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交
于A，B两点，若 ，则k=（ ）
空间直角坐标系，设 =（x，y，z）为平面BDC 的一个法向量，CD与平面BDC 所成角为θ，
1 1
A． B． C． D．2
则sinθ=| |，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K8：抛物线的性质．
【解答】解：设AB=1，则AA 1 =2，分别以 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向 菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
建立空间直角坐标系，
【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用 =（x +2，y ﹣2）
1 1
如下图所示：
•（x +2，y ﹣2）=0，即可求出k的值．
2 2
【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），
由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），
代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，设A（x ，y ），B（x ，y ）． f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin（2π﹣2x）=cosxsin2x，所以f（π+x）+f（π﹣x）=0，
1 1 2 2
可得y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，故A正确；
∴x +x =4+ ，x x =4．
1 2 1 2
对于B，因为f（ +x）=cos（ +x）sin（π+2x）=﹣sinx（﹣sin2x）=sinxsin2x，
∴y +y = ，y y =﹣16，
1 2 1 2
f（ ﹣x）=cos（ ﹣x）sin（π﹣2x）=sinxsin2x，所以f（ +x）=f（ ﹣x），
又 =0，
∴ =（x +2，y ﹣2）•（x +2，y ﹣2）= =0 可得y=f（x）的图象关于直线x= 对称，故B正确；
1 1 2 2
∴k=2． 对于C，化简得f（x）=cosxsin2x=2cos2xsinx=2sinx（1﹣sin2x），
故选：D． 令t=sinx，f（x）=g（t）=2t（1﹣t2），﹣1≤t≤1，
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属 ∵g（t）=2t（1﹣t2）的导数g'（t）=2﹣6t2=2（1+ t）（1﹣ t）
于中档题．
∴当t （﹣1，﹣ ）时或t （ ，1）时g'（t）＜0，函数g（t）为减函数；
∈ ∈
12．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（ ） 当t （﹣ ， ）时g'（t）＞0，函数g（t）为增函数．
A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
∈
因此函数g（t）的最大值为t=﹣1时或t= 时的函数值，
B．
结合g（﹣1）=0＜g（ ）= ，可得g（t）的最大值为 ．
C．
由此可得f（x）的最大值为 而不是 ，故C不正确；
D．f（x）既是奇函数，又是周期函数
对于D，因为f（﹣x）=cos（﹣x）sin（﹣2x）=﹣cosxsin2x=﹣f（x），所以f（x）是奇函数．
【考点】H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值． 因为f（2π+x）=cos（2π+x）sin（4π+2x）=cosxsin2x=f（x），
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【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质．
所以2π为函数的一个周期，得f（x）为周期函数．可得f（x）既是奇函数，又是周期函数，得 D
【分析】根据函数图象关于某点中心对称或关于某条直线对称的公式，对 A、B两项加以验证，可
正确．
得它们都正确．根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系化简，得 f（x）=2sinx（1﹣ 综上所述，只有C项不正确．
sin2x），再换元：令t=sinx，得到关于t的三次函数，利用导数研究此函数的单调性可得f（x）
故选：C．
【点评】本题给出三角函数式，研究函数的奇偶性、单调性和周期性．着重考查了三角恒等变换
的最大值为 ，故C不正确；根据函数周期性和奇偶性的定义加以验证，可得 D项正确．由
公式、利用导数研究函数的单调性和函数图象的对称性等知识，属于中档题．
此可得本题的答案．
【解答】解：对于A，因为f（π+x）=cos（π+x）sin（2π+2x）=﹣cosxsin2x， 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.【点评】本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题．
13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣ ，则cotα= 2 ．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系． 15．（5分）记不等式组 所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a
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【专题】56：三角函数的求值．
【分析】根据α是第三象限的角，得到cosα小于0，然后由sinα的值，利用同角三角函数间的基
的取值范围是 [ ， 4 ] ．
本关系求出cosα的值，进而求出cotα的值．
【解答】解：由α是第三象限的角，得到cosα＜0，
【考点】7C：简单线性规划．
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又sinα=﹣ ，所以cosα=﹣ =﹣
【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．
则cotα= =2
【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件 的平
故答案为：2
面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的
【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题
a的端点值即可．
时注意α的范围．
【解答】解：满足约束条件 的平面区域如图示：
14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 480 种．（用数字作
答） 因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．
所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
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【专题】11：计算题．
又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．
【分析】排列好甲、乙两人外的4人，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可．
【解答】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人， 所以 ≤a≤4．
有 中方法， 故答案为：[ ，4]
然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有 种方法，
所以共有： =480．
故答案为：480．【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域
②求出可行域各个角点的坐标 ③将坐标逐一代入目标函数 ④验证，求出最优解．
【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
⇒ ⇒ ⇒
16．（5 分）已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 O 的半径，
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
，则球O的表面积等于 16π ．
17．（10分）等差数列{a }的前n项和为S ．已知S =a 2，且S ，S ，S 成等比数列，求{a }的通
n n 3 2 1 2 4 n
项式．
【考点】LG：球的体积和表面积．
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【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离． 【考点】85：等差数列的前n项和；88：等比数列的通项公式．
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【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论． 【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．
【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角
【分析】由 ，结合等差数列的求和公式可求 a ，然后由 ，结合等差数列的求
2
根据题意得OC= ，CK=
和公式进而可求公差d，即可求解通项公式
【解答】解：设数列的公差为d
在△OCK中，OC2=OK2+CK2，即
由 得，3
∴r2=4
∴球O的表面积等于4πr2=16π ∴a =0或a =3
2 2
故答案为16π
由题意可得，
∴
若a =0，则可得d2=﹣2d2即d=0不符合题意
2
若a =3，则可得（6﹣d）2=（3﹣d）（12+2d）
2
解可得d=0或d=2∴a =3或a =2n﹣1 ∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，
n n
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的性质的简单应用， 则C=15°或C=45°．
属于基础试题 【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌
握余弦定理是解本题的关键．
18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为 a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）
=ac． 19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边
（Ⅰ）求B． 三角形．
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）若sinAsinC= ，求C．
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．
【考点】GP：两角和与差的三角函数；HR：余弦定理．
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【专题】58：解三角形．
【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表
示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可
求出B的度数；
【考点】LW：直线与平面垂直；M5：共线向量与共面向量．
（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos 菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5G：空间角．
（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出 A﹣C的值，
【分析】（I）取BC的中点E，连接DE，过点P作PO⊥平面ABCD于O，连接OA、OB、OD、OE．
与A+C的值联立即可求出C的度数．
可证出四边形ABED是正方形，且O为正方形ABED的中心．因此OE⊥OB，结合三垂线定理，
【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，
证出OE⊥PB，而OE是△BCD的中位线，可得OE∥CD，因此PB⊥CD；
∴a2+c2﹣b2=﹣ac，
（II）由（I）的结论，证出CD⊥平面PBD，从而得到CD⊥PD．取PD的中点F，PC的中点G，连
∴cosB= =﹣ ，
接FG，可得FG∥CD，所以FG⊥PD．连接AF，可得AF⊥PD，因此∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的
又B为三角形的内角， 平面角，连接AG、EG，则EG∥PB，可得EG⊥OE．设AB=2，可求出AE、EG、AG、AF和FG的
则B=120°；
长，最后在△AFG中利用余弦定理，算出∠AFG=π﹣arccos ，即得二面角A﹣PD﹣C的平面角
（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC= ，cos（A+C）= ，
大小．
∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC= +2× 【解答】解：（I）取BC的中点E，连接DE，可得四边形ABED是正方形
过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA、OB、OD、OE
= ， ∵△PAB与△PAD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，可得OA=OB=OD因此，O是正方形ABED的对角线的交点，可得OE⊥OB 第1局甲当裁判．
∵PO⊥平面ABCD，得直线OB是直线PB在内的射影，∴OE⊥PB （Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；
∵△BCD中，E、O分别为BC、BD的中点，∴OE∥CD，可得PB⊥CD； （Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
（II）由（I）知CD⊥PO，CD⊥PB
∵PO、PB是平面PBD内的相交直线，∴CD⊥平面PBD 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．
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∵PD 平面PBD，∴CD⊥PD 【专题】5I：概率与统计．
取PD ⊂ 的中点F，PC的中点G，连接FG， 【分析】（I）令A 1 表示第2局结果为甲获胜，A 2 表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示
则FG为△PCD有中位线，∴FG∥CD，可得FG⊥PD 第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事
连接AF，由△PAD是等边三角形可得AF⊥PD，∴∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角 件的概率求解即可．
连接AG、EG，则EG∥PB （II）X的所有可能值为0，1，2．分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可．
∵PB⊥OE，∴EG⊥OE， 【解答】解：（I）令A
1
表示第2局结果为甲获胜．A
2
表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A
表示第4局甲当裁判．
设AB=2，则AE=2 ，EG= PB=1，故AG= =3
则A=A •A ，P（A）=P（A •A ）=P（A ）P（A ）= ；
1 2 1 2 1 2
在△AFG中，FG= CD= ，AF= ，AG=3
（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2．令A 表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．
3
∴cos∠AFG= =﹣ ，得∠AFG=π﹣arccos ， B 1 表示第1局结果为乙获胜，B 2 表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B 3 表示第3局乙参加比赛
时，结果为乙负，
即二面角A﹣PD﹣C的平面角大小是π﹣arccos ．
则P（X=0）=P（B B ）=P（B ）P（B ）P（ ）= ．
1 2 1 2
P（X=2）=P（ B ）=P（ ）P（B ）= ．
3 3
P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）= ．
从而EX=0× +1× +2× = ．
【点评】本题给出特殊的四棱锥，求证直线与直线垂直并求二面角平面角的大小，着重考查了线
面垂直的判定与性质、三垂线定理和运用余弦定理求二面的大小等知识，属于中档题．
【点评】本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利
用概率知识解决问题的能力．
20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束
时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 ，各局比赛的结果都相互独立， 21．（12分）已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为
1 23，直线y=2与C的两个交点间的距离为 ．
则x ≤﹣1，x ≥1，x +x = ， ，于是
（I）求a，b； 1 2 1 2
（II）设过F 的直线l与C的左、右两支分别相交于 A、B两点，且|AF |=|BF |，证明：|AF |、|
2 1 1 2
|AF |= =﹣（3x +1），
AB|、|BF |成等比数列． 1 1
2
|BF |= =3x +1，
1 2
【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．
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【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与 |AF |=|BF |得﹣（3x +1）=3x +1，即
1 1 1 2
方程．
【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来 故 = ，解得 ，从而 =﹣
再由直线 建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；
（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），将其与双 由于|AF |= =1﹣3x ，
2 1
|BF |= =3x ﹣1，
2 2
曲线C的方程联立，得出 x +x = ， ，再利用|AF |=|BF |建立关于A，B坐标
1 2 1 1
故|AB|=|AF |﹣|BF |=2﹣3（x +x ）=4，|AF ||BF |=3（x +x ）﹣9x x ﹣1=16
2 2 1 2 2 2 1 2 1 2
因而|AF ||BF |=|AB|2，所以|AF |、|AB|、|BF |成等比数列
2 2 2 2
的方程，得出两点横坐标的关系 ，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的
求得：|AF |、|AB|、|BF |，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论． 思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系
2 2
关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．
【解答】解：（I）由题设知 =3，即 =9，故b2=8a2
所以C的方程为8x2﹣y2=8a2 22．（12分）已知函数 ．
将y=2代入上式，并求得x=± ， （I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；
（II）设数列{a }的通项a =1+ ．
由题设知，2 = ，解得a2=1 n n
所以a=1，b=2
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；8E：数列的求和；8K：数列与不等式的综合．
（II）由（I）知，F （﹣3，0），F （3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ① 菁优网版权所有
1 2
【专题】16：压轴题；35：转化思想；53：导数的综合应用；54：等差数列与等比数列．
由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2 代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0
【分析】（I）由于已知函数的最大值是 0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数
设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
的最大值，利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围，即可求得其最小值；（II）根据（I）的证明，可取λ= ，由于x＞0时，f（x）＜0得出 ，考察发现，
=
若取x= ，则可得出 ，以此为依据，利用放缩法，即可得到结论
= ＞ =ln2n﹣lnn=ln2
【解答】解：（I）由已知，f（0）=0，
所以
f′（x）= = ，
【点评】本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法，解题的关键是充分利用
∴f′（0）=0
已有的结论再结合放缩法，本题考查了推理判断的能力及转化化归的思想，有一定的难度
欲使 x≥0时，f（x）≤0恒成立，则 f（x）在（0，+∞）上必为减函数，即在（0，+∞）上 f′
（x）＜0恒成立，
当λ≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，为增函数，故不合题意，
若0＜λ＜ 时，由 f′（x）＞0解得x＜ ，则当 0＜x＜ ，f′（x）＞0，所以当 0＜x＜
时，f（x）＞0，此时不合题意，
若λ≥ ，则当x＞0时，f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上必为减函数，所以当x＞0
时，f（x）＜0
恒成立，
综上，符合题意的λ的取值范围是λ≥ ，即λ的最小值为
（ II）令λ= ，由（I）知，当x＞0时，f（x）＜0，即
取x= ，则
于是a ﹣a + = + +…+ +
2n n
=
=
