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2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的
1．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（ ）
A． B．{2} C．{0} D．{﹣2}
∅
2．（5分） =（ ）
A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i
3．（5分）函数f（x）在x=x 处导数存在，若p：f′（x ）=0：q：x=x 是f（x）的极值点，则（
0 0 0
） A． B． C． D．
A．p是q的充分必要条件
7．（5 分）正三棱柱 ABC﹣A B C 的底面边长为 2，侧棱长为 ，D 为 BC 中点，则三棱锥 A﹣
1 1 1
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B DC 的体积为（ ）
1 1
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
A．3 B． C．1 D．
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
4．（5分）设向量 ， 满足| + |= ，| ﹣ |= ，则 • =（ ） 8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
5．（5分）等差数列{a }的公差为2，若a ，a ，a 成等比数列，则{a }的前n项和S =（ ）
n 2 4 8 n n
A．n（n+1） B．n（n﹣1） C． D．
6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三
视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积
与原来毛坯体积的比值为（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
9．（5分）设x，y满足约束条件 ，则z=x+2y的最大值为（ ） 18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
A．8 B．7 C．2 D．1
（Ⅱ）设AP=1，AD= ，三棱锥P﹣ABD的体积V= ，求A到平面PBC的距离．
10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|
AB|=（ ）
A． B．6 C．12 D．7
11．（5分）若函数f（x）=kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣1] C．[2，+∞） D．[1，+∞）
12．（5分）设点M（x ，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x 的取值范
0 0
围是（ ）
A．[﹣1，1] B．[﹣ ， ] C．[﹣ ， ] D．[﹣ ， ]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
19．（12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了 50位市民，根据这50位市民
13．（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们
对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：
选择相同颜色运动服的概率为 ．
14．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为 ．
15．（5分）偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）= ．
16．（5分）数列{a }满足a = ，a =2，则a = ．
n n+1 8 1
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．
（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；
（1）求C和BD；
（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；
（2）求四边形ABCD的面积．
（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．三、选修4-1：几何证明选讲
20．（12分）设F ，F 分别是C： + =1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF 与x
1 2 2 22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，
PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：
轴垂直，直线MF 与C的另一个交点为N．
1
（Ⅰ）BE=EC；
（1）若直线MN的斜率为 ，求C的离心率；
（Ⅱ）AD•DE=2PB2．
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F N|，求a，b．
1
21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的
横坐标为﹣2．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．四、选修4-4，坐标系与参数方程 五、选修4-5：不等式选讲
23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标
24．设函数f（x）=|x+ |+|x﹣a|（a＞0）．
方程为ρ=2cosθ，θ [0， ] （Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．
∈
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y= x+2垂直，根据（1）中你得到的参
数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．3．（5分）函数f（x）在x=x 处导数存在，若p：f′（x ）=0：q：x=x 是f（x）的极值点，则（
2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 0 0 0
）
参考答案与试题解析
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
要求的
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
1．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（ ）
A． B．{2} C．{0} D．{﹣2}
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．
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∅
【专题】5L：简易逻辑．
【考点】1E：交集及其运算．
菁优网版权所有 【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【专题】5J：集合．
【解答】解：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x ）=0，得x =0，但此时函数f（x）单调
0 0
【分析】先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．
递增，无极值，充分性不成立．
【解答】解：∵A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，
根据极值的定义和性质，若x=x 是f（x）的极值点，则f′（x ）=0成立，即必要性成立，
0 0
∴A∩B={2}．
故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，
故选：B．
故选：C．
【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本
题的关键，比较基础．
2．（5分） =（ ）
4．（5分）设向量 ， 满足| + |= ，| ﹣ |= ，则 • =（ ）
A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i
A．1 B．2 C．3 D．5
【考点】A5：复数的运算．
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【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】5N：数系的扩充和复数． 菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．
【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．
【解答】解：化简可得 = = = =﹣1+2i
【解答】解：∵| + |= ，| ﹣ |= ，
故选：B．
∴分别平方得 +2 • + =10， ﹣2 • + =6，
【点评】本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属
两式相减得4 • =10﹣6=4，
基础题．即 • =1，
故选：A．
【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．
5．（5分）等差数列{a }的公差为2，若a ，a ，a 成等比数列，则{a }的前n项和S =（ ）
n 2 4 8 n n
A．n（n+1） B．n（n﹣1） C． D．
【考点】83：等差数列的性质．
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【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】由题意可得a 2=（a ﹣4）（a +8），解得a 可得a ，代入求和公式可得． A． B． C． D．
4 4 4 4 1
【解答】解：由题意可得a 2=a •a ，
4 2 8
即a 2=（a ﹣4）（a +8），
4 4 4 【考点】L!：由三视图求面积、体积．
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解得a =8，
4 【专题】5F：空间位置关系与距离．
∴a =a ﹣3×2=2，
1 4 【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．
【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为 3高为2，一个是底面半径为2，高为
∴S =na + d，
n 1
4，
=2n+ ×2=n（n+1），
故选：A．
组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．
【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π
6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三
切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为： = ．
视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积
故选：C．
与原来毛坯体积的比值为（ ）
【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能
力．
7．（5 分）正三棱柱 ABC﹣A B C 的底面边长为 2，侧棱长为 ，D 为 BC 中点，则三棱锥 A﹣
1 1 1
B DC 的体积为（ ）
1 1A．3 B． C．1 D．
【考点】EF：程序框图．
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【专题】5K：算法和程序框图．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
菁优网版权所有 【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【解答】解：若x=t=2，
【分析】由题意求出底面B DC 的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．
1 1
则第一次循环，1≤2成立，则M= ，S=2+3=5，k=2，
【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A B C 的底面边长为2，侧棱长为 ，D为BC中点，
1 1 1
∴底面B DC 的面积： = ， 第二次循环，2≤2成立，则M= ，S=2+5=7，k=3，
1 1
A到底面的距离就是底面正三角形的高： ． 此时3≤2不成立，输出S=7，
故选：D．
三棱锥A﹣B DC 的体积为： =1．
1 1
【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．
故选：C．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．
9．（5分）设x，y满足约束条件 ，则z=x+2y的最大值为（ ）
8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（ ）
A．8 B．7 C．2 D．1
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域，
由z=x+2y，得y=﹣ ，
平移直线y=﹣ ，由图象可知当直线 y=﹣ 经过点A时，直线y=﹣ 的截距最大，
此时z最大．
由 ，得 ，
即A（3，2），
A．4 B．5 C．6 D．7此时z的最大值为z=3+2×2=7，
所以|AB|=x + +x + = + + =12
1 2
故选：B．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是
解题的难点和关键．
11．（5分）若函数f（x）=kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣1] C．[2，+∞） D．[1，+∞）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
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【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 【分析】求出导函数f′（x），由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）
≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．
10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|
【解答】解：f′（x）=k﹣ ，
AB|=（ ）
∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，
A． B．6 C．12 D．7
∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．
∴k≥ ，
【考点】K8：抛物线的性质．
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【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
而y= 在区间（1，+∞）上单调递减，
【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系
∴k≥1．
由弦长公式求得|AB|．
∴k的取值范围是：[1，+∞）．
【解答】解：由y2=3x得其焦点F（ ，0），准线方程为x=﹣ ．
故选：D．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．
则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣ ）= （x﹣ ）．
代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．
12．（5分）设点M（x ，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x 的取值范
0 0
设A（x ，y ），B（x ，y ）
1 1 2 2 围是（ ）
则x +x = ，
1 2 A．[﹣1，1] B．[﹣ ， ] C．[﹣ ， ] D．[﹣ ， ]【专题】5I：概率与统计．
【考点】JE：直线和圆的方程的应用． 【分析】所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有 3种，由此求得他们
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【专题】5B：直线与圆． 选择相同颜色运动服的概率．
【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，
【解答】解：由题意画出图形如图：点 M（x ，1），要使圆 O：x2+y2=1 上存在点 N，使得
0
故他们选择相同颜色运动服的概率为 = ，
∠OMN=45°，
则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°， 故答案为： ．
而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
此时MN=1，
图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，
14．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为 1 ．
∴x 的取值范围是[﹣1，1]．
0
故选：A．
【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．
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【专题】56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．
【分析】直接利用两角和与差三角函数化简，然后求解函数的最大值．
【解答】解：函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx
=sinxcosφ+sinφcosx﹣2sinφcosx
=sinxcosφ﹣sinφcosx
=sin（x﹣φ）≤1．
所以函数的最大值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数最值的求解，考查计算能力．
策略之一．
15．（5分）偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）= 3 ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．
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【专题】51：函数的性质及应用．
选择相同颜色运动服的概率为 ．
【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．
【解答】解：法1：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
菁优网版权所有所以f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），
∵8÷3=2…2，故a =
1
即f（x+4）=f（x），
则f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3， 故答案为： ．
法2：因为函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，
【点评】本题考查了数列递推公式的简单应用，即给n具体的值代入后求数列的项，属于基础题．
所以f（1）=f（3）=3，
因为f（x）是偶函数，
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
所以f（﹣1）=f（1）=3，
17．（12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．
故答案为：3．
（1）求C和BD；
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性 f（x+4）=f
（2）求四边形ABCD的面积．
（x）是解决本题的关键，比较基础．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
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16．（5分）数列{a }满足a = ，a =2，则a = ． 【专题】56：三角函数的求值．
n n+1 8 1
【分析】（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及cosC的值代入表示
出BD2，在三角形 ABD中，利用余弦定理列出关系式，将 AB，DA以及 cosA的值代入表示出
【考点】8H：数列递推式．
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BD2，两者相等求出cosC的值，确定出C的度数，进而求出BD的长；
【专题】11：计算题．
（2）由C的度数求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD与三角形BCD面积，之和
【分析】根据a =2，令n=7代入递推公式a = ，求得a ，再依次求出a ，a 的结果，发现规
8 n+1 7 6 5 即为四边形ABCD面积．
律，求出a 的值． 【解答】解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，
1
由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，
【解答】解：由题意得，a = ，a =2，
n+1 8
在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，
令n=7代入上式得，a = ，解得a = ； 由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，
8 7
由①②得：cosC= ，
令n=6代入得，a = ，解得a =﹣1；
7 6
则C=60°，BD= ；
令n=5代入得，a = ，解得a =2；
6 5
（2）∵cosC= ，cosA=﹣ ，
…
∴sinC=sinA= ，
根据以上结果发现，求得结果按2， ，﹣1循环，∴O为BD的中点
则S= AB•DAsinA+ BC•CDsinC= ×1×2× + ×3×2× =2 ．
∵E为PD的中点，
∴EO∥PB．
EO 平面AEC，PB 平面AEC
∴PB∥平面AEC；
⊂ ⊄
【点评】此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式，熟练掌握余 （Ⅱ）∵AP=1，AD= ，三棱锥P﹣ABD的体积V= ，
弦定理是解本题的关键．
∴V= = ，
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
∴AB= ，PB= = ．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设AP=1，AD= ，三棱锥P﹣ABD的体积V= ，求A到平面PBC的距离． 作AH⊥PB交PB于H，
由题意可知BC⊥平面PAB，
∴BC⊥AH，
故AH⊥平面PBC．
又在三角形PAB中，由射影定理可得：
A到平面PBC的距离 ．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MK：点、线、面间的距离计算．
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【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面
AEC；
（Ⅱ）通过AP=1，AD= ，三棱锥P﹣ABD的体积V= ，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明
【点评】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，
19．（12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了 50位市民，根据这50位市民
∵ABCD是矩形，
对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：【点评】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础
题．
20．（12分）设F ，F 分别是C： + =1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF 与x
1 2 2
轴垂直，直线MF 与C的另一个交点为N．
1
（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；
（1）若直线MN的斜率为 ，求C的离心率；
（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F N|，求a，b．
1
（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．
【考点】K4：椭圆的性质．
【考点】BA：茎叶图；BB：众数、中位数、平均数；CB：古典概型及其概率计算公式． 菁优网版权所有
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【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据茎叶图的知识，中位数是指中间的一个或两个的平均数，首先要排序，然后再 【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为 ，建立关于a，c的方程即可求C
找，
的离心率；
（Ⅱ）利用样本来估计总体，只要求出样本的概率就可以了．
（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F N|，建立方程组关系，求出 N的坐标，
1
（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结果和茎叶图，合理的评价，恰当的描述即可．
代入椭圆方程即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第 25，26位
【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF 与x轴垂直，
2
的是 75，75，故样本的中位数是 75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是
∴M的横坐标为c，当x=c时，y= ，即M（c， ），
75．
50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第 25，26位的是66，68，故样本的中位数是
若直线MN的斜率为 ，
=67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67．
即tan∠MF F = ，
1 2
（Ⅱ）由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为 ，
即b2= =a2﹣c2，
故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，
（Ⅲ）由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可
即c2+ ﹣a2=0，
以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、
评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大． 则 ，即2e2+3e﹣2=0
解得e= 或e=﹣2（舍去），
即e= ．
（Ⅱ）由题意，原点O是F F 的中点，则直线MF 与y轴的交点D（0，2）是线段MF 的中点，
1 2 1 1
设M（c，y），（y＞0），
【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，
则 ，即 ，解得y= ，
综合性较强，运算量较大，有一定的难度．
∵OD是△MF F 的中位线，
1 2
21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的
∴ =4，即b2=4a，
横坐标为﹣2．
由|MN|=5|F N|， （Ⅰ）求a；
1
则|MF |=4|F N|， （Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．
1 1
解得|DF |=2|F N|，
1 1
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
即 菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
设N（x ，y ），由题意知y ＜0，
1 1 1 【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求a；
则（﹣c，﹣2）=2（x +c，y ）．
1 1 （Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）﹣kx+2，利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=3x2﹣6x+a；f′（0）=a；
即 ，即
则y=f（x）在点（0，2）处的切线方程为y=ax+2，
∵切线与x轴交点的横坐标为﹣2，
∴f（﹣2）=﹣2a+2=0，
代入椭圆方程得 ，
解得a=1．
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x3﹣3x2+x+2，
将b2=4a代入得 ，
设g（x）=f（x）﹣kx+2=x3﹣3x2+（1﹣k）x+4，
由题设知1﹣k＞0，
解得a=7，b= ．
当x≤0时，g′（x）=3x2﹣6x+1﹣k＞0，g（x）单调递增，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，
当x＞0时，令h（x）=x3﹣3x2+4，则g（x）=h（x）+（1﹣k）x＞h（x）．则h′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增， ∴∠PAD=∠PDA，
∴在x=2时，h（x）取得极小值h（2）=0， ∵∠PDA=∠CDE，
g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4， ∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，
则g（x）=0在（﹣∞，0]有唯一实根． ∴OE⊥BC，
∵g（x）＞h（x）≥h（2）=0， ∴E是 的中点，
∴g（x）=0在（0，+∞）上没有实根． ∴BE=EC；
综上当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点． （Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，
【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及函数交点个数的判断，利用导数和函数单调性之间 ∴PA2=PB•PC，
的关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力． ∵PC=2PA，
∴PA=2PB，
三、选修4-1：几何证明选讲 ∴PD=2PB，
22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C， ∴PB=BD，
PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明： ∴BD•DC=PB•2PB，
（Ⅰ）BE=EC； ∵AD•DE=BD•DC，
（Ⅱ）AD•DE=2PB2． ∴AD•DE=2PB2．
【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题
【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段． 的能力，属于中档题．
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【专题】17：选作题；5Q：立体几何．
【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是 的中点，从而BE=EC； 四、选修4-4，坐标系与参数方程
（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2． 23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标
【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，
方程为ρ=2cosθ，θ [0， ]
∵PC=2PA，D为PC的中点，
∴PA=PD，
（Ⅰ）求C的参数方程
∈
；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y= x+2垂直，根据（1）中你得到的参
【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+ |+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得 f（x）
数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．
≥2成立．
【考点】QH：参数方程化成普通方程． （Ⅱ）由f（3）=|3+ |+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求
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【专题】5S：坐标系和参数方程．
得不等式的解集，再取并集，即得所求．
【分析】（1）利用 即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程． 【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+ |+|x﹣a|≥|（x+ ）﹣（x﹣a）|=|a+ |=a+ ≥2
（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y= x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，
=2，
即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．
故不等式f（x）≥2成立．
【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ [0， ]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通
（Ⅱ）∵f（3）=|3+ |+|3﹣a|＜5，
∈
方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．
∴当a＞3时，不等式即a+ ＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜ ．
可得C的参数方程为 （t为参数，0≤t≤π）．
（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆， 当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+ ＜5，即 a2﹣a﹣1＞0，求得 ＜a≤3．
∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant= ，t= ．
综上可得，a的取值范围（ ， ）．
故D的直角坐标为 ，即（ ， ）． 【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学
思想，属于中档题．
【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置
关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
五、选修4-5：不等式选讲
24．设函数f（x）=|x+ |+|x﹣a|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
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【专题】59：不等式的解法及应用．
