文档内容
2010 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） { &x+3 y﹣3≥0
7、（2010•浙江）若实数x，y满足不等式组合 &2x﹣y﹣3≤0.则x+y的最大值为（ ）
&x﹣y+1≥0.
数学（文科） 15
A、9 B、
7
7
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
C、1 D、
15
1、（2010•浙江）设P={x|x＜1}，Q={x|x2＜4}，则P∩Q（ ）
A、{x|﹣1＜x＜2} B、{x|﹣3＜x＜﹣1}
8、（2010•浙江）一个空间几何体的三视图及其尺寸如下图所示，则该空间几何体的体积是（ ）
C、{x|1＜x＜﹣4} D、{x|﹣2＜x＜1}
2、（2010•浙江）已知函数f（x）=log （x+1），若f（α）=1，α=（ ）
2
A、0 B、1
C、2 D、3
5﹣i
3、（2010•浙江）设i为虚数单位，则 =（ ）
1+i 7 14
A、 B、
3 3
A、﹣2﹣3i B、﹣2+3i
C、2﹣3i D、2+3i
C、7 D、14
1
4、（2010•浙江）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内位（ ）
9、（2010•浙江）已知x 是函数f（x）=2x+ 的一个零点．若x ∈（1，x ），x ∈（x ，+∞），则（ ）
0 1﹣x 1 0 2 0
A、f（x ）＜0，f（x ）＜0 B、f（x ）＜0，f（x ）＞0
1 2 1 2
C、f（x ）＞0，f（x ）＜0 D、f（x ）＞0，f（x ）＞0
1 2 1 2
x2 y2
10、（2010•浙江）设O为坐标原点，F ，F 是双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点
1 2 a2 b2
P，满足∠F PF =60°，|OP|=❑√7a，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
1 2
A、x±❑√3y=0 B、❑√3x±y=0
C、x±❑√2y=0 D、❑√2x±y=0
二、填空题（共7小题，每小4分，满分28分）
11、（2010•浙江）在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 ________ _ ．
A、k＞4 B、k＞5
C、k＞6 D、k＞7
S
5
5、（2010•浙江）设s 为等比数列{a }的前n项和，8a +a =0则 =（ ）
n n 2 5 S
2 π
12、（2010•浙江）函数f（x）=sin（2x﹣ ）﹣2❑√2sin2x的最小正周期是 ________ _ ．
4
A、﹣11 B、﹣8
C、5 D、11 13、（2010•浙江）已知平面向量α，β，|α|=1，|β|=2，α⊥（α﹣2β），则|2a+β|的值是 ________ _ ．
π
14、（2010•浙江）在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n+1列
6、（2010•浙江）设0＜x＜ ，则“x sin2x＜1”是“x sinx＜1”的（ ）
2 的数是 ________ _ ．
A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
第1列 第2列 第3列 …
第1行 1 2 3 …
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
第2行 2 4 6 …第3行 3 6 9 … （I）若m=2，求抛物线C的方程
… … … … … （II）设直线l与抛物线C交于A、B，△AA F，△BB F的重心分别为G，H，求证：对任意非零实数m，抛物线C
2 1
的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外．
15、（2010•浙江）若正实数X，Y满足2X+Y+6=XY，则XY的最小值是 ________ _ ．
16、（2010•浙江）某商家一月份至五月份累计销售额达 3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销
售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一
月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x的最小值 ________ _ ．
17、（2010•浙江）在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P、Q、M、N分别是线段OA、OB、OC、OD
→ → →
的中点，在APMC中任取一点记为E，在B、Q、N、D中任取一点记为F，设G为满足向量 OG=OE+OF 的点，
则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率为 ________ _ ．
三、解答题（共5小题，满分72分）
18、（2010•浙江）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设 S 为△ABC 的面积，满足
❑√3
S= （a2+b2﹣c2）．
4
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinB的最大值．
19、（2010•浙江）设a ，d为实数，首项为a ，公差为d的等差数列{a }的前n项和为S ，满足S S +15=0．
1 1 n n 5 6
（Ⅰ）若S =5，求S 及a ；
5 6 1
（Ⅱ）求d的取值范围．
20、（2010•浙江）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°．E为线段AB的中点，将△ADE沿直线
DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F为线段A′C的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面A′DE；
（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值．
21、（2010•浙江）已知函数f（x）=（x﹣a）2（x﹣b）（a，b∈R，a＜b）．
（I）当a=1，b=2时，求曲线y=f（x）在点（2，f（x））处的切线方程；
（II）设x ，x 是f（x）的两个极值点，x 是f（x）的一个零点，且x ≠x ，x ≠x ．
1 2 3 3 1 3 2
证明：存在实数x ，使得x ，x ，x ，x 按某种顺序排列后的等差数列，并求x ．
4 1 2 3 4 4
m2
22、（2010•浙江）已知m是非零实数，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F在直线l：x﹣my﹣ =0上．
2答案与评分标准
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1、（2010•浙江）设P={x|x＜1}，Q={x|x2＜4}，则P∩Q（ ）
A、{x|﹣1＜x＜2} B、{x|﹣3＜x＜﹣1}
C、{x|1＜x＜﹣4} D、{x|﹣2＜x＜1}
考点：交集及其运算。 A、k＞4 B、k＞5
专题：计算题。 C、k＞6 D、k＞7
分析：欲求两个集合的交集，先得化简集合Q，为了求集合Q，必须考虑二次不等式的解法，最后再根据交集的 考点：程序框图。
定义求解即可． 分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的
解答：解：∵x2＜4得﹣2＜x＜2， 值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．
∴Q={x|﹣2＜x＜2}， 解答：解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：
∴P∩Q={x|﹣2＜x＜1}． K S 是否继续循环
故答案选D． 循环前 1 1/
点评：本题主要考查了集合的基本运算，属容易题． 第一圈 2 4 是
2、（2010•浙江）已知函数f（x）=log （x+1），若f（α）=1，α=（ ） 第二圈 3 11 是
2
A、0 B、1 第三圈 4 26 是
C、2 D、3 第四圈 5 57 否
考点：对数函数的单调性与特殊点。 故退出循环的条件应为k＞4
分析：根据f（α）=log （α+1）=1，可得α+1=2，故可得答案． 故答案选A．
2
解答：解：∵f（α）=log （α+1）=1 点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考
2
∴α+1=2，故α=1， 试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概
故选B． 率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
点评：本题主要考查了对数函数概念及其运算性质，属容易题．
S
5
5﹣i 5、（2010•浙江）设s 为等比数列{a }的前n项和，8a +a =0则 =（ ）
3、（2010•浙江）设i为虚数单位，则 =（ ） n n 2 5 S
1+i 2
A、﹣2﹣3i B、﹣2+3i A、﹣11 B、﹣8
C、2﹣3i D、2+3i C、5 D、11
考点：复数代数形式的混合运算。 考点：等比数列的前n项和。
分析：复数的分子、分母、同乘分母的共轭复数化简即可． 分析：先由等比数列的通项公式求得公比q，再利用等比数列的前n项和公式求之即可．
5﹣i （5﹣i）（1﹣i） 4﹣6i 解答：解：设公比为q，
解答：解：∵ = = =2﹣3i
1+i （1+i）（1﹣i） 2 由8a +a =0，得8a +a q3=0，
2 5 2 2
故选C． 解得q=﹣2，
点评：本题主要考查了复数代数形式的四则运算，属容易题．
S 1﹣q5
5
4、（2010•浙江）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内位（ ） 所以 = =﹣11．
S 1﹣q2
2
故选A．
点评：本题主要考查等比数列的通项公式与前n项和公式．π 7 14
6、（2010•浙江）设0＜x＜ ，则“x sin2x＜1”是“x sinx＜1”的（ ） A、 B、
2 3 3
A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、7 D、14
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 考点：由三视图求面积、体积。
考点：不等关系与不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的单调性。 专题：计算题；综合题。
分析：xsin2x＜1，xsinx＜1是不一定成立的．不等关系0＜sinx＜1的运用，是解决本题的重点． 分析：三视图复原几何体是四棱台，一条侧棱垂直底面，底面是正方形，根据三视图数据，求出几何体的体积．
π 解答：解：三视图复原几何体是四棱台，底面边长为 2的正方形，一条侧棱长为2，并且垂直底面，上底面是正
解答：解：因为0＜x＜ ，所以0＜sinx＜1，故xsin2x＜xsinx，结合xsin2x与xsinx的取值范围相同，可知“x
2 方形边长为1，
sin2x＜1”是“x sinx＜1”的必要而不充分条件
它的体积是：
1
×2×（22+12+❑√2212）=
14
故选B． 3 3
点评：本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档 故选B．
题． 点评：本题考查三视图求体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．
{ &x+3 y﹣3≥0 1
9、（2010•浙江）已知x 是函数f（x）=2x+ 的一个零点．若x ∈（1，x ），x ∈（x ，+∞），则（ ）
7、（2010•浙江）若实数x，y满足不等式组合 &2x﹣y﹣3≤0.则x+y的最大值为（ ） 0 1﹣x 1 0 2 0
&x﹣y+1≥0.
A、f（x ）＜0，f（x ）＜0 B、f（x ）＜0，f（x ）＞0
1 2 1 2
15 C、f（x ）＞0，f（x ）＜0 D、f（x ）＞0，f（x ）＞0
A、9 B、 1 2 1 2
7 考点：函数零点的判定定理。
7 1
C、1 D、 分析：因为x 是函数f（x）=2x+ 的一个零点 可得到f（x ）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案．
15 0 1﹣x 0
考点：简单线性规划。 1
解答：解：∵x 是函数f（x）=2x+ 的一个零点∴f（x ）=0
分析：先根据条件画出可行域，设z=x+y，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直 0 1﹣x 0
线z=x+y，过可行域内的点A（4，5）时的最大值，从而得到z最大值即可． 1
∵f（x）=2x+ 是单调递增函数，且x ∈（1，x ），x ∈（x ，+∞），
解答：解：先根据约束条件画出可行域， 1﹣x 1 0 2 0
设z=x+y， ∴f（x ）＜f（x ）=0＜f（x ）
1 0 2
∵直线z=x+y过可行域内点A（4，5）时 故选B．
z最大，最大值为9， 点评：本题考查了函数零点的概念和函数单调性的问题，属中档题．
故选A．
x2 y2
10、（2010•浙江）设O为坐标原点，F ，F 是双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点
1 2 a2 b2
P，满足∠F PF =60°，|OP|=❑√7a，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
1 2
A、x±❑√3y=0 B、❑√3x±y=0
C、x±❑√2y=0 D、❑√2x±y=0
考点：双曲线的简单性质。
专题：计算题。
点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题． 分析：假设|F P|=x，进而分别根据中线定理和余弦定理建立等式求得c2+5a2=14a2﹣2c2，求得a和c的关系，进
1
8、（2010•浙江）一个空间几何体的三视图及其尺寸如下图所示，则该空间几何体的体积是（ ）
而根据b=❑√c2﹣a2求得a和的关系进而求得渐进线的方程．
解答：解：假设|F P|=x
1
OP为三角形F F P的中线，
1 2
根据三角形中线定理可知
x2+（2a+x）2=2（c2+7a2）
整理得x（x+2a）=c2+5a2由余弦定理可知x2+（2a+x）2﹣x（2a+x）=4c2整理得x（x+2a）=14a2﹣2c2进而可知c2+5a2=14a2﹣2c2求得3a2=c2∴c=❑√3a 行求解．、
b=❑√2a 13、（2010•浙江）已知平面向量α，β，|α|=1，|β|=2，α⊥（α﹣2β），则|2a+β|的值是 ❑√10 ．
那么渐近线为y=±❑√2x，即❑√2x±y=0 考点：平面向量的坐标运算。
故选D 1
分析：先由α⊥（α﹣2β）可知α•（α﹣2β）=0求出α•β= ，再根据|2a+β|2=4α2+4α•β+β2可得答案．
点评：本题将解析几何与三角知识相结合，主要考查了双曲线的定义、标准方程，几何图形、几何性质、渐近 2
线方程，以及斜三角形的解法，属中档题 解答：解：由题意可知α•（α﹣2β）=0，
二、填空题（共7小题，每小4分，满分28分） 1
结合|α|2=1，|β|2=4，解得α•β= ，
11、（2010•浙江）在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 4 5 ， 4 6 ． 2
所以|2a+β|2=4α2+4α•β+β2=8+2=10，
开方可知|2a+β|=❑√10
故答案为❑√10．
点评：本题主要考查了平面向量的四则运算及其几何意义，属中档题．
14、（2010•浙江）在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n+1列
考点：茎叶图；众数、中位数、平均数。 的数是 n 2 +n ．
分析：本题主要考察了茎叶图所表达的含义，以及从样本数据中提取数字特征的能力，属容易题． 第1列 第2列 第3列 …
解答：解：由茎叶图可得甲组共有9个数据中位数为45 第1行 1 2 3 …
第2行 2 4 6 …
乙组共9个数据中位数为46
第3行 3 6 9 …
故答案为45、46
… … … … …
点评：茎叶图的茎是高位，叶是低位，所以本题中“茎是十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，
根据中位数的定义即可解答．从茎叶图中提取数据是利用茎叶图解决问题的关键．
考点：等差数列；等差数列的通项公式。
π
12、（2010•浙江）函数f（x）=sin（2x﹣ ）﹣2❑√2sin2x的最小正周期是 π ． 专题：规律型。
4
分析：由表格可以看出第n行第一列的数为n，观察得第n行的公差为n，这样可以写出各行的通项公式，本题
考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法。
要的是第n行第n+1列的数字，写出通项求出即可．
分 析 ： 本 题 考 察 的 知 识 点 是 正 （ 余 ） 弦 型 函 数 的 最 小 正 周 期 的 求 法 ， 由 函 数
解答：解：由表格可以看出第n行第一列的数为n，
π
f（x）=sin（2x﹣ ）﹣2❑√2sin2x化简函数的解析式后可得到： 观察得第n行的公差为n，
4
∴第n 行的通项公式为a =n +（n﹣1）n ，
0 n 0 0
❑√2 π 2π
f（x）= sin（2x+ ）﹣❑√2，然后可利用T= 求出函数的最小正周期． ∵为第n+1列，
2 4 ω
∴可得答案为n2+n．
π
解答：解：f（x）=sin（2x﹣ ）﹣2❑√2sin2x 故答案为：n2+n
4
点评：本题主要考查了等差数列的概念和通项公式，以及运用等差关系解决问题的能力，属中档题．这是一个
π
=sin（2x﹣ ）+❑√2（1﹣2sin2x）﹣❑√2 考查学生观察力的问题，主要考查学生的能力．
4
15、（2010•浙江）若正实数X，Y满足2X+Y+6=XY，则XY的最小值是 1 8 ．
π
=sin（2x﹣ ）+❑√2cos2x﹣❑√2 考点：平均值不等式；一元二次不等式的应用。
4
专题：计算题。
❑√2 π
= sin（2x+ ）﹣❑√2 分析：本题主要考察了用基本不等式解决最值问题的能力，以及换元思想和简单一元二次不等式的解法，属中
2 4
档题．运用基本不等式，xy=2x+ y+6≥2❑√2xy+6，令xy=t2，可得t2﹣2❑√2t﹣6≥0，注意到t＞0，解得t≥
∵ω=2
3❑√2，故xy的最小值为18
故最小正周期为T=π，
解答：解：根据均值不等式有：xy=2x+ y+6≥2❑√2xy+6，
故答案为：π．
令xy=t2，可得t2﹣2❑√2t﹣6≥0，
点评：函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，由周期由ω决定，即要求三角函数
注意到t＞0，
2π
的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|，最小值为﹣|A|，周期T= 进 解得t≥3❑√2，
ω
xy=t2≥18故xy的最小值为18． ❑√3
S= （a2+b2﹣c2）．
点评：本题运用了均值不等式和换元思想，从而转化为一元二次不等式的问题，这是一种常见的求最值或值域 4
的方法． （Ⅰ）求角C的大小；
16、（2010•浙江）某商家一月份至五月份累计销售额达 3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销 （Ⅱ）求sinA+sinB的最大值．
售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一 考点：余弦定理的应用。
月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x的最小值 2 0 ． 专题：计算题。
考点：一元二次不等式的解法；一元二次不等式的应用。 ❑√3 1
分析：（1）根据三角形的面积公式题中所给条件可得S= （a2+b2﹣c2）= absinC，可求出tanC的值，
分析：先求一月至十月份销售总额，列出不等关系式，解不等式即可． 4 2
解答：解：依题意 3860+500+2[500（1+x%）+500（1+x%）2]≥7000， 再由三角形内角的范围可求出角C的值．
化简得（x%）2+3x%≥0.64，所x≥20． （2）根据三角形内角和为180°将角AB转化为同一个角表示，然后根据两角和的正弦定理可得答案．
故答案为：20 1 ❑√3
解答：（Ⅰ）解：由题意可知 absinC= ×2abcosC．
点评：本题主要考查了用一元二次不等式解决实际问题的能力，属中档题． 2 4
17、（2010•浙江）在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P、Q、M、N分别是线段OA、OB、OC、OD 所以tanC=❑√3．
→ → →
因为0＜C＜π，
的中点，在APMC中任取一点记为E，在B、Q、N、D中任取一点记为F，设G为满足向量 OG=OE+OF 的点，
π
所以C= ；
3 3
则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率为 ．
4 （Ⅱ）解：由已知sinA+sinB
=sinA+sin（π﹣C﹣A）
2π
=sinA+sin（ ﹣A）
3
❑√3 1 3 ❑√3 π
=sinA+ cosA+ sinA= sinA+ cosA=❑√3sin（A+ ）≤❑√3．
2 2 2 2 6
考点：几何概型。 当△ABC为正三角形时取等号，
专题：计算题。 所以sinA+sinB的最大值是❑√3．
分析：本题主要考察了古典概型的综合运用，属中档题．关键是列举出所有G点的个数，及落在平行四边形 点评：本题主要考查余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查三角运算求解能力．
ABCD不含边界）的G点的个数，再将其代入古典概型计算公式进行求解． 19、（2010•浙江）设a ，d为实数，首项为a ，公差为d的等差数列{a }的前n项和为S ，满足S S +15=0．
1 1 n n 5 6
解答：解：由题意知，G点的位置受到E、F点取法不同的限制，令（E，F）表示E、F的一种取法，则 （Ⅰ）若S =5，求S 及a ；
5 6 1
（A，B），（A，Q），（A，N），（A，D） （Ⅱ）求d的取值范围．
（P，B），（P，Q），（P，N），（P，D） 考点：等差数列的前n项和。
（M，B），（M，Q），（M，N），（M，D） 分析：（I）根据附加条件，先求得s 再求得a 分别用a 和d表示，再解关于a 和d的方程组．
6 6 1 1
（C，B），（C，Q），（C，N），（C，D）共有16种取法， （II）所求问题是d的范围，所以用“a ，d”法．
1
而只有（P，Q），（P，N），（M，Q），（M，N）落在平行四边形内，故符合要求的G的只有4个， ﹣15
解答：解：（Ⅰ）由题意知S = =﹣3，
16﹣4 3 6 S
落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率P= = ． 5
16 4 a =S ﹣S =﹣8
6 6 5
3
故答案为： {&5a +10d=5
4 所以 1
&a❑ +5d=﹣8.
点评：古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．弄清一次试 1
验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键．解决 解得a =7
1
问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解． 所以S =﹣3，a =7；
6 1
三、解答题（共5小题，满分72分） 解：（Ⅱ）因为S S +15=0，
5 6
18、（2010•浙江）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设 S 为△ABC 的面积，满足 所以（5a +10d）（6a +15d）+15=0，
1 1
即2a 2+9da +10d2+1=0．
1 1故（4a +9d）2=d2﹣8． 所以NF⊥DE，NF⊥A′M．
1
所以d2≥8． 因为DE交A′M于M，
故d的取值范围为d≤﹣2❑√2或d≥2❑√2． 所以NF⊥平面A′DE，
点评：本题主要考查等差数列概念、求和公式通项公式等基础知识，同时考查运算求解能力及分析问题解决问 则∠FMN为直线FM与平面A′DE所成的角．
题的能力． ❑√3 1
在Rt△FMN中，NF= a，MN= a，FM=a，
20、（2010•浙江）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°．E为线段AB的中点，将△ADE沿直线 2 2
DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F为线段A′C的中点． 1
则cos∠FMN= ．
（Ⅰ）求证：BF∥平面A′DE； 2
（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值． 1
所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为 ．
2
考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定。
专题：计算题；证明题。 点评：本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系及线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证
分析：（Ⅰ）欲证BF∥平面A'DE，只需在平面A'DE中找到一条线平行于BF即可；而取A′D的中点G，并连接 能力．
GF、GE，易证四边形BEGF为平行四边形，则BF∥EG，即问题得证． 21、（2010•浙江）已知函数f（x）=（x﹣a）2（x﹣b）（a，b∈R，a＜b）．
（Ⅱ）欲求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值，需先找到直线FM与平面A′DE所成的角；而连接A′M，CE， （I）当a=1，b=2时，求曲线y=f（x）在点（2，f（x））处的切线方程；
由平面A′DE⊥平面BCD易证CE⊥A′M，且由勾股定理的逆定理可证CE⊥DE；再取A′E的中点N，连线NM、NF，则 （II）设x ，x 是f（x）的两个极值点，x 是f（x）的一个零点，且x ≠x ，x ≠x ．
1 2 3 3 1 3 2
NF⊥平面A′DE，即∠FMN为直线FM与平面A′DE所成的角；最后在Rt△FMN中，易得cos∠FMN的值． 证明：存在实数x ，使得x ，x ，x ，x 按某种顺序排列后的等差数列，并求x ．
4 1 2 3 4 4
解答：（Ⅰ）证明：取A′D的中点G， 考点：利用导数研究函数的极值；简单复合函数的导数；等差数列的性质。
连接GF，GE，由条件易知 专题：证明题；综合题。
1 分析：（1）将a，b的值代入后对函数f（x）进行求导，根据导数的几何意义即函数在某点的导数值等于该点
FG∥CD，FG= CD．
2 的切线的斜率，可得答案．
1 （2）对函数f（x）求导，令导函数等于0解出x的值，然后根据x 是f（x）的一个零点可得到x =b，然后根据
BE∥CD，BE= CD． 3 3
2 等差数列的性质可得到答案．
所以FG∥BE，FG=BE． 解答：（Ⅰ）解：当a=1，b=2时，
故所以BF∥EG． 因为f′（x）=（x﹣1）（3x﹣5）
又EG⊂平面A'DE，BF⊄平面A'DE 故f′（2）=1
所以BF∥平面A'DE． f（2）=0，
（Ⅱ）解：在平行四边形ABCD中，设BC=a， 所以f（x）在点（2，0）处的切线方程为y=x﹣2；
则AB=CD=2a，AD=AE=EB=a， a+2b
（Ⅱ）证明：因为f′（x）=3（x﹣a）（x﹣ ），
连接A′M，CE 3
因为∠ABC=120° 由于a＜b．
在△BCE中，可得CE=❑√3a， a+2b
故a＜ ．
在△ADE中，可得DE=a， 3
在△CDE中，因为CD2=CE2+DE2，所以CE⊥DE， a+2b a+2b
所以f（x）的两个极值点为x=a，x= ．不妨设x =a，x = ，
在正三角形A′DE中，M为DE中点，所以A′M⊥DE． 3 1 2 3
由平面A′DE⊥平面BCD， 因为x ≠x ，x ≠x ，
3 1 3 2
可知A′M⊥平面BCD，A′M⊥CE． 且x 是f（x）的零点，故x =b．
3 3
取A′E的中点N，连线NM、NF，a+2b a+2b
又因为 ﹣a=2（b﹣ ）， { m2
3 3 &x=my+
由 2 消去x得
1 a+2b 2a+b
x = （a+ ）= ， & y2=2m2x
4 2 3 3
2a+b a+2b y2﹣2m3y﹣m4=0，
所以a， ， ，b依次成等差数列，
3 3 由于m≠0，故△=4m6+4m4＞0，
2a+b 且有y +y =2m3，y y =﹣m4，
所以存在实数x 满足题意，且x = ． 1 2 1 2
4 4 3 设M ，M 分别为线段AA ，BB 的中点，
1 2 1 1
点评：本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基础知识，同时考查 → → → →
由于2M C=GF，2M H=HF，
抽象概括、推理论证能力和创新意识． 1 2
m2 x 2y x 2y
22、（2010•浙江）已知m是非零实数，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F在直线l：x﹣my﹣ =0上． 可知G（ 1， 1），H（ 2， 2），
2 3 3 3 3
（I）若m=2，求抛物线C的方程
x +x m（y + y ）+m2 m4 m2 2y +2y 2m3
（II）设直线l与抛物线C交于A、B，△AA F，△BB F的重心分别为G，H，求证：对任意非零实数m，抛物线C 所以 1 2= 1 2 = + ， 1 2= ，
2 1 6 6 3 6 6 3
的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外．
m4 m2 2m2
所以GH的中点M（ + ， ）．
3 6 3
设R是以线段GH为直径的圆的半径，
1 1
则R2= ∣GH∣2= （m2+4）（m2+1）m2
4 9
m2
设抛物线的标准线与x轴交点N（﹣ ，0），
2
考点：抛物线的简单性质；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题。 m2 m4 m2 2m3
则∣MN∣2=（ + + ）+（ ）2
专题：综合题。 2 3 6 3
P 1
分析：（1）根据焦点F（ ，0）在直线l上，将F代入可得到ρ=m2，再由m=2可确定p的值，进而得到答案． = m4（m4+8m2+4）
2 9
1
{ m2 = m4[（m2+1）（m2+4）+3m2]
&x=my+ 9
（2）设A（x ，y ），B（x ，y ），然后联立 2 消去x表示出两根之和、两根之积，然后设M ，
1 1 2 2 1 1
& y2=2m2x ＞ m2（m2+1）（m2+4）=R2．
9
→ → → → 故N在以线段GH为直径的圆外．
M
2
分别为线段 AA
1
，BB
1
的中点，根据重心的定义可得到关系 2M
1
C=GF，2M
2
H=HF，进而得到G（
点评：本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基
x 2y x 2y m4 m2 2m2 1 本思想方法和运算求解能力．
1， 1），H（ 2， 2），和GH的中点坐标M（ + ， ），再由R2= ∣GH∣2 可得到关于
3 3 3 3 3 6 3 4
m的关系式，然后表示出|MN|整理即可得证．
P
解答：解：（1）因为焦点F（ ，0）在直线l上，
2
得ρ=m2
又m=2，故ρ=4
所以抛物线C的方程为y2=2m2x
（2）证明设A（x ，y ），B（x ，y ）
1 1 2 2
