文档内容
2011 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版） A．﹣ B．﹣ C． D．
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（
1．（5分）复数z=1+i， 为z 的共轭复数，则z• ﹣z﹣1=（ ） ）
A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i
A． B． C． D．
2．（5分）函数y= （x≥0）的反函数为（ ）
11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆
A．y= （x R） B．y= （x≥0） C．y=4x2（x R） D．y=4x2（x≥0）
N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（ ）
3．（5分）下面 ∈ 四个条件中，使a＞b成立的充分而不 ∈ 必要的条件是（ ） A．7π B．9π C．11π D．13π
A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3
12．（5分）设向量 ， ， 满足| |=| |=1， =﹣ ，＜ ﹣ ， ﹣ ＞=60°，则| |的最大值
4．（5分）设S 为等差数列{a }的前n项和，若a =1，公差d=2，S ﹣S =24，则k=（ ）
n n 1 k+2 k
等于（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
A．2 B． C． D．1
5．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移 个单位长度后，所得的
图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ）
二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷
上作答无效）
A． B．3 C．6 D．9
13．（5分） 的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为 ．
6．（5 分）已知直二面角 α﹣l﹣β，点 A α，AC⊥l，C 为垂足，B β，BD⊥l，D 为垂足，若
AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离
∈
等于（ ）
∈ 14．（5分）已知α （ ，π），sinα= ，则tan2α= ．
A． B． C． D．1 ∈
15．（5分）已知F 、F 分别为双曲线C： 的左、右焦点，点A C，点M的坐标为（2，
1 2
7．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位
∈
朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）
0），AM为∠F AF 的平分线，则|AF |= ．
1 2 2
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
16．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A B C D 的棱BB 、CC 上，且B E=2EB，CF=2FC ，则
1 1 1 1 1 1 1 1
8．（5 分）曲线 y=e﹣2x+1 在点（0，2）处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为
面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 ．
（ ）
A． B． C． D．1
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C= ，a+c= b，求C．
9．（5 分）设 f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0≤x≤1 时，f（x）=2x（1﹣x），则 =
（ ）（Ⅱ）设 ，记 ，证明：S ＜1．
n
18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买
甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立． 21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C： 在y轴正半轴上的焦点，过 F且斜率为
（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
﹣ 的直线l与C交于A、B两点，点P满足 ．
（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，
CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．
22．（12分）（Ⅰ）设函数 ，证明：当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 20次，
设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明： ．
20．（12分）设数列{a }满足a =0且 ．
n 1
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n故选：B．
【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数
2011 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
的值域．
参考答案与试题解析
3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（ ）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3
1．（5分）复数z=1+i， 为z 的共轭复数，则z• ﹣z﹣1=（ ）
A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．
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【专题】5L：简易逻辑．
【考点】A5：复数的运算．
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【专题】11：计算题．
利用条件的定义判断出选项．
⇒
【分析】求出复数z的共轭复数，代入表达式，求解即可．
【解答】解：a＞b+1 a＞b；
【解答】解： =1﹣i，所以 =（1+i）（1﹣i）﹣1﹣i﹣1=﹣i
反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，
⇒
故选：B．
故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．
【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．
2．（5分）函数y= （x≥0）的反函数为（ ）
A．y= （x R） B．y= （x≥0） C．y=4x2（x R） D．y=4x2（x≥0） 4．（5分）设S 为等差数列{a }的前n项和，若a =1，公差d=2，S ﹣S =24，则k=（ ）
n n 1 k+2 k
A．8 B．7 C．6 D．5
∈ ∈
【考点】4R：反函数．
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【考点】85：等差数列的前n项和．
【专题】11：计算题． 菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域
【分析】先由等差数列前n项和公式求得S ，S ，将S ﹣S =24转化为关于k的方程求解．
（即原函数的值域）． k+2 k k+2 k
【解答】解：根据题意：
【解答】解：∵y= （x≥0），
S =（k+2）2，S =k2
k+2 k
∴x= ，y≥0，
∴S ﹣S =24转化为：
k+2 k
（k+2）2﹣k2=24
故反函数为y= （x≥0）． ∴k=5
故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题． 直二面角α﹣l﹣β，点A α，AC⊥l，C为垂足，B β，BD⊥l，D为垂足，
若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离转化为三棱锥D﹣ABC的高为h，
∈ ∈
所以AD= ，CD= ，BC=
5．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移 个单位长度后，所得的
由V =V 可知
B﹣ACD D﹣ABC
图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ）
A． B．3 C．6 D．9 所以，h=
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
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【专题】56：三角函数的求值．
【分析】函数图象平移 个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，
故选C．
容易得到结果．
【解答】解：f（x）的周期T= ，函数图象平移 个单位长度后，所得的图象与原图象重合， 【点评】本题是基础题，考查点到平面的距离，考查转化思想的应用，等体积法是求解点到平面
距离的基本方法之一，考查计算能力．
说明函数平移整数个周期，所以 ，k Z．令k=1，可得ω=6．
7．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位
∈
故选：C．
朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）
【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
力，常考题型．
【考点】D3：计数原理的应用．
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6．（5 分）已知直二面角 α﹣l﹣β，点 A α，AC⊥l，C 为垂足，B β，BD⊥l，D 为垂足，若
【专题】11：计算题．
AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离
∈
等于（ ）
∈
【分析】本题是一个分类计数问题，一是 3本集邮册一本画册，让一个人拿一本画册有 4种，另
A． B． C． D．1
一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C 2种，根据分类计数原理得到结果．
4
【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，
一是3本集邮册一本画册，从4位朋友选一个有4种，
【考点】MK：点、线、面间的距离计算．
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另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C 2=6种，
【专题】11：计算题；13：作图题；35：转化思想． 4
根据分类计数原理知共10种，
【分析】画出图形，由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出D到平面ABC的距离．
故选：B．
【解答】解：由题意画出图形如图：【点评】本题考查分类计数问题，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，也可以出 【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．
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现在解答题目的一部分中． 【专题】11：计算题．
【分析】由题意得 =f（﹣ ）=﹣f（ ），代入已知条件进行运算．
8．（5 分）曲线 y=e﹣2x+1 在点（0，2）处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为
【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），
（ ）
∴ =f（﹣ ）=﹣f（ ）=﹣2× （1﹣ ）=﹣ ，
A． B． C． D．1
故选：A．
【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【专题】11：计算题．
10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（
【分析】根据导数的几何意义求出函数 f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜
）
式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=x的交点，根据三角形的面积公式求
出所求即可． A． B． C． D．
【解答】解：∵y=e﹣2x+1∴y'=（﹣2）e﹣2x
∴y'| =（﹣2）e﹣2x| =﹣2
x=0 x=0 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．
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∴曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y﹣2=0
【专题】11：计算题．
令y=0解得x=1，令y=x解得x=y= 【分析】根据已知中抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，我们可求出
点A，B，F的坐标，进而求出向量 ， 的坐标，进而利用求向量夹角余弦值的方法，即可得
∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为 ×1× =
到答案．
故选：A． 【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点为F，
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题 ∴F点的坐标为（1，0）
属于基础题． 又∵直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，
则A，B两点坐标分别为（1，﹣2）（4，4），
则 =（0，﹣2）， =（3，4），
9．（5 分）设 f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0≤x≤1 时，f（x）=2x（1﹣x），则 =
（ ）
则cos∠AFB= = =﹣ ，
A．﹣ B．﹣ C． D．
故选：D．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，其中构造向量然后利用向量法处理是解答 A．2 B． C． D．1
本题的重要技巧．
【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
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11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆 【专题】11：计算题；16：压轴题．
N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（ ） 【分析】利用向量的数量积求出 的夹角；利用向量的运算法则作出图；结合图，判断出四点
A．7π B．9π C．11π D．13π
共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出 最大值．
【考点】MJ：二面角的平面角及求法． 【解答】解：∵ ，
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
∴ 的夹角为120°，
【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出求出 OM的长，找出二面角的平面角，从而
求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积． 设 ， 则 ； =
【解答】解：∵圆M的面积为4π
如图所示
∴圆M的半径为2
则∠AOB=120°；∠ACB=60°
根据勾股定理可知OM=
∴∠AOB+∠ACB=180°
∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N
∴A，O，B，C四点共圆
∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=
∵
∴圆N的半径为
∴
则圆的面积为13π
故选：D．
∴
由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=
当OC为直径时，模最大，最大为2
故选：A．
【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问
题解决问题的能力，属于基础题．
12．（5分）设向量 ， ， 满足| |=| |=1， =﹣ ，＜ ﹣ ， ﹣ ＞=60°，则| |的最大值
等于（ ）【点评】本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定
∴tan2α= =﹣
理．
故答案为：﹣
二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷
【点评】本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系，是个基础题．
上作答无效）
13．（5分） 的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为 0 ．
15．（5分）已知F 、F 分别为双曲线C： 的左、右焦点，点A C，点M的坐标为（2，
1 2
∈
【考点】DA：二项式定理． 0），AM为∠F AF 的平分线，则|AF |= 6 ．
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【专题】11：计算题．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令 x的指数分别取1，9求出x的系数与x9的系数； 【考点】KC：双曲线的性质．
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求出值． 【专题】16：压轴题．
【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，
【解答】解：展开式的通项为
再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．
【解答】解：
令 得r=2；令 得r=18
不妨设A在双曲线的右支上
∴x的系数与x9的系数C 2，C 18 ∵AM为∠F AF 的平分线
20 20 1 2
∴x的系数与x9的系数之差为C 2﹣C 18=0
20 20
∴ =
故答案为：0
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
又∵|AF |﹣|AF |=2a=6
1 2
解得|AF |=6
2
14．（5分）已知α （ ，π），sinα= ，则tan2α= ﹣ ．
故答案为6
∈ 【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．
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16．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A B C D 的棱BB 、CC 上，且B E=2EB，CF=2FC ，则
【专题】11：计算题． 1 1 1 1 1 1 1 1
【分析】利用题目提供的α的范围和正弦值，可求得余弦值从而求得正切值，然后利用二倍角的
面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 ．
正切求得tan2α．
【解答】解：由α （ ，π），sinα= ，得cosα=﹣ ，tanα= =
【考点】MJ：二面角的平面角及求法．
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∈【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合．
【分析】由题意画出正方体的图形，延长 CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以 【考点】HU：解三角形．
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面AEF与面ABC所成的二面角就是：∠BPE，求出BP与正方体的棱长的关系，然后求出面AEF 【专题】11：计算题．
与面ABC所成的二面角的正切值．
【分析】由A﹣C等于 得到A为钝角，根据诱导公式可知sinA与cosC相等，然后利用正弦定理
【解答】解：由题意画出图形如图：
把a+c= b化简后，把sinA换为cosC，利用特殊角的三角函数值和两角和的正弦函数公式把左
因为E、F分别在正方体ABCD﹣A B C D 的棱BB 、CC 上，且B E=2EB，CF=2FC ，
1 1 1 1 1 1 1 1
延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面 AEF与面ABC所成的二面角就是
边变为一个角的正弦函数，给方程的两边都除以 后，根据C和B的范围，得到C+ =B或C+
∠BPE，因为B E=2EB，CF=2FC ，
1 1
所以BE：CF=1：2
+B=π，根据A为钝角，所以C+ +B=π不成立舍去，然后根据三角形的内角和为π，列出关
所以SB：SC=1：2，
于C的方程，求出方程的解即可得到C的度数．
设正方体的棱长为：a，所以AS= a，BP= ，BE= ，在RT△PBE中，tan∠EPB= = = 【解答】解：由A﹣C= ，得到A为钝角且sinA=cosC，
利用正弦定理，a+c= b可变为：sinA+sinC= sinB，
，
即有sinA+sinC=cosC+sinC= sin（C+ ）= sinB，
故答案为：
又A，B，C是△ABC的内角，
故C+ =B或C+ +B=π（舍去），
所以A+B+C=（C+ ）+（C+ ）+C=π，
解得C= ．
【点评】此题考查学生灵活运用诱导公式、特殊角的三角函数值以及两角和的正弦函数公式化简
求值，是一道中档题．学生做题时应注意三角形的内角和定理及角度范围的运用．
【点评】本题是基础题，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题的关键是能够作出二面角的
棱，作出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力．
18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买
甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．
三、解答题（共6小题，满分70分）
（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C= ，a+c= b，求C． （Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差． （Ⅱ）求 AB与平面 SBC所成的角的大小即利用平面 SBC的法向量 ，当
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【专题】11：计算题．
为锐角时，所求的角即为它的余角；当 为钝角时，所求的角为
【分析】（Ⅰ）首先求出购买乙种保险的概率，再由独立事件和对立事件的概率求出该车主甲、
乙两种保险都不购买的概率，然后求该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率即可．
（Ⅱ）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率均相等，故为独立重复试验，X服从二项分布，
由二项分布的知识求概率即可． 【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，
【解答】解：（Ⅰ）设该车主购买乙种保险的概率为P，则P（1﹣0.5）=0.3，故P=0.6， ∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1
该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2， ∴AD= =
由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8
∵侧面SAB为等边三角形，AB=2
（Ⅱ）甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，X～B（100，0.2）
∴SA=2
所以EX=100×0.2=20
∵SD=1
【点评】本题考查对立事件独立事件的概率、独立重复试验即二项分布的期望等知识，考查利用
∴AD2=SA2+SD2
所学知识分析问题、解决问题的能力．
∴SD⊥SA
同理：SD⊥SB
19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，
∵SA∩SB=S，SA，SB 面SAB
CD=SD=1．
∴SD⊥平面SAB
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB； ⊂
（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．
则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），
作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形知，
M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD= ，从而解得SM= ，故可得S（ ，
0， ）
【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．
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则
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在 设平面SBC的一个法向量为则 ，
（Ⅱ）设 ，记 ，证明：S ＜1．
n
即
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式；8K：数列与不等式的综合．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
取x=0，y= ，z=1
【分析】（Ⅰ）由 是公差为 1 的等差数列，知 ，由此能求出
即平面SBC的一个法向量为 =（0， ，1）
{a }的通项公式．
又 =（0，2，0） n
（Ⅱ）由 = = ，能够证明S ＜1．
n
cos＜ ， ＞= = =
【解答】解：（Ⅰ） 是公差为1的等差数列，
∴＜ ， ＞=arccos
，
即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin
∴ （n N*）．
∈
（Ⅱ） = = ，
∴ =1﹣ ＜1．
【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意裂项求和法的合理运用．
【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属
于中档题．
21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C： 在y轴正半轴上的焦点，过 F且斜率为
20．（12分）设数列{a }满足a =0且 ． ﹣ 的直线l与C交于A、B两点，点P满足 ．
n 1
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
设线段AB的中点坐标为（ ， ），即（ ， ），
则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y﹣ = （x﹣ ），即y= x+ ；③
∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．
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则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣ x④；
【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．
③④联立方程组，解之得：x=﹣ ，y=
【分析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程 ，根据已知中过
③④的交点就是圆心O （﹣ ， ），
1
F且斜率为﹣ 的直线l与C交于A、B两点，点P满足 ，我们求出点P的坐标，
代入验证即可． r2=|O P|2=（﹣ ﹣（﹣ ））2+（﹣1﹣ ）2=
1
（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四
故过P Q两点圆的方程为：（x+ ）2+（y﹣ ）2= …⑤，
点坐标代入验证即可．
【解答】证明：（Ⅰ）设A（x ，y ），B（x ，y ） 把y=﹣ x+1 …②代入⑤，
1 1 2 2
椭圆C： ①，则直线AB的方程为：y=﹣ x+1 ② 有x +x = ，y +y =1
1 2 1 2
∴A，B也是在圆⑤上的．
联立方程可得4x2﹣2 x﹣1=0，
∴A、P、B、Q四点在同一圆上．
则x 1 +x 2 = ，x 1 ×x 2 =﹣ 【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线
关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．
则y +y =﹣ （x +x ）+2=1
1 2 1 2
设P（p ，p ），
1 2
则有： =（x ，y ）， =（x ，y ）， =（p ，p ）； 22．（12分）（Ⅰ）设函数 ，证明：当x＞0时，f（x）＞0．
1 1 2 2 1 2
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 20次，
∴ + =（x +x ，y +y ）=（ ，1）； =（p ，p ）=﹣（ + ）=（﹣ ，﹣1）
1 2 1 2 1 2
设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明： ．
∴p的坐标为（﹣ ，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
菁优网版权所有【专题】14：证明题；16：压轴题．
再证： ＜e﹣2，即证 ＞e2，即证19ln ＞2，即证ln ＞
【分析】（Ⅰ）欲证明当 x＞0时，f（x）＞0，由于 f（0）=0 利用函数的单调性，只须证明 f
（x）在[0，+∞）上是单调增函数即可．先对函数进行求导，根据导函数大于 0时原函数单调
由（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）﹣ ，当x＞0时，f（x）＞0．
递减即可得到答案．
（Ⅱ）先计算概率P= ，再证明 ＜ ＜ ，即证明99×98×…×81＜
令x= ，则ln（1+ ）﹣ =ln（1+ ）﹣ ＞0，即ln ＞
（90）19，最后证明 ＜e﹣2，即证 ＞e2，即证19ln ＞2，即证ln ，而这个
综上有：P＜ ＜
结论由（1）所得结论可得
【点评】本题主要考查函数单调性的应用、函数的单调性与导数的关系等，考查运算求解能力，
【解答】（Ⅰ）证明：∵f′（x）= ， 函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识．通过运用导数知识解决函数、不等式问
题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力．
∴当x＞﹣1，时f′（x）≥0，
∴f（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，
∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0．
即当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取 20次，则抽得的
20个号码互不相同的概率为P= ，要证P＜ ＜ ．
先证：P= ＜ ，即证 ＜
即证99×98×…×81＜（90）19
而99×81=（90+9）×（90﹣9）=902﹣92＜902
98×82=（90+8）×（90﹣8）=902﹣82＜902…
91×89=（90+1）×（90﹣1）=902﹣12＜902
∴99×98×…×81＜（90）19
即P＜
