文档内容
2011 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）复数z=1+i， 为z 的共轭复数，则z• ﹣z﹣1=（ ）
A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i
2．（5分）函数y= （x≥0）的反函数为（ ）
A．y= （x R） B．y= （x≥0） C．y=4x2（x R） D．y=4x2
∈ ∈
（x≥0）
3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3
4．（5分）设S 为等差数列{a }的前n项和，若a =1，公差d=2，S ﹣S =24，
n n 1 k+2 k
则k=（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
5．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移 个
单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ）
A． B．3 C．6 D．9
6．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A α，AC⊥l，C为垂足，B β，BD⊥l，
D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到
∈
平面ABC的距离等于（
∈
）
A． B． C． D．1
7．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送
给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
8．（5分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角
形的面积为（ ）
A． B． C． D．1
9．（5 分）设 f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0≤x≤1 时，f（x）=2x（1﹣x），则 =（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两
点，则cos∠AFB=（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平
面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积
为（ ）
A．7π B．9π C．11π D．13π
12．（5 分）设向量 ， ， 满足| |=| |=1， =﹣ ，＜ ﹣ ， ﹣ ＞
=60°，则| |的最大值等于（ ）
A．2 B． C． D．1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.
（注意：在试题卷上作答无效）
13．（5分） 的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为 ．
14．（5分）已知α （ ，π），sinα= ，则tan2α= ．
∈
15．（5分）已知F 、F 分别为双曲线C： 的左、右焦点，点A C，
1 2
∈
点M的坐标为（2，0），AM为∠F AF 的平分线，则|AF |= ．
1 2 2
16．（5 分）已知 E、F 分别在正方体 ABCD﹣A B C D 的棱 BB 、CC 上，且
1 1 1 1 1 1
B E=2EB，CF=2FC ，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 ．
1 1
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C= ，a+c= b，求C．
18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买
乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．
（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求 X
的期望．
19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边
三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．
20．（12分）设数列{a }满足a =0且 ．
n 1（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）设 ，记 ，证明：S ＜1．
n
21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C： 在y轴正半轴上的焦
点，过F且斜率为﹣ 的直线l与C交于A、B两点，点P满足 ．
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
22．（12分）（Ⅰ）设函数 ，证明：当x＞0时，f（x）＞
0．
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种
方式连续抽取 20 次，设抽到的 20 个号码互不相同的概率为 p，证明：
．2011 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）复数z=1+i， 为z 的共轭复数，则z• ﹣z﹣1=（ ）
A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i
【考点】A5：复数的运算．
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【专题】11：计算题．
【分析】求出复数z的共轭复数，代入表达式，求解即可．
【解答】解： =1﹣i，所以 =（1+i）（1﹣i）﹣1﹣i﹣1=﹣i
故选：B．
【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考
题型．
2．（5分）函数y= （x≥0）的反函数为（ ）
A．y= （x R） B．y= （x≥0） C．y=4x2（x R） D．y=4x2
∈ ∈
（x≥0）
【考点】4R：反函数．
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【专题】11：计算题．
【分析】由原函数的解析式解出自变量 x的解析式，再把x 和y交换位置，注
明反函数的定义域（即原函数的值域）．
【解答】解：∵y= （x≥0），
∴x= ，y≥0，
故反函数为y= （x≥0）．故选：B．
【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数
的定义域是原函数的值域．
3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．
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【专题】5L：简易逻辑．
【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1 a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b
推不出a＞b+1；利用条件的定义判断
⇒
出选项．
【解答】解：a＞b+1 a＞b；
反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，
⇒
故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方
法．
4．（5分）设S 为等差数列{a }的前n项和，若a =1，公差d=2，S ﹣S =24，
n n 1 k+2 k
则k=（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【考点】85：等差数列的前n项和．
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【专题】11：计算题．
【分析】先由等差数列前n项和公式求得S ，S ，将S ﹣S =24转化为关于k
k+2 k k+2 k
的方程求解．
【解答】解：根据题意：
S =（k+2）2，S =k2
k+2 k
∴S ﹣S =24转化为：
k+2 k
（k+2）2﹣k2=24∴k=5
故选：D．
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程
思想，属中档题．
5．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移 个
单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ）
A． B．3 C．6 D．9
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
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【专题】56：三角函数的求值．
【分析】函数图象平移 个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数
平移整数个周期，容易得到结果．
【解答】解：f（x）的周期T= ，函数图象平移 个单位长度后，所得的图
象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以 ，k Z．令
∈
k=1，可得ω=6．
故选：C．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的
理解，考查技术能力，常考题型．
6．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A α，AC⊥l，C为垂足，B β，BD⊥l，
D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到
∈
平面ABC的距离等于（
∈
）
A． B． C． D．1
【考点】MK：点、线、面间的距离计算．
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【专题】11：计算题；13：作图题；35：转化思想．【分析】画出图形，由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出 D到
平面ABC的距离．
【解答】解：由题意画出图形如图：
直二面角α﹣l﹣β，点A α，AC⊥l，C为垂足，B β，BD⊥l，D为垂足，
若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离转化为三棱锥D﹣ABC的高为h，
∈ ∈
所以AD= ，CD= ，BC=
由V =V 可知
B﹣ACD D﹣ABC
所以，h=
故选C．
【点评】本题是基础题，考查点到平面的距离，考查转化思想的应用，等体积
法是求解点到平面距离的基本方法之一，考查计算能力．
7．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送
给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
【考点】D3：计数原理的应用．
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【专题】11：计算题．
【分析】本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，让一个人拿一
本画册有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C 2
4
种，根据分类计数原理得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，
一是3本集邮册一本画册，从4位朋友选一个有4种，
另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C 2=6种，
4根据分类计数原理知共10种，
故选：B．
【点评】本题考查分类计数问题，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或
填空中，也可以出现在解答题目的一部分中．
8．（5分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角
形的面积为（ ）
A． B． C． D．1
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线
的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与 y轴和直线
y=x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可．
【解答】解：∵y=e﹣2x+1∴y'=（﹣2）e﹣2x
∴y'| =（﹣2）e﹣2x| =﹣2
x=0 x=0
∴曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y﹣2=0
令y=0解得x=1，令y=x解得x=y=
∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为 ×1× =
故选：A．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直
的应用等有关问题，属于基础题．
9．（5 分）设 f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0≤x≤1 时，f（x）=2x（1﹣
x），则 =（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．
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【专题】11：计算题．
【分析】由题意得 =f（﹣ ）=﹣f（ ），代入已知条件进行运算．
【解答】解：∵f（x）是周期为 2的奇函数，当 0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣
x），
∴ =f（﹣ ）=﹣f（ ）=﹣2× （1﹣ ）=﹣ ，
故选：A．
【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．
10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两
点，则cos∠AFB=（ ）
A． B． C． D．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据已知中抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B
两点，我们可求出点A，B，F的坐标，进而求出向量 ， 的坐标，进而利
用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案．
【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点为F，
∴F点的坐标为（1，0）
又∵直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，
则A，B两点坐标分别为（1，﹣2）（4，4），
则 =（0，﹣2）， =（3，4），
则cos∠AFB= = =﹣ ，
故选：D．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，其中构造向量然后利用
向量法处理是解答本题的重要技巧．
11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平
面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积
为（ ）
A．7π B．9π C．11π D．13π
【考点】MJ：二面角的平面角及求法．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面
角的平面角，从而求出 ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆 N的半径，
从而求出面积．
【解答】解：∵圆M的面积为4π
∴圆M的半径为2
根据勾股定理可知OM=
∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N
∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=
∴圆N的半径为
则圆的面积为13π
故选：D．
【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间
想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题．
12．（5 分）设向量 ， ， 满足| |=| |=1， =﹣ ，＜ ﹣ ， ﹣ ＞
=60°，则| |的最大值等于（ ）A．2 B． C． D．1
【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】利用向量的数量积求出 的夹角；利用向量的运算法则作出图；结
合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出 最大值．
【解答】解：∵ ，
∴ 的夹角为120°，
设 ， 则 ； =
如图所示
则∠AOB=120°；∠ACB=60°
∴∠AOB+∠ACB=180°
∴A，O，B，C四点共圆
∵
∴
∴
由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=
当OC为直径时，模最大，最大为2
故选：A．
【点评】本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、
三角形的正弦定理．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.
（注意：在试题卷上作答无效）
13．（5分） 的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为 0 ．
【考点】DA：二项式定理．
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【专题】11：计算题．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令 x的指数分别取1，9求出x
的系数与x9的系数；求出值．
【解答】解：展开式的通项为
令 得r=2；令 得r=18
∴x的系数与x9的系数C 2，C 18
20 20
∴x的系数与x9的系数之差为C 2﹣C 18=0
20 20
故答案为：0
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
14．（5分）已知α （ ，π），sinα= ，则tan2α= ﹣ ．
∈
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．
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【专题】11：计算题．
【分析】利用题目提供的α的范围和正弦值，可求得余弦值从而求得正切值，
然后利用二倍角的正切求得tan2α．
【解答】解：由α （ ，π），sinα= ，得cosα=﹣ ，tanα= =
∈
∴tan2α= =﹣
故答案为：﹣【点评】本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系，是个基础题．
15．（5分）已知F 、F 分别为双曲线C： 的左、右焦点，点A C，
1 2
∈
点M的坐标为（2，0），AM为∠F AF 的平分线，则|AF |= 6 ．
1 2 2
【考点】KC：双曲线的性质．
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【专题】16：压轴题．
【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两
条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立
求出焦半径．
【解答】解：
不妨设A在双曲线的右支上
∵AM为∠F AF 的平分线
1 2
∴ =
又∵|AF |﹣|AF |=2a=6
1 2
解得|AF |=6
2
故答案为6
【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常
用双曲线的定义．
16．（5 分）已知 E、F 分别在正方体 ABCD﹣A B C D 的棱 BB 、CC 上，且
1 1 1 1 1 1
B E=2EB，CF=2FC ，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 ．
1 1
【考点】MJ：二面角的平面角及求法．
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【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合．
【分析】由题意画出正方体的图形，延长 CB、FE 交点为 S 连接 AS，过 B 作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是：∠BPE，求出BP
与正方体的棱长的关系，然后求出面AEF与面ABC所成的二面角的正切值．
【解答】解：由题意画出图形如图：
因为 E、F 分别在正方体 ABCD﹣A B C D 的棱 BB 、CC 上，且 B E=2EB，
1 1 1 1 1 1 1
CF=2FC ，
1
延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所
成的二面角就是∠BPE，因为B E=2EB，CF=2FC ，
1 1
所以BE：CF=1：2
所以SB：SC=1：2，
设正方体的棱长为：a，所以 AS= a，BP= ，BE= ，在 RT△PBE 中，
tan∠EPB= = = ，
故答案为：
【点评】本题是基础题，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题的关键是
能够作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C= ，
a+c= b，求C．【考点】HU：解三角形．
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【专题】11：计算题．
【分析】由A﹣C等于 得到A为钝角，根据诱导公式可知sinA与cosC相等，
然后利用正弦定理把a+c= b化简后，把sinA换为cosC，利用特殊角的三
角函数值和两角和的正弦函数公式把左边变为一个角的正弦函数，给方程的
两边都除以 后，根据C和B的范围，得到C+ =B或C+ +B=π，根据A
为钝角，所以C+ +B=π不成立舍去，然后根据三角形的内角和为 π，列出
关于C的方程，求出方程的解即可得到C的度数．
【解答】解：由A﹣C= ，得到A为钝角且sinA=cosC，
利用正弦定理，a+c= b可变为：sinA+sinC= sinB，
即有sinA+sinC=cosC+sinC= sin（C+ ）= sinB，
又A，B，C是△ABC的内角，
故C+ =B或C+ +B=π（舍去），
所以A+B+C=（C+ ）+（C+ ）+C=π，
解得C= ．
【点评】此题考查学生灵活运用诱导公式、特殊角的三角函数值以及两角和的
正弦函数公式化简求值，是一道中档题．学生做题时应注意三角形的内角和
定理及角度范围的运用．
18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买
乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．
（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求 X的期望．
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机
变量的期望与方差．
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【专题】11：计算题．
【分析】（Ⅰ）首先求出购买乙种保险的概率，再由独立事件和对立事件的概
率求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，然后求该车主至少购买甲、
乙两种保险中的1种的概率即可．
（Ⅱ）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率均相等，故为独立重复试验，
X服从二项分布，由二项分布的知识求概率即可．
【解答】解：（Ⅰ）设该车主购买乙种保险的概率为P，则P（1﹣0.5）=0.3，
故P=0.6，
该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，
由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8
（Ⅱ）甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，X～B（100，0.2）
所以EX=100×0.2=20
【点评】本题考查对立事件独立事件的概率、独立重复试验即二项分布的期望
等知识，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力．
19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边
三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．
【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．
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【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交
的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可
（Ⅱ）求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小即利用平面 SBC 的法向量
，当 为锐角时，所求的角即为它的
余角；当 为钝角时，所求的角为
【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，
∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1
∴AD= =
∵侧面SAB为等边三角形，AB=2
∴SA=2
∵SD=1
∴AD2=SA2+SD2
∴SD⊥SA
同理：SD⊥SB
∵SA∩SB=S，SA，SB 面SAB
∴SD⊥平面SAB
⊂
（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系
则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），
作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面
SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得
MD= ，从而解得SM= ，故可得S（ ，0， ）
则
设平面SBC的一个法向量为
则 ，即
取x=0，y= ，z=1
即平面SBC的一个法向量为 =（0， ，1）
又 =（0，2，0）
cos＜ ， ＞= = =
∴＜ ， ＞=arccos
即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin
【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向
量的基本知识，属于中档题．
20．（12分）设数列{a }满足a =0且 ．
n 1
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）设 ，记 ，证明：S ＜1．
n
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式；8K：数列与不等式的综合．
菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题．
【 分 析 】 （ Ⅰ ） 由 是 公 差 为 1 的 等 差 数 列 ， 知
，由此能求出{a }的通项公式．
n
（Ⅱ）由 = = ，能够证明S ＜1．
n
【解答】解：（Ⅰ） 是公差为1的等差数列，
，
∴ （n N*）．
∈
（Ⅱ） = = ，
∴ =1﹣ ＜1．
【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意裂项求和法的合理运用．
21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C： 在y轴正半轴上的焦
点，过F且斜率为﹣ 的直线l与C交于A、B两点，点P满足 ．
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．
菁优网版权所有【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．
【分析】（1）要证明点 P 在 C 上，即证明 P 点的坐标满足椭圆 C 的方程
，根据已知中过F且斜率为﹣ 的直线l与C交于A、B两点，点P
满足 ，我们求出点P的坐标，代入验证即可．
（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的
方程，然后将第四点坐标代入验证即可．
【解答】证明：（Ⅰ）设A（x ，y ），B（x ，y ）
1 1 2 2
椭圆C： ①，则直线AB的方程为：y=﹣ x+1 ②
联立方程可得4x2﹣2 x﹣1=0，
则x +x = ，x ×x =﹣
1 2 1 2
则y +y =﹣ （x +x ）+2=1
1 2 1 2
设P（p ，p ），
1 2
则有： =（x ，y ）， =（x ，y ）， =（p ，p ）；
1 1 2 2 1 2
∴ + =（x +x ，y +y ）=（ ，1）； =（p ，p ）=﹣（ + ）=（﹣
1 2 1 2 1 2
，﹣1）
∴p的坐标为（﹣ ，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上．
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
设线段AB的中点坐标为（ ， ），即（ ， ），
则过线段AB的中点且垂直于 AB的直线方程为：y﹣ = （x﹣ ），即y=x+ ；③
∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，
则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣ x④；
③④联立方程组，解之得：x=﹣ ，y=
③④的交点就是圆心O （﹣ ， ），
1
r2=|O P|2=（﹣ ﹣（﹣ ））2+（﹣1﹣ ）2=
1
故过P Q两点圆的方程为：（x+ ）2+（y﹣ ）2= …⑤，
把y=﹣ x+1 …②代入⑤，
有x +x = ，y +y =1
1 2 1 2
∴A，B也是在圆⑤上的．
∴A、P、B、Q四点在同一圆上．
【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，
其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．
22．（12分）（Ⅰ）设函数 ，证明：当x＞0时，f（x）＞
0．
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种
方式连续抽取 20 次，设抽到的 20 个号码互不相同的概率为 p，证明：
．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
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【专题】14：证明题；16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）欲证明当x＞0时，f（x）＞0，由于f（0）=0利用函数的单调
性，只须证明f（x）在[0，+∞）上是单调增函数即可．先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递减即可得到答案．
（Ⅱ）先计算概率P= ，再证明 ＜ ＜ ，即证明
99×98×…×81＜（90）19，最后证明 ＜e﹣2，即证 ＞e2，即
证19ln ＞2，即证ln ，而这个结论由（1）所得结论可得
【解答】（Ⅰ）证明：∵f′（x）= ，
∴当x＞﹣1，时f′（x）≥0，
∴f（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，
∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0．
即当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽
取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为P= ，要证P＜
＜ ．
先证：P= ＜ ，即证 ＜
即证99×98×…×81＜（90）19
而99×81=（90+9）×（90﹣9）=902﹣92＜902
98×82=（90+8）×（90﹣8）=902﹣82＜902…
91×89=（90+1）×（90﹣1）=902﹣12＜902
∴99×98×…×81＜（90）19
即P＜再证： ＜e﹣2，即证 ＞e2，即证19ln ＞2，即证ln ＞
由（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）﹣ ，当x＞0时，f（x）＞0．
令x= ，则ln（1+ ）﹣ =ln（1+ ）﹣ ＞0，即ln ＞
综上有：P＜ ＜
【点评】本题主要考查函数单调性的应用、函数的单调性与导数的关系等，考
查运算求解能力，函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识．通
过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决
问题的能力．
