2013年天津高考文科数学试题及答案（Word版）_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_地方卷高考文科数学_天津文科数学08-19

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 文 科 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第 Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页. 第Ⅰ卷 参考公式: 如果事件A, B互斥, 那么 P(AB)P(A)P(B) ·棱柱的体积公式V = Sh， 其中S表示棱柱的底面面积, h表示棱柱的高. ·如果事件A, B相互独立, 那么 P(AB)P(A)P(B) ·球的体积公式 V  4 R3. 3 其中R表示球的半径. 一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, B = {x∈R| x≤1}, 则AB (A) (,2] (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] 3x y60, (2) 设变量x, y满足约束条件 则目标函数z = y－2x的最小值为 x y20,  y30, (A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2 (3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出 n 的 值为 (A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4(4) 设 , 则 “ ”是“ ”的 a,bR (ab)a2 0 ab (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (5) 已知过点P(2,2) 的直线与圆 相切, 且与直线 垂直, 则 (x1)2  y2 5 ax y10 a 1 (A)  (B) 1 2 1 (C) 2 (D) 2     (6) 函数 f(x)sin2x 在区间  0,  上的最小值是  4  2 2 (A) 1 (B)  2 2 (C) (D) 0 2 (7) 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且在区间[0,)上单调递增. 若实数 a 满足 f(log a) f(log a)2f(1), 则a的取值范围是 2 1 2  1 (A) [1,2] (B) 0,   2 1  (C) ,2 (D) (0,2]   2  (8) 设函数 . 若实数a, b满足 , 则 f(x)ex x2,g(x)lnxx2 3 f(a)0,g(b)0 (A) g(a)0 f(b) (B) f(b)0g(a) (C) 0g(a) f(b) (D) f(b)g(a)0 2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 文 科 数 学 第Ⅱ卷 注意事项： 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分. 二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. (9) i是虚数单位. 复数(3 + i)(1－2i) = . 9 (10) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为 , 则正方体的棱长为 . 2 x2 y2 (11) 已知抛物线y2 8x的准线过双曲线  1(a0,b0)的一个焦点, 且双曲线的离心率为 a2 b2 2, 则该双曲线的方程为 . (12) 在平行四边形ABCD中, AD = 1, BAD60, E为CD的中点. 若  A  C  ·  B  E  1, 则AB的长为 . (13) 如图, 在圆内接梯形 ABCD中, AB//DC, 过点A作圆的切线与 CB的延长线交于点E. 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD的长为 . 1 |a| (14) 设a + b = 2, b>0, 则  的最小值为 . 2|a| b 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分) 某产品的三个质量指标分别为 x, y, z, 用综合指标S = x + y + z评价该产品的等级. 若S≤4, 则 该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下: 产品编号 A A A A A 1 2 3 4 5 质量指标(x, y, z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号 A A A A A 6 7 8 9 10 质量指标(x, y, z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) (Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取2件产品, (⒈) 用产品编号列出所有可能的结果; (⒉) 设事件 B 为 “在取出的 2 件产品中, 每件产品的综合指标 S 都等于 4”, 求事件 B 发 生的概率. (16) (本小题满分13分)2 在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别是a, b, c. 已知bsinA3csinB, a = 3, cosB . 3 (Ⅰ) 求b的值;   (Ⅱ) 求sin2B 的值.  3 (17) (本小题满分13分) 如图, 三棱柱 ABC－A B C 中, 侧棱 A A⊥底面 ABC,且各棱长均 1 1 1 1 相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A C 的中点. 1 1 (Ⅰ) 证明EF//平面A CD; 1 (Ⅱ) 证明平面A CD⊥平面A ABB ; 1 1 1 (Ⅲ) 求直线BC与平面A CD所成角的正弦值. 1 (18) (本小题满分13分) x2 y2 3 设椭圆  1(ab0)的左焦点为F, 离心率为 , 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得 a2 b2 3 4 3 的线段长为 . 3 (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左,右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若 , 求k的值.   AC·DB AD·CB8 (19) (本小题满分14分) 已知首项为3 的等比数列 的前n项和为 , 且 成等差数列. {a } S (nN*) 2S ,S ,4S 2 n n 2 3 4 (Ⅰ) 求数列{a }的通项公式; n 1 13 (Ⅱ) 证明S   (nN*). n S 6 n (20) (本小题满分14分)  x3 (a5)x, x0, 设 , 已知函数  a[2,0] f(x) a3 x3  x2 ax, x0.  2(Ⅰ) 证明 f(x)在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增; 1 (Ⅱ) 设曲线y f(x)在点P(x, f(x))(i1,2,3)处的切线相互平行, 且xx x 0, 证明x x x  . i i i 1 2 3 1 2 3 32013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类）参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基础运算。每小题5分。满分40分。 （1）D （2）A （3）D （4）A （5）C （6）B （7）C （8）A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分30分。 （9）5-5i （10） （11） y2 3 x2  1 3 1 15 3 （12） （13） （14） 2 2 4 三、解答题 （15）本小题主要考查样本估计总体的方法、用列举法计算随机事件所含的基本事件 数、古典概型及其概率计算公式等基础知识。考查数据处理能力和运用概率知识解决简 单问题的能力。满分13分。 （I）解：计算10件产品的综合指标S，如下表: 产品编号 A A A A A A A A A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5 6 其中S≤4的有A ，A ，A ，A ，A ，A ，共6件，故该样本的一等品率为 =0.6， 1 2 4 5 7 9 10 从而可估计该批产品的一等品率为0.6. （II） （i）解：在该样本的一等品中，随机抽取 2 件产品的所有可能结果为 ， ， A A A A 1, 2 1, 4  A A ，  A A ，  A A ， A ,A  ， A ,A， A ,A ， A ,A， A ,A， A ,A ， 1, 5 1, 7 1, 9 2 4 2 5 2 7 2 9 4 5 4 7 A ,A，A ,A ，A ,A，A ,A，共15种. 4 9 5 7 5 9 7 9 A A A （ii）解：在该样本的一等品中，综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为 1， 2， 5， A 7，则事件 B 发生的所有可能结果为  A A ， A A ， A A ，A ,A，A ,A ， 1, 2 1, 5 1, 7 2 5 2 7 A ,A 共6种。 5 76 2 所以P(B)=  . 15 5 （16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式 、两角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查基本运算求解能力.满分 13分。 a b （I）解：在 ABC中，由 = ，可得bsinAasinB,又由bsinA3csinB，可得 sinA sinB a=3c，又a=3，故c=1. 2 由b2 a2 c2 2accosB，cosB= ，可得b 6. 3 （ II ） 解 ： 由 =2 ， 得 = 5 ， 进 而 得 = = 1， cosB sinB cos2B 2cos2 B1  3 3 9 4 5 . sin2B2sinBcosB 9 所以sin =sin   4 5 3  2B  2Bcos cos2Bsin  .  3 3 3 18 （17）本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础 知识。考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力。满分13分。 （I）证明：如图，在三棱柱 中， ABC ABC 1 1 1 ∥ ，且 = ，连接ED，在 中， 因为D,E分别 AC AC AC AC ABC 1 1 1 1 1 为AB, BC的中点，所以DE= AC且DE∥AC，又 因为F为AC 2 1 1 的中点，可得 ,且 ∥ ，即四边形 为平行四边形，所以 ∥ 又 AF  DE AF DE ADEF EF DA. EF 1 1 1 1 平面 , 平面 ，所以， ∥平面 。  ACD DA  ACD EF ACD 1 1 1 1 （II）证明：由于底面 ABC是正三角形，D 为 AB 的中点，故 CD⊥AB，又由于侧棱 AA⊥ 1 底面ABC，CD平面ABC，所以AA⊥CD，又AA AB  A，因此 CD⊥平面AABB ，而 CD 1 1  1 1 平面ACD，所以平面ACD⊥AABB 。 1 1 1 1 （III）解：在平面 AABB 内，过点 B 作 BG⊥ AD交直线 AD于点 G，连接 CG. 由于平面 1 1 1 1 ACD⊥平面AABB ，而直线AD是平面ACD与平面AABB 的交线，故BG⊥平面ACD。由 1 1 1 1 1 1 1 1 此得BCG为直线BC与平面ACD所成的角。 1设棱长为 a，可得 5a ，由 ∽ ，易得 BG 5a 。在 Rt 中，sin AD  AAD BGD  BGC 1 1 2 5 BG 5 . BCG   BC 5 所以直线BC与平面 所成角的正弦值为 5 。 ACD 1 5 （18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知 识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质。考查运算求解能力，以及用方程思想解决问 题的能力。满分13分。 （I）解：设F（ ），由 c 3 知 . 过点F且与 轴垂直的直线为 ，代入 c,0  , a  3c x x c a 3 椭圆方程有(c)2 y2 ，解得 6b ，于是 2 6b 4 3 ，解得 ，又 ，从  1 y   b 2 a2 c2 b2 a2 b2 3 3 3 而 ，c=1，所以椭圆的方程为 x2 y2 . a 3  1 3 2 （II）解：设点 ， ,由 F（-1，0）得直线 CD 的方程为 ，由方程 C(x ,y ) D(x ,y ) y k(x1) 1 1 2 2 y k(x1) 组 x2 y2 消去y，整理得 (2+3k2)x2 6k2x3k2 60 .  1   3 2 求解可得 6k2 ， 3k2 6. 因为 A( ), ，所以    =（ x x  x x   3,0 B( 3,0) AC DB AD CB 1 2 23k2 1 2 23k2   ） + x 1  3,y 1  ( 3x 2 ,y 2 ) (x 2  3,y 2 )  ( 3x 1 ,y 1 ) = = 62x x 2y y 52x x 2k2(x 1)(x 1) 6 1 2 1 2 1 2 1 2 (22k2)x x 2k2(x x )2k2 1 2 1 2 = 2k2 12. 6 23k2 由已知得 2k2 12=8，解得 6 k  2. 23k2 （19）本小题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前 n项和公式， 数列的基本性质等基础知识. 考查分类讨论的思想，考查运算能力、分析问题和解决问题的能力. 满分14分. （I）解：设等比数列a 的公比为q，因为 2S , S , 4S 成等差数列，所以 S + 2S = 4S  n 2 3 4 3 2 4 S ，即 S S = S S ，可得2 a a ，于是 q a 4  1 . 又 a  3，所以等比数列 a n  的通项 3 4 3 2 4 4 3 a 2 1 2 3 n1 公式为 3 1 3 . a   (1)n1 n 2  2    2n （II）证明：  1  1 n 1  1 n 1  2 ,n为奇数， S n = 1    2   ,S n  S n 1    2    1    1  n =    2 2n(2 1 n 1) ,n为偶数。  2   2n(2n 1) 当n为奇数时， 1 随 的增大而减小，所以 1 ≤ 1 13 S  n S  S   . n S n S 1 S 6 n n 1 当n为偶数时， 1 随 的增大而减小，所以 1 ≤ 1 25 S  n S  S   . n S n S 2 S 12 n n 2 故对于 1 ≤13 nNn,有 S  . n S 6 n （20）本小题主要考查导数的运算及其几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查分 类讨论思想、化归思想、函数思想. 考查综合分析问题和解决问题的能力. 满分14分。 a3 （I）证明：设函数 f (x) x3(a5)x (x0)， f (x)  x3  x2 ax (x0), 1 2 2 ① f '(x) = 3x2 (a5), 由 a2,0，从而当 1 ＜ x ＜0 时， f '(x) = 3x2 (a5) ＜3 a50 ， 1 1 所以函数 f (x) 在区间1,0内单调递减. 1 ② f '(x)=3x2 (a3)xa (3xa)(x1)，由于a2,0 ，所以当 0＜ x＜1 时， f '(x)＜0； 2 2 当x＞1时， f '(x)＞0. 即函数 f (x)在区间 0,1 内单调递减，在区间(1,)内单调递增. 2 2 综合①，②及 f (0) f (0)，可知函数 f(x)在区间（-1,1）内单调递减，在区间(1,)内 1 2 单调递增. （II）证明：由（I）知 在区间 内单调递减，在区间 a3内单调递减，在 f '(x) (,0)  0,   6  区间a3 内单调递增. 因为曲线 在点 （i=1,2,3）处的切线相互平行， , y  f(x) P(x , f(x ))    6  1 1 1 从而 互不相等，且 . 不防设 ＜0＜ ＜ ，由 x ,x ,x f '(x ) f '(x ) f '(x ) x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ， 3x2 (a5) 3x 2 (a3)x a 3x 2 (a3)x a 1 2 2 3 3 a3 a3 可得3x 2 3x 2 (a3)(x x )0，解得x x  ，从而0＜x ＜ ＜x . 2 3 2 3 2 3 3 2 6 3设 ，则 a3＜ ＜ . g(x) 3x2 (a3)xa g   g(x ) g(0)a  6  2 2a5 2a5 a3 由3x2 (a5)  g(x ) ＜a，解得  ＜ x ＜0，所以 x +x +x ＞   ， 1 2 3 1 1 2 3 3 3 2a5 3t2 5  3 15 设 t  ， 则 a  ， 因 为 a2,0， 所 以 t ,  ， 故 x +x +x ＞ 3 2  3 3  1 2 3 3t2 1 1 1 1， t   (t 1)2    6 2 3 3 即 + + ＞ 1. x x x  1 2 3 3