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2015 年普通高等学校招生全国统一考试
山东卷文科数学试题
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求的．
1. 已知集合 ，则 ( )
（A） （B） （C） （D）
2. 若复数Z满足 ，其中 为虚数单位，则Z=( )
（A） （B） （C） （D）
3. 设 则 的大小关系是( )
（A） （B） （C） （D）
[来源:学|科|网]
4. 要得到函数 的图象，只需要将函数 的图象（ ）
（A）向左平移 个单位 （B）向右平移 个单位
（C）向左平移 个单位 （D）向右平移 个单位
5. 设 ,命题“若 ,则方程 有实根”的逆否命题是( )
（A）若方程 有实根，则
(B) 若方程 有实根，则
(C) 若方程 没有实根，则
(D) 若方程 没有实根，则
6. 为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.
其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( )
（A）①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④
7. 在区间 上随机地取一个数 ,则事件“ ”发生的概率为(
)
（A） （B） （C） （D）
8. 若函数 是奇函数，则使 成立的 的取值范围为( )
（A）( ) (B)( ) （C） （D）
9. 已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形
成的曲面所围成的几何体的体积为( )
（A） （B） （C） （D）
10.设函数 ，若 ，则 ( )
（A） （B） （C） (D)第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 执行右边的程序框图，若输入的 的值为 ，则输出的 的值是 .
12. 若 满足约束条件 则 的最大值为 .
13. 过点 作圆的两条切线，切点分别为 ，则= .
14. 定义运算“ ”： （ ）.当 时，
的最小值是 .
15. 过双曲线 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交
于点 .若点 的横坐标为 ,则 的离心率为 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16. （本小题满分12分）
[来源:Z*xx*k.Com]
某中学调查了某班全部 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：
人）
[来源:学|科|网]
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团
未参加演讲社团
（1）从该班随机选 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的 名同学中，有5名男同学
名女同学 现从这 名男同学和 名女同学中各随机选
人，求 被选中且 未被选中的概率.17. (本小题满分12分)
中，角 所对的边分别为 .已知
求 和 的值.
18. 如图，三棱台 中， 分别为 的中点.
（I）求证： 平面 ；
（II）若 求证：平面 平面 .19. （本小题满分12分）
已知数列 是首项为正数的等差数列，数列 的前 项和为 .
（I）求数列 的通项公式；
（II）设 ，求数列 的前 项和 .
20. (本小题满分13分)
设函数 . 已知曲线 在点 处的切线与直
线 平行.
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）是否存在自然数 ，使得方程在 内存在唯一的根？如果存在，求出 ；如
果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数（ 表示， 中的较小值），求 的最大值.21. (本小题满分14分)
[来源:学科网ZXXK]
平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率为 ，且点
（ ， ）在椭圆 上.
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设椭圆 ： ， 为椭圆 上任意一点，过点 的直线
交椭圆 于 两点，射线 交椭圆 于点 .
（i）求 的值；
(ii)求 面积的最大值.2015 年普通高等学校招生全国统一考试
山东卷文科数学试题答案
一、选择题：
CACBD BACBD
二、填空题：
（11） ；（12） ；（13） ；（14） ；（15） ；
三、解答题：
（16）参考答案：
（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 人，故至少参加上述
一个社团的共有 人，所以从该班级随机选 名同学，该同学至少参加上述一个
社团的概率为
(2)从这 名男同学和 名女同学中各随机选 人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
，共 个. 学科网
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.
事件“ 被选中且 未被选中”所包含的基本事件有： ，共 个.
因此 被选中且 未被选中的概率为 .
（17）参考答案：
在 中，由 ，得 .因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ， 为锐角， ，
因此 .
由 可得 ，又 ，所以 .
（18）参考答案：
（I）证法一：连接 设 ,连接 ，在三棱台 中，
分别为 的中点，可得 ，所以四边形 是平
行四边形，则 为 的中点，又 是 的中点，所以 ,
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
证法二：在三棱台 中，由 为 的中点，
可得 所以 为平行四边形，可得
在 中， 分别为 的中点，
所以 又 ，
所以平面 平面 ，
因为 平面 ，
所以 平面 .
(II)证明：连接 .因为 分别为 的中点，所以 由
得 ，又 为 的中点，所以 因此四边形 是平行
四边形，所以又 ，所以 .
又 平面 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面
（19）参考答案：
（I）设数列 的公差为 ，
令 得 ，所以 .
令 得 ，所以 .
解得 ，所以
（II）由（I）知 所以
所以
两式相减，得
所以
（20）参考答案：
（I）由题意知，曲线 处的切线斜率为 ，所以 ，
在点
又 所以 .
（II） 时，方程 在 内存在唯一的根.
设当 时， .
又
所以存在 ，使 .
因为 所以当 时， ，当
时， ，
所以当 时， 单调递增.
所以 时，方程 在 内存在唯一的根.
（III）由（II）知，方程 在 内存在唯一的根 ，且 时，
， 时， ，所以 .
当 时，若
若 由 可知 故
当 时，由 可得 时， 单调递增；
时， 单调递减；
[来源:学科网]
可知 且 .
综上可得函数 的最大值为 .
（16）参考答案：（I）由题意知 又 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为
（II）由（I）知椭圆 的方程为 .
（i）设 由题意知 .
因为 又 ，即
所以 ，即
（ii）设 将 代入椭圆 的方程，可得
，由 可得 ………………①
则有 所以 因为直线
与 轴交点的坐标为 ，所以 的面积
设 将直线 代入椭圆 的方程，可得，由 可得 ………………②
由①②可知 故 .
当且仅当 ，即 时取得最大值
由（i）知， 的面积为 ，所以 面积的最大值为
