文档内容
6．（5分）（2015•浙江）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不
相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：
2015年浙江省高考数学试卷（文科）
元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）
A ax+by+cz B az+by+cx C ay+bz+cx D ay+bx+cz
． ． ． ．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的）
7．（5分）（2015•浙江）如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足
1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（ ）
∠PAB=30°，则点P的轨迹是（ ）
A [3，4） B （2，3 C （﹣1，2） D （﹣1，3
． ． ． ．
] ]
2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）
A 直线 B 抛物线 C 椭圆 D 双曲线的一
． ． ． ． 支
8．（5分）（2015•浙江）设实数a，b，t满足|a+1|=|sinb|=t．（ ）
A 若t确定，则 B 若t确定，则
． b2唯一确定 ． a2+2a唯一确
定
C 若t确定，则 D 若t确定，则
． ． a2+a唯一确
sin 唯一确
定
定
A 8cm3 B 12cm3 C D
． ． ． ．
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
3．（5分）（2015•浙江）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（ ）
9．（6分）（2015•浙江）计算：log = ，2 = ．
2
A 充分不必要 B 必要不充分
． 条件 ． 条件
C 充分必要条 D 既不充分也
10．（6分）（2015•浙江）已知{a }是等差数列，公差d不为零，若a ，a ，a 成等比数列，且2a +a =1，则a =
n 2 3 7 1 2 1
． 件 ． 不必要条件
，d= ．
4．（5分）（2015•浙江）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l α，m β，（ ）
11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 ，最小值是
A 若l⊥β，则 B 若α⊥β，则 C 若l∥β，则 D 若α∥β，则
． α⊥β ． l⊥m ． α∥β ． l∥m ⊂ ⊂ ．
5．（5分）（2015•浙江）函数f（x）=（x﹣ ）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（ ）
12．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）= ，则f（f（﹣2））= ，f（x）的最
A B C D
． ． ． ．
小值是 ．（Ⅰ）求点A，B的坐标；
13．（4分）（2015•浙江）已知 ， 是平面向量，且 • = ，若平衡向量 满足 • = • =1，则| |=
1 2 1 2 1
（Ⅱ）求△PAB的面积．
． 注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点
为切点．
14．（4分）（2015•浙江）已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是 ．
15．（4分）（2015•浙江）椭圆 + =1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y= x的对称点Q在椭圆上，
则椭圆的离心率是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 20．（15分）（2015•浙江）设函数f（x）=x2+ax+b（a，b R）．
16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（ +A）=2． （Ⅰ）当b= +1时，求函数f（x）在[﹣1，1 上的最小值∈g（a）的表达式．
（Ⅱ）已知函数f（x）在[﹣1，1 上存在零点，]0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围．
（Ⅰ）求 的值；
]
（Ⅱ）若B= ，a=3，求△ABC的面积．
17．（15分）（2015•浙江）已知数列{a }和{b }满足a =2，b =1，a =2a （n N*），b + b + b +…+ b =b
n n 1 1 n+1 n 1 2 3 n n+1
﹣1（n N*） ∈
（Ⅰ）求a 与b ；
n n
∈
（Ⅱ）记数列{a b }的前n项和为T ，求T ．
n n n n
18．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A B C 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A A=4，A 在底面
1 1 1 1 1
ABC的射影为BC的中点，D是B C 的中点．
1 1
（Ⅰ）证明：A
1
D⊥平面A
1
BC；
（Ⅱ）求直线A B和平面BB C C所成的角的正弦值．
1 1 1
19．（15分）（2015•浙江）如图，已知抛物线C ：y= x2，圆C ：x2+（y﹣1）2=1，过点P（t，0）（t＞0）作
1 2
不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C 和圆C 相切，A，B为切点．
1 2力．
2015 年浙江省高考数学试卷（文科）
3．（5分）（2015•浙江）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（ ）
A 充分不必要 B 必要不充分
参考答案与试题解析
． 条件 ． 条件
C 充分必要条 D 既不充分也
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 ． 件 ． 不必要条件
的）
1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（ ） 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
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A [3，4） B （2，3 C （﹣1，2） D （﹣1，3 专题： 简易逻辑．
． ． ． ． 分析： 利用特例集合充要条件的判断方法，判断正确选项即可．
] ] 解答： 解：a，b是实数，如果a=﹣1，b=2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立．
考点： 交集及其运算．
如果a=﹣1，b=﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立，
菁优网版权所有 所以设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．
专题： 集合．
故选：D．
分析： 求出集合P，然后求解交集即可．
点评： 本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查．
解答： 解：集合P={x|x2﹣2x≥3}={x|x≤﹣1或x≥3}，
Q={x|2＜x＜4}，
则P∩Q={x|3≤x＜4}=[3，4）． 4．（5分）（2015•浙江）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l α，m β，（ ）
故选：A． A 若l⊥β，则 B 若α⊥β，则 C 若l∥β，则 D 若α∥β，则
点评： 本题考查二次不等式的解法，集合的交集的求法，考查计算能力． ． α⊥β ． l⊥m ． α∥β ． l∥m ⊂ ⊂
2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ） 考点： 空间中直线与平面之间的位置关系．
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专题： 综合题；空间位置关系与距离．
分析： A根据线面垂直的判定定理得出A正确；
B根据面面垂直的性质判断B错误；
C根据面面平行的判断定理得出C错误；
D根据面面平行的性质判断D错误．
解答： 解：对于A，∵l⊥β，且l α，根据线面垂直的判定定理，得α⊥β，∴A正
确；
对于B，当α⊥β，l α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能垂直，∴B错
误；
对于C，当l∥β，且⊂l α时⊂，α与β可能平行，也可能相交，∴C错误；
对于D，当α∥β，且l α，m β时，l与m可能平行，也可能异面，∴D错
误． ⊂
故选：A． ⊂ ⊂
点评： 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的
应用问题，是基础题目．
A 8cm3 B 12cm3 C D
． ． ． ．
5．（5分）（2015•浙江）函数f（x）=（x﹣ ）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（ ）
考点： 由三视图求面积、体积．
菁优网版权所有 A B C D
专题： 空间位置关系与距离．
． ． ． ．
分析： 判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．
解答： 解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2
的正方形奥为2的正四棱锥，
所求几何体的体积为：23+ ×2×2×2= ．
故选：C．
考点： 函数的图象．
点评： 本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能 菁优网版权所有
专题： 函数的性质及应用．分析： 由条件可得函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据在
（0，1）上，f（x）＜0，结合所给的选项，得出结论．
解答：
解：对于函数f（x）=（x﹣ ）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0），由于它的定义域
关于原点对称，
且满足f（﹣x）=（ ﹣x）cosx=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故它
A 直线 B 抛物线 C 椭圆 D 双曲线的一
的图象关于原点对称． ． ． ． ． 支
故排除A、B．
考点： 圆锥曲线的轨迹问题．
再根据在（0，1）上， ＞x，cosx＞0，f（x）=（x﹣ ）cosx＜0，故排除
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专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
C， 分析： 根据题意，∠PAB=30°为定值，可得点P的轨迹为一以AB为轴线的圆锥
故选：D． 侧面与平面α的交线，则答案可求．
点评： 本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和 解答： 解：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得
值域，属于中档题． 到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．
此题中平面α上的动点P满足∠PAB=30°，可理解为P在以AB为轴的圆
6．（5分）（2015•浙江）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不 锥的侧面上，
再由斜线段AB与平面α所成的角为60°，可知P的轨迹符合圆锥曲线中
相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：
椭圆定义．
元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）
故可知动点P的轨迹是椭圆．
A ax+by+cz B az+by+cx C ay+bz+cx D ay+bx+cz 故选：C．
． ． ． ． 点评： 本题考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
考点： 函数的最值及其几何意义．
8．（5分）（2015•浙江）设实数a，b，t满足|a+1|=|sinb|=t．（ ）
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专题： 函数的性质及应用． A 若t确定，则 B 若t确定，则
分析： 作差法逐个选项比较大小可得． ． b2唯一确定 ． a2+2a唯一确
解答： 解：∵x＜y＜z且a＜b＜c， 定
∴ax+by+cz﹣（az+by+cx） C 若t确定，则 D 若t确定，则
=a（x﹣z）+c（z﹣x） ．
sin 唯一确
． a2+a唯一确
=（x﹣z）（a﹣c）＞0， 定
∴ax+by+cz＞az+by+cx； 定
同理ay+bz+cx﹣（ay+bx+cz）
=b（z﹣x）+c（x﹣z） 考点： 四种命题．
=（z﹣x）（b﹣c）＞0， 专题： 简易逻辑． 菁优网版权所有
∴ay+bz+cx＞ay+bx+cz； 分析： 根据代数式得出a2+2a=t2﹣1，sin2b=t2，运用条件，结合三角函数可判断答
同理az+by+cx﹣（ay+bz+cx） 案．
=a（z﹣y）+b（y﹣z） 解答： 解：∵实数a，b，t满足|a+1|=t，
=（z﹣y）（a﹣b）＜0， ∴（a+1）2=t2，
∴az+by+cx＜ay+bz+cx， a2+2a=t2﹣1，
∴最低费用为az+by+cx
t确定，则t2﹣1为定值．
故选：B
sin2b=t2，
A，C不正确，
∴若t确定，则a2+2a唯一确定，
点评： 本题考查函数的最值，涉及作差法比较不等式的大小，属中档题．
故选：B
点评： 本题考查了命题的判断真假，属于容易题，关键是得出a2+2a=t2﹣1，即可
7．（5分）（2015•浙江）如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足 判断．
∠PAB=30°，则点P的轨迹是（ ）
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）分析：
9．（6分）（2015•浙江）计算：log 2 = ，2 = ． 运用等比数列的性质，结合等差数列的通项公式，计算可得d=﹣ a 1 ，再由
条件2a +a =1，运用等差数列的通项公式计算即可得到首项和公差．
1 2
解答： 解：由a ，a ，a 成等比数列，
考点： 对数的运算性质． 2 3 7
菁优网版权所有 则a 2=a a ，
3 2 7
专题： 函数的性质及应用．
即有（a +2d）2=（a +d）（a +6d），
1 1 1
即2d2+3a d=0，
1
分析： 直接利用对数运算法则化简求值即可． 由公差d不为零，
则d=﹣ a ，
1
又2a +a =1，
1 2
解答：
即有2a +a +d=1，
解：log =log =﹣ ； 1 1
2 2
即3a ﹣ a =1，
1 1
2 = =
解得a = ，d=﹣1．
1
=3 ．
故答案为： ，﹣1．
故答案为： ； ． 点评： 本题考查等差数列首项和公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注
意等差数列和等比数列的性质的合理运用．
11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 π ，最小值是 ．
考点： 二倍角的余弦；三角函数的最值．
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专题： 三角函数的图像与性质．
分析：
由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）= sin（2x﹣ ）+ ，由正弦函
数的图象和性质即可求得最小正周期，最小值．
解答： 解：∵f（x）=sin2x+sinxcosx+1
= + sin2x+1
= sin（2x﹣ ）+ ．
点评： 本题考查导数的运算法则的应用，基本知识的
∴最小正周期T= ，最小值为： ．
考查．
故答案为：π， ．
点评： 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属
于基本知识的考查．
10．（6分）（2015•浙江）已知{a }是等差数列，公差d不为零，若a ，a ，a 成等比数列，且2a +a =1，则a =
n 2 3 7 1 2 1
，d= ﹣ 1 ．
12．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）= ，则f（f（﹣2））= ，f（x）的最小值
考点： 等比数列的性质．
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专题： 等差数列与等比数列． 是 2 ﹣6 ．考点： 函数的最值及其几何意义． 点评： 本题简单的考查了平面向量的运算，数量积的定义，几何图形的运用，属于
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专题： 函数的性质及应用． 容易题，关键是判断夹角即可．
分析： 由分段函数的特点易得f（f（﹣2））=的值；分别由二次函数和基本不等
式可得各段的最小值，比较可得． 14．（4分）（2015•浙江）已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是 1 5 ．
解答： 解：由题意可得f（﹣2）=（﹣2）2=4，
∴f（f（﹣2））=f（4）=4+ ﹣6=﹣ ； 考点： 简单线性规划．
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专题： 不等式的解法及应用．
∵当x≤1时，f（x）=x2，
分析： 由题意可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，去绝对值后得到目标函数z=﹣3x
由二次函数可知当x=0时，函数取最小值0；
﹣4y+10，然后结合圆心到直线的距离求得|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值．
当x＞1时，f（x）=x+ ﹣6， 解答： 解：如图，
由基本不等式可得f（x）=x+ ﹣6≥2 ﹣6=2 ﹣6，
当且仅当x= 即x= 时取到等号，即此时函数取最小值2 ﹣6；
∵2 ﹣6＜0，∴f（x）的最小值为2 ﹣6
故答案为：﹣ ；2 ﹣6
点评： 本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质和基本不等式，属中档题．
由x2+y2≤1，
可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，
13．（4分）（2015•浙江）已知 ， 是平面向量，且 • = ，若平衡向量 满足 • = • =1，则| |=
1 2 1 2 1 则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|=﹣2x﹣y+4+6﹣x﹣3y=﹣3x﹣4y+10，
令z=﹣3x﹣4y+10，得 ，
．
如图，
考点： 平面向量数量积的性质及其运算律．
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专题： 平面向量及应用．
分析： 根据数量积得出 ， 夹角为60°，＜ ， ＞=＜ ， ＞=30°，运用数量
1 2 1 2
积的定义判断求解即可．
解答：
解：∵ ， 是平面单位向量，且 • = ，
1 2 1 2
∴ ， 夹角为60°，
1 2
∵平衡向量 满足 • = • =1
1
∴ 与 ， 夹角相等，且为锐角，
1 2 要使z=﹣3x﹣4y+10最大，则直线 在y轴上的截距最小，
∴ 应该在 ， 夹角的平分线上，
1 2
由z=﹣3x﹣4y+10，得3x+4y+z﹣10=0．
即＜ ， ＞=＜ ， ＞=30°，
1 2
| |×1×cos30°=1， 则 ，即z=15或z=5．
∴| |= 由题意可得z的最大值为15．
故答案为：15．
故答案为： 点评： 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数
学转化思想方法，是中档题．（Ⅱ）若B= ，a=3，求△ABC的面积．
15．（4分）（2015•浙江）椭圆 + =1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y= x的对称点Q在椭圆上，
考点： 二倍角的余弦；两角和与差的正切函数．
则椭圆的离心率是 ． 菁优网版权所有
专题： 解三角形．
分析： （Ⅰ）由两角和与差的正切函数公式及已知可得tanA，由倍角公式及同角
三角函数关系式即可得解．
考点： 椭圆的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、 菁 性 优网版权所有 质与方程． （Ⅱ）由tanA= ，A （0，π），可得sinA，cosA．又由正弦定理可得
分析： 设出Q的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，
然后求解离心率即可． b，由sinC=sin（A+B∈）=sin（A+ ），可得sinC，利用三角形面积公式
解答：
即可得解．
解答：
解：（Ⅰ）由tan（ +A）=2．可得tanA= ，
解：不妨令c=1，设Q（m，n），由题意可得 ，即：
所以 = = ．
（Ⅱ）由tanA= ，A （0，π），可得sinA= ，cosA= ．
又由a=3，B= 及正∈弦定理 ，可得b=3 ，
由sinC=sin（A+B）=sin（A+ ），可得sinC= ．
，
设△ABC的面积为S，则S= absinC=9．
点评： 本题主要考查了三角函数及其变换、正弦定理和余弦定理等基本知识的应
用，同时考查了运算求解能力，属于中档题．
由①②可得：m= ，n= ，代入③可得：
17．（15分）（2015•浙江）已知数列{a }和{b }满足a =2，b =1，a =2a （n N*），b + b + b +…+ b =b
n n 1 1 n+1 n 1 2 3 n n+1
， ﹣1（n N*） ∈
（Ⅰ）求a 与b ；
n n
∈
解得e2（4e4﹣4e2+1）+4e2=1， （Ⅱ）记数列{a b }的前n项和为T ，求T ．
n n n n
可得，4e6+e2﹣1=0．
即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，
考点： 数列的求和．
可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0 专题： 等差数列与等 菁 比 优网版权所有 数列．
分析： （Ⅰ）直接由a =2，a =2a ，可得数列{a }为等比数列，由等比数列的
解得e= ． 1 n+1 n n
通项公式求得数列{a }的通项公式；
n
故答案为： ． 再由b =1，b + b + b +…+ b =b ﹣1，取n=1求得b =2，当n≥2时，
1 1 2 3 n n+1 2
点评： 本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．
得另一递推式，作差得到 ，整理得数列{ }为常数列，
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 由此可得{b }的通项公式；
n
（Ⅱ）求出 ，然后利用错位相减法求数列{a b }的前n项和
16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（ +A）=2． n n
为T ．
n
解答：
（Ⅰ）求 的值； 解：（Ⅰ）由a 1 =2，a n+1 =2a n ，得 ．
由题意知，当n=1时，b =b ﹣1，故b =2，
1 2 2当n≥2时，b + b + b +…+ =b ﹣1，和原递推式作差得，
1 2 3 n
，整理得： ，
∴ ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
因此
解：（II）
，
建立坐标系如图
∵在三棱柱ABC﹣A B C 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A A=4
1 1 1 1
两式作差得：
∴O（0，0，0），B（0， ，0），B （﹣ ， ， ），A （0，0
1 1
）
，
（n N*）． 即 =（0， ， ）， =（0， ，0）， =（ ，0，
点评： 本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识， ），
∈
同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题． 设平面BB C C的法向量为 =（x，y，z），
1 1
即得出
18．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A B C 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A A=4，A 在底面
1 1 1 1 1
ABC的射影为BC的中点，D是B C 的中点．
1 1
得出 =（ ，0，1），| |=4，| |=
（Ⅰ）证明：A
1
D⊥平面A
1
BC；
（Ⅱ）求直线A B和平面BB C C所成的角的正弦值． ∵ = ，
1 1 1
∴cos＜ ， ＞= = ，
可得出直线A B和平面BB C C所成的角的正弦值为
1 1 1
考点： 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
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专题： 空间位置关系与距离；空间角．
分析： （I）连接AO，A
1
D，根据几何体的性质得出A
1
O⊥A
1
D，A
1
D⊥BC，利用
直线平面的垂直定理判断．
（II）利用空间向量的垂直得出平面BB C C的法向量 =（ ，0， 点评： 本题考查了空间几何体的性质，直线平面的垂直问题，空间向量的运用，
1 1
空间想象能力，计算能力，属于中档题．
1），|根据与 数量积求解余弦值，即可得出直线A B和平面BB C C
1 1 1
所成的角的正弦值．
解答： 证明：（I）∵AB=AC=2，D是B 1 C 1 的中点． 19．（15分）（2015•浙江）如图，已知抛物线C 1 ：y= x2，圆C 2 ：x2+（y﹣1）2=1，过点P（t，0）（t＞0）作
∴A
1
D⊥B
1
C
1
，
∵BC∥B 1 C 1 ， 不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C 1 和圆C 2 相切，A，B为切点．
∴A
1
D⊥BC， （Ⅰ）求点A，B的坐标；
∵A 1 O⊥面ABC，A 1 D∥AO， （Ⅱ）求△PAB的面积．
∴A
1
O⊥AO，A
1
O⊥BC
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点
∵BC∩AO=O，A
1
O⊥A
1
D，A
1
D⊥BC
为切点．
∴A
1
D⊥平面A
1
BC∴点P到直线AB的距离d= = =t，
又|AB|= =t2．
∴S = = ．
△PAB
点评： 本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、垂直
平分线的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． 算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属
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专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题． 于难题．
分析： （I）由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（x﹣t）
（k≠0），与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4kt=0，利用△=0，解得k=t，
20．（15分）（2015•浙江）设函数f（x）=x2+ax+b（a，b R）．
可得A坐标．圆C 的圆心D（0，1），设B（x ，y ），由题意可知：点
2 0 0
（Ⅰ）当b= +1时，求函数f（x）在[﹣1，1 上的最小值∈g（a）的表达式．
B与O关于直线PD得出，可得 ，解得B坐标．
（Ⅱ）已知函数f（x）在[﹣1，1 上存在零点，]0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围．
]
（II）由（I）可得：（t2﹣1）x﹣2ty+2t=0，可得点P到直线AB的距离 考点： 二次函数的性质；函数零点的判定定理．
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专题： 分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
d，又|AB|= ．即可得出S
△PAB
= 分析： （Ⅰ）求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间[﹣1，1 的关系，
运用函数的单调性即可得到最小值；
（Ⅱ）设s，t是方程f（x）=0的解，且﹣1≤t≤1，运用韦达定理]和已知条
．
件，得到s的不等式，讨论t的范围，得到st的范围，由分式函数的值域，
解答： 解：（I）由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（x﹣t） 即可得到所求b的范围．
解答：
解：（Ⅰ）当b= +1时，f（x）=（x+ ）2+1，对称轴为x=﹣ ，
（k≠0），联立 ，
当a≤﹣2时，函数f（x）在[﹣1，1 上递减，则g（a）=f（1）= +a+2；
化为x2﹣4kx+4kt=0，
∵△=16k2﹣16kt=0，解得k=t，
]
∴x=2t，∴A（2t，t2）．
当﹣2＜a≤2时，即有﹣1≤﹣ ＜1，则g（a）=f（﹣ ）=1；
圆C 的圆心D（0，1），设B（x ，y ），由题意可知：点B与O关于直
2 0 0
线PD得出， 当a＞2时，函数f（x）在[﹣1，1 上递增，则g（a）=f（﹣1）= ﹣
a+2． ]
∴ ，解得 ．
综上可得，g（a）= ；
∴B ．
（Ⅱ）设s，t是方程f（x）=0的解，且﹣1≤t≤1，
则 ，
（II）由（I）可得：k = = ，直线AB的方程为：y﹣
AB
由于0≤b﹣2a≤1，
由此 ≤s≤ （﹣1≤t≤1），
t2= ，化为（t2﹣1）x﹣2ty+2t=0，当0≤t≤1时， ≤st≤ ，
由﹣ ≤ ≤0，得﹣ ≤ ≤9﹣4 ，
所以﹣ ≤b≤9﹣4 ；
当﹣1≤t＜0时， ≤st≤ ，
由于﹣2≤ ＜0和﹣3≤ ＜0，所以﹣3≤b＜0，
故b的取值范围是[﹣3，9﹣4 ．
点评： 本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法，同时考查二次方程和函数的
零点的关系，以及韦达定理的运用] ，考查不等式的性质和分式函数的最值
的求法，属于中档题．
