文档内容
2016年江苏省高考数学试卷
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．（5分）（2016•江苏）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则
A∩B=______．
2．（5分）（2016•江苏）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是
______．
3．（5分）（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 ﹣ =1的焦距是______．
4．（5分）（2016•江苏）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是
______．
5．（5分）（2016•江苏）函数y= 的定义域是______．
6．（5分）（2016•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是______．
7．（5分）（2016•江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，
5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是______．
8．（5分）（2016•江苏）已知{a }是等差数列，S 是其前n项和，若a +a 2=﹣3，S =10，
n n 1 2 5
则a 的值是______．
9
9．（5分）（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的
交点个数是______．
10．（5分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆 + =1（a＞b
＞0）的右焦点，直线y= 与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是
______．11．（5分）（2016•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，
f（x）= ，其中a R，若f（﹣ ）=f（ ），则f（5a）的值是
∈
______．
12．（5分）（2016•江苏）已知实数x，y满足 ，则x2+y2的取值范围是
______．
13．（5分）（2016•江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三
等分点， • =4， • =﹣1，则 • 的值是______．
14．（5分）（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的
最小值是______．
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．（14分）（2016•江苏）在△ABC中，AC=6，cosB= ，C= ．
（1）求AB的长；
（2）求cos（A﹣ ）的值．
16．（14分）（2016•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A B C 中，D，E分别为AB，BC
1 1 1
的中点，点F在侧棱B B上，且B D⊥A F，A C ⊥A B ．求证：
1 1 1 1 1 1 1
（1）直线DE∥平面A C F；
1 1
（2）平面B DE⊥平面A C F．
1 1 117．（14分）（2016•江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正
四棱锥P﹣A B C D ，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A B C D （如图所示），并要求正
1 1 1 1 1 1 1 1
四棱柱的高O O是正四棱锥的高PO 的4倍．
1 1
（1）若AB=6m，PO =2m，则仓库的容积是多少？
1
（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO 为多少时，仓库的容积最大？
1
18．（16分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：
x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．
（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；
（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得 + = ，求实数t的取值
范围．
19．（16分）（2016•江苏）已知函数f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．
（1）设a=2，b= ．
①求方程f（x）=2的根；
②若对于任意x R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；
（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．
∈
20．（16分）（2016•江苏）记U={1，2，…，100}，对数列{a }（n N*）和U的子集T，
n
若T= ，定义S =0；若T={t ，t ，…，t }，定义S = + +…+ ∈ ．例如：T={1，
T 1 2 k T
∅3，66}时，S =a +a +a ．现设{a }（n N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，
T 1 3 66 n
S =30．
T
∈
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T {1，2，…，k}，求证：S ＜a ；
T k+1
（3）设C U，D U，S ≥S ，求证：S +S ≥2S ．
C D C C∩D D
⊆
⊆ ⊆
附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区
域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】
21．（10分）（2016•江苏）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为
BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD．
B.【选修4—2：矩阵与变换】
22．（10分）（2016•江苏）已知矩阵A= ，矩阵B的逆矩阵B﹣1= ，求
矩阵AB．
C.【选修4—4：坐标系与参数方程】
23．（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参
数），椭圆C的参数方程为 （θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两
点，求线段AB的长．
24．（2016•江苏）设a＞0，|x﹣1|＜ ，|y﹣2|＜ ，求证：|2x+y﹣4|＜a．
附加题【必做题】
25．（10分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，
抛物线C：y2=2px（p＞0）．
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．
①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；
②求p的取值范围．26．（10分）（2016•江苏）（1）求7C ﹣4C 的值；
（2）设m，n N*，n≥m，求证：（m+1）C +（m+2）C +（m+3）C +…+nC
∈
+（n+1）C =（m+1）C ．2016 年江苏省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．（5分）（2016•江苏）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=
{ ﹣ 1 ， 2 } ．
【分析】根据已知中集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，结合集合交集的定义可
得答案．
【解答】解：∵集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，
∴A∩B={﹣1，2}，
故答案为：{﹣1，2}
【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．
2．（5分）（2016•江苏）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是 5
．
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i，
则z的实部是5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 ﹣ =1的焦距是 2
．
【分析】确定双曲线的几何量，即可求出双曲线 ﹣ =1的焦距．
【解答】解：双曲线 ﹣ =1中，a= ，b= ，
∴c= = ，
∴双曲线 ﹣ =1的焦距是2 ．
故答案为：2 ．
【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础．
4．（5分）（2016•江苏）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是
0.1 ．
【分析】先求出数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：
= （4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，
∴该组数据的方差：
S2= [（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．
故答案为：0.1．
【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理
运用．
5．（5分）（2016•江苏）函数y= 的定义域是 [ ﹣ 3 ， 1 ] ．
【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案．
【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0，
解得：x [﹣3，1]，
故答案为：[﹣3，1]
∈
【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．
6．（5分）（2016•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是 9 ．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，
模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，
当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5
当a=9，b=5时，满足a＞b，
故输出的a值为9，
故答案为：9
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟
程序法进行解答．7．（5分）（2016•江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，
5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ．
【分析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，由此
利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率．
【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正
方体玩具）先后抛掷2次，
基本事件总数为n=6×6=36，
出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，
出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：
（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共6个，
∴出现向上的点数之和小于10的概率：
p=1﹣ = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公
式的合理运用．
8．（5分）（2016•江苏）已知{a }是等差数列，S 是其前n项和，若a +a 2=﹣3，S =10，
n n 1 2 5
则a 的值是 2 0 ．
9
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能
求出a 的值．
9
【解答】解：∵{a }是等差数列，S 是其前n项和，a +a 2=﹣3，S =10，
n n 1 2 5
∴ ，
解得a =﹣4，d=3，
1
∴a =﹣4+8×3=20．
9
故答案为：20．
【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数
列的性质的合理运用．
9．（5分）（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的
交点个数是 7 ．
【分析】画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象即可得到答案．
【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：由图可知，共7个交点．
故答案为：7．
【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]
上的图象是关键，属于中档题．
10．（5分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆 + =1（a＞b
＞0）的右焦点，直线y= 与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是
．
【分析】设右焦点F（c，0），将y= 代入椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直
的条件：斜率之积为﹣1，结合离心率公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：设右焦点F（c，0），
将y= 代入椭圆方程可得x=±a =± a，
可得B（﹣ a， ），C（ a， ），
由∠BFC=90°，可得k •k =﹣1，
BF CF
即有 • =﹣1，
化简为b2=3a2﹣4c2，
由b2=a2﹣c2，即有3c2=2a2，
由e= ，可得e2= = ，可得e= ，
故答案为： ．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考
查化简整理的运算能力，属于中档题．
11．（5分）（2016•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，
f（x）= ，其中a R，若f（﹣ ）=f（ ），则f（5a）的值是 ﹣
∈
．
【分析】根据已知中函数的周期性，结合f（﹣ ）=f（ ），可得a值，进而得到f
（5a）的值．
【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=
，
∴f（﹣ ）=f（﹣ ）=﹣ +a，
f（ ）=f（ ）=| ﹣ |= ，
∴a= ，
∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+ =﹣ ，
故答案为：﹣
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a值，是解
答的关键．
12．（5分）（2016•江苏）已知实数x，y满足 ，则x2+y2的取值范围是 [
， 13 ] ．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公
式以及点到直线的距离公式进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，
设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，
由图象知A到原点的距离最大，点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离最小，
由 得 ，即A（2，3），此时z=22+32=4+9=13，
点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离d= = ，
则z=d2=（ ）2= ，
故z的取值范围是[ ，13]，
故答案为：[ ，13]．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关
键．
13．（5分）（2016•江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三
等分点， • =4， • =﹣1，则 • 的值是 ．
【分析】由已知可得 = + ， =﹣ + ， = +3 ， =﹣ +3 ， =
+2 ， =﹣ +2 ，结合已知求出 2= ， 2= ，可得答案．
【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，
∴ = + ， =﹣ + ，
= +3 ， =﹣ +3 ，
∴ • = 2﹣ 2=﹣1，
• =9 2﹣ 2=4，
∴ 2= ， 2= ，又∵ = +2 ， =﹣ +2 ，
∴ • =4 2﹣ 2= ，
故答案为：
【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档．
14．（5分）（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的
最小值是 8 ．
【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进
而得到tanB+tanC=2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值．
【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，
可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①
由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，
在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，
又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣ ②，
则tanAtanBtanC=﹣ •tanBtanC，
由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣ ，
令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，
由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，
tanAtanBtanC=﹣ =﹣ ，
=（ ）2﹣ ，由t＞1得，﹣ ≤ ＜0，
因此tanAtanBtanC的最小值为8，
当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，
解得tanB=2+ ，tanC=2﹣ ，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐
角．
【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．（14分）（2016•江苏）在△ABC中，AC=6，cosB= ，C= ．
（1）求AB的长；
（2）求cos（A﹣ ）的值．
【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣ ）的值．
【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB= ，
∴sinB= ，
∵ ，
∴AB= =5 ；
（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣ ．
∵A为三角形的内角，
∴sinA= ，
∴cos（A﹣ ）= cosA+ sinA= ．
【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础
题．
16．（14分）（2016•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A B C 中，D，E分别为AB，BC
1 1 1
的中点，点F在侧棱B B上，且B D⊥A F，A C ⊥A B ．求证：
1 1 1 1 1 1 1
（1）直线DE∥平面A C F；
1 1
（2）平面B DE⊥平面A C F．
1 1 1
【分析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A C ，据此可得直线DE∥平面A C F ；
1 1 1 1 1
（2）通过证明A F⊥DE结合题目已知条件A F⊥B D，进而可得平面B DE⊥平面
1 1 1 1
A C F．
1 1
【解答】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
∵ABC﹣A B C 为棱柱，
1 1 1
∴AC∥A C ，
1 1
∴DE∥A C ，
1 1∵A C 平面A C F，且DE 平面A C F，
1 1 1 1 1 1
∴DE∥A C F；
1 1
⊂ ⊄
（2）∵ABC﹣A B C 为直棱柱，
1 1 1
∴AA ⊥平面A B C ，
1 1 1 1
∴AA ⊥A C ，
1 1 1
又∵A C ⊥A B ，且AA ∩A B =A ，AA 、A B 平面AA B B，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴A C ⊥平面AA B B，
1 1 1 1
⊂
∵DE∥A C ，
1 1
∴DE⊥平面AA B B，
1 1
又∵A F 平面AA B B，
1 1 1
∴DE⊥A F，
1
⊂
又∵A F⊥B D，DE∩B D=D，且DE、B D 平面B DE，
1 1 1 1 1
∴A F⊥平面B DE，
1 1
⊂
又∵A F 平面A C F，
1 1 1
∴平面B DE⊥平面A C F．
1 1 1
⊂
【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方
法最关键，难度不大．
17．（14分）（2016•江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正
四棱锥P﹣A B C D ，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A B C D （如图所示），并要求正
1 1 1 1 1 1 1 1
四棱柱的高O O是正四棱锥的高PO 的4倍．
1 1
（1）若AB=6m，PO =2m，则仓库的容积是多少？
1
（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO 为多少时，仓库的容积最大？
1
【分析】（1）由正四棱柱的高O O是正四棱锥的高PO 的4倍，可得PO =2m时，
1 1 1
O O=8m，进而可得仓库的容积；
1
（2）设PO =xm，则O O=4xm，A O = m，A B = • m，代入体积公
1 1 1 1 1 1
式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值．
【解答】解：（1）∵PO =2m，正四棱柱的高O O是正四棱锥的高PO 的4倍．
1 1 1
∴O O=8m，
1
∴仓库的容积V= ×62×2+62×8=312m3，
（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，
设PO =xm，
1则O O=4xm，A O = m，A B = • m，
1 1 1 1 1
则仓库的容积V= ×（ • ）2•x+（ • ）2•4x= x3+312x，（0
＜x＜6），
∴V′=﹣26x2+312，（0＜x＜6），
当0＜x＜2 时，V′＞0，V（x）单调递增；
当2 ＜x＜6时，V′＜0，V（x）单调递减；
故当x=2 时，V（x）取最大值；
即当PO =2 m时，仓库的容积最大．
1
【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档．
18．（16分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：
x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．
（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；
（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得 + = ，求实数t的取值
范围．
【分析】（1）设N（6，n），则圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，从而得到|7﹣
n|=|n|+5，由此能求出圆N的标准方程．
（2）由题意得OA=2 ，k =2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d= ，
OA
由此能求出直线l的方程．
（3） = ，即| |= ，又| |≤10，得t [2﹣2 ，2+2 ]，
对于任意t [2﹣2 ，2+2 ]，欲使 ，只需要作直线T∈A的平行线，使圆心到直
∈
线的距离为 ，由此能求出实数t的取值范围．
【解答】解：（1）∵N在直线x=6上，∴设N（6，n），
∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，
又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（（x﹣6）2+（x﹣7）
2=25，
∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，
∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1．
（2）由题意得OA=2 ，k =2，设l：y=2x+b，
OA则圆心M到直线l的距离：d= = ，
则|BC|=2 =2 ，BC=2 ，即2 =2 ，
解得b=5或b=﹣15，
∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．
（3） = ，即 ，即| |=| |，
| |= ，
又| |≤10，即 ≤10，解得t [2﹣2 ，2+2 ]，
对于任意t [2﹣2 ，2+2 ]，欲使 ∈ ，
此时，| |≤10，
∈
只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为 ，
必然与圆交于P、Q两点，此时| |=| |，即 ，
因此实数t的取值范围为t [2﹣2 ，2+2 ]，．
【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求
∈
法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．
19．（16分）（2016•江苏）已知函数f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．
（1）设a=2，b= ．
①求方程f（x）=2的根；
②若对于任意x R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；
（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．
∈
【分析】（1）①利用方程，直接求解即可．②列出不等式，利用二次函数的性质以及函数
的最值，转化求解即可．
（2）求出g（x）=f（x）﹣2=ax+bx﹣2，求出函数的导数，构造函数h（x）= +
，求出g（x）的最小值为：g（x ）．同理①若g（x ）＜0，g（x）至少有两个零点，与
0 0
条件矛盾．②若g（x ）＞0，利用函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，推出g
0
（x ）=0，然后求解ab=1．
0
【解答】解：函数f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．
（1）设a=2，b= ．
①方程f（x）=2；即： =2，可得x=0．
②不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，即 ≥m（ ）﹣6恒成立．令t= ，t≥2．
不等式化为：t2﹣mt+4≥0在t≥2时，恒成立．可得：△≤0或
即：m2﹣16≤0或m≤4，
∴m （﹣∞，4]．
实数m的最大值为：4．
∈
（2）g（x）=f（x）﹣2=ax+bx﹣2，
g′（x）=axlna+bxlnb=ax[ + ]lnb，
0＜a＜1，b＞1可得 ，
令h（x）= + ，则h（x）是递增函数，而，lna＜0，lnb＞0，
因此，x = 时，h（x ）=0，
0 0
因此x （﹣∞，x ）时，h（x）＜0，axlnb＞0，则g′（x）＜0．
0
x （x ，+∞）时，h（x）＞0，axlnb＞0，则g′（x）＞0，
0
∈
则g（x）在（﹣∞，x ）递减，（x ，+∞）递增，因此g（x）的最小值为：g（x ）．
0 0 0
∈
①若g（x ）＜0，x＜log 2时，ax＞ =2，bx＞0，则g（x）＞0，
0 a
因此x ＜log 2，且x ＜x 时，g（x ）＞0，因此g（x）在（x ，x ）有零点，
1 a 1 0 1 1 0
则g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．
②若g（x ）＞0，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，g（x）的最小值为g
0
（x ），可得g（x ）=0，
0 0
由g（0）=a0+b0﹣2=0，
因此x =0，因此 =0，﹣ =1，即lna+lnb=0，ln（ab）=0，则ab=1．
0
可得ab=1．
【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数
恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．
20．（16分）（2016•江苏）记U={1，2，…，100}，对数列{a }（n N*）和U的子集T，
n
若T= ，定义S =0；若T={t ，t ，…，t }，定义S = + +…+ ∈ ．例如：T={1，
T 1 2 k T
3，66∅}时，S =a +a +a ．现设{a }（n N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，
T 1 3 66 n
S =30．
T
∈
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T {1，2，…，k}，求证：S ＜a ；
T k+1
（3）设C U，D U，S ≥S ，求证：S +S ≥2S ．
C D C C∩D D
⊆
⊆ ⊆【分析】（1）根据题意，由S 的定义，分析可得S =a +a =a +9a =30，计算可得a =3，进
T T 2 4 2 2 2
而可得a 的值，由等比数列通项公式即可得答案；
1
（2）根据题意，由S 的定义，分析可得S ≤a +a +…a =1+3+32+…+3k﹣1，由等比数列的前
T T 1 2 k
n项和公式计算可得证明；
（3）设A= （C∩D），B= （C∩D），则A∩B= ，进而分析可以将原命题转化为证明
C D
S ≥2S ，分2种情况进行讨论：①、若B= ，②、若B≠ ，可以证明得到S ≥2S ，即
C B A B
∁ ∁ ∅
可得证明．
∅ ∅
【解答】解：（1）当T={2，4}时，S =a +a =a +9a =30，
T 2 4 2 2
因此a =3，从而a = =1，
2 1
故a =3n﹣1，
n
（2）S ≤a +a +…a =1+3+32+…+3k﹣1= ＜3k=a ，
T 1 2 k k+1
（3）设A= （C∩D），B= （C∩D），则A∩B= ，
C D
分析可得S =S +S ，S =S +S ，则S +S ﹣2S =S ﹣2S ，
C A C∩D D B C∩D C C∩D D A B
∁ ∁ ∅
因此原命题的等价于证明S ≥2S ，
C B
由条件S ≥S ，可得S ≥S ，
C D A B
①、若B= ，则S =0，故S ≥2S ，
B A B
②、若B≠ ，由S ≥S 可得A≠ ，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，
A B
∅
若m≥l+1，则其与S ＜a ≤a ≤S 相矛盾，
A i+1 m B
∅ ∅
因为A∩B= ，所以l≠m，则l≥m+1，
∅
S ≤a +a +…a =1+3+32+…+3m﹣1= ≤ = ，即S ≥2S ，
B 1 2 m A B
综上所述，S ≥2S ，
A B
故S +S ≥2S ．
C C∩D D
【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新
定义的描述．
附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区
域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】
21．（10分）（2016•江苏）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为
BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD．
【分析】依题意，知∠BDC=90°，∠EDC=∠C，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，
可得∠ABD=∠C，从而可证得结论．
【解答】解：由BD⊥AC可得∠BDC=90°，因为E为BC的中点，所以DE=CE= BC，
则：∠EDC=∠C，
由∠BDC=90°，可得∠C+∠DBC=90°，
由∠ABC=90°，可得∠ABD+∠DBC=90°，
因此∠ABD=∠C，而∠EDC=∠C，
所以，∠EDC=∠ABD．
【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得
∠ABD=∠C是关键，属于中档题．
B.【选修4—2：矩阵与变换】
22．（10分）（2016•江苏）已知矩阵A= ，矩阵B的逆矩阵B﹣1= ，求
矩阵AB．
【分析】依题意，利用矩阵变换求得B=（B﹣1）﹣1= = ，再利用矩阵乘法的性
质可求得答案．
【解答】解：∵B﹣1= ，
∴B=（B﹣1）﹣1= = ，又A= ，
∴AB= = ．
【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题．
C.【选修4—4：坐标系与参数方程】
23．（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参
数），椭圆C的参数方程为 （θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两
点，求线段AB的长．【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的
交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案．
【解答】解：由 ，由②得 ，
代入①并整理得， ．
由 ，得 ，
两式平方相加得 ．
联立 ，解得 或 ．
∴|AB|= ．
【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆
位置关系的应用，是基础题．
24．（2016•江苏）设a＞0，|x﹣1|＜ ，|y﹣2|＜ ，求证：|2x+y﹣4|＜a．
【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|，结合不等式的基本性质，即可得证．
【解答】证明：由a＞0，|x﹣1|＜ ，|y﹣2|＜ ，
可得|2x+y﹣4|=|2（x﹣1）+（y﹣2）|
≤2|x﹣1|+|y﹣2|＜ + =a，
则|2x+y﹣4|＜a成立．
【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简
单性质，考查运算能力，属于基础题．
附加题【必做题】
25．（10分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，
抛物线C：y2=2px（p＞0）．
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．
①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；
②求p的取值范围．【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．
（2）：①设点P（x ，y ），Q（x ，y ），通过抛物线方程，求解k ，通过P，Q关于直
1 1 2 2 PQ
线l对称，点的k =﹣1，推出 ，PQ的中点在直线l上，推出 =2﹣
PQ
p，即可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；
②利用线段PQ中点坐标（2﹣p，﹣p）．推出 ，得到关于y2+2py+4p2﹣
4p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范围．
【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0，∴l与x轴的交点坐标（2，0），
即抛物线的焦点坐标（2，0）．
∴ ，
∴抛物线C：y2=8x．
（2）证明：①设点P（x ，y ），Q（x ，y ），则： ，
1 1 2 2
即： ，k = = ，
PQ
又∵P，Q关于直线l对称，∴k =﹣1，即y +y =﹣2p，∴ ，
PQ 1 2
又PQ的中点在直线l上，∴ = =2﹣p，
∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；
②因为Q中点坐标（2﹣p，﹣p）．
∴ ，即∴ ，即关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，
∴△＞0，（2p）2﹣4（4p2﹣4p）＞0，
∴p ．
【点∈评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以
及计算能力．
26．（10分）（2016•江苏）（1）求7C ﹣4C 的值；
（2）设m，n N*，n≥m，求证：（m+1）C +（m+2）C +（m+3）C +…+nC
∈
+（n+1）C =（m+1）C ．
【分析】（1）由已知直接利用组合公式能求出7 的值．
（2）对任意m N*，当n=m时，验证等式成立；再假设n=k（k≥m）时命题成立，推导出
当n=k+1时，命∈题也成立，由此利用数学归纳法能证明（m+1）C +（m+2）C +
（m+3）C +…+nC +（n+1）C =（m+1）C ．
【解答】解：（1）7
= ﹣4×
=7×20﹣4×35=0．
证明：（2）对任意m N*，
①当n=m时，左边=（∈m+1） =m+1，
右边=（m+1） =m+1，等式成立．
②假设n=k（k≥m）时命题成立，
即（m+1）C +（m+2）C +（m+3）C +…+k +（k+1） =（m+1） ，
当n=k+1时，
左边=（m+1） +（m+2） +（m+3） + +（k+1） +（k+2）
= ，
右边=
∵=（m+1）[ ﹣ ]
=（m+1）× [k+3﹣（k﹣m+1）]
=（k+2）
=（k+2） ，
∴ =（m+1） ，
∴左边=右边，
∴n=k+1时，命题也成立，
∴m，n N*，n≥m，（m+1）C +（m+2）C +（m+3）C +…+nC +（n+1）
∈
C =（m+1）C ．
【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式
和数学归纳法的合理运用．
