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2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）
理科数学
一、选择题
1．已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N等于( )
A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}
C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}
答案 C
解析 ∵N＝{x|－2<x<3}，M＝{x|－4<x<2}，
∴M∩N＝{x|－2<x<2}，故选C.
2．设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
答案 C
解析 ∵z在复平面内对应的点为(x，y)，
∴z＝x＋yi(x，y∈R)．
∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
3．已知a＝log 0.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
2
A．a<b<c B．a<c<b
C．c<a<b D．b<c<a
答案 B
解析 ∵a＝log 0.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a<c<b.故选B.
2
4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人
体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .若某人满足上述两个黄金分割比
例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是( )
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm答案 B
解 析 若 头 顶 至 咽 喉 的 长 度 为 26 cm ， 则 身 高 为 26 ＋ 26÷0.618 ＋ (26 ＋
26÷0.618)÷0.618≈178(cm)，此人头顶至脖子下端的长度为26 cm，即头顶至咽喉的长度小
于26 cm，所以其身高小于178 cm，同理其身高也大于105÷0.618≈170(cm)，故其身高可
能是175 cm，故选B.
5．函数f(x)＝ 在[－π，π]上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ∵f(－x)＝＝－ ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A；
∵f(π)＝ ＝ >0，∴排除C；
∵f(1)＝ ，且sin 1>cos 1，∴f(1)>1，∴排除B，故选D.
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个
爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“— —”，如图就是一重卦，在所有重卦中随机
取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个
阳爻的种数为 ＝ ＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝ ＝ .故选A.
7．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cos α＝ ，∵α∈[0，π]，∴α＝ ，故选B.
8．如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入( )
A．A＝ B．A＝2＋
C．A＝ D．A＝1＋
答案 A
解析 A＝ ，k＝1,1≤2成立，执行循环体；A＝ ，k＝2,2≤2成立，执行循环体；A＝
，k＝3,3≤2不成立，结束循环，输出A.故空白框中应填入A＝ .故选A.
9．记S 为等差数列{a}的前n项和．已知S＝0，a＝5，则( )
n n 4 5
A．a＝2n－5 B．a＝3n－10
n n
C．S＝2n2－8n D．S＝ n2－2n
n n
答案 A
解析 设等差数列{a}的公差为d，
n
∵ ∴ 解得
∴a＝a＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，
n 1
S＝na＋ d＝n2－4n.故选A.
n 1
10．已知椭圆C的焦点为F(－1,0)，F(1,0)，过F 的直线与C交于A，B两点．若|AF|＝2|
1 2 2 2
FB|，|AB|＝|BF|，则C的方程为( )
2 1
A. ＋y2＝1 B. ＋ ＝1C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
答案 B
解析 由题意设椭圆的方程为 ＋ ＝1(a>b>0)，连接FA，令|FB|＝m，则|AF|＝2m，|
1 2 2
BF|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝ ，故|FA|＝a＝|FA|，则点A为椭圆C的上顶
1 2 1
点或下顶点．令∠OAF ＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝ ＝ .在等腰三角形ABF 中，cos 2θ
2 1
＝ ＝ ，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以 ＝1－2 2，得a2＝3.又c2＝1，所
以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为 ＋ ＝1，故选B.
11．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；
②f(x)在区间 上单调递增；
③f(x)在[－π，π]上有4个零点；
④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
答案 C
解析 f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当
<x<π时，
f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在 上单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]上的图
象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin|x|与y
＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确
结论的编号是①④.故选C.
12．已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2
的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( )
A．8 π B．4 π C．2 π D. π答案 D
解析 因为点 E，F 分别为 PA，AB 的中点，所以 EF∥PB，因为∠CEF＝90°，所以
EF⊥CE，所以PB⊥CE.
取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，
所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，
PB⊥PC，因为PA＝PB＝PC，△ABC为正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC两两垂
直，将三棱锥P－ABC放在正方体中如图所示．因为AB＝2，所以该正方体的棱长为 ，
所以该正方体的体对角线长为 ，所以三棱锥P－ABC的外接球的半径R＝ ，所以球O
的体积V＝ πR3＝ π 3＝ π，故选D.
二、填空题
13．曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．
答案 y＝3x
解析 因为y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜
率k＝y′| ＝3，所以所求的切线方程为y＝3x.
x＝0
14．记S 为等比数列{a}的前n项和．若a＝ ， ＝a，则S＝________.
n n 1 6 5
答案
解析 设等比数列{a}的公比为q，因为 ＝a ，所以(aq3)2＝aq5，所以aq＝1，又a ＝
n 6 1 1 1 1
，所以q＝3，所以S＝ ＝ ＝ .
5
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛
结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取
胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的
概率是________．
答案 0.18
解析 记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲
队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.
16．已知双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直线与C的
1 2 1两条渐近线分别交于A，B两点．若 ＝ ， · ＝0，则C的离心率为________．
答案 2
解析 因为F1B·F2B＝0，所以FB⊥FB，如图．
1 2
因为 ＝ ，所以点 A为FB的中点，又点 O为FF 的中点，所以 OA∥BF ，所以
1 1 2 2
FB⊥OA，所以|OF|＝|OB|，所以∠BFO＝∠FBO，所以∠BOF ＝2∠BFO.因为直线
1 1 1 1 2 1
OA，OB为双曲线C的两条渐近线，
所以tan∠BOF ＝ ，tan∠BFO＝ .
2 1
因为tan∠BOF ＝tan(2∠BFO)，
2 1
所以 ＝ ，所以b2＝3a2，
所以c2－a2＝3a2，
即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝ ＝2.
三、解答题
17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若 a＋b＝2c，求sin C.
解 (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，
故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理得cos A＝ ＝ ，
因为0°<A<180°，所以A＝60°.
(2)由(1)知B＝120°－C，
由题设及正弦定理得 sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，
即 ＋ cos C＋ sin C＝2sinC，
可得cos(C＋60°)＝－ .
由于0°<C<120°，所以sin(C＋60°)＝ ，
故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°
＝ .
18．如图，直四棱柱ABCD－ABC D 的底面是菱形，AA ＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，
1 1 1 1 1
M，N分别是BC，BB，AD的中点．
1 1
(1)证明：MN∥平面C DE；
1
(2)求二面角A－MA －N的正弦值．
1
(1)证明 连接BC，ME.因为M，E分别为BB ，BC的中点，所以ME∥BC，且ME＝
1 1 1
BC.又因为N为AD的中点，所以ND＝ AD.
1 1 1
由题设知AB∥DC且AB ＝DC，可得BC∥AD且BC＝AD，故ME∥ND且ME＝ND，
1 1 1 1 1 1 1 1
因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED.又MN⊄平面C DE，ED⊂平面C DE，所以
1 1
MN∥平面C DE.
1
(2)解 由已知可得DE⊥DA，以D为坐标原点， 的方向为x轴正方向，建立如图所示的
空间直角坐标系D－xyz，
则A(2,0,0)，A(2,0,4)，M(1， ，2)，N(1,0,2)， ＝(0,0，－4)， ＝(－1， ，－
1
2)， ＝(－1,0，－2)， ＝(0，－ ，0)．设m＝(x，y，z)为平面AMA的一个法向量，则
1
所以 可得m＝( ，1,0)．
设n＝(p，q，r)为平面AMN的一个法向量，则
1
所以 可取n＝(2,0，－1)．
于是cos〈m，n〉＝ ＝ ＝ ，
所以二面角A－MA －N的正弦值为 .
1
19．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交
点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若 ＝3 ，求|AB|.
解 设直线l：y＝ x＋t，A(x，y)，B(x，y)．
1 1 2 2
(1)由题设得F ，故|AF|＋|BF|＝x＋x＋ ，由题设可得x＋x＝ .
1 2 1 2
由 可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
令Δ>0，得t< ，
则x＋x＝－ .
1 2
从而－ ＝ ，得t＝－ .
所以l的方程为y＝ x－ .
(2)由 ＝3 可得y＝－3y，
1 2由 可得y2－2y＋2t＝0，
所以y＋y＝2，从而－3y＋y＝2，故y＝－1，y＝3，
1 2 2 2 2 1
代入C的方程得x＝3，x＝ ，
1 2
即A(3,3)，B ，
故|AB|＝ .
20．已知函数f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数，证明：
(1)f′(x)的区间 上存在唯一极大值点；
(2)f(x)有且仅有2个零点．
证明 (1)设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos x－ ，g′(x)＝－sin x＋ .
当x∈ 时，g′(x)单调递减，而g′(0)>0，
g′ <0，可得g′(x)在 有唯一零点，设为α.
则当x∈(－1，α)时，g′(x)>0；当x∈ 时，g′(x)<0.
所以g(x)在(－1，α)上单调递增，在 上单调递减，故g(x)在 上存在唯一极大值
点，即f′(x)在 上存在唯一极大值点．
(2)f(x)的定义域为(－1，＋∞)．
①当x∈(－1,0]时，由(1)知，f′(x)在(－1,0)上单调递增．而f′(0)＝0，所以当x∈(－1,0)
时，f′(x)<0，故f(x)在(－1,0)上单调递减．又f(0)＝0，从而x＝0是f(x)在(－1,0]上的唯一
零点；
②当x∈ 时，由(1)知，f′(x)在(0，α)上单调递增，在 上单调递减，而f′(0)＝
0，f′ <0，所以存在β∈ ，使得f′(β)＝0，且当x∈(0，β)时，f′(x)>0；当x∈
时，f′(x)<0.故f(x)在(0，β)上单调递增，在 上单调递减．又f(0)＝0，f ＝1－ln >0，所以当x∈ 时，f(x)>0.
从而，f(x)在 上没有零点；
③当x∈ 时，f′(x)<0，所以f(x)在 上单调递减．而f >0，f(π)<0，所以f(x)在
上有唯一零点；
④当x∈(π，＋∞)时，ln(x＋1)>1，所以f(x)<0，从而f(x)在(π，＋∞)上没有零点．
综上，f(x)有且仅有2个零点．
21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物
试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选
一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一
种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更
有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白
鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈
则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治
愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，
i
最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p＝0，p＝1，p＝ap ＋bp＋cp (i＝1,2，…，
0 8 i i－1 i i＋1
7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.
(ⅰ)证明：{p －p}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；
i＋1 i
(ⅱ)求p，并根据p 的值解释这种试验方案的合理性．
4 4
(1)解 X的所有可能取值为－1,0,1.
P(X＝－1)＝(1－α)β，
P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，
P(X＝1)＝α(1－β)．
所以X的分布列为
(2)(ⅰ)证明 由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.
因此p＝0.4p ＋0.5p＋0.1p ，故0.1(p －p)＝0.4(p－p )，即p －p＝4(p－p )．
i i－1 i i＋1 i＋1 i i i－1 i＋1 i i i－1
又因为p－p＝p≠0，所以{p －p}(i＝0,1,2，…，7)为公比为4，首项为p 的等比数列．
1 0 1 i＋1 i 1
(ⅱ)解 由(ⅰ)可得p＝p－p＋p－p＋…＋p－p＋p
8 8 7 7 6 1 0 0
＝(p－p)＋(p－p)＋…＋(p－p)
8 7 7 6 1 0
＝ p.
1
由于p＝1，故p＝ ，所以
8 1
p＝(p－p)＋(p－p)＋(p－p)＋(p－p)
4 4 3 3 2 2 1 1 0
＝ p
1
＝ .
p 表示题干中的实验方案最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈
4
率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p ＝ ≈0.003 9，此时得出错误
4
结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (t为参数)．以坐标原点O为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos θ＋ ρsin θ＋11＝0.
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)求C上的点到l距离的最小值．
解 (1)因为－1< ≤1，且x2＋ 2＝ 2＋ ＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋
＝1(x≠－1)．
l的直角坐标方程为2x＋ y＋11＝0.
(2)由(1)可设C的参数方程为 (α为参数，－π<α<π)．
C上的点到l的距离为
＝ .
当α＝－ 时，4cos ＋11取得最小值7，
故C上的点到l距离的最小值为 .
23．[选修4－5：不等式选讲]已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：
(1) ＋ ＋ ≤a2＋b2＋c2；
(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
证明 (1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且abc＝1，故有
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ ＝ ＋ ＋ .
所以 ＋ ＋ ≤a2＋b2＋c2.
(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有
(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3
＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)
≥3×(2 )×(2 )×(2 )
＝24.
所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
