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2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）
理科数学
一、选择题
1．已知集合M＝{x|－41，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a0，∴排除C；
∵f(1)＝ ，且sin 1>cos 1，∴f(1)>1，∴排除B，故选D.
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个
爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“— —”，如图就是一重卦，在所有重卦中随机
取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个
阳爻的种数为 ＝ ＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝ ＝ .故选A.
7．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cos α＝ ，∵α∈[0，π]，∴α＝ ，故选B.
8．如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入( )
A．A＝ B．A＝2＋
C．A＝ D．A＝1＋
答案 A
解析 A＝ ，k＝1,1≤2成立，执行循环体；A＝ ，k＝2,2≤2成立，执行循环体；A＝
，k＝3,3≤2不成立，结束循环，输出A.故空白框中应填入A＝ .故选A.
9．记S 为等差数列{a}的前n项和．已知S＝0，a＝5，则( )
n n 4 5
A．a＝2n－5 B．a＝3n－10
n n
C．S＝2n2－8n D．S＝ n2－2n
n n
答案 A
解析 设等差数列{a}的公差为d，
n
∵ ∴ 解得
∴a＝a＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，
n 1
S＝na＋ d＝n2－4n.故选A.
n 1
10．已知椭圆C的焦点为F(－1,0)，F(1,0)，过F 的直线与C交于A，B两点．若|AF|＝2|
1 2 2 2
FB|，|AB|＝|BF|，则C的方程为( )
2 1
A. ＋y2＝1 B. ＋ ＝1C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
答案 B
解析 由题意设椭圆的方程为 ＋ ＝1(a>b>0)，连接FA，令|FB|＝m，则|AF|＝2m，|
1 2 2
BF|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝ ，故|FA|＝a＝|FA|，则点A为椭圆C的上顶
1 2 1
点或下顶点．令∠OAF ＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝ ＝ .在等腰三角形ABF 中，cos 2θ
2 1
＝ ＝ ，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以 ＝1－2 2，得a2＝3.又c2＝1，所
以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为 ＋ ＝1，故选B.
11．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；
②f(x)在区间 上单调递增；
③f(x)在[－π，π]上有4个零点；
④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
答案 C
解析 f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当
0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直线与C的
1 2 1两条渐近线分别交于A，B两点．若 ＝ ， · ＝0，则C的离心率为________．
答案 2
解析 因为F1B·F2B＝0，所以FB⊥FB，如图．
1 2
因为 ＝ ，所以点 A为FB的中点，又点 O为FF 的中点，所以 OA∥BF ，所以
1 1 2 2
FB⊥OA，所以|OF|＝|OB|，所以∠BFO＝∠FBO，所以∠BOF ＝2∠BFO.因为直线
1 1 1 1 2 1
OA，OB为双曲线C的两条渐近线，
所以tan∠BOF ＝ ，tan∠BFO＝ .
2 1
因为tan∠BOF ＝tan(2∠BFO)，
2 1
所以 ＝ ，所以b2＝3a2，
所以c2－a2＝3a2，
即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝ ＝2.
三、解答题
17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若 a＋b＝2c，求sin C.
解 (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，
故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理得cos A＝ ＝ ，
因为0°0，得t< ，
则x＋x＝－ .
1 2
从而－ ＝ ，得t＝－ .
所以l的方程为y＝ x－ .
(2)由 ＝3 可得y＝－3y，
1 2由 可得y2－2y＋2t＝0，
所以y＋y＝2，从而－3y＋y＝2，故y＝－1，y＝3，
1 2 2 2 2 1
代入C的方程得x＝3，x＝ ，
1 2
即A(3,3)，B ，
故|AB|＝ .
20．已知函数f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数，证明：
(1)f′(x)的区间 上存在唯一极大值点；
(2)f(x)有且仅有2个零点．
证明 (1)设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos x－ ，g′(x)＝－sin x＋ .
当x∈ 时，g′(x)单调递减，而g′(0)>0，
g′ <0，可得g′(x)在 有唯一零点，设为α.
则当x∈(－1，α)时，g′(x)>0；当x∈ 时，g′(x)<0.
所以g(x)在(－1，α)上单调递增，在 上单调递减，故g(x)在 上存在唯一极大值
点，即f′(x)在 上存在唯一极大值点．
(2)f(x)的定义域为(－1，＋∞)．
①当x∈(－1,0]时，由(1)知，f′(x)在(－1,0)上单调递增．而f′(0)＝0，所以当x∈(－1,0)
时，f′(x)<0，故f(x)在(－1,0)上单调递减．又f(0)＝0，从而x＝0是f(x)在(－1,0]上的唯一
零点；
②当x∈ 时，由(1)知，f′(x)在(0，α)上单调递增，在 上单调递减，而f′(0)＝
0，f′ <0，所以存在β∈ ，使得f′(β)＝0，且当x∈(0，β)时，f′(x)>0；当x∈
时，f′(x)<0.故f(x)在(0，β)上单调递增，在 上单调递减．又f(0)＝0，f ＝1－ln >0，所以当x∈ 时，f(x)>0.
从而，f(x)在 上没有零点；
③当x∈ 时，f′(x)<0，所以f(x)在 上单调递减．而f >0，f(π)<0，所以f(x)在
上有唯一零点；
④当x∈(π，＋∞)时，ln(x＋1)>1，所以f(x)<0，从而f(x)在(π，＋∞)上没有零点．
综上，f(x)有且仅有2个零点．
21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物
试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选
一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一
种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更
有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白
鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈
则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治
愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，
i
最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p＝0，p＝1，p＝ap ＋bp＋cp (i＝1,2，…，
0 8 i i－1 i i＋1
7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.
(ⅰ)证明：{p －p}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；
i＋1 i
(ⅱ)求p，并根据p 的值解释这种试验方案的合理性．
4 4
(1)解 X的所有可能取值为－1,0,1.
P(X＝－1)＝(1－α)β，
P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，
P(X＝1)＝α(1－β)．
所以X的分布列为
(2)(ⅰ)证明 由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.
因此p＝0.4p ＋0.5p＋0.1p ，故0.1(p －p)＝0.4(p－p )，即p －p＝4(p－p )．
i i－1 i i＋1 i＋1 i i i－1 i＋1 i i i－1
又因为p－p＝p≠0，所以{p －p}(i＝0,1,2，…，7)为公比为4，首项为p 的等比数列．
1 0 1 i＋1 i 1
(ⅱ)解 由(ⅰ)可得p＝p－p＋p－p＋…＋p－p＋p
8 8 7 7 6 1 0 0
＝(p－p)＋(p－p)＋…＋(p－p)
8 7 7 6 1 0
＝ p.
1
由于p＝1，故p＝ ，所以
8 1
p＝(p－p)＋(p－p)＋(p－p)＋(p－p)
4 4 3 3 2 2 1 1 0
＝ p
1
＝ .
p 表示题干中的实验方案最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈
4
率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p ＝ ≈0.003 9，此时得出错误
4
结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (t为参数)．以坐标原点O为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos θ＋ ρsin θ＋11＝0.
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)求C上的点到l距离的最小值．
解 (1)因为－1< ≤1，且x2＋ 2＝ 2＋ ＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋
＝1(x≠－1)．
l的直角坐标方程为2x＋ y＋11＝0.
(2)由(1)可设C的参数方程为 (α为参数，－π<α<π)．
C上的点到l的距离为
＝ .
当α＝－ 时，4cos ＋11取得最小值7，
故C上的点到l距离的最小值为 .
23．[选修4－5：不等式选讲]已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：
(1) ＋ ＋ ≤a2＋b2＋c2；
(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
证明 (1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且abc＝1，故有
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ ＝ ＋ ＋ .
所以 ＋ ＋ ≤a2＋b2＋c2.
(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有
(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3
＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)
≥3×(2 )×(2 )×(2 )
＝24.
所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
