文档内容
2020 年高考理科数学试题及答案
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．若z=1+i，则|z2–2z|=
A．0 B．1 C． D．2
2．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=
A．–4 B．–2 C．2 D．4
3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的
正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比
值为
A． B． C． D．
4．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=
A．2 B．3 C．6 D．9
5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温
度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方
程类型的是
A． B．
C． D．
6．函数 的图像在点 处的切线方程为
A． B．
C． D．
7．设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为
A． B．C． D．
8． 的展开式中x3y3的系数为
A．5 B．10 C．15 D．20
9．已知 ，且 ，则
A． B． C． D．
10．已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ，
，则球 的表面积为
A． B． C． D．
11．已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动点，过点 作⊙M的切
线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为
A． B． C． D．
12．若 ，则
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若x，y满足约束条件 则z=x+7y的最大值为.
14．设 为单位向量，且 ，则 .
15．已知F为双曲线 的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为.
16．如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1， ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则
cos∠FCB=.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
18．（12分）
如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ． 是底面的内接正
三角形， 为 上一点， ．（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
19.（12分）
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行
下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其
中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 ，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
20.（12分）
已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为直线
x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
21．（12分）
已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数 ．以坐标原点为极点， 轴正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）当 时， 是什么曲线？
（2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数 ．
（1）画出 的图像；
（2）求不等式 的解集．
理科数学试题参考答案(A卷)
选择题答案
一、选择题
1．D 2．B 3．C 4．C
5．D 6．B 7．C 8．C
9．A 10．A 11．D 12．B
非选择题答案二、填空题
13．1 14． 15．2 16．
三、解答题
17．解：（1）设 的公比为 ，由题设得 即 .
所以 解得 （舍去）， .
故 的公比为 .
（2）设 为 的前n项和.由（1）及题设可得， .所以
，
.
可得
所以 .
18．解：（1）设 ，由题设可得 ，
.
因此 ，从而 .
又 ，故 .
所以 平面 .（2）以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
.
由题设可得 .
所以 .
设 是平面 的法向量，则 ，即 ，
可取 .
由（1）知 是平面 的一个法向量，记 ，
则 .
所以二面角 的余弦值为 .19．解：（1）甲连胜四场的概率为 ．
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为 ；
乙连胜四场的概率为 ；
丙上场后连胜三场的概率为 ．
所以需要进行第五场比赛的概率为 ．
（3）丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 ．
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜
胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为 ， ， ．
因此丙最终获胜的概率为 ．
20．解：（1）由题设得A（–a，0），B（a，0），G（0，1）.
则 ， =（a，–1）.由 =8得a2–1=8，即a=3.
所以E的方程为 +y2=1．
（2）设C（x，y），D（x，y），P（6，t）.
1 1 2 2
若t≠0，设直线CD的方程为x=my+n，由题意可知–30．所以f（x）在（–∞，0）单调递
减，在（0，+∞）单调递增．
（2） 等价于 .
设函数 ，则
.
（i）若2a+1≤0，即 ，则当x∈（0，2）时， >0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g
（0）=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意.
（ii）若0<2a+1<2，即 ，则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x∈(2a+1，2)时，
g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e−2≤1，即a≥ .
所以当 时，g(x)≤1.
（iii）若2a+1≥2，即 ，则g(x)≤ .
由于 ，故由（ii）可得 ≤1.
故当 时，g(x)≤1.
综上，a的取值范围是 .
22．解：（1）当k=1时， 消去参数t得 ，故曲线 是圆心为坐标原点，半径为1
的圆．
（2）当k=4时， 消去参数t得 的直角坐标方程为 ．
的直角坐标方程为 ．
由 解得 ．
故 与 的公共点的直角坐标为 ．
23．解：（1）由题设知
的图像如图所示．（2）函数 的图像向左平移1个单位长度后得到函数 的图像．
的图像与 的图像的交点坐标为 ．
由图像可知当且仅当 时， 的图像在 的图像上方，
故不等式 的解集为 ．
