文档内容
年普通高等学校招生全国统一考
2021
试（全国乙卷）
数学（文）
一､选择题
1.已知全集 ，集合 ， ，则 （ )
A.
B.
C.
D.
答案A
2.设 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
答案C3.已知命题 ；命题 ，则下列命题中为真命题的是（
）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
根据正弦函数的值域 ， ，故 ， 为真命题，而函数
为偶函数，且 时， ，故 ， 恒成立.则 也为真命题，所
以 为真，选A.
4.函数 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A. 和
B. 和
C. 和
D. 和
答案：
C
解析：
， .
故选C.5.若 满足约束条件 则 的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
根据约束条件可得图像如下， 的最小值，即 ， 轴截距最小值.根
据图像可知 过点 时满足题意，即 .
6. （ ）
A.
B.
C.D.
答案：
D
解析：
∴选D.
7.在区间 随机取 个数，则取到的数小于 的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
在区间 随机取 个数，可知总长度 ，取到的数小于 ，可知取到的长度范围
，根据几何概型公式 ，∴选B.
8.下列函数中最小值为 的是（ ）
A.
B.
C.D.
答案：
C
解析：
对于A， .不符合，
对于B， ，令 ，∴ ，
根据对勾函数 不符合，
对于C， ，令 ，
∴ ，
当且仅当 时取等，符合，
对于D， ，令 ， .
根据对勾函数 ，不符合.
9.设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
，向右平移一个单位，向上平移一个单位得到 为奇函数.
所以选B.
10.在正方体 中， 为 的中点，则直线 与 所成的角为
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
做出图形， ，所以 为异面直线所成角，设棱长为 .
， ， ， .
，即 ，故选D.
11.设 是椭圆 : 的上顶点，点 在 上，则 的最大值为
A.B.
C.
D.
答案：
A
解析：
方法一：由 ，
则 的参数方程： .
.
∴ ，故选A.
方法二：设 ，则 ①， .
因此 ②
将①式代入②式化简得：
，当且仅当 时 的最大值为 ，故选A.
12.设 ，若 为函数 的极大值点，则
A.
B.
C.D.
答案：
D
解析：
当 时，原函数先增再减后增.
原函数在 的较小零点时取得极大值.
即 ，即 ，∴ .
当 时，原函数先减再增后减.
原函数在 的较大零点时取得极大值.
即 ， ， ，故选D.
二、填空题
13.已知向量 ， ，若 ，则 .
答案：
解析：
.
可得
由已知
14.双曲线 的右焦点到直线 的距离为 .
答案：
解析：
的右焦点为 到直线 的距离 .
，15.记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，面积为 ， ,
，则 .
答案：
解析：
由面积公式 ，且 ，解得 ，
又由余弦定理 ， ，且
解得 .
16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的
三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.
答案：
②⑤或③④
解析：
由高度可知，侧视图只能为②或③.
侧视图为②，如图（1），平面 平面 ， ， ，
，俯视图为⑤.
俯视图为③，如图（2）， 平面 ， ， ， ，俯视
图为④.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用
一台旧设备和一台新设备各生产了 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为
和 .
（1）求 ， ， ， ；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果
，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则
不认为有显著提高）.
答案：
见解析解析：
；
.
.
（2）
.
∵则
，所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值
较旧设备有显著提高；
没有显著提高.
18.如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， 为 的中点，且
.
（1）证明：平面 平面 ﹔
（2）若 ，求四棱锥 的体积.答案：
见解析
解析：
19.设 是首项为 的等比数列，数列 满足 .已知 ， ， ，成等差
数列.
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 ，和 分别为 和 的前 项和.证明： .
答案：
见解析
解析：
设 的公比为 ，则 ，
因为 ， ， 成等差数列，所以 ，解得 ，
故 ， .
又 ，则 ，
两边同乘 ，则 ，
两式相减，得 ，
即 ，
整理得 ，
，
故 .20.已知抛物线 ： 的焦点 到准线的距离为 .
（1）求 的方程，
（2）已知 为坐标原点，点 在 上，点 满足 ，求直线 斜率的最大值.
答案：
见解析
解析：
（1）由焦点到准线的距离为 ，则 .
抛物线 的方程： .
（2）设点 ， ， .
∵ .
∴
则 .
∴直线 斜率的最大值为 .
21.已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标.
答案：见解析
解析：
（1）
（i）当 ，即 时， 恒成立，即 在 在 上单
调递增.
（ ii ） 当 ， 即 时 ， 解 得 ， ，
.
∴ 在 ， 单调递增，在
单调递减，综上所述：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在
单调递减.
（2）设可原点切线的切点为 ，切线斜率 .又
，可得 .化简得 ，即
.∴切点为 ，斜率 ，切线方程为 ，将 ，联立可得 ，化简得 ，解得
， .∴过原点的切线与 公共点坐标为 ， .
22.在直角坐标系 中， 的圆心为 ，半径为 .
（1）写出 的一个参数方程;
（2）过点 作 的两条切线.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立坐标系，
求这两条切线的极坐标方程.
答案：
见解析
解析：
（1） 的参数方程为 （ 为参数）
（2） 的方程为
①当直线斜率不存在时，直线方程为 ，此时圆心到直线距离为 ，舍去；
②当直线斜率存在时，设直线方程为 ，化简为 ，
此时圆心 到直线的距离为 ，
化简得 ，
两边平方有 ，所以
代入直线方程并化简得 或 化为极坐标方程为
或 .23.已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求 的取值范围.
答案：
见解析
解析：
当 时， ，
当 时，不等式 ，解得 ；
当 时，不等式 ，解得 ；
当 时，不等式 ，解得 .
综上，原不等式的解集为 .
（2）若 ，即 ，
因为 （当且仅当 时，
等号成立），所以 ，所以 ，即 或 ，解得
.
