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2021 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）
数学（文）
一､选择题
1.已知全集 ，集合 ， ，则 （ )
A. B.
C. D.
2.设 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
3.已知命题 ；命题 ，则下列命题中为真命题的是（
）
A. B.
C. D.
4.函数 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
5.若 满足约束条件 则 的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
6. （ ）A. B.
C. D.
7.在区间 随机取 个数，则取到的数小于 的概率为（ ）
A. B.
C. D.
8.下列函数中最小值为 的是（ ）
A. B.
C. D.
9.设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
10.在正方体 中， 为 的中点，则直线 与 所成的角为
A. B.
C. D.
11.设 是椭圆 : 的上顶点，点 在 上，则 的最大值为
A. B.
C. D.12.设 ，若 为函数 的极大值点，则
A. B.
C. D.
二、填空题
13.已知向量 ， ，若 ，则 .
14.双曲线 的右焦点到直线 的距离为 .
15.记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，面积为 ， ,
，则 .
16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的
三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.
17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用
一台旧设备和一台新设备各生产了 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为
和 .
（1）求 ， ， ， ；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则
不认为有显著提高）.
18.如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， 为 的中点，且
.
（1）证明：平面 平面 ﹔
（2）若 ，求四棱锥 的体积.
19.设 是首项为 的等比数列，数列 满足 .已知 ， ， ，成等差
数列.
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 ，和 分别为 和 的前 项和.证明： .
20.已知抛物线 ： 的焦点 到准线的距离为 .
（1）求 的方程，
（2）已知 为坐标原点，点 在 上，点 满足 ，求直线 斜率的最大值.
21.已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标.
22.在直角坐标系 中， 的圆心为 ，半径为 .（1）写出 的一个参数方程;
（2）过点 作 的两条切线.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立坐标系，
求这两条切线的极坐标方程.
23.已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求 的取值范围.
