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2021年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，
将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共60分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设2（z+z）+3(z-z)=4+6i，则z=( ).
A.1-2i B.1+2i C.1+I D.1-i
2.已知集合S=｛s|s=2n+1,n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1,n∈Z｝，则S∩T=( )
A.∅
B.S
C.T
D.Z
3.已知命题p：∃x∈R，sinx＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为
真命题的是（ ）
A.p∧q
B.¬p∧q
C.p∧¬q
D.¬(pVq)
1-x
4.设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
1+x
A.f(x-1)-1
B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1
D.f(x+1)+1
5.在正方体 ABCD-A B C D 中，P 为 B D 的中点，则直线 PB 与 AD 所成的角为
1 1 1 1 1 1 1
（ ）π
A.
2
π
B.
3
π
C.
4
π
D.
6
6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4个项目
进行培训，每名志愿者只分到 1个项目，每个项目至少分配 1名志愿者，则不
同的分配方案共有（ ）
A.60种
B.120种
C.240种
D.480种
1
7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把
2
π π
所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数y=sin(x- )的图像，则f(x)=（ ）
3 4
x 7π
A.sin( - )
2 12
x π
B. sin( + )
2 12
7π
C. sin(2x- )
12
π
D. sin(2x+ )
12
7
8.在区间（0,1）与（1,2）中各随机取 1 个数，则两数之和大于 的概率为
4
（ ）
7
A.
4
23
B.
329
C.
32
2
D.
9
9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测
量海盗的高。如图，点 E,H,G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且
等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和 EH 都称为
“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（ ）.
表高×表距
A： +表高
表目距的差
表高×表距
B： -表高
表目距的差
表高×表距
C： +表距
表目距的差
表高×表距
D： -表距
表目距的差
10.设a≠0，若x=a为函数 的极大值点，则（ ）.
f (x)=a(x-a) 2 (x-b)
A：a＜b
B：a＞b
C：ab＜a2
D：ab＞a2
11.设B是椭圆C：x2 y2 （a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足
+ =1
a2 b2
，则C的离心率的取值范围是（ ）.
|PB|≤2bA：[❑√2 )
,1
2
B：[1 )
,1
2
C：( ❑√2]
0,
2
D：( 1]
0,
2
12.设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=❑√1.04-1，则（ ）.
A：a＜b＜c
B：b＜c＜a
C：b＜a＜c
D：c＜a＜b
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
x2
13.已知双曲线C： - y2=1（m>0）的一条渐近线为❑√3x+my=0，则C的焦距为
m
.
14.已知向量 a=（1，3），b=（3，4），若（a-λb）⊥b，则 λ=
。
15.记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为❑√3，B=60°，
a2+c2=3ac，则b= .
16.以图①为正视图和俯视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，
组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为
（写出符合要求的一组答案即可）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21
题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求
作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无
提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标
数据如下：
旧设 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
备
新设 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.
备 5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分
别记为s 2和s 2
1 2
（1） 求x，y， s 2，s 2；
1 2
（2） 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显
著提高（如果 - ≥ √s2+s2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值
y x 2❑ 1 2
2
较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.
18.(12分)
如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM，
（1） 求BC；
（2） 求二面角A-PM-B的正弦值。
19.（12分）
2 1
记S 为数列{a }的前n项和，b 为数列{S }的前n项和，已知 + =2.
n n n n S b
n n
（1） 证明：数列{b }是等差数列；
n
（2） 求{a }的通项公式.
n
20.（12分）
设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。
（1） 求a；
x+f（x）
（2） 设函数g（x）= ，证明：g（x）＜1.
xf（x）
21.（12 分）
己知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的
距离的最小值为4.（1）求p；
（2）若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求ΔPAB的最大值.
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。
22.［选修4一4：坐标系与参数方程］（10分）
在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C（2，1），半径为1.
（1）写出⊙C的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点F（4,1）作⊙C的两条切线, 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴
建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.
23.[选修4一5：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若f（x）≥ —a ,求a的取值范围.
2021年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学乙卷（参考答案）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，
将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
1-5 CCABD
6-10 CBBAD
11-12 CB
13.43
14.
5
15.2❑√2
16.②⑤或③④
17.解：（1）各项所求值如下所示
1
x= (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0
10
1
y= (10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3
10
1
s2= x [(9.7-10.0)2 + 2 x (9.8-10.0)2 + (9.9-10.0)2 + 2 X (10.0-10.0)2
1 10
+ (10.1-10.0)2+2 x (10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2] = 0.36,
1
s2= x [(10.0-10.3)2 +3 x (10.1-10.3)2 +(10.3-10.3)2 +2 x (10.4-
2 10
10.3)2+2 x (10.5-10.3)2+ (10.6-10.3)2] = 0.4.
(2)由(1)中数据得 - =0.3,2√s2+s2≈0.34
y x ❑ 1 2
10
显然 - ＜2√s2+s2，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有
y x ❑ 1 2
10
显著提高。
18.解：（1）因为PD⊥平面ABCD，且矩形ABCD中，AD⊥DC，所以以⃗DA, ⃗DC,
分别为x，y，z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D-xyz。
⃗DP
t
设BC=t，A（t，0，0），B（t，1，0），M（ ，1，0），P(0,0,1),所以⃗PB=
2
1
（t，1，-1），⃗AM=（- ，1，0），
2
t2
因为PB⊥AM，所以⃗PB•⃗AM=- +1=0，所以t=❑√2，所以BC=❑√2。
2
（2）设平面APM的一个法向量为m=（x，y，z），由于⃗AP=（-❑√2，0，1），
则
{m•⃗AP=-❑√2x+z=0
❑√2
m•⃗AM=- x+ y=0
2
令x=❑√2，得m=（❑√2，1，2）。
设平面PMB的一个法向量为n=（xt，yt，zt），则
{ n•⃗CB=❑√2xt=0
n•⃗PB=❑√2xt+ yt-zt=0
令yt=1，得n=(0,1,1).m•n 3 3❑√14
所以 cos（m，n）= = = ,所以二面角 A-PM-B 的正弦值为
|m||n| ❑√7 ╳❑√2 14
❑√70
.
14
19.（1）由已知 2 + 1 =2,则 b =S (n≥2)
n n
S b b
n n n+1
2b + 1 =2 2b +2=2b b -b =1(n≥2),b =3
n-1 n-1 n n n-1 1
⇒ ⇒ ⇒
b b 2 2
n n
3 1
故｛b ｝是以 为首项， 为公差的等差数列。
n
2 2
3 1 n+2 2 2 n+2
（2）由（1）知b = +（n-1） = ,则 + =2⇒S =
n 2 2 2 S n+2 n n+1
n
3
n=1时，a =S =
1 1
2
n+2 n+1 1
n≥2时，a =S -S = - =-
n n n-1 n+1 n n(n+1)
3
{ ,n=1
故a = 2
n
1
- ,n≥2
n(n+1)
20.（1）[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)
当x=0时，[xf(x)]′=f(0)=lna=0,所以a=1
（2）由f(x)=ln(1-x),得x＜1
当0＜x＜1时，f(x)=ln(1-x)＜0，xf(x)＜0；当x＜0时，f(x)=ln(1-x)＞0，
xf(x)＜0
故即证x+f(x)＞xf(x),x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0
令1-x=t(t＞0且t≠1)，x=1-t,即证1-t+lnt-(1-t)lnt＞0
令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt,则
1 1-t 1 1-t
f′(t)=-1- -[(-1)lnt+ ]=-1+ +lnt- =lnt
t t t t
所以f(t)在（0,1）上单调递减，在（1,+∞）上单调递增，故f(t)＞f（1）
=0,得证。
21.解：（1）焦点 ( P)到 的最短距离为P ，所以p=2.
F 0, x2+(y+4) 2=1 +3=4
2 2
1
（2）抛物线y= x2，设A(x ,y ）,B(x ,y ),P(x ,y )，则
1 1 2 2 0 0
41 1 1 1
l = y= x (x- χ )+ y = x X- x2= x x- y ,
PA 2 1 1 1 2 1 4 1 2 1 1
1
l :y= x x- y ,且 x2=- y2-8 y -15 .
PB 2 2 2 0 0 0
1
{ y = x x - y ,
, 都过点P(x ,y ）,则 0 2 1 0 1 故 1 ，即 1 .
l l 0 0 l :y = x x- y y= x x- y
PA PB 1 AB 0 2 0 2 0 0
y = x x - y ,
0 2 2 0 2
{ 1
联立 y= x x- y ，得 ， .
2 0 0 x2-2x x+4 y =0 Δ=4x2-16 y
0 0 0 0
x2=4 y
所以 |AB|=❑ √ 1+ x
4
2 0 ⋅❑√4x2
0
-16 y
0
= ❑√4+x2
0
⋅❑√x2
0
-4 y
0
， d
P→AB
= |x
❑√
2 0
x
-
2
4
+
y
4
0 | ，所以
0
S =
1
|AB|⋅d
=1
|x2-4 y |⋅❑√x2-4 y
=1
(x2-4 y )
3
2
=1
(- y 2-12y -15)
3
2
.
△PAB 2 P→AB 2 0 0 0 0 2 4 0 2 0 0
而 .故当y =-5时， 达到最大，最大值为 .
y ∈[-5,-3] 0 S 20❑√5
0 △PAB
{x=2+cosθ
22. (1)因为⊙C的圆心为(2,1)，半径为1.故⊙C的参数方程为 （θ
y=1+sinθ
为参数).
(2)设切线y=k（x-4)+1,即kx-y-4k+1=0.故
|2k-1-4k+1| =1
❑√1+k2
❑√3 ❑√3
即|2k|=❑√1+k2,4k2=1+k2，解得 k=± .故直线方程为 y= (x-4)+1, y=
3 3
❑√3
- (x-4)+1
3
❑√3 4 ❑√3
故两条切线的极坐标方程为ρsinθ= cosθ - ❑√3+1或ρsinθ= cosθ
3 3 3
4
+ ❑√3+1.
3
23.解：(l)a = 1时，f(x) = |x-1|+|x+3|， 即求|x-1|+|x-3|≥ 6 的解集.
当x≥1时，2x十2 ≥6,得x≥ 2;
当-3-a,而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
当x在a和-3之间时最小，此时f(x)最小值为|a+3|,即|a+3|＞-a.
3
A≥-3时,2a+3>0，得a>- ；a<-3 时,-a-3>-a,此时a不存在.
2
3
综上，a>- .
2
