文档内容
2021年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答
案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
1.设2（z+ ）+3(z- )=4+6i，则z=( ).
A.1-2i B.1+2i C.1+I D.1-i
正确答案C
解析 设 ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a、b的等式，解
出这两个未知数的值，即可得出复数z.
【详解】设 ，则 ，则 ，
所以， ，解得 ，因此， .
故选：C.
2.已知集合S=｛s|s=2n+1,n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1,n∈Z｝，则S∩T=( )
A.
B.S
C.T
D.Z正确答案C
解析
分析可得 ，由此可得出结论.
【详解】任取 ，则 ，其中 ，所以， ，故
，
因此， .
故选：C.
3.已知命题p： x∈R，sinx＜1；命题q： x∈R， ≥1，则下列命题中为真命
题的是（ ）
A.p q
B. p q
C.p q
D. (pVq)
正确答案A
解析由正弦函数的有界性确定命题p的真假性，由指数函数的知识确定命题q的真假性，由
此确定正确选项.
【详解】由于sin0=0，所以命题p为真命题；
由于 在R上为增函数， ，所以 ，所以命题q为真命题；
所以 为真命题， 、 、 为假命题.
故选：A．4.设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A.f(x-1)-1
B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1
D.f(x+1)+1
正确答案B
解析分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得 ，
对于A， 不是奇函数；
对于B， 是奇函数；
对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
5.在正方体ABCD-A B C D 中，P为B D 的中点，则直线PB与AD 所成的角为（ ）
1 1 1 1 1 1 1
A.
B.
C.D.
正确答案D
解析平移直线 至 ，将直线 与 所成的角转化为 与 所成的角，解三
角形即可.
【详解】
如图，连接 ，因为 ∥ ，
所以 或其补角为直线 与 所成的角，
因为 平面 ，所以 ，又 ， ，
所以 平面 ，所以 ，
设正方体棱长为2，则 ，
，所以 .
故选：D
6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4个项目进
行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的
分配方案共有（ ）A.60种
B.120种
C.240种
D.480种
正确答案C
解析
先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，
乘法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先
从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有 种选法；然后连同其余三人，看成四个元
素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！
种，根据乘法原理，完成这件事，共有 种不同的分配方案，
故选：C.
7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所
得曲线向右平移 个单位长度，得到函数y=sin(x- )的图像，则f(x)=（ ）
A.sin( )
B. sin( )
C. sin( )
D. sin( )正确答案B
解析
解法一：从函数 的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到
，即得 ，再利用换元思想求得 的解
析表达式；
解法二：从函数 出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到
的解析表达式.
【详解】解法一：函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不
变，得到 的图象，再把所得曲线向右平移 个单位长度，应当得到
的图象，
根据已知得到了函数 的图象，所以 ，
令 ,则 ,
所以 ,所以 ；
解法二：由已知的函数 逆向变换，
第一步：向左平移 个单位长度，得到 的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的
图象，即为 的图象，所以 .
故选：B.
8.在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于 的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
正确答案B
解析
设从区间 中随机取出的数分别为 ，则实验的所有结果构成区域为
，设事件A表示两数之和大于 ，则构成的区域为
，分别求出 对应的区域面积，根据几何概
型的的概率公式即可解出．【详解】如图所示：
设从区间 中随机取出的数分别为 ，则实验的所有结果构成区域为
，其面积为 ．
设事件A表示两数之和大于 ，则构成的区域为 ，即图
中的阴影部分，其面积为 ，所以 ．
故选：B.
9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量
海盗的高。如图，点E,H,G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高
的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目
距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（ ）.
A：
B：C：
D：
正确答案A
解析
利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】如图所示：
由平面相似可知， ，而 ，所以
，而 ，
即 ＝ ．
故选：A.
10.设a≠0，若x=a为函数 的极大值点，则（ ）.
A：a＜b
B：a＞b
C：ab＜a2
D：ab＞a2
正确答案D
解析先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对a进
行分类讨论，画出f(x)图象，即可得到a,b所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若a=b，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 .
有x=a和x=b两个不同零点，且在x=a左右附近是不变号，在x=b左右附近是变
号的.依题意，x=a为函数 的极大值点， 在x=a左右附近都是
小于零的.
当a<0时，由x>b， ，画出f(x)的图象如下图所示：
由图可知b0时，由x>b时，f(x)>0，画出f(x)的图象如下图所示：
由图可知b>a，a>0，故 .
综上所述， 成立.
故选：D11.设B是椭圆C： （a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足
，则C的离心率的取值范围是（ ）.
A：
B：
C：
D：
正确答案C
解析
设 ，由 ，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出 的最大
值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设 ，由 ，因为 ， ，所以
，
因为 ，当 ，即 时， ，即
，符合题意，由 可得 ，即 ；当 ，即 时， ，即
，化简得， ，显然该不等式不成立．
故选：C．
12.设 ， ， ，则（ ）.
A：a＜b＜c
B：b＜c＜a
C：b＜a＜c
D：c＜a＜b
正确答案B
解析
利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小
关系，将0.01换成x,分别构造函数 ,
，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小
范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
[详解] ,
所以 ;
下面比较C与a,b的大小关系.
记 ,则 ,
，
由于所以当0c;
令 ,则 ,
,
由于 ，在x>0时, ,
所以 ,即函数g(x)在[0,+∞)上单调递减，所以 ,即
,即b0）的一条渐近线为 +my=0，则C的焦距为
.
正确答案4
解析
将渐近线方程化成斜截式，得出a,b的关系，再结合双曲线中 对应关系，联立求解
m，再由关系式求得c，即可求解.【详解】由渐近线方程 化简得 ，即 ，同时平方得
，又双曲线中 ，故 ，解得 （舍去），
，故焦距 .
故答案为：4.
14.已知向量a=（1，3），b=（3，4），若（a-λb）⊥b，则λ= 。
正确答案
解析面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为 ，所以由 可得，
，解得 ．
故答案为： ．
15.记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 ，B=60°，
a2+c2=3ac，则b= .
正确答案
解析 由三角形面积公式可得ac=4，再结合余弦定理即可得解.
【详解】由题意， ，所以 ，
所以 ，解得 （负值舍去）.
故答案为： .
16.以图①为正视图和俯视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，
组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为
（写出符合要求的一组答案即可）.
正确答案③④（答案不唯一）
解析由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.
【详解】选择侧视图为③，俯视图为④，如图所示，长方体 中， ，
分别为棱 的中点，
则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥 .
故答案为：③④.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题
为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提
高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据
如下：
旧 设 9.8 10. 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10. 9.7
备 3 2
新 设 10. 10. 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10. 10.5
备 1 4 4
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别
记为s 2和s 2
1 2
（1） 求 ， ， s 2，s 2；
1 2
（2） 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 -≥ ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提
高，否则不认为有显著提高）.
正确答案
（1） ；
（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
解析
（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.
（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.
【详解】（1）
，
，
，
.
（2）依题意， ，
，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
18.(12分)
如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，
且PB⊥AM，（1） 求BC；
（2） 求二面角A-PM-B的正弦值。
正确答案（1） ；（2）
解析（1）以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标
系，设BC=2a，由已知条件得出 ，求出a的值，即可得出BC的长；
（2）求出平面PAM、PBM的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得
结果.
【详解】（1） 平面ABCD，四边形ABCD为矩形，不妨以点D为坐标原点，DA、
DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系D-xyz，
设BC=2a，则 、 、 、 、 ，
则 ， ，，则 ，解得 ，故 ；
（2）设平面PAM的法向量为 ，则 ，
，
由 ，取 ，可得 ，
设平面PBM的法向量为 ， ， ，
由 ，取 ，可得 ，
，
所以， ，
因此，二面角 的正弦值为 .
19.（12分）
记S 为数列{a }的前n项和，b 为数列{S }的前n项和，已知 =2.
n n n n
（1） 证明：数列{b }是等差数列；
n
（2） 求{a }的通项公式.
n正确答案（1）证明见解析；（2） .
解析
（1）由已知 得 ,且 ，取 ,得 ,由题意得
,消积得到项的递推关系 ,进而证明数列
是等差数列;
（2）由（1）可得 的表达式,由此得到 的表达式,然后利用和与项的关系求得
.
【详解】（1）由已知 得 ,且 ， ,
取 ,由 得 ,
由于 为数列 的前n项积，
所以 ,
所以 ，
所以 ,
由于所以 ，即 ,其中
所以数列 是以 为首项，以 为公差等差数列;
（2）由（1）可得，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
,
,
当n=1时， ,
当n≥2时, ,显然对于n=1不成立,
∴
20.（12分）
设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。
（1） 求a；
（2） 设函数g（x）= ，证明：g（x）＜1.
正确答案
（1）a=1；（2）证明见详解解析
（1）由题意求出 ，由极值点处导数为0即可求解出参数a；
（2）由（1）得 ，x<1且 ，分类讨论 和 ，可
等价转化为要证 ，即证 在 和
上恒成立，结合导数和换元法即可求解
【详解】（1）由 ，
，
又x=0是函数 的极值点，所以 ，解得a=1；
（2）由（1）得 ， ，x<1且 ，
当 时，要证 ， ，
，即证 ，化简得 ；
同理，当 时，要证 ， ，
，即证 ，化简得 ；
令 ，再令 ，则 ， ，
令 ， ，
当 时， ， 单减，假设 能取到，则 ，故
；当 时， ， 单增，假设 能取到，则 ，故
；
综上所述， 在 恒成立
21.（12 分）
己知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距
离的最小值为4.
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求 PAB的最大值.
正确答案（1）p=2；（2） .
解析
（1）根据圆的几何性质可得出关于p的等式，即可解出p的值；
（2）设点 、 、 ，利用导数求出直线PA、PB，进一步可求
得直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出 以及点P到直线AB
的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得 面积的最大值.
【详解】（1）抛物线C的焦点为 ， ，
所以，F与圆 上点的距离的最小值为 ，解得 ；
（2）抛物线C的方程为 ，即 ，对该函数求导得 ，设点 、 、 ，
直线PA的方程为 ，即 ，即 ，
同理可知，直线PB的方程为 ，
由于点P为这两条直线的公共点，则 ，
所以，点A、B的坐标满足方程 ，
所以，直线AB的方程为 ，
联立 ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
所以，
点P到直线AB的距离为 ，
所以， ，
，
由已知可得 ，所以，当 时， 的面积取最大值
.
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则
按所做的第一题计分。22.［选修4一4：坐标系与参数方程］（10分）
在直角坐标系xOy中， C的圆心为C（2，1），半径为1.
（1）写出 C的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点F（4,1）作 C的两条切线, 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建
立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.
正确答案（1） ，（ 为参数）；（2） 或
.
解析
（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；
（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.
【详解】（1）由题意， 的普通方程为 ，
所以 的参数方程为 ，（ 为参数）
（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为 ，即
，
由圆心到直线的距离等于1可得 ，
解得 ，所以切线方程为 或 ，
将 ， 代入化简得或
23.[选修4一5：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若f（x）≥ —a ,求a的取值范围.
正确答案
（1） .（2） .
解析
（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.
（2）利用绝对值不等式化简 ，由此求得a的取值范围.
【详解】（1）当a=1时， ， 表示数轴上的点到1
和-3的距离之和，
则 表示数轴上的点到1和-3的距离之和不小于6，
当x=-4或x=2时所对应的数轴上的点到1,3所对应的点距离之和等于6，
∴数轴上到1,3所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是 或
，
所以 的解集为 .
（2）依题意 ，即 恒成立，，
当且仅当 时取等号， ,
故 ，
所以 或 ，
解得 .
所以 的取值范围是 .
