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绝密★启用前
2021 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项:
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将
答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知命题 ﹔命题 ﹐ ，则下列命题中为真命题的是（
）
A. B. C. D.
4. 函数 的最小正周期和最大值分别是（ ）A. 和 B. 和2 C. 和 D. 和2
5. 若 满足约束条件 则 的最小值为（ ）
A. 18 B. 10 C. 6 D. 4
6. （ ）
A. B. C. D.
7. 在区间 随机取1个数，则取到的数小于 的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 下列函数中最小值为4的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
10. 在正方体 中，P为 的中点，则直线 与 所成的角为（ ）
A. B. C. D.11. 设B是椭圆 的上顶点，点P在C上，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D. 2
12. 设 ，若 为函数 的极大值点，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量 ，若 ，则 _________．
14. 双曲线 的右焦点到直线 的距离为________．
15. 记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ， ， ，
则 ________．
16. 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三
视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．
三、解答题．共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17～21
题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用
一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为 和
．
（1）求 ， ， ， ；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果
，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则
不认为有显著提高）．
18. 如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，M为 的中点，且
．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求四棱锥 的体积．19. 设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ， 成等差数
列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
20. 已知抛物线 的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线 斜率的最大值.
21. 已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标．
（二）选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做．则按
所做的第一题计分．
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系 中，☉C的圆心为 ，半径为1．
（1）写出☉C的一个参数方程;
（2）过点 作☉C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
求这两条切线的极坐标方程．
[选修4—5:不等式选讲]
23. 已知函数 ．
的
（1）当 时，求不等式 解集;
（2）若 ，求a的取值范围．2021 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学 答案解析
一、选择题:
1. A
解析：
由题意可得： ，则 .
故选A.
2. C
解析：
由题意可得： .
故选C.
3. A
解析：
由于 ，所以命题 为真命题；
由于 ，所以 ，所以命题 为真命题；
所以 为真命题， 、 、 为假命题.
故选A．
4. C
解析：
由题， ，所以 的最小正周期为 ，最大值为 .
故选C．
5. C解析：
由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，
由 可得点 ,
转换目标函数 为 ，
上下平移直线 ，数形结合可得当直线过点 时, 取最小值，
此时 .
故选C.
6. D
解析：
由题意，
.
故选D.
7. B
解析：设 “区间 随机取1个数” ，
“取到的数小于 ” ，所以 ．
故选：B．
8. C
解析：
对于A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值为 ，
A不符合题意；
对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，
等号取不到，所以其最小值不为 ，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当
，即 时取等号，所以其最小值为 ，C符合题意；
对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当
， ，D不符合题意．
故选C．
9. B
解析：
由题意可得 ，
对于A， 不是奇函数；对于B， 是奇函数；
对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选B
10. D
解析：
如图，连接 ，因为 ∥ ，
所以 或其补角为直线 与 所成的角，
因为 平面 ，所以 ，又 ， ，
所以 平面 ，所以 ，
设正方体棱长为2，则 ，
，所以 .
故选D
11. A解析：
设点 ，因为 ， ，所以
，
而 ，所以当 时， 的最大值为 ．
故选A．
12. D
解析：
若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 .
依题意， 为函数 的极大值点，
当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 .
当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示：由图可知 ， ，故 .
综上所述， 成立.
故选D
二、填空题：
13.
答案：
解析：
由题意结合向量平行的充分必要条件可得： ，
解方程可得： .
故答案为 .
14.
答案：
解析：
由已知， ，所以双曲线的右焦点为 ，
所以右焦点 到直线 的距离为 .故答案为
15.
答案：
解析：
由题意， ，
所以 ，
所以 ，解得 （负值舍去）.
故答案为 .
16.③④
解析：
选择侧视图为③，俯视图为④，
如图所示，长方体 中， ，
分别为棱 的中点，
则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥 .
故答案为：③④.三、解答题．
（一）必考题：
17.
答案：（1） ；（2）新设备生产产品的该项指标的均
值较旧设备没有显著提高.
解析：
（1） ，
，
，
.
（2）依题意， ， ，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备没有显著提高.
18.
答案：（1）证明见解析；（2） ．
解析：
（1）因为 底面 ， 平面 ，所以 ，又 ，
，所以 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）由（1）可知， 平面 ，所以 ，从而 ，设， ，则 ，即 ，解得 ，所以 ．因为
底面 ，故四棱锥 的体积为 ．
19.
答案：（1） ， ；（2）证明见解析.
解析：
因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）证明：由（1）可得 ，
，①
，②
① ②得 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
20.
答案：（1） ；（2）最大值为 .
解析：
（1）抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 ，
所以该抛物线的方程为 ；
（2）设 ，则 ，
所以 ，
由 在抛物线上可得 ，即 ，
所以直线 斜率 ，
的
当 时， ；
当 时， ，
当 时，因为 ，此时 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
当 时， ；
综上，直线 的斜率的最大值为 .
21.
答案：(1)答案见解析；(2) .
解析：
(1)由函数的解析式可得： ，
导函数的判别式 ，
当 时， 在R上单调递增，
当 时， 的解为： ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
综上可得：当 时， 在R上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
(2)由题意可得： ， ，
则切线方程为： ，
切线过坐标原点，则： ,
整理可得： ，即： ，
解得： ，则 ，
即曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标为 .
（二）选考题:
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.
答 案 ： （ 1 ） ， （ 为 参 数 ） ； （ 2 ） 或
.
解析：
（1）由题意， 的普通方程为 ，
所以 的参数方程为 ，（ 为参数）
（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为 ，即 ，
由圆心到直线的距离等于1可得 ，解得 ，所以切线方程为 或 ，
将 ， 代入化简得
或
[选修4—5:不等式选讲]
23.
答案：（1） .（2） .
解析：
（1）当 时， ， 表示数轴上的点到 和 的距离之和，
则 表示数轴上的点到 和 的距离之和不小于 ，故 或 ，
所以 的解集为 .
（2）依题意 ，即 恒成立，
，故 ，
所以 或 ，
解得 .
所以 的取值范围是 .
