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2021 年全国高考文科数学真题及答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则C （MUN）=
u
A.{5}
B.{1,2}
C.{3,4}
D.{1,2,3,4}
2.设iz=4+3i，则z等于
A.-3-4i
B.-3+4i
C.3-4i
D.3+4i
3.已知命题p：∃xϵR，sinx<1，命题q:∀xϵR，e|x|≥1，则下列命题中为真命题
的是
A.p∧q
B.¬p∧q
C.p∧¬q
D.¬(p∨q)
x x
4.函数f（x）=sin +cos 的最小正周期和最大值分别是
3 3
A.3π和❑√2
B.3π和2
C.6π和❑√2
D.6π和2{x+ y≥4
5.若x，y满足约束条件 x- y≤2,则z=3x+y的最小值为
y≤3
A.18
B.10
C.6
D.4
π 5π
6.cos2 -cos2 =
12 12
1
A.
2
❑√3
B.
3
❑√2
C.
2
❑√3
D.
2
1 1
7.在区间(0, )随机取1个数，则取到的数小于 的概率为
2 3
3
A.
4
2
B.
3
1
C.
3
1
D.
6
8.下列函数中最小值为4的是
A.y=x2+2x+4
4
B.y=|sinx|+
|sinx|
C.y=2x+22-x
4
D.y=lnx+
lnx1-x
9.设函数f (x)= ，则下列函数中为奇函数的是
1+x
A. f (x-1)-1
B. f (x-1)+1
C. f (x+1)-1
D. f (x+1)+1
10.在正方体ABCD-A B C D ，P为B D 的重点，则直线PB与AD 所成的角为
1 1 1 1 1 1 1
π
A.
2
π
B.
3
π
C.
4
π
D.
6
x2
11.设B是椭圆C： + y2=1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为
5
5
A.
2
B.❑√6
C. ❑√5
D.2
12.设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a) 2 (x-b)的极大值点，则
A.ab
C.aba2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知向量a=(2,5),b=(λ,4)，若⃗a//⃗b，则λ=________.x2 y2
14.双曲线 - =1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为_________.
4 5
15.记∆ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为❑√3，B=60°，
a2+c2=3ac，则b=_______.
16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某
个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要
求的一组答案即可）。
三、解答题
（一）必考题
17.（12分）
某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标
有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10件产品，得到各件产品该项
指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别为x和y,样本方差分
别记为S2和S2
.
1 2
（1）求x，y，S2，S2
1 2
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果）√S2+S2
y-x≥2❑ 1 2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提
10
高，否则不认为有显著提高）.
18. （12分）
如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且
PB⊥AM.
（1） 证明：平面PAM⊥平面PBD；
（2） 若PD=DC=1，求四棱锥P-ADCD的体积.
19.(12分)
na
设{a }是首项为1的等比数列，数列{b }满足b = n，已知a ，3a ，9a 成等差
n n n 3 1 2 3
数列.
(1)求{a }和{b }的通项公式；
n n
S
(2)记S 和T 分别为{a }和{b }的前n项和.证明：T < n.
n n n n n 2
20.（12分）
已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1) 求C的方程.
(2) 已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足⃗PQ=9⃗QF，求直线OQ
斜率的最大值.
21.（12分）
已知函数f (x)=x3-x2+ax+1.（1）讨论f (x)的单调性；
（2）求曲线y=f (x)过坐标原点的切线与曲线y=f (x)的公共点的坐标.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2,1)，半径为1.
（1）写出⊙C的一个参数方程。
（2）过点F(4,1)作⊙C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴
建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程。
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数f (x)=|x-a|+|x+3|.
（1）当a=1时，求不等式f (x)≥6的解集；
（2）若f (x)>-a，求a的取值范围.
