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2021 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 3.已知非零向量 ， ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件
数 学
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
一、选择题
D.既不充分也不必要条件
1.设集合 ， ，则 （ ）
答案：
A. B
解析：
B.
若 且 ，则 ，但 不一定等于 ，故充分性不成立，
C.
若 ，则 ，必要性成立，故为必要不充分条件.
D.
故选B.
4.某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积（单位： ）是（ ）
答案：
D
解析：
易知 .故选D
2.已知 ， （ 为虚数单位），则 （ ）
A.
B.
A.
C.
D.
B.
答案：
C
解析：
C.
.故选择：C.
D.
答案：A B
解析： 解析：
易知原图为一个等腰梯形为底面的四棱柱 ，作 ，则根据三视图可知 ，
画出可行域，如图所示：
令直线 ： ，易知当 过点 时， 最小，即为 .
而 为等腰直角三角形，所以 ，再根据三视图可知 ， ，
故选B.
故 .
6.如图，已知正方体 ， ， 分别是 ， 的中点，则（ ）
故选A.
5.若实数 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是（ ）
A.
B.
A.直线 与直线 垂直，直线 平面
B.直线 与直线 平行，直线 平面
C.
C.直线 与直线 相交，直线 平面
D.
D.直线 与直线 异面，直线 平面
答案：
答案：A
解析：
连接 ，易证 在 上，在正方形 中， ，∵ 面 ， 面 ，
∴ ，∵ ，∴ 面 ， 面 ，∴ .在正方形
中，∵ ， ，∴ ，又∵ 面 ， 面 ，∴ 面
.取 中点 ，连接 ，易证 ， ，且 为 ， 的中点，故 面
A.
， 与 相交，故 与 不垂直.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
7.已知函数 ， ，则图象为如图的函数可能是（ ） 为 偶 函 数 ， 为 奇 函 数 ， 图 中 函 数 为 奇 函 数 ， 与
均 不 是 奇 函 数 ， 故 排 除 A ， B 项 ； ，
，则 ，与图不符，故排除C项；故选D.B.直线和椭圆
C.直线和双曲线
8.已知 ， ， 是互不相同的锐角，则在 ， ， 三个值中，大于 的个数 D.直线和抛物线
答案：
的最大值是（ ）
C
A.
解析：
B.
由 题 意 得 ， 即 ， 即
C.
D.
， 即 ， 即
答案：
C ，即 ，所以 或 ，所以
解析：
，当且仅当 时取“ ”，同理 ， 有类似
为双曲线， 为直线.
性质，三式相加得 ，所以，不可能三个式子都大于 ，另一方面，
10.已知数列 满足 ， ，记数列 的前 项和为 ，则（ ）
取 ， ， ，则 ， ，
A.
B.
所以，可以有两个式子大于 ，故大于 的个数的最大值是 .
9.已知 ， ，函数 ，若 ， ， 成等比数列，则平面上 C.
点 的轨迹是（ ）
D.
A.直线和圆
答案：A
解析： ， 又
设 ， ，易知 ，∴ 在 上单调递增，现用数学归纳
，满足 .
法证明 时， ，∵ ， ， ，当 时， ，不等
二、填空题
11.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形
式 成 立 ， 假 设 时 ， 不 等 式 成 立 ， 则 成 立 ， 则 当 时 ，
拼成的一个大正方形（如图所示），若直角三角形直角边的长分别为 ， ，记大正方形的面积为 ，小正方
形的面积为 ，则 .
.
要证 ，只需证 ，
答案：
则需证： ，则需证： ，
解析：
1k
则需证： ，则需证： ，而 显然成立，
， ，所以 .
∴ 成 立 ， ∴ 时 ， ， 即 ， ∴
12.已知 ，函数 ，若 ，则 .答案： 答案：
解析：
，即 .
解析：
（1） ，即 .
13.已知多项式 ，则 ； . 所以 ，所以 ，
答案：
所以 ，
故 .
解析：
根据二项式通项公式： ，故 ；
（2）由余弦定理得 .
同理， ，
， ，
所以 .
15.袋中有 个红球， 个黄球， 个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为 ，若取出的两个球都是红
14.在 中， ， ， 是 的中点， ，则 ；
球的概率为 ，一红一黄的概率为 ，则 ， .
.
答案：
解析：，所以 ，
，所以 ，则 ，
， ， ，
∴ .
（1） .
16.已知椭圆 ，焦点 ， （ ）.若过 的直线和圆
（2）方法一： ，所以 .
相切，与椭圆的第一象限交于点 ，且 轴，则该直线的斜率是 ；椭圆的
方法二：利用（1）的结论， .
离心率是_________.
答案：
方法三： ，所以 ，故 .
解析二：不妨假设 ， ， ， ，
解析：
， ，
解析一：如图所示， ， ， ， .因为 在 方向上的投影为 ，故 ，
故 ，
则 ， ，
当且仅当 ，即 时取等号，故填 .
18.记函数 .
，
（1）求函数 的最小正周期；
所以 .
（2）求函数 在 上的最大值.
答案：
17.已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ， ，记平面向量 在 ， 方 见解析
解析：
向上的投影分别为 ， ， 在 方向上的投影为 ，则 的最小值是 .
（1） ，
答案：
解析： ，
可令 ， ， ，
所以 .
因为 ，故 ，故 ，
因为 在 ， 方向（即 轴和 轴正方向）的投影分别为 ， ，故可设 ，
2）
（，
，取 中点 ，连接 ，则 ， ， 两两垂直，以 为
坐标原点，分别以 、 、 所在的直线为 轴、 轴、 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则
，
， ， ， ， ， 又 为 中 点 ， 所 以
令 ， ，
， ，由（1）得 面 ，所以面 的法向量 ，
从而直线 与平面 所成角的正弦值为
所以 ，所以 ，故 ，
.
所以函数 在 上的最大值为 .
19.如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， ， ，
， ， 分别为 ， 的中点， ， .
（1）证明： .
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
20.已知数列 的前 项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项公式.
（2）设数列 满足 ，记 的前 项和为 ，若 对任意 恒成立，
求实数 的取值范围.
答案：
答案：
见解析
见解析
解析：
解析：
（1）证明：在 中， ， ， ，∴ 为直角三角形， ，
即 ，由题意 且 ， ， 面 ，∴ 面 ，又
（1）由 ①，得 ②，① ②得 ，即 ，所以 是以
，∴ 面 ，∵ 面 ，∴ .
（2）由 ， 得 面 ，∴ ，， 不重合，故 不过点 ，故可设 ，联立直线 与抛物线方程可得
为首项， 为公比的等比数列，故 .
， 故 由 韦 达 定 理 可 知 ， 故
（2）由 ，得 ，从而
，直线 的方程为
③，故
④，③ ④得
，联立直线 和 可得 ，同理可得
，故
，所以 ，
由 得 恒成立，即 恒成立， 时不等式成立， 时，
，联立直线 和 解得 ，因
，得 ， 时， ，得 ，所以 .
21.如图，已知 是抛物线 的焦点， 是抛物线的准线与 轴的交点，且 . 为 ，故 ，故
（1）求抛物线的方程.
（2）设过点 的直线交抛物线于 ， 两点，若斜率为 的直线 与直线 ， ， ， 轴依次交于
，解得
点 ， ， ， ，且满足 ，求直线 在 轴上截距的取值范围.
，故
，直线 在 轴上截距的取值范围为
.
22．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若对于任意实数 ， 均有两个不同零点，求实数 的取值范围；
答案： （3）若 ，证明：对于任意实数 ， 有两个零点 ， （ ），且 ．
见解析
解析： 答案：
见解析
（1） ，故抛物线的方程为 .
解析：
（2） ， ，设 ， ，显然直线 斜率不为 ，故可设 ，因为 （1）由 ，若 ，有 ，则 在 上单调递增；
若 ，则 在 单调递减，在 单调递增；
（2）当 ， 均有两个不同零点，
由（1）可知 ，
记 ，即有 ，即 ，
记 ，易知 单调递减，又有 ，
则由 ，可知 ，
所以有 恒成立，
则有 ，可得 ；
（3）当 时， ，由（1）有 ，
又有 ， ，其中 ，
所以可知 有两个不同的零点，
又 ，则有 ，
所以 ，
而 ，所以 ，
则有 ，不等式得证．
