文档内容
第十一章 实数和二次根式
一、单选题
1．（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）9的平方根是（ ）
A．3 B． C． D．
2．（2022秋·北京延庆·八年级统考期末）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）若 ，估计m的值所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·北京石景山·八年级统考期末）如图，数轴上 ， ， ， 四点中，与 对应的点距
离最近的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
5．（2022秋·北京延庆·八年级统考期末）如果n为整数，且 ，那么n的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2022秋·北京密云·八年级统考期末）如图，数轴上有四个点A，B，C，D，则这四个点中对应的数
是 的可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
7．（2022秋·北京门头沟·八年级统考期末）下列代数式能作为二次根式被开方数的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·北京通州·八年级统考期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
1
学科网（北京）股份有限公司9．（2022秋·北京门头沟·八年级统考期末）下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．（2022秋·北京通州·八年级统考期末）若 ，则 的值为 ．
11．（2022秋·北京昌平·八年级统考期末）若a和b为两个连续整数，且 ，那么
， ．
12．（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）计算： ．
13．（2022秋·北京门头沟·八年级统考期末）如图，数轴上点A，B对应的实数分别是 ，2，点C在线
段AB上运动，如果点C表示无理数，那么点C可以是 （写出一个即可）．
14．（2022秋·北京通州·八年级统考期末） ．
15．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）实数m在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果
为 ．
16．（2022秋·北京石景山·八年级统考期末）要使式子 有意义，则 可取的一个数是 ．
17．（2022秋·北京海淀·八年级校考期末）若 有意义，则 能取的最小整数是 ．
18．（2022春·北京朝阳·八年级统考期末）计算： ．
三、解答题
19．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）已知： ， （ 是正整数）．
(1)若 ，求 的值；
2(2)试比较 与 的大小．
20．（2022秋·北京朝阳·八年级统考期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律
(1)图①是2022年12月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的
阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，例如：
_____________， _____________，不难发现，结果都等于_____________．（请完成填空）
(2)设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．
(3)如图②，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的
乘积为57，那么中间位置上的数 _____________．
21．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）计算： ．
22．（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）计算： ．
23．（2022秋·北京门头沟·八年级统考期末）计算： ．
24．（2022秋·北京怀柔·八年级统考期末）计算：
25．（2022春·北京大兴·八年级统考期末）计算： ．
26．（2022秋·北京西城·八年级北京八中期末）给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于
x的二次多项式 的特征系数对．把关于x的二次多项式 叫做有序实数对（a，b，c）
的特征多项式．
(1)关于x的二次多项式 的特征系数对为____________；
(2)求有序实数对（1，4，4）的特征多项式与有序实数对（1，－4，4）的特征多项式的乘积；
3
学科网（北京）股份有限公司(3)若有序实数对（p，q，－1）的特征多项式与有序实数对（m，n，－2）的特征多项式的乘积的结果为
；直接写出 的值为____________．
27．（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）一些数按某种规律排列如下：
第一行 1
第二行 2
第三行 3
第四行 4
……
(1)根据排列的规律，写出第5行从左数第4个数；
(2)写出第 （ 是正整数）行，从左数第 个数（用含 的代数式表示）．
28．（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）计算： ．
29．（2022秋·北京海淀·八年级校考期末）已知 ， ，试求代数式 的
值；
30．（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）先化简，再求值： ，其中 ．
31．（2022秋·北京门头沟·八年级统考期末）计算： ．
32．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）将n个0或 排列在一起组成一个数组，记为
，其中 ， ，…， 取0或 ，称A是一个n元完美数组（ 且n为整数）．例如：
， 都是2元完美数组， ， 都是4元完美数组．
定义以下两个新运算：
新运算1：对于 ，
新运算2：对于任意两个n元完美数组 和 ，
4．例如：对于3元完美数组
和 ，有 ．
(1)①在 ， ， 中是2元完美数组的有______；
②设 ， ，则 ______；
(2)已知完美数组 ，求出所有4元完美数组N，使得 ；
(3)现有m个不同的2022元完美数组，m是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C，D满足 ，
则m的最大可能值是______．
5
学科网（北京）股份有限公司参考答案：
1．D
【分析】根据平方根的定义即可得．
【详解】解：因为 ，
所以9的平方根是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的求解方法是解题关键．
2．B
【分析】利用平方根和立方根的意义计算即可；注意负数没有平方根，算术平方根是非负数；
【详解】A.∵
∴此选项错误；
B. ，此选项正确；
C.∵
∴此选项错误；
D.∵
∴此选项错误
故选：B
【点睛】本题考查平方根和立方根的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键
3．C
【分析】找到与7最接近的两个完全平方数，即可判断 在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所
求的无理数的范围即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴m的值所在的范围是： ；
故选C．
【点睛】本题考查了无理数的估算能力，解题的关键是估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼
6法”是估算的一般方法．
4．B
【分析】估算出无理数 的大小，进而可以求解．
【详解】解： ，
，
，
，
点 距离此点最近．
故选：B．
【点睛】此题考查了无理数的估算，解题的关键是正确求得无理数的估值．
5．B
【分析】估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
6．D
【分析】先求出 的范围，即可求出哪个点表示 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故点D是表示 可能的点，
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
7．C
【分析】直接利用二次根式有意义的条件，对选项一一进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A、 的符号不能确定，则 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；
B、 ，则 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；
7
学科网（北京）股份有限公司C、 ，能作为二次根式被开方数，故此选项正确；
D、 的符号不能确定，则 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误．
故选：C
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解本题的关键．
8．D
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同
时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：∵ ，被开方数含开得尽方的因数，
故A错误；
∵ 被开方数含有分母，
故B错误；
∵ 被开方数含有分母，
故C错误；
∵ 被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，
故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
9．B
【分析】根据算术平方根的定义、二次根式的性质、二次根式的除法、二次根式有意义的条件，分别判
断即可．
【详解】解：A、 ，故原计算结果不正确，不符合题意；
B、 ，故原计算结果正确，符合题意；
C、 ，故原计算结果不正确，不符合题意；
D、 没有意义，无计算结果，故原计算结果不正确，不符合题意．
故选：B
8【点睛】本题考查了算术平方根、二次根式的性质、二次根式的除法、二次根式有意义的条件，解本题
的关键在熟练掌握相关的知识点．二次根式有意义的条件：被开方数为非负数．
10．
【分析】根据非负数的性质分别求出 ，代入计算即可．
【详解】解： ，
，
解得： ，
，
故答案为： ，
【点睛】本题考查的是非负数的性质和代数式求值，掌握算术平方根的非负性、偶次方的非负性是解题
的关键．
11． 3 4
【分析】根据 ，可得： 的值，进而即可求解．
【详解】 ，
又 为两个连续整数， ，
故答案为：3；4．
【点睛】本题主要考查算术平方根的估算，掌握算术平方根的意义，是解题的关键．
12．2
【分析】直接利用立方根、绝对值化简得出答案．
【详解】解：原式 ．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，解题的关键是正确化简．
13． （答案不唯一）
【分析】根据点C在线段AB上运动，得到点C表示的数的取值范围，写出一个无理数即可．
【详解】解：∵点C在线段AB上运动，
∴点C表示的数在-1和2之间，
∴点C表示的数可以是 （答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）
9
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了数轴与实数的关系，无理数大小的估算，根据题意估算出点C表示的数的取值范围
是解题关键．
14． /
【分析】先确定 ，根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的性质，解题的关键是熟练掌握 ．
15．1
【分析】由数轴可得： ，则有 ，再进行化简即可．
【详解】解：由数轴得： ，
∴ ，
∴
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，数轴，解答的关键是由数轴得出 ．
16．2（答案不唯一）
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ，
∴ 可取2．
故答案为：2（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
17．2
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，根据题意解答即可．
【详解】解：由题意得， ，
解得， ，
10则m能取的最小整数值是2，故答案为：2．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
18．
【分析】利用二次根式的除法法则进行运算即可．
【详解】 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次根式的除法法则， ，熟记二次根式的除法法则是解题的关键．
19．(1)
(2)当 时， ；当 时， ；当 时，
【分析】（1）根据平方和算术平方根的非负性可以得到 ， ，从而求得 ，
可求出 ，代入即可求得 ；
（2）先计算 ，根据 是正整数可以得到 ，分别根据 ， 和 三种情况进
行讨论即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ （ 是正整数）
∵ 是正整数，
∴
11
学科网（北京）股份有限公司当 时，
∴
∴当 时，
∴
∴当 时，
∴ ．
【点睛】本题考查分式的减法运算，解题的关键是熟知平方和算术平方根的非负性，以及分式的运算法
则．
20．(1)15，15，15．
(2)见解析
(3)11
【分析】（1）两式计算得到结果，归纳总结即可得到结果；
（2）分别表示出四个数再进行计算即可得到答案；
（3）分别用含有a的代数式表示出最大的数和最小的数，根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解： ；
；
不难发现，结果都等于15
故答案为：15；15；15；
（2）证明：设“Z”字型框架中位置C上的数为x，则 ，
所以，
；
（3）∵正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数最中间的数为a，
∴最大的数为 ，最小的数为 ，
根据题意得，
∴
∴
12∵
∴
故答案为：11
【点睛】此题考查了整式的混合运算，有理数的混合运算以及日历上的方程等知识，熟练掌握运算法则
是解本题的关键．
21．
【分析】分别计算出立方根，零指数幂，二次根式的平方值，再进行加法运算即可得解．
【详解】
．
【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，注意：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方
根是0．
22．3
【分析】先化简各式，再进行加减运算．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查开方运算，实数的混合运算．熟练掌握实数的运算法则，是解题的关键．
23．
【分析】根据立方根、零次幂及实数的运算可进行求解．
【详解】解：原式 ．
【点睛】本题主要考查立方根、零次幂及实数的运算，熟练掌握立方根、零次幂及实数的运算是解题的
关键．
24．１
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值的性质以及实数的运算法则进行计算即
可．
【详解】解：
13
学科网（北京）股份有限公司．
【点睛】本题考查的是零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值的性质以及实数的运算法则，
解题的关键是熟练掌握相关的运算法则．
25．
【分析】根据零次幂、负指数整数幂、二次根式及去绝对值的运算即可求解．
【详解】
．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握零次幂、负指数整数幂、二次根式及去绝对值的运算法则是
解题的关键．
26．(1)(3，2，-1)；
(2) ；
(3)-6．
【分析】(1 )根据特征系数对的定义即可解答；
(2)根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再根据多项式乘多项式进行计算即可；
(3)根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再令x =-2即可得出答案．
【详解】（1）解：关于x的二次多项式 的特征系数对为(3，2，-1)，
故答案为：(3，2，-1)；
（2）解： 有序实数对（1，4，4）的特征多项式为 ，有序实数对（1，-4，4）的特征多项式
为 ，
；
14（3）解：根据题意得 ，
令 ，则 ，
，
，
，
．
故答案为：-6．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，给x赋予特殊值-2是解题的关键．
27．(1)
(2)
【分析】（1）根据第4行的最后一个数为： ，即可得到第5行第一个数为： ，从左到右，被开
方数依次加1，即可得解；
（2）根据规律可知：第1行最后一个数是： ，第2行最后一个数是： ，第3行最后
一个数是： ，第4行最后一个数是： ，
进而推出第 行最后一个数，然后推导出第 （ 是正整数）行，从左数第 个数即可．
【详解】（1）解：由表格可知：第5行第一个数为： ，
则第5行，从左到右依次是： ， ， ， ， ，
∴第5行从左数第4个数： ；
（2）解：由表格可知：第1行最后一个数是： ，
15
学科网（北京）股份有限公司第2行最后一个数是： ，
第3行最后一个数是： ，
第4行最后一个数是： ，
∴第 行最后一个数是： ，
∴第 行的第一个数是： ，从左数第 个数为： ．
【点睛】本题考查数字规律探究．观察出被开方数是连续自然数，并且每一行的最后一个被开方数是所
在行数乘以比行数大1的数，是解题的关键．
28．
【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则．
29．
【分析】先计算 和 的值，再把 变形为 ，整体代入进行求值即可．
【详解】解：当 ， 时，
， ，
∴
16.
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算、代数式的求值，利用完全平方公式把 变形为
是解题的关键．
30． ，
【分析】先根据分式的运算法则，进行化简，再代值计算即可．
【详解】解：原式
；
当 时：原式 ．
【点睛】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
31．
【分析】先利用二次根式乘法法则运算，再进行二次根式的化简最后合并即可得解．
【详解】解：原式 ，
，
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是结合题目的特征，灵活运用二次根式性质，
选择恰当的解题途径．
32．(1)① ；②
(2) 或 或 或 或 或 ．
(3)2023
17
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）①根据定义直接判定即可；
②根据定义直接计算即可；
（2）由定义可知当 时， ，当 时， ，当 或0，再由此求解即可；
（3）根据题意可知C、D中对应的元都不相等，m的最大值为2023，当C确定后，D中的对应元与C中
的不同即可．
【详解】（1）解：①∵ 中有 ，
∴ 不是2元完美数组；
∵ 中只有 和0，且有2个数，
∴ 是2元完美数组；
∵ 中有3个数，
∴ 不是2元完美数组；
故答案为： ．
②
．
故答案为： ．
（2）解：∵ ，
∴当 时， ，当 时， ，
当 时， 或0，
18∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 或 或 或 或 或 ．
（3）解：∵ ，
∴C、D中对应的元都不相等或C、D中对应的元都相等且为0，
∵C、D是不同的两个完美数组，
∴C、D中对应的元都不相等，
∴m的最大值为2023，当C确定后，D中的对应元与C中的不同．
故答案为：2023．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，弄清定义，熟练掌握绝对值的运算，能够通过所给的运算关系，
得到一般规律是解题的关键．
19
学科网（北京）股份有限公司
