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第十章 分式
一、单选题
1．（2022秋·北京石景山·八年级统考期末）使得分式 值为零的 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·北京西城·八年级统考期末）下列分式中，从左到右变形错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）如果把分式 中的 ， 都扩大为原来的2倍，那么分式的
值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的4倍 D．不变
4．（2022秋·北京海淀·八年级统考期末）对于分式 ( ， 为常数)，若当 时，该分式总有意义；
当 时，该分式的值为负数．则 ， 与 的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·北京怀柔·八年级统考期末）计算 的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
7．（2022秋·北京通州·八年级统考期末）如果 ，那么代数式 的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
二、填空题
1
学科网（北京）股份有限公司8．（2022秋·北京丰台·八年级期末）若使分式 有意义，则x的取值范围是 ．
9．（2022秋·北京海淀·八年级统考期末）当 时，分式 的值为0．
10．（2022秋·北京怀柔·八年级统考期末）填空： ，变形的依据是 ．
11．（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）计算： .
12．（2022秋·北京朝阳·八年级统考期末）计算： ．
三、解答题
13．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）阅读理解：
材料1：为了研究分式 与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
… 0 1 2 3 4 …
无意
… 1 …
义
从表格数据观察，当 时，随着 的增大， 的值随之减小，若 无限增大，则 无限接近于0；当
时，随着 的增大， 的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如
果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与
一个真分式的和．例如：
根据上述材料完成下列问题：
(1)当 时，随着 的增大， 的值 (增大或减小)；当 时，随着 的增大， 的值 （增大
或减小）；
(2)当 时，随着 的增大， 的值无限接近一个数，请求出这个数；
(3)当 时，直接写出代数式 值的取值范围是 ．
214．（2022秋·北京门头沟·八年级统考期末）计算： ．
15．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）计算： ．
16．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）计算： ．
17．（2022秋·北京石景山·八年级统考期末）将分式的分母因式分解后，可以把一个分式表示成两个分式
的和或差．观察下列各式，解答下面问题：
(1) ；
(2)计算： ．
18．（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）计算： ．
19．（2022秋·北京延庆·八年级统考期末）老师留的作业中有这样一道计算题： ，小明完成
的过程如下：
（第一步）
（第二步）
（第三步）
老师发现小明的解答过程有错误．
(1)请你帮助小明分析错误原因．
小明的解答从第______步开始出现错误，错误的原因是___________________；正确的解题思路是
3
学科网（北京）股份有限公司___________________________．
(2)请写出正确解答过程．
20．（2022秋·北京门头沟·八年级统考期末）先化简，再求值： ，其中 ．
21．（2022秋·北京石景山·八年级统考期末）若关于 的分式方程 的解为正数，求正整数
的值．
22．（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买了一批不
同型号的垃圾桶，学校先用2400元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用3200元购买了一批放在户
外使用的大号垃圾桶，已知一个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍．且大号垃圾桶购买的数量比小
号垃圾桶少50个，求一个小号垃圾桶的价格．
23．（2022秋·北京延庆·八年级统考期末）列方程解应用题：某生产线用机器人搬运产品．A型机器人比
B型机器人每小时多搬运20件，A型机器人搬运600件产品所用的时间与B型机器人搬运400件产品所用
的时间相等．问B型机器人每小时搬运多少件产品？
24．（2022秋·北京丰台·八年级期末）小刚家近期准备换车，看中了价格相同的两款车，他对这两款车的
部分信息做了调查，如下表所示：
燃油车 新能源车
油箱容积：40升 电池电量：60千瓦时
油价：9元/升 电价：0.6元/千瓦时
续航里程： 千米 续航里程： 千米
每千米行驶费用： 元 每千米行驶费用：_______元
（续航里程指车辆在最大的能源储备下可连续行驶的总里程）
(1)表中的新能源车每千米行驶费用为________元（用含 的代数式表示）；
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，分别求出两款车每千米行驶费用；
(3)在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．每年行驶里程至少
超过_______千米时，使用新能源车的年费用更低（年费用=年行驶费用+年其它费用）．
25．（2022秋·北京门头沟·八年级统考期末）列方程解应用题：
甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，
已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍．求步行的速度和骑自行车的速度．
426．（2022秋·北京怀柔·八年级统考期末）某种消毒液原液需加水稀释后使用，用于衣物消杀浓度是用于
环境消杀浓度的2倍．取 原液加水稀释用于衣物消杀，再取 原液加水稀释用于环境消杀．按相应浓
度稀释后发现，用于衣物消杀加入水的体积比用于环境消杀加入水的体积少 ．求该消毒液用于环境消
杀的浓度．（ 浓度 = 原液体积 / 加入水的体积，注意此浓度无单位 ）
27．（2022秋·北京海淀·八年级统考期末）随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效，某科技
公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：
根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量．
28．（2022秋·北京朝阳·八年级统考期末）列分式方程解应用题
磁悬浮列车是一种靠磁悬浮力来推动的列车，磁悬浮列车的建设是中国交通发展史上的一次精彩跨越．
A，B两站之间的距离为 ，其间运行的磁悬浮列车的平均速度是地铁的平均速度的6.25倍，且乘坐
磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少 小时．求该磁悬浮列车的平均速度
5
学科网（北京）股份有限公司参考答案：
1．A
【分析】根据分式的值为0的条件求出m的值即可．
【详解】解： 分式 值为零，
且 ，
．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的值为零的条件，熟知分式值为零的条件是分子为零而分母不为零是解题的关键．
2．B
【分析】直接利用分式的加减运算法则以及分式的性质分别化简，进而判断得出答案．
【详解】解：A． ，故此选项不合题意；
B． ，故此选项符合题意；
C． ，故此选项不合题意；
D． ，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式的加减运算以及分式的性质，解题的关键是正确化简分式．
3．D
【分析】根据分式的基本性质化简即可．
【详解】解：把分式 中的m和n都扩大为原来的2倍为： ．
所以不变．
故选：D．
【点睛】题目主要考查了分式的基本性质，解题关键是利用了分式的基本性质进行化简．
4．A
【分析】根据当 时，该分式总有意义，即 ，可以判定 的大小，当 时，该分式的值为
负数，可以判定 ， 为异号，由此即可求解．
【详解】解：∵当 时，该分式总有意义，
∴ 为非负数，且 ，
6∴ ，则 为非正数，即 （非负数减负数不可能为零），
∵当 时，该分式的值为负数，
∴ ，
∴ ， 异号，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查分式的性质与不等式的性质，掌握分式的性质，不等式的性质是解题的关键．
5．A
【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可．
【详解】解：A． ，故本选项正确，符合题意；
B． ，故本选项错误，不符合题意；
C． ，故本选项错误，不符合题意；
D． ，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是能熟记分式的基本性质，注意：分式的基本型性质
是：分式的分子和分母都乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变．
6．D
【分析】先将分式的分子分母分别因式分解，将除法转化成乘法运算，然后分子与分母进行约分化简，
即可得出答案．
【详解】解：原式
，
7
学科网（北京）股份有限公司故选：D．
【点睛】此题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解答此题的关键．
7．A
【分析】先将原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再约分得到最简结果，把已知等
式代入计算即可求出值．
【详解】解：∵ ，
∴
．
故选A．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，将原式进行正确的化简是解本题的关键．
8．
【分析】由分母不为零可得 ，从而可得答案．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式的分母不为零”是解本题的关键．
9．2
【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不能为0 ，即可求解．
【详解】解：当分子 且 ，
即 时，分式 的值为0，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式的值为0 的条件，解题的关键要注意分母不能为0．
10．分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【分析】根据分式的基本性质矩形计算即可．
8【详解】解： ，
依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
故答案为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分
式的值不变．
11．
【分析】先计算乘方运算，然后再计算除法即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查乘方运算及整式的除法，熟练掌握运算法则是解题关键．
12．
【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
13．(1)减小，减小
(2)当 时， 无限接近于2
(3)
【分析】（1）根据 的变化情况，判断 、 值得变化情况即可；
（2）根据材料由 即可求解；
（3）由 ，配合 即可求解．
9
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：∵当 时，随着 的增大， 的值随之减小，
∴随着 的增大， 的值随之减小；
∵当 时，随着 的增大， 的值也随之减小，
∴随着 的增大， 的值随之减小，
故答案为：减小；减小；
（2）解：∵
∵当 时， 的值无限接近于0，
∴当 时， 无限接近于2；
（3）解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．
14．
【分析】先算乘方，然后再进行分式的除法运算即可．
【详解】解：原式
10．
【点睛】本题主要考查分式的除法，熟练掌握分式的除法运算是解题的关键．
15．
【分析】根据分式的乘除混合运算法则求解即可．
【详解】
．
【点睛】此题考查了分式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的乘除混合运算法则．
16．
【分析】先把各个分式的分子、分母因式分解，将原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计
算，再利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算顺序和每一步的运算法则是解答本题关键．
17．(1) ，
(2)
【分析】（1）根据规律可以直接得到答案；
（2）先将分母进行因式分解，再将分式表示成两个分式的差，即可得到答案．
11
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解： ，
故答案为： ， ；
（2）解：
．
【点睛】本题考查因式分解和分式运算，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法和分式的运算法则．
18．
【分析】根据分式的运算法则，先去括号，再算除法．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查分式的混合运算．熟练掌握分式的运算法则，是解题的关键．
19．(1)第二步，去分母，利用同分母分数相加减法则，分母不变，分子相加减
(2)见解析
【分析】（1）小明的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是去分母；
（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则化简可得．
【详解】（1）请你帮助小明分析错误原因，并加以改正．
小明的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是去分母；
12正确的解题思路是利用同分母分数相加减法则，分母不变，分子相加减．
故答案为：第二步，去分母，利用同分母分数相加减法则，分母不变，分子相加减；
（2）解：
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20． ，
【分析】首先化简分式，再通过方程得出 ，然后整体代入，即可得出结果．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，得出分式准确的最简结果是解本题的关键．
21．1
13
学科网（北京）股份有限公司【分析】把分式方程化为整式方程，再解出整式方程可得 ，再由原方程的解为正数，求出 的取
值范围，即可求解．
【详解】解：原方程可化为： ，
．
原方程的解为正数，
，
，
，
，
，
，
∴ 的取值范围为 且 ，
正整数 的值为1．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意算出的答案要去除分母为0
的情况．
22．一个小号垃圾桶的价格为 元
【分析】设一个小号垃圾桶的价格为 元，则：一个大号垃圾桶的价格是 元，根据大号垃圾桶购买的
数量比小号垃圾桶少50个，列出分式方程，进行求解即可．
【详解】解：设一个小号垃圾桶的价格为 元，则：一个大号垃圾桶的价格是 元，
由题意，得： ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解；
∴一个小号垃圾桶的价格为 元．
【点睛】本题考查分式方程的应用．根据题意，正确的列出分式方程，是解题的关键．注意，验根．
23．40件
【分析】根据题意，设B型机器人每小时搬运x件产品，那么A型机器人每小时搬运 件产品，然
后列出分式方程，解分式方程即可．
【详解】解：设B型机器人每小时搬运x件产品，那么A型机器人每小时搬运 件产品．
根据题意列方程，得
14解得：
经检验： 是原分式方程的解，且符合实际意义．
答：B型机器人每小时搬运40件产品．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①
根据题意找出等量关系，②列出方程，③解出分式方程，④检验，⑤作答．注意：分式方程的解必须检
验．
24．(1)
(2)燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元
(3)5000
【分析】（1）根据每千米行驶费用=相应的费用÷续航里程，即可求解；
（2）结合（1）进行求解即可；
（3）根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
【详解】（1）解：由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为： (元)；
（2）解：∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，
∴ (元)， (元)，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；
（3）解：设每年行驶里程为 ，
由题意得： ，
解得 ，
答：当每年行驶里程大于 时，买新能源车的年费用更低．
【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，
列出相应的分式方程和不等式．
25．步行的速度为 千米/小时，骑自行车的速度为 千米/小时
【分析】设步行的速度为 千米/小时，则骑自行车的速度为 千米/小时，根据步行的时间加上骑自行车
15
学科网（北京）股份有限公司的时间等于2小时，列出分式方程，解出即可得出答案．
【详解】解：设步行的速度为 千米/小时，则骑自行车的速度为 千米/小时，
根据题意，可得： ，
解得： ，
经检验 是原方程的解，
∴ ，
∴步行的速度为 千米/小时，骑自行车的速度为 千米/小时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解本题的关键在理清题意，找出等量关系，正确列出方程．
26．该消毒液用于环境消杀的浓度为
【分析】消毒液用于环境消杀的浓度为 ，则用于衣物消杀的浓度为 ，然后根据题意列分式方程求
解即可．
【详解】解：消毒液用于环境消杀的浓度为 ，则用于衣物消杀的浓度为
由题意可得：
解得：
经检验 是分式方程的解．
答：该消毒液用于环境消杀的浓度为 ．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意正确列出分式方程是解答本题的关键．
27．80
【分析】设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为 吨，根据等
量关系列出方程即可．
【详解】解：设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为 吨，
根据题意得： ，
方程两边同乘 ，
得 ，
解得 ，
经检验， 是分式方程的解
答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨．
【点睛】本题考查的是解分式方程，解题的关键是找准等量关键正确列出方程．
28．该磁悬浮列车的平均速度为 ．
16【分析】设地铁的平均速度为 ，则该磁悬浮列车的平均速度为 ，根据“乘坐磁悬浮列车
所用时间比乘坐地铁所用时间少 小时”，得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设地铁的平均速度为 ，则该磁悬浮列车的平均速度为 ．
由题意知， ．
解得 ．
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
所以 ．
答：该磁悬浮列车的平均速度为 ．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
17
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