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2024～2025 学年度第一学期期中练习
九年级数学学科试卷
考生须知：
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名．
3．答案一律填涂或书写在答题卡相应位置上，用黑色字迹签字笔作答．
4．考试结束，只交答题卡，并妥善保管试卷．
一、选择题（共16分，每题2分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】轴对称图形的概念是：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图
形；中心对称图形的概念是：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180度，如果旋转后的图形能与原来
的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，解题的关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的
概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图
形旋转180度后与原图重合．
2. 在平面直角坐标系内，点P（-3，2）关于原点的对称点Q的坐标为（ ）
A. （2，－3） B. （3，2） C. （3，－2） D. （－3，－2）
【答案】C
【解析】
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【分析】根据关于原点对称的横纵坐标分别与原坐标互为相反数，问题可解.
【详解】解：P（-3，2）关于原点对称的点的坐标为P′（3，-2）．
故选C．
考点：关于原点对称的点的坐标．
3. 一元二次方程 的解是（ ）
A. ， B. ，
.
C ， D.
【答案】B
【解析】
【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程
来求解．
【详解】解：∵x2+x=0，
∴x（x+1）=0，
则x=0或x+1=0，
解得：x=0，x=-1，
1 2
故选：B．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2）
【答案】D
【解析】
【分析】根据顶点式 ，顶点坐标是（h，k），即可求解.
【详解】∵顶点式 ，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线 的顶点坐标是（1，2）．
故选：D．
5. 如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数
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是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由于是正五角星，设O的是五角星的中心，那么∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠AOE，所以
要使正五角星旋转后与自身重合，那么它们就是旋转角，而它们的和为360°，由此即可求出绕中心顺时针
旋转的角度．
【详解】
如图，设O的是五角星的中心，
∵五角星是正五角星，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠AOE，
∵它们都是旋转角，而它们的和为360°，
∴至少将它绕中心顺时针旋转360÷5=72°，才能使正五角星旋转后与自身重合．
故答案为B．
【点睛】此题主要考查了旋转对称图形的性质，解答此题的关键是找到对应点：A和B重合，B和C重
合…，进而判断出将它绕中心顺时针旋转的最小角度．
6. 北京市2021年人均可支配收入为7.5万元，2023年达到8.18万元，若2021年至2023年间每年人均可
支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据数量关系可知 2021年人均收入7.5万元增长两年达到
8.18万元，且增长率都是x，直接写成形如 的形式即可．
【详解】根据题意，得 ．
故选：B．
7. 在如图 的正方形网格中， 绕某点旋转一定的角度，得到 ，则其旋转中心可能是
（ ）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心再对应顶点连线的垂直平分线
上，则连接 ， ，分别作出 ， 的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转
图形的性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接 ， ，分别作出 ， 的垂直平分线，
，
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， 的垂直平分线的交点为 ，
旋转中心是点 ，
故选：B．
8. 如图， 是边长为4的等边三角形， 是 的中点， 是直线 上的一个动点，连接 ，
将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ．下列说法中正确的个数是（ ）
① ；② ；③ ；④点 的运动过程中， 的最小值是1
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角
形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据等边三角形的性质可得 ，
，结合 是 的中点即可判断说法①；由旋转的性质可得 ，
，进而证明 ，即可判断说法②、③；取线段 的中点 ，连接 ，证
明 ，由全等三角形的性质可得 ，当 时， 取最小值，结合“直角
三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得 ，即可判断说法④．
【详解】解：∵ 是边长为4的等边三角形，
∴ ， ，
∵ 是 的中点，
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∴ ，故说法①正确；
∵将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故说法②、③正确；
取线段 的中点 ，连接 ，如图所示，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
当 时， 取最小值，如下图，
∵点 为 的中点，
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∴ ，
∵ ， ， 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴点 的运动过程中， 的最小值是1，故说法④正确．
综上所述，说法正确的有4个．
故选：D．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 写出一个图象开口向上，且经过点 的二次函数的解析式：_______．
【答案】 等
【解析】
【分析】设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)，根据开口向上，a＞0，可取a=1，将(0，1)代入得出
c=1，即可得出二次函数表达式．
【详解】设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
∵图象为开口向上，且经过(0，1)，
∴a＞0，c=1，
∴二次函数表达式可以为： (答案不唯一)．
故答案为： (答案不唯一)．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，得出a的符号和c=1是解题关键．
10. 已知一元二次方程 的一个根为1，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将x=1代入原方程，列出关
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于 的方程，然后解方程即可．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 的一个根为 ，
满足一元二次方程 ，
，
解得， ．
故答案为： ．
11. 若关于x的方程 有两个相等的实数根，则a 的值为__
【答案】 ##0.25．
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的
根的判别式等于0，由此可列出关于a的等式，求出a的值．
【详解】解： 关于x的方程 有两个相等的实数根，
∵
，
∴
解得： ．
故答案为： ．
12. 如图， 为 的直径，点C是 上的一点， ，则 __________ ．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查了在圆中，直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理，灵活运用知识点是解题的关
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键．
首先求出 ，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵ 为 的直径，点C是 上的一点，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：20．
13. 点 ， 在抛物线 上，则 __________ （填“ ”“ ”或“ ”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，属于基本题型，掌握比较的方法是
解答关键．
把A、B两点的坐标代入抛物线的解析式，求出 ， 的值即得答案．
【详解】解：把A、B两点的坐标代入抛物线的解析式，得： ， ，
∴ ．
故答案为： ．
14. 如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ，以点B为中心，把线段 顺时针旋转 得
到线段 ，则点C的坐标为_________．
【答案】
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【解析】
【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质等知识，过点 作 轴于点 ，证明
，推出 ， ，可得结论．解题的关键是学会添加常用辅
助线，构造全等三角形解决问题．
【详解】解：过点 作 轴于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
由旋转可知： ， ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
15. 如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上．若∠A＝25°，∠BCA′＝
45°，则∠A′BA＝___________度
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【答案】40
【解析】
【分析】由旋转的性质可得：∠A′=∠A=25°，∠B′=∠ABC，CB=C B′，根据等边对等角可得：
∠B′=∠B′BC，根据三角形外角的性质可得：∠B′BC=∠BCA′＋∠A′=70°，从而求出∠B′BC和∠ABC，
即可求出∠A′BA.
【详解】解：由旋转的性质可得：∠A′=∠A=25°，∠B′=∠ABC，CB=C B′
∴∠B′=∠B′BC
∵∠BCA′＝45°，
∴∠B′BC=∠BCA′＋∠A′=70°
∴∠ABC=∠B′=∠B′BC=70°
∴∠A′BA=180°－∠B′BC－∠ABC=40°
故答案为：40
【点睛】此题考查的是旋转的性质、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，掌握旋转的性质、三角形外
角的性质和等边对等角是解决此题的关键.
16. 已知函数 ，下列结论：①若该函数图象与x轴只有一个交点，则 ；
②方程 至少有一个整数根；③若 ，则 的函数值都是
负数；④不存在实数a，使得 对任意实数x都成立．所有正确结论的序号是
__________．
【答案】②④（答对一个给1分，多选或错选不得分）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图像及性质，二次函数与方程之间的关系，分类讨论的思想，本题难度较大，
熟练掌握二次函数的性质是解决本类题的关键．
①分情况讨论一次函数和二次函数即可求解；
②分情况讨论 和 时方程的根即可；
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③已知条件中限定 且 或 ，分情况讨论 或 的函数值即可；
④分情况讨论 和 时函数的最大值是否小于等于0即可．
【详解】解：对于①：当 时，函数变为 ，与 只有一个交点，
当 时， ，
∴ ，
故图像与 轴只有一个交点时， 或 ，①错误；
对于②：当 时，方程变为 ，有一个整数根为 ，
当 时，方程 因式分解得到： ，
其中有一个根为 ，
故此时方程至少有一个整数根，故②正确；
对于③：由已知条件 得到 ，且 或 ，
当 时， 开口向上，对称轴为 ，
∴自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，
∵ ，
∴ 离对称轴的距离一样，将 代入得到 ，此时函数最大值小于0；
当 时， 开口向下，自变量离对称轴越远，
∴其对应的函数值越小，
∴ 时，函数取得最大值为 ，
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∵ ，
∴最大值 ，即有一部分实数 ，其对应的函数值 ，故③错误；
对于④： 时，原不等式变形为： 对任意实数 不一定成立，故 不符合；
时，对于函数 ，
当 时开口向上，总有对应的函数值 ，此时不存在a对 对任意实数 都成
立；
当 时开口向下，此时函数的最大值为 ，
∵ ，
∴最大值 ，即有一部分实数 ，其对应的函数值 ，
此时不存在a对 对任意实数 都成立；故④正确；
综上所述，②④正确，
故答案为：②④．
三、解答题（共68分，第17题8分，18～25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7
分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 解方程：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ， ；
（2） ， ．
【解析】
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【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，
公式法，因式分解法等．
（1）移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可；
（2）移项，利用配方法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：
解得 ， ；
【
小问2详解】
解：
解得 ， ．
18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x＋c的部分图象经过点A(0，－3)，B(1，0) ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围．
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【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，将坐标代入解析式得出 解方程组即可；
（2）先求抛物线与x轴的交点，转化求方程 的解，再根据函数y＜0，函数图像位于x轴下
方，在两根之间即可．
【详解】解：(1) 抛物线 经过点A(0，－3)，B(1，0) 代入坐标得：
，
解得 ，
的
所求抛物线 解析式是y=x2+2x−3．
(2) 当y=0时， ，
因式分解得： ，
∴ ，
∴ ，
在
当y＜0时，函数图像 x轴下方，
∴y＜0时，x的取值范围为-3＜x＜1．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组，掌握待
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定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组是解题关键．
19. 已知 m是方程 的一个根，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解的定义．
先根据m是方程 的一个根，得出 ，求出 ，然后再整体代入求
值即可．
【详解】解：∵m是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴
．
20. 已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC
求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC
作法：①以点A为圆心， AB长为半径画圆；
②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；
③连接DA并延长交⊙A于点P
点P即为所求
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（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：连接PC，BD
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上
∵BC＝BD，
∴∠_________＝∠_________
∴∠BAC＝ ∠CAD
∵点D，P在⊙A上，
∴∠CPD＝ ∠CAD（______________________） （填推理的依据）
∴∠APC＝∠BAC
【答案】（1）见解析；（2）BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
【解析】
【分析】（1）根据按步骤作图即可；
（2）根据圆周角定理进行证明即可
【详解】解：（1）如图所示，
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（2）证明：连接PC，BD
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上
∵BC＝BD，
∴∠BAC=∠BAD
∴∠BAC＝ ∠CAD
∵点D，P在⊙A上，
∴∠CPD＝ ∠CAD（圆周角定理） （填推理的依据）
∴∠APC＝∠BAC
故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
【点睛】本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
21. 如图， 是等边三角形，点 在边 上，以 为边作等边 ．连接 ， ．求证：
．
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【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法为解题
关键．根据 和 均为等边三角形，得出 ， ， ，
，由全等的判定定理“ ”即可证明 ，最后由全等的性质即可证明
．
【详解】证明：∵ 和 均为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
22. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根差为1，求此时 的值．
【答案】（1）见解析 （2） 或
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识是解题
关键．
（1）根据一元二次方程的根的判别式，可得 ，即可证明结论；
（2）利用因式分解法求得该方程的解为 ， ，结合方程两个根差为1解得 的值即可．
【小问1详解】
证明：对于关于 的一元二次方程 ，
∵ ，
∴方程总有两个实数根；
【小问2详解】
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解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵方程两个根的差为1，
∴ 或 ，
∴ 或 ．
23. 学校计划利用一片空地建一个长方形自行车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米．在与墙平行的一
面开一个2米宽的门，已知现有的木板材料可修建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建．
（1）长方形车棚与墙垂直的一面至少为__________米；
（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与
墙垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到54平方米，若能，此时小路的
宽度是多少米？若不能，请说明理由．
【答案】（1）10； （2）能，1米．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，找出不等关系式和等量关系式是解题
的关键．
（1）设与墙垂直的一面为 米，另一面则为 米，然后利用这堵墙的长度为不超过 米，列出
不等式求解即可；
（2）设小路的宽为a米，两边的长分别为 米， 米，列出方程求解即可求解．
【小问1详解】
解：设与墙垂直的一面为 米，另一面则为 米，
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根据题意得： ．
解得： ，
答：长方形车棚与墙垂直的一面至少 米；
【小问2详解】
解：设小路的宽为a米，
根据题意得， ．
整理得； ，
解得： （舍去）， ．
答：小路的宽为1米．
24. 如图， 是 直径， 是 的一条弦，且 于点E，连接 、 和 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，得到 ，再根据等腰三角形的性质，得到
；
（2）设半径为 ，则 ，根据垂径定理可得 ，在 中，利用勾股定
理列方程，即可解答．
【小问1详解】
证明： ，
，
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，
；
【小问2详解】
解： 是 直径， ，
，
设半径为 ，则 ，
在 中，可得 ，
可得方程 ，
解得 ，
的半径为3．
【点睛】本题考查了垂径定理，在同圆或等圆中同弧或等弧所对圆周角相等，勾股定理，熟练利用勾股定
理列方程是解题的关键．
25. 有机肥作为一种富含有机质及多样营养元素的优质肥料，对于土壤改良及肥力提升具有显著效果．将
其应用于小树施肥，不仅能有效供给必要的养分，还能优化土壤结构，进而促进小树的茁壮成长．
在针对金叶女贞和连翘这两种植物的培育过程中，我们统一施用了 种有机肥，并确保了它们在浇水、松
土、除草等抚育管理措施上的一致性．以下表格详细记录了 种有机肥对这两种植物增长高度的影响：
天数 /天
金叶女贞增长的高度
连翘增长的高度
（1）通过分析数据，发现 与 之间近似满足正比例函数关系．请在给出的平面直角坐标系中，画出
关于 的函数的图像；
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（2）画出 关于 的图像并观察图像，补全表格；（结果保留小数点后一位）
（3）实验前，测量金叶女贞的高度为 ，连翘的高度为 ，大概在第__________天时，连翘
和金叶女贞一样高（结果保留到整数）．
【答案】（1）见解析；
（2）图见解析； （ ～ 之间均可）； （ ～ 之间均可）．
（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据表格描点，连接各点即可画出 关于 的函数的图像；
（2）根据题意作出函数图像即可得解；
（3）根据题意作出函数图像即可得解．
【小问1详解】
解：如图所示，
【小问2详解】
解：如图所示，过 轴上的 作 轴的平行线与 相交，再过该交点作 轴的平行线，
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根据图形，补全表格如下：
天数 /天
金叶女贞增长 的高度
连翘增长的高度
故答案为：78，23；
【小问3详解】
解： ，如图，
由图可得，大概在第 天时，连翘比金叶女贞多长了 ，即大概在第 天时，连翘和金叶女贞一
样高．
26. 已知关于x的二次函数 上两个不同的点 ， ．
（1）求顶点坐标；
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（2）若 且 时，总有 ，求m的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） 或 ．
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质，利用数形相结合的思想是解题的关键．
（1）把二次函数 化为顶点式即可得解；
（2）由 ，得对称轴是直线 ，进而分 和 两种情形利用二次函数的性质
求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可知： ，
∵ ，
∴顶点坐标为 ．
【小问2详解】
解：∵ ，
∴对称轴是直线 ，
当 时，
当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小．
∵ ，
∴点A(x ,y )始终在对称轴右侧，
1 1
若A、B在对称轴右侧， ，即 时，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
若A、B在对称轴异侧， ，即 时，B(x ,y )关于对称轴的对称点是 ．
2 2
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ （舍）．
综上所述： ．
当 时，对称轴是直线 ，
当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而增大．
∵ ， ，
∴若A、B在对称轴同侧， ，则 不符合题意，应舍去，
若A、B在对称轴异侧， ， ，
B(x ,y )关于对称轴的对称点是 ．
2 2
∵ ，
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∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
综上所述： 或 ．
27. 已知 ，点 是直线 上一动点（不含 点），连接 ，将线段 绕点 逆时针旋
转 得到线段 ，连接线段 ，过点 作 交直线 于点 ．
（1）如图1，点 在点 右侧时，
①依题意补全图形；
②用等式表示 与 的数量关系，并证明；
③用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明；
（2）当点 在直线 上运动时，请直接写出线段 ， ， 之间的数量关系．
【答案】（1）①见解析；② ，理由见解析；③ ，理由见解析；
（2）当点 在点 右侧时， ，当点 在点 左侧时， ．
【解析】
【分析】（1）①根据题干所给作图方法分垂足 在 延长线上和垂足 在 上补全图形即可；②由
旋转性质及等边三角形的判定得 是等边三角形，进而得 ，由 ，得
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，再根据三角形的内角和定理即可得解；③分垂足 在 延长线上和垂足
在 上两种情况利用等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质求解即可；
（2）分点 在点 右侧和点 在点 左侧两种情况，利用全等三角形的判定及性质以及等边三角形的性
质求解即可．
【小问1详解】
解：①当垂足 在 延长线上时，如图 ，
当垂足 在 上时，如图 ，
② ，理由见解析：
∵将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
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∴ ；
③当垂足 在 延长线上时，如图 ，连接 ，在 的延长线线上取一点 ，使得 ，
由②得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
当垂足 在 上时，如图 ，连接 ，在 的延长线线上取一点 ，使得 ，
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同理可证 ；
【小问2详解】
解：当点 在点 右侧时， ，当点 在点 左侧时， ，理由如下：
当点 在点 的右侧时，由（ ）得， ；
当点 在点 的左侧，且点 在 的上方时，如图 ，连接 ，在线段 上取一点 ，使得
，
∵将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ （ ），
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
当点 在点 的左侧，且点 在 的上方时，如图 ，连接 ，在AB的延长线上取一点 ，使得
，
∵将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ （ ），
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
综上所述，当点 在点 右侧时， ，当点 在点 左侧时， ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，旋转的性质，三角形的内角和定
理，熟练掌握全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，旋转的性质是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，点 ，点 为定点，对于点 作如下变换，将点 绕点 逆
时针旋转 得到点 ，再将点 绕点 逆时针旋转 后得到点 ，则称点 为点 的“双逆转点”．
（1）若点 为线段 上的一点，则在点 ， ， 中，点 的“双逆转点”可
能为__________；
（2）若点 的“双逆转点”在 轴上，请写出一个满足条件的点 的坐标__________；
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（3）若点 坐标为 ，点 为点 的“双逆转点”，
①当 长度最短时，求 的值；
②已知 半径为 ，若存在过点 的直线被 所截得的弦长为 ，则 的取值范围为__________．
【答案】（1） ， ；
（2） （答案不唯一，纵坐标为 即可）；
（3）① ；② 或 ．
【解析】
【分析】（1）根据题意分别画出 的“双逆转点”，即可求解；
（2）①根据题意将点 的“双逆转点”变换得到点 ，如图所示当点 的“双逆转点” ，在 轴上，将
绕点 顺时针旋转 得到 ，再绕 点顺时针旋转得到 点，过点 分别作 轴的垂线，垂足分
别为 ，证明 得出 的纵坐标为 ，得出 关于点 中心对称，进而求
得对称中心 ，根据两点距离列出关系式，进而根据二次函数的性质，即可求解；
（3）当 在 内时，过点 的直线被 所截得的弦长 最小时，则 ，根据题意得出
时，符合题意，进而根据勾股定理求得 的范围，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，将点 作变换，则 是 的“双逆转点”，将 作变换，则 是 的“双逆转点”，
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若点 为线段 上的一点，则在点 ， ， 中，点 的“双逆转点”可能为 ，
；
故答案为： ， ；．
【小问2详解】
解：如图所示，当点 的“双逆转点” ，在 轴上，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，再绕 点顺
时针旋转得到 点，过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，
∴ ， ，
又∵
∴
∴
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∵点 ，则 的横坐标为 ，
∴ ，即 的纵坐标为 ，
∴若点 的“双逆转点”在 轴上，满足条件的点 的坐标(0,1)（答案不唯一，纵坐标为 即可）；
【小问3详解】
由（1）（2）可得， 的“双逆转点”分别为 ，顺次连接得到
如图所示， 关于点 中心对称
∵点 ，点 ， ， ，
∴ ，
当 为平面内任意一点时，同理可得 的中点为 ，
①∵点 坐标为 ，点 为点 的“双逆转点”，
∴ ，
∴
∴当 时， 长度最短时；
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故答案为：−2．
②如图所示，当 在 内时，过点 的直线被 所截得的弦长 最小时，则 ，
∵过点 的直线被 所截得的弦长为 ， 半径为 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ 时，符合题意，
如图所示，点 坐标为 ， ,(即 在直线 上， 在直线 上)
∵ ，
∴
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当 时，即 ，
解得： 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，两点距离公式，垂径定理，中心对称的性质，勾股定理，等边三角形的
性质与判定，二次函数的性质，理解新定义是解题的关键．
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