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初一第一学期期末试卷数学
（清华附中初 22 级）
一．选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 2022年12月底，某市统计局发布本年度经济运行情况．根据地区生产总值统一核算结果，今年本市实
现地区生产总值约2931亿元．数据2931亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
2. 若 ，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 若 ，则代数式 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
.
4 已知有理数a，b，c满足 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 某同学去蛋糕店买面包，面包有A、B两种包装，每个面包品质相同，且只能整盒购买，商品信息如下：
若某同学正好买了40个面包，则他最少需要花（ ）元．
A包装 B包装
盒 盒
每盒面包个数（个） 4 6
每盒价格（元） 5 8
.
A 50 B. 49 C. 52 D. 51
6. 已知关于 的不等式 的解集是 ，则关于 的不等式 的解集是（ ）
A. B. 或 C. 或 D.
7. 已知a，b，c为实数，且 ， ，则a，b，c之间的大小关系是（）
A. B. C. D.
8. 关于 的不等式组 有解且至多有5个整数解，关于 的方程 有整数解，
则满足条件的所有整数 的和是（ ）
A. 2 B. 0 C. 4 D. 不存在符合条件的
二．填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若 有意义，则字母x的取值范围是_____．
10. 已知 ，则 ______．
11. 设x，y满足 ， ，则 ______．
12. 已知 、 是有理数，且 、 满足 ，则 ______．
13. 已知关于 的方程 的解大于1，则实数 的取值范围是______．
14. 已知 ， ，则 ______．
15. 如果 ， 为定值，关于 的一次方程 ，无论 为何值时，它的解总是 1，则
______．
16. 为促进春节消费，某黄金首饰店决定在假期开展一次“力度空前”的促销活动．活动方案如下：在收银台
旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全
相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次抽奖机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现
金100元、60元、30元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球
次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸
到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的 4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为4180元，第三时段返现金额比第一时段多600元，则第二时段返现金额为______元．
三、解答题（本题共88分，第17题4分，18题5分，第19-20题每问4分，第21-23题每题
5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过
程
17. 有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示，化简： ．
18. 解不等式组 ．
19. 解下列方程或不等式（组）：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
20. 分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
21. 已知最简二次根式 和 是同类二次根式，求 的平方根．
22. 列分式方程解应用题：为了提高学生体育锻炼的意识和能力、丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购
买一批体育用品．在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低10元，用3150元购买甲种跳绳与用3900
元购买乙种跳绳的数量相同，求甲、乙两种跳绳的单价各是多少元？23. 当 为何值时，多项式 可以分解为两个关于 ， 的一次三项式的
乘积？
24. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高
学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）
两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风
记》的价格相同．若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超
过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
25. 已知关于 的分式方程 ．
（1）若这个方程的解是负数，求 的取值范围；
（2）若这个方程无解，则 ______．（直接写出答案）
26. 我们把形如 （a，b不为零），且两个解分别为 ， 的方程称为“十字分式方
程”．例如 为十字分式方程，可化为 ，∴ ， ．再如 为十
字分式方程，可化为 ，∴ ， ．应用上面的结论解答下列问
题：
（1）若 为十字分式方程，则 ______， ______；
（2）若十字分式方程 的两个解分别为 ， ，求 的值．
27. 为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有 100名技术人
员，年人均投入 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员 名（ 为
正整数且 ），调整后研发人员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为万元．
（1）若这 名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，则调整后的技术人
员最多有______人；
（2）是否存在这样的实数 ，使得技术人员在已知范围内任意调整后，都能同时满足以下两个条件：
①研发人员的年人均投入不超过 ；
②研发人员 的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．请说明理由．
28. 有若干个正数的和为1275，其中每个正数都不大于50．小明将这些正数按下列要求进行分组：
①每组中所有数的和不大于150；
②从这些数中选择一些数构成第1组，使得150与这组数之和的差 与所有可能的其它选择相比是最小的，
将 称为第1组的余差；
③在去掉已选入第1组的数后，对余下的数按第1组的选择方式构成第2组，这时的余差为 ；
④如此继续构成第3组（余差为 ）、第4组（余差为 ）、…，第 组（余差为 ），直到把这些数全
部分完为止．
（1）除第 组外的每组至少含有______个正数；
（2）小明发现，按照要求进行分组后，得到的余差满足 ．并且当构成第 组后，
如果从余下的数中任意选出一个数a，a与 的大小关系是一定的，请你直接写出结论： ______ （填“
”或“ ”），并证明 ；
（3）无论满足条件的正数有多少个，按照分组要求，它们最多可以分成______组（直接写出答案）．
