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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市 2024 年北京十九中中考数学零模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A. 长方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 三棱柱
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项．
【详解】解：由图形可得该几何体 是圆柱；
故选B．
【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．
2. 党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务． 年，中央财政累计投入“全
面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数
法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：将169200000000用科学记数法表示应为 ；
故选C．
【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
3. 若 ，则 的补角的度数是（ ）
A. 40° B. 50° C. 130° D. 140°
【答案】D
【解析】
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【分析】根据补角的定义即可求解．
【详解】解：∵∠α=40°，
∴它的补角=180°－40°=140°．
故选：D．
【点睛】本题考查了补角的知识，熟记互为补角的两个角的和等于180°是解题的关键．
4. 若一个多边形的内角和等于 ，则这个多边形的边数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用多边形的内角和公式即可求解．
【详解】解：因为多边形的内角和公式为 ，
所以， ，
解得， ，
所以这个多边形的边数是6．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式及利用内角和公式列方程解决相关问题．内角和公式可能部分学
生会忘记，但是这并不是重点，如果我们在学习这个知识的时候能真正理解，在考试时即使忘记了公式，
推导一下这个公式也不会花多少时间，所以，学习数学，理解比记忆更重要．
5. 在平面直角坐标系内，若点 在第二象限，那么 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了已知点所在的象限求参数范围，解一元一次不等式组，根据第二象限内的点横坐
标为负，纵坐标为正得到 ，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：∵在平面直角坐标系内，若点 在第二象限，
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∴ ，
解得 ，
故选：B．
6. 在今年的慈善基金捐款活动中，某单位对捐款金额分别是人民币 元、 元、 元、 元和
元的人数进行了统计，制成如下统计图，那么从该统计图获得的四条信息中正确的是（ ）
A. 捐款金额越高，捐款的人数越少
B. 捐款金额为 元的人数比捐款金额为 元的人数要少
C. 捐款金额为 元的人数最多
D. 捐款金额为 元的人数最少
【答案】C
【解析】
【分析】条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，本题主要考查了从条形统计图读取每个项目的数据，
再做比较．从条形图中得出捐款金额分别是人民币100元、200元、300元、400元和500元的人数，再进
行判断．
【详解】解：由图知，捐款金额分别是人民币100元、200元、300元、400元和500元的人数分别是2，
5，11，5，6．
选项 、 、 是错误的，正确的是 ，捐款金额为300元的人数最多是11人．
故选： ．
7. 口袋里有三枚除颜色外都相同的棋子，其中两枚是白色的，一枚是黑色的，从中随机摸出一枚记下颜色，
不放回，再从剩余的两枚棋子中随机摸出一枚记下颜色，摸出的两枚棋子颜色相同的概率是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画树状图（或列表）展示所有等可能的结果，找出两枚棋子颜色相同的结果数，然后根据概率公
式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中两枚棋子颜色相同的结果数为2，
所以随机摸出一枚记下颜色，摸出的两枚棋子颜色相同的概率 ．
故选：A．
【点睛】本题考查树状图或列表法求等可能事件的概率，正确画出树状图（或列表）是解题的关键．
8. 如图，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为
两车之间的距离为 ，图中的折线表示 与 之间的函数关系，下列说法中错误的是（ ）
A. 甲乙两地相距 B. 点 表示此时两车相遇
C. 慢车的速度为 D. 折线 表示慢车先加速后减速最后到达
甲地
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，AB段表示两车逐渐相遇，到点B处两车相遇，BC段表示两车相遇后各自继续向前运
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动，点C处快车到达乙处，CD段表示慢车继续向前行驶，点D处慢车到达甲处．
【详解】由图形得，甲乙两地相距1000km，A正确
慢车共行驶了10h，速度为100km/h，C正确
根据分析，点B处表示两车相遇，B正确
折线B-C-D表示的是两车运动的状态，而非速度变化，D错误
故选：D
【点睛】本题考查一次函数图像与行程问题，解题关键是将函数图像中每一条线段与实际情况的一一匹配
上．
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 要使分式 有意义，则 的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不为零是解题关键．根据分母不为零列不等式求
解即可．
【详解】解：要使分式 有意义，则 ，
解得： ，
故答案为： ．
10. 下列几何体中，主视图是三角形的是_____．
【答案】②③
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形，得出主视图是三角形的即可．
【详解】由主视图 定的义得：①的主视图的一行两个矩形，②的主视图是三角形，③的主视图是等腰三角
形
则主视图是三角形的是②③
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了主视图的定义，掌握三视图的相关知识点是解题关键．另两个概念是：俯视图和左视
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图，这是常考知识点，需掌握．
11. 分解因式： __________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因数3，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
12. 方程 的解为________．
【答案】x＝3
【解析】
【分析】根据分式方程的解法解方程即可；
【详解】解：去分母得：3x﹣1＝2x+2，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入得：(x+1)(3x﹣1)≠0，
∴分式方程的解为x＝3．
故答案为：x＝3．
【点睛】本题考查了解分式方程：先将方程两边乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，
最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解．
13. 如图， ， 分别切 于点 ， ， 是劣弧上一点，若 ，则 ______．
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【答案】 ##80度
【解析】
【分析】连接 ， ，由切线的性质得出 ，由 ，由圆周角定理得
出 ，再由四边形内角和等于 ，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接 ， ，
， 分别切 于点 ， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和，掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题
的关键．
14. 如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC中点O作直线分别交BC，AD于点E，F，只需添加一个
条件即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是________（写出一个即可）．
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【答案】AC=FE或AE⊥BC等（答案不唯一，只要满足题意即可）．
【解析】
【分析】由ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边AD与BC平行，然后利用两直线平行
得到两对内错角相等，再根据O为AC的中点及AAS可得三角形AOF与三角形COE全等，从而可得
OF=OE，并得到AFCE为平行四边形，若再添加AC=FE，根据对角线相等的平行四边形为矩形可得AFCE
为矩形；若添加AE垂直于BC，由垂直定义可得∠AEC=90°，根据有一个角为直角的平行四边形为矩形
可得AFCE为矩形，所添的条件不唯一，只要满足题意即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴AD//BC（平行四边形的对边平行），
∴∠CAF=∠ACE，∠EFA=∠CEF（两直线平行，内错角相等），
由已知可得OA=OC，
∴在△AOF和△COE中，
∠CAF=∠ACE，∠EFA=∠CEF ，OA=OC，
∴△AOF≌△COE(AAS)；
∴OF=OE（全等三角形的对应边相等），又OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）；
（1）若添加AC=FE，由对角线相等的平行四边形为矩形可得四边形AFCE为矩形；
（2）若添加AE⊥BC，可得∠AEC=90°，由有一个角为直角的平行四边形为矩形可得四边形AFCE为矩
形，
故答案为：AC=FE或AE⊥BC等（答案不唯一，只要满足题意即可）．
【点睛】本题考查平行四边形的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，
以及矩形的判定是解题关键．
15. 如图，点 在线段 上， ， ， ，如果 ， ，
，那么 的长是 _____ ．
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【答案】
【解析】
【分析】由已知条件，根据同角的余角相等得 ，根据 得 ，
求出 ，得出 ，利用 和勾股定理即可得 的长．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
设 的长是x，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 或 （舍去负值），
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故答案为： ．
【点睛】本题考查三角函数-正切，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
16. 高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每 20
分钟通过小客车的数量分别都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的
小客车数量记录如下：
A ， B ， C ， D ， E ，
收费出口编号
B C D E A
通 过 小 客 车 数 量
260 330 300 360 240
（辆）
在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的收费出口的编号是_______．
【答案】B
【解析】
【分析】根据表中数据两两相比较即可得到结论．
【详解】解：∵ ，
∴A收费出口通过的数量小于C收费出口通过的数量；D收费出口通过的数量小于B收费出口通过的数量；
E收费出口通过的数量大于C收费出口通过的数量；D收费出口通过的数量大于A收费出口通过的数量；
B收费出口通过的数量大于E收费出口通过的数量；
∴ ，
∴每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是B．
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查统计表和不等式的基本性质，正确的理解题意是解题的关键．
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先计算特殊角 的三角函数值、负整数指数幂、绝对值和零指数幂，再计算乘法，后计算加减．
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【详解】解：
．
【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．
18. 解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】x≥-3，数轴见解析．
【解析】
【分析】去分母得：3x-6≤4x-3，移项合并得x≥-3，正确在数轴上表示即可．
【详解】解：3x-6≤4x-3
∴x≥-3
【点睛】本题考查解一元一次不等式．
19. 先化简，再求值： ，其中x=6，y=-2．
【答案】xy +5y2；8
【解析】
【分析】利用完全平方式和平方差公式化简，再去括号，合并同类项即得最后化简结果．再将x＝6，y＝
－2代入化简后的式子，求值即可．
【详解】原式
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．
当x＝6，y＝－2时，
原式 ．
【点睛】本题考查整式的化简求值．利用完全平方式和平方差公式化简是解答本题的关键．
20. 如图，在 中， ， ，请用尺规作图法在AC边上确定一点P，连接BP，使
BP将 分割成两个等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】答案见详解
【解析】
【分析】作∠ABC的角平分线BP，交AC于点P，点P即为所求．
【详解】解：如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解
决问题，属于中考常考题型．
21. 已知 是关于 的一元二次方程 的两实数根．
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（1）求 的取值范围；
（2）已知等腰 的底边 ，若 恰好是 另外两边的边长，求这个三角形的周长．
（3）阅读材料：若 三边的长分别为 ，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得：
，其中 ，在（2）的条件下，若 和 的角平
分线交于点 ，根据以上信息，求 的面积．
【答案】（1） 且
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，计算一元二次方程根的判别式大于或等于 0，根据一元二次方程的定义得出
，即可求解；
（2）根据 恰好是等腰 的腰长，令 ，解一元二次方程求得 ，进而即可求解；
（3）由(2)知： 的三边长为 ，代入公式求得面积，进而根据角平分线的性质求得 ，
再根据三角形面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得： ，且 ，
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化简得： ，
解得： 且 ；
【小问2详解】
由题意知： 恰好是等腰 的腰长，
∴ ，
∵ 是关于 的一元二次方程 的两实数根，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ 的周长为： ；
【小问3详解】
由(2)知： 的三边长为 ，
∴ 5，
∴ ，
过 分别作 ， ， ，垂足分别为 ，
∵ 是△ABC角平分线的交点，
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∴ ，
∴
，
解得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，角平分线的性
质，综合运用以上知识是解题的关键．
22. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使
CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣
CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝ ；
（2）当t＝ 时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
【答案】（1）6；（2）8；（3）①当点P在BC上运动时，S =4t；（0＜t＜4）；②当点P在CD上运
△ABP
动时，S =16；（4≤t≤6）；③当点P在AD上运动时，S =-4t+40；（6＜t≤10）；（4）t=2s或t=3s
△ABP △ABP
或t= s
【解析】
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【分析】（1）根据题意可得BP=2t，进而可得结果；
（2）根据∠A=∠ABC=∠BCD= ，可得四边形ABCD是矩形，根据角平分线定义可得AF=AB=4，得
DF=4，进而可得t的值；
（3）根据题意分3种情况讨论：①当点P在BC上运动时，②当点P在CD上运动时，③当点P在AD上
运动时，分别用含t的代数式表示△ABP的面积S即可；
（4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，根据题意分情况讨论：①当点P在BC上，点P到AD边
的距离为4，点P到AB边的距离也为4，②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，点P到DE边的距
离也为4，③当点P在CD上且P到BE与DE距离一样时．
【详解】解：（1）由题意得：BP=2t=2×3=6，
故答案为：6；
（2）如图，作∠ABC的角平分线交AD于F，
∴∠ABF=∠FBC，
∵∠A=∠ABC=∠BCD= ，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠FBC，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=4，
∴DF=AD-AF=8-4=4，
∴BC+CD+DF=8+4+4=16，
∴2t=16，解得t=8．
∴当t=8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；
故答案为：8；
（3）根据题意分3种情况讨论：
①当点P在BC上运动时，
S ＝ ×BP×AB= ×2t×4=4t；（0＜t＜4）；
ABP
△
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②当点P在CD上运动时，
S ＝ ×AB×BC= ×4×8=16；（4≤t≤6）；
ABP
△
③当点P在AD上运动时，
S ＝ ×AB×AP= ×4×（20-2t）=-4t+40；（6＜t≤10）；
ABP
△
（4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，根据题意分情况讨论：
①当点P在BC上，且点P到AB与AD距离一样时，
∵点P到AD边的距离为4，
∴点P到AB边的距离也为4，
即BP=4，
∴2t=4，解得t=2s；
②当点P在BC上，且P到DE与AD距离一样时，如图，过P作PF⊥DE于点F，
则PF=4，
∵PF⊥DE，
∴∠PFE=∠DCE=90°，
∴在△PFE和△DCE中，
，
∴△PFE≌△DCE(AAS)，
∴PE=DE=5，
∴BP=BC+CE-PE=8+3-5=6，
∴ ；
③当点P在CD上，则P到BE与DE距离一样时，如图，过点P作PH⊥DE于点H，
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设PC=PH=x，则 ，
，
∴ ，
解得：x=1.5，
∴BC+CP=8+1.5=9.5，
∴ ．
综上所述：t=2s或t=3s或t= s时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线定理、三角形的面积、全等三角形的判定与性质，解题的
关键是综合运用以上知识．
23. 某公园内人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流
距喷水枪的水平距离为 ，距地面的竖直高度为 ，获得数据如下：
0.0 1.0 2.0 3.0 4.5
1.6 3.7 4.4 3.7 0.0
小景根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小景的探究过程，请补充完整：
（1）在平面直角坐标系 中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
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（2）水流的最高点距喷水枪的水平距离为________m；
（3）结合函数图象，解决问题：公园准备在距喷水枪水平距离为 处加装一个石柱，使该喷水枪喷出
的水流刚好落在石柱顶端，则石柱的高度约为_____m．
.
【答案】（1）见解析 （2）20
（3）2.8
【解析】
【分析】（1）在平面直角坐标系 中，描出以表中各对对应值为坐标的点，用光滑的曲线顺次连接即
可；
（2）设抛物线的解析式为 ，利用待定系数法求出解析式，把抛物线的解析式化成顶点式，
即可得到答案；
（3）把x＝3.5代入（2）中求出的抛物线的解析式即可求得答案．
【小问1详解】
解：函数图象如图所示：
【小问2详解】
解：∵ 喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分，
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∴设抛物线的解析式为 ，
把（0，1.6），（1，3.7），（2，4.4），分别代入 得，
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
∵ ＝ ，
∴当x＝2时，y取最大值4.4，
的
故水流 最高点距喷水枪的水平距离为2.0m．
故答案为：2.0．
【小问3详解】
解：∵抛物线的解析式为 ＝ ，
∴当x＝3.5时，y＝ ＝2.825≈2.8，
∴石柱的高度约为2.8m，
故答案为：2.8．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用问题，也考查了描点法画函数图象、待定系数法求函数解析式等
知识，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式．
24. 某商场为了解甲、乙两个部门的营业员在某月的销售情况，分别从两个部门中各随机抽取了20名营业
员，获得了这些营业员的销售额（单位：万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部
分信息．
a．设营业员该月的销售额为x（单位：万元），甲部门营业员销售额数据的频数分布直方图如下（数据分
成5组： ， ， ， ， ）：
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b．甲部门营业员该月的销售额数据在 这一组的是：
21.3 22.1 22.6 23.7 24.3 24.3 24.8 24.9
c．甲、乙两部门营业员该月销售额数据的平均数、中位数如下：
平均数 中位数
甲部门 22.8 m
乙部门 23.0 22.7
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在甲部门抽取的营业员中，记该月销售额超过23.0万元的人数为 ．
在乙部门抽取的营业员中，记该月销售额超过23.0万元的人数为 ．
比较 的大小，并说明理由；
（3）若该商场乙部门共有100名营业员，估计乙部门该月的销售总额．
【答案】（1）24.0
（2） ；理由见解析
（3）2300万元
【解析】
【分析】（1）将甲部门营业员该月的销售额从小到大进行排序，找出排在第10位和第11位的数据，求其
平均数即可；
（2）根据甲部门抽取的营业员该月的销售额的数据可知 ；根据乙部门调查数据的中位数，推算出
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，即可得出结论；
（3）根据乙部分的平均数估计乙部门该月的销售总额即可．
【小问1详解】
解：∵将甲部门营业员该月的销售额从小到大进行排序，找出排在第10位的是23.7，第11位的是24.3，
∴中位数 ．
【小问2详解】
；理由如下：
由甲部门抽取的营业员该月的销售额的数据可知 ，
∵在乙部门抽取的20名营业员该月销售额数据的中位数是22.7万元，
小于23.0万元，
∴ ，
∴ ．
【小问3详解】
估计乙部门该月的销售总额约为： （万元）．
【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数，以及应用中位数作出判断，根据平均数估计总数，熟练掌
握求偶数个中位数时，需要求中间两个数的平均数，是解题的关键．
25. 某年级共有300名学生，为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取30名学生进行
测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，相关信息如下：
α．30名学生A，B两门课程成绩统计图：
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b．30名学生A，B两门课程成绩的平均数如下：
A课程 B课程
平均
85.1 80.6
数
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这30名学生中，甲同学A课程成绩接近满分，B课程成绩没有达到平均分，请在图中用“○”圈
出代表甲同学的点；
（2）这30名学生A课程成绩的方差为 ，B课程成绩的方差为 ，直接写出 ， 的大小关系；
（3）若该年级学生都参加此次测试，估计A，B两门课程成绩都超过平均分的人数．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）90人
【解析】
【分析】（1）根据A课程成绩接近满分，B课程成绩没有达到平均分，结合统计图可得代表甲同学的点；
（2）根据方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大可得出结论；
（3）由统计图可知，成绩都超过平均分的有9人，占抽取的学生人数的 ，再乘总人数即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图所示：
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【小问2详解】
∵方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大，由a可知，B课程成绩的波动大，A课程成绩
的波动小，
∴ ；
【小问3详解】
由统计图可知在这30名学生中，A，B两门课程成绩都超过平均分的有9人，
所以若该年级学生都参加此次测试，估计A，B两门课程成绩都超过平均分的人数为 （人）．
【点睛】本题考查读统计图的能力和利用统计图获取信息的能力，涉及方差，用样本估计总体等知识．利
用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
26. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 ．
（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）若点（－1， ），（a， ），（1， ）在抛物线上，且 ，求a的取值范围．
【答案】（1）直线
（2） 或
【解析】
【分析】（1）直接根据函数表达式代入对称轴求解即可；
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（2）分三种情况进行讨论分析：①当 时，②当 时，③当 时，根据二次函数的基本
性质及图象求解即可得出结果．
【小问1详解】
解：∵抛物线表达式为 ，
∴对称轴为直线 ；
【小问2详解】
解：由题意可知抛物线开口向上．
①当 时，
由 ，得 ．
解得 ．
由 ，得 ．
解得 ．
∴ ．
②当 时，
由 ，得 ．
解得 ．
由 ，得 ．
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解得 ．
∴ ．
③当 时，
由 ，得 ．
解得 ．
由 ，得 ．
解得 ．
无解．
综上， 或 ．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及数形结合思想，理解题意，对a的值进行分类讨论是解题关
键．
27. 如图，等腰 中， ，点P为射线BC上一动点（不与点B、C重合），
以点P为中心，将线段PC逆时针旋转 角，得到线段PQ，连接 、M为线段BQ的中点．
（1）若点P在线段BC上，且M恰好也为AP的中点，
①依题意在图1中补全图形：②求出此时 的值和 的值；
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（2）写出一个 的值，使得对于任意线段BC延长线上的点P，总有 的值为定值，并证明；
【答案】（1）①见解析；②
（2） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）①由题意，画出图形即可；②连接AQ，证四边形ABPQ是平行四边形，得AB＝PC，再根
据 是等腰三角形即可求解．
（2）令 ，延长PM至N，使得MN＝PM，连接BN、AN、QN，证四边形BNQP是矩形，根据
证 ，得出 为等腰直角三角形，即可求解．
【小问1详解】
①如图所示，即为所求，
②连接AQ，如图所示，
∵M为AP、BQ的中点，
∴AM=PM，BM=QM，
∴四边形ABPQ是平行四边形，
∴AB＝PQ，AB//PQ，
∴ ，
∵PC=PQ，
∴AB＝PC，
为等腰直角三角形，
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，
．
【小问2详解】
，
延长PM至N，使得MN＝PM，连接BN、AN、QN，
如图所示：
M为线段BQ的中点，
∴BM=QM，
又∵MN＝PM，
∴四边形BNQP是平行四边形，
又∵∠CPQ=90°，
∴四边形BNQP是矩形，
， ，
，
为等腰直角三角形，
， ，即 ，
又AB=AC，
，
， ，
，即 ，
即 为等腰直角三角形，
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，
又 ，
，
即 的值为定值，
当 时， 的值为定值．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形、平行四边形的判定及性质、旋转的性质以及全
等三角形的判定及性质，熟练利用辅助线构造平行四边形是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，对于已知的点C和图形W，给出如下定义：若存在过点C的直线l，使之
与图形W有两个公共点P，Q，且C，P，Q三点中，某一点恰为另两点所连线段的中点，则称点P是图形
W的“相合点”．
（1）已知点 ，线段 与线段 组成的图形记为W；
①点 中，图形W的“相合点”是___；
②点M在直线 上，且点M为图形W的“相合点”，求点M的横坐标m的取值范围；
（2）⊙O的半径为r，直线 与x轴，y轴分别交于点E，F，若在线段 上存在⊙O外
的一点P，使得点P为⊙O的相合点，直接写出r的取值范围．
【答案】（1）① ，② 或 ；（2） 或
【解析】
【分析】（1）①由题作出草图即可判断；
②根据中点坐标公式分为（Ⅰ） 为 中点，（Ⅱ） 为 中点，（Ⅲ） 为 中点，建立不等
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式组即可得解；
（2）先根据题意设过 的直线交⊙O于 、 ，作直线 交⊙O于 、 ，连接 、 ，通过证
明 ，以及圆的基本性质解得 ，再分为（Ⅰ） 与⊙O相离，（Ⅱ）
与⊙O相交，两种情况建立不等式求解．
【详解】解：（1）作图1如图示，
①由图1可知 为 、 中点， 为 、 中点，对 不存在符合要求的情况，
故答案为： 、 ；
设 ， 在 上， 在 上，
②（Ⅰ） 为 中点，则 ， ，
，
解得 ，
（Ⅱ） 为 中点，则 ， ，
，
解得： ，
（Ⅲ） 为 中点，则 ， ，
，
解得： ，
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综上： 或 ；
（2）令 ，解得 ， ， ，
令 ，则 ，即 ， ，则 ，
与横轴所成锐角 为 ，
在⊙O外部，设过 的直线交⊙O于 、 ，作直线 交⊙O于 、 ，连接 、 如图2,
,
,
又 ,
,
,
，
又 是弦，
，
，
又 在⊙O外部，
；
当 过二、三、四象限时， ，⊙O的半径为 ，
一定在⊙O内部，即 一定与⊙O相交，
若 与⊙O相离则直线 必过一、二、四象限，
（Ⅰ） 与⊙O相离，相离时直线 过一、二、四象限如图2，
要求存在 在⊙O外部且是⊙O的相合点，作 ，
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，
则只需 ， ，
解得： ，
（Ⅱ） 与⊙O相交且存在 在⊙O外部如图3：直线 过二、三、四象限，连接⊙O与 的交点
,
则只需 ， ，
解得： ，
综上， 或 ．
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【点睛】本题考查了对新定义的理解，圆的综合问题，不等式的应用、解直角三角形、中点坐标公式；读
懂新定义，根据新定义会利用参数建立不等式，结合圆的性质作答是本题的关键．
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