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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2024 年北京市三帆中学中考模拟数学试题
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列几何体的三视图之一是长方形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别写出各个立体图形的三视图，判断即可．
【详解】解：A、圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆形，故本选项不合题意；
B、圆柱的左视图和主视图是长方形，俯视图是圆，故本选项符合题意；
C、球体的主视图、左视图、俯视图都是圆形，故本选项不合题意；
D、三棱锥的三视图都不是长方形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解本题的关键．
2. 某种新冠病毒的直径约为120纳米，已知1纳米＝0.000001毫米，120纳米用科学记数法表示为（
）
A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米
【答案】A
【解析】
【分析】将其化为 的形式，其中 满足 ， 为整数即可求解．
【详解】120纳米＝ 毫米＝0.00012毫米＝ 毫米，
故选：A
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多
少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数绝对值大于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于
1时，n是负整数.
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3. 如图，直线 ，直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F，点G在直线CD上，GE⊥EF．若
，则∠2的大小为（ ）
A. 145° B. 135° C. 125° D. 120°
【答案】A
【解析】
【分析】根据 ，由两直线平行同位角相等可推导 ；根据GE⊥EF，可知
；然后借助三角形外角的性质“三角形外角等于不相邻的两个内角和”，利用（
）计算∠2即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵GE⊥EF，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质及三角形外角的定义和性质，解题关键是熟练掌握相关性质并灵活
运用．
4. 有理数a，b在数轴上的表示如图所示，则下列结论正确的是（ ）
甲： ；乙： ；丙：
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A. 只有甲正确 B. 只有甲、乙正确 C. 只有甲、丙正确 D. 只有丙正确
【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴上点的位置关系，可得 、 的大小，根据绝对值的意义，判断即可．
【详解】解：由数轴上点的位置关系，得 ， ．
∴ ，故甲正确；
，故乙错误；
，故丙正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，利用数轴确定 、 的大小即 与 的大小是解题关键．
5. 在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若
CO=BO，则a的值为（ ）
A. -3 B. -2 C. -1 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据CO=BO可得点C表示的数为-2，据此可得a=-2-1=-3．
【详解】解：∵点C在原点的左侧，且CO=BO，
∴点C表示的数为-2，
∴a=-2-1=-3．
故选A．
【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
6. 已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作 ，交射线OB
于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交 于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
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A. ∠COM=∠COD B. 若OM=MN，则∠AOB=20°
C. MN∥CD D. MN=3CD
【答案】D
【解析】
【分析】由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．
【详解】解：由作图知CM=CD=DN，
∴∠COM=∠COD，故A选项正确；
∵OM=ON=MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，
∴∠MOA=∠AOB=∠BON= ∠MON=20°，故B选项正确；
∵∠MOA=∠AOB=∠BON，
∴∠OCD=∠OCM= ，
∴∠MCD= ，
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又∠CMN= ∠AON=∠COD，
∴∠MCD+∠CMN=180°，
∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，
∴3CD＞MN，故D选项错误；
故选D．
【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．
7. 已知 ， ， ， ，那么 精确到 的近似值是（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据无理数的估算确定 的取值范围，再利用四舍五入找出近似值即可．
【详解】解： ，
，
， ，
精确到 的近似值是 ，
故选B．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．
8. 下面三个问题中都有两个变量：
①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内 的长度y与从车头进入隧道至车尾离
开隧道的时间x；
②如图2，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线（圆心O表示王大爷家的位置），他离家的距离y
与散步的时间x；
③如图3，往空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积y与所用
时间x
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其中，变量y与x之间的函数关系大致符合下图的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】根据y值随x的变化情况，逐一判断．
【详解】解：①当货车开始进入隧道时y逐渐变大，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时
y不变且最大，当货车开始离开隧道时y逐渐变小．故①正确；
②王大爷距离家先y逐渐变大，他走的是一段弧线时，此时y不变且最大，之后逐渐离家越来越近直至回
家，即y逐渐变小，故②正确；
③往空杯中匀速倒水，倒满后停止，水的体积逐渐增加，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，这期间，水
量先保持不变，然后逐渐减少，杯中水的体积y与所用时间x，变量y与x之间的函数关系符合图象，故③
正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力．要理解函数图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准
确的信息．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数．据此即可解
答．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
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∴ ，解得： ，
故答案为： ．
10. 因式分解：3a2－12a＋12＝______．
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
=
=
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
11. 分式方程 的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】先去分母，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】解：去分母得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
∴原方程的解为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．解分式方程注意要检验．
12. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积
为______．
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【答案】 ##
【解析】
【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得
∠GAB= ，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入
数值计算即可．
【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，
∴∠GAB= ，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴ ，
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查扇形面积计算及正多边形的性质，熟练掌握扇形面积计算及正多边形的性质是解题
的关键．
13. 如图，在 中， ，过点B作 ，交 于点D，若 ，则
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的长度为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】过点B作BE⊥AC于点E，设DE=x，然后通过直角三角形30°角的性质求得BD=2x，CD=4x，
CE=3x，再运用由等腰三角形的性质得到AE=CE，列方程求解x，即可求出CD的长．
【详解】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，设DE=x，则AE=AD+DE=1+x．
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=30°
∵ ，∴∠DBC=90°
∴∠EDB=60°，∠DBE=30°
∴BD=2DE=2x，DC=2DB=4x
∴CE=DC-DE=3x
∵AB=BC， BE⊥AC，
∴AE=CE
∴1+x=3x，解得x=
∴CD=4x=2．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形30°所对的边等于斜边的一般，需要熟练运用考查的性
质进行解题．
14. 如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ，将 关于直线 对称，得到 ，
则点C的对应点 的坐标为___________；再将 向上平移一个单位长度，得到 ，则点
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的对应点 的坐标为_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据对称点的性质可知，对应点 的纵坐标与点C的纵坐标相同，然后利用中点坐标公式计算出
点C的横坐标即可解决；点 是由点 向上平移一个单位长度得到，根据平移规律解决即可.
【详解】解：根据对称的性质可知，点 的纵坐标为2，
设点 的横坐标为m，
∵两点关于直线x=4对称
∴ ，
∴m=5，
∴ 的坐标为（5,2）
根据平移的规律可知，
点 是由点 向上平移一个单位长度得到，
故 的横坐标不变为5，
的纵坐标为：2+1=3.
故点 的坐标 .
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故答案是： ；
【点睛】本题考查了对称的性质以及点的平移规律，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握点的坐标
平移规律和计算方法.
15. 一组学生春游，预计共需要费用120元，后来又有2人参加进来，总费用不变，于是每人可少摊3元，
若设原来这组学生人数为x，那么可列方程为_____．
【答案】
【解析】
【分析】理解题意找出题意中存在的等量关系，未增加人前每人摊的费用 增加人后每人摊的费用 ，
列出方程即可．
【详解】解：解：设原来这组学生人数为x，
则原来每人摊的费用为 ，又有2人参加进来，此时每人摊的费用为 ，
根据题意可列方程为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键在于找出题中的等量关系．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在 上，边AB、AC分别交 于D、E两
点﹐点B是 的中点，则∠ABE=__________．
【答案】
【解析】
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【分析】如图，连接 先证明 再证明 利用三角形的外角可得：
再利用直角三角形中两锐角互余可得：
再解方程可得答案．
【详解】解：如图，连接
是 的中点，
故答案为：
【点睛】本题考查的是圆周角定理，三角形的外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握圆周角定理的
含义是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共63分）
17. 计算： ．
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【答案】
【解析】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质和绝对值的性质化简得出答案．
【详解】解：原式＝
．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．
18. 解不等式组： ．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集．
【详解】解：由 ，得： ，
由 ，得：此不等式解集为所有实数，
不等式组的解集为 ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19. 已知：如图， 为锐角三角形， ．
求作：点P，使得 ，且 ．
作法：①以点A为圆心， 长为半径画圆；
②以点B为圆心， 长为半径画弧，交 于点D（异于点C）；
③连接 并延长交 于点P．
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所以点P就是所求作的点．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）：
（2）完成下面的证明．
证明：连接
∵ ，
∴点C在 上．
又∵ ，
∴ （________________________）（填推理的依据），
由作图可知， ，
∴ （________________________）（填推理的依据）
________．
∴ ．
【答案】（1）见解析 （2）同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，同弧或等弧所
对的圆心角相等， ．
【解析】
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）利用圆周角定理解决问题即可．
【小问1详解】
解：图形如图所示：
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【小问2详解】
证明：连接 ．
，
点 在 上．
，
（同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半），
由作图可知， ，
∴ （同弧或等弧所对的圆心角相等）
．
．
故答案为：同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，同弧或等弧所对的圆心角相等，
．
【点睛】本题考查作图 复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决
问题．
20. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）不解方程，判断此方程根的情况；
（2）若 是该方程的一个根，求代数式 的值．
【答案】（1）见解析 （2）
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【解析】
【分析】（1）利用根的判别式 判断即可．
（2）将 代入一元二次方程 ，整理得 ，再将 变形为
，代入求值即可．
【小问1详解】
解：∵
，
∴此一元二次方程有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：将 代入一元二次方程 ，
整理得 ，即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，求代数式的值，牢记：当
时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 时，一元二次方程有两个
相等的实数根；当 时，一元二次方程无实数根．
21. 已知：如图，菱形 ，分别延长 ， 到点F，E，使得 ， ，连接 ，
， ， ．
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（1）求证：四边形 为矩形；
（2）连接 交 于点O，如果 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质与判定、菱形的性质、勾股定理等知识．根据菱形的判定和性质以及直角
三角形的性质解答是关键．
（1）根据菱形的性质以及矩形的判定证明即可；
（2）连接 ，根据菱形的判定和性质以及直角三角形的性质解答即可．
【
小问1详解】
证明：∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∵四边形 为菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴四边形 为矩形；
【小问2详解】
连接 ， ， 与 交于点G，
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由（1）可知， ，且 ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴四边形 为菱形，
∴ ， ， ，
∵矩形 中， ， ，
∴ ， ，
∴在 中， ，
∴ ．
22. 在平面直角坐标系xOy中，函数y= （x>0）的图象与直线y= x+1交于点A（2，m）．
（1）求k、m的值；
（2）已知点P（n，0），过点P作平行于 y 轴 直的线，交直线y= x+1于点B，交函数y= （x>0）的
图象于点C．若y= （x>0）的图象在点A、C之间的部分与线段AB、BC所围成的区域内（不包括边
界），记作图形G．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当n=4时，直接写出图形G的整点坐标；
②若图形G 恰有2 个整点，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）k＝4，m＝2；（2）①（3，2），②0＜n＜1或4＜n≤5．
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【解析】
【分析】（1）将A点代入直线解析式可求m，再代入y＝ ，可求k．
（2）①根据题意先求B，C两点，可得图形G的整点的横坐标的范围2＜x＜4，且x为整数，所以x取3．
再代入可求整点的纵坐标的范围，即求出整点坐标．
②根据图象可以直接判断2≤n＜3．
【详解】解：（1）∵点A（2，m）在y＝ x＋1上，
∴m＝ ×2＋1＝2．
∴A（2，2）．
∵点A（2，2）在函数y＝ 的图象上，
∴k＝4．
故答案为：k＝4，m＝2．
（2）①当n＝4时，B、C两点的坐标为B（4，3）、C（4，1）．
∵整点在图形G的内部，
∴2＜x＜4且x为整数
∴x＝3
∴将x＝3代入y＝ x＋1得y＝2.5，
将x＝3代入y＝ 得y＝ ，
∴ ＜y＜2.5，
∵y为整数，
∴y＝2，
∴图形G的整点坐标为（3，2）．
②当x＝3时， ＜y＜2.5，此时的整点有（3，2）共1个；
当x＝4时，1＜y＜3，此时的整点有（4，2）共1个；
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当x＝5时， ＜y＜3.5，此时的整点有（5，1），（5，2），（5，3）共3个；
∵图形G 恰有2 个整点，
∴4＜n≤5，
当x＝1时，1.5＜y＜4，此时的整点有（1，2），（1，3）共2个；
∵图形G 恰有2 个整点，
∴0＜n＜1，
综上所述，n的取值范围为：0＜n＜1或4＜n≤5．
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法，以及函数图象的性质．关键是能利用
函数图象有关解决问题．
23. 为了进一步加强中小学国防教育，教育部研究制定了《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开
展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织七、八年级全体学生参加了国防知识竞赛
（百分制），并规定90分及以上为优秀， 分为良好， 分为及格，59分及以下为不及格．
该学校七、八两个年级各有学生300人，现随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，
下面给出了部分信息．
a．抽取七年级20名学生的成绩如下：
6 6
87 57 96 79 89 97 77 100
5 7
8 9
69 89 94 58 69 78 81 88
3 7
b．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如图1所示（数据分成5组： ， ，
， ， ）
c．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图如图2所示．
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d．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 方差
七年级 81
八年级 82
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，写出表中 的值；
的
（2）估计七、八两个年级此次竞赛成绩达到优秀 学生共有多少人；
（3）若本次竞赛成绩达到81分及以上的同学可以获得参加挑战赛的机会，请根据样本数据估计，七、八
两个年级中哪个年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多？并说明理由．
【答案】（1）补全条形统计图见解析；
（2）七、八两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生共有165人
（3）七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多；理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意可得七年级成绩位于 的有4人；七年级成绩位于第10位和第11位的是
81和83，即可求解；
（2）先求出八年级成绩优秀的所占的百分比，再分别用300乘以各自的百分比，即可求解；
（3）分别求出七、八两个年级获得参加挑战赛的机会的学生人数，然后进行比较即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：七年级成绩位于 的有4人，
补全图形如下：
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七年级成绩位于第10位和第11位的是81和83，
∴七年级成绩的中位数 ；
【小问2详解】
解：根据题意得：八年级成绩良好的所占的百分比为
∴八年级成绩优秀的所占的百分比为 ，
∴八年级成绩达到优秀的学生有 （人），
七年级成绩达到优秀的学生有 人，
（人），
答：七、八两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生共有165人．
【小问3详解】
解：八年级获得参加挑战赛的机会的学生人数约为：
（人），
七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数约为：
（人），
∵ ，
∴七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，求中位数，用样本估计总体，明确题意，准确从统计
图中获取信息是解题的关键．
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24. 如图，在 中， ， ，点 是线段 上的动点，将线段 绕点 顺时
针度转 至 ，连接 ．已知 ，设 为 ， 为 ．
小明根据学习函数的经验，对函数 随自变量 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程
请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）
（1）请利用直尺和量角器，在草稿纸上根据题意画出准确的图形，并确定自变量 的取值范围是________；
（2）通过取点、画图、测量，得到了 与 的几组值，如下表：
则表中 的值为__________；
（3）建立平面直角坐标系，通过描点、连线，画出该函数的完整图象．
（4）结合画出的函数图象，解决问题：
① 线段 长度的最小值为__________ ；
② 当 ， ， 三点共线时，线段 的长为__________ ．
【答案】（1）
（2）
（3）函数图象见解析 （4） ；
【解析】
【分析】（1）利用直尺和量角器，根据 ， ， 画出准确的图形，从而得
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到 的长度，即可得到自变量 的取值范围；
（2）根据表格内的数据在 时， 的值逐渐减小，在 时， 的值逐渐增大，可得该
函数是以 为对称轴的抛物线，则 和 为对称点，故两点的 值相等，即可得到 的
值；
（3）根据（2）中的数据描点，连线即可得到该函数的完整图象；
（4）①结合（2）（3）可知，该函数是一个二次函数图象的一部分，其对称轴为直线 ，结合表格
中的数据可知， 最小值为 ，即线段 的最小值为 ．②当 ， ， 三点共线时，则在
中，由于 ，可得到 ，即 ，由（3）中图象可得 的值，即
的长．
【小问1详解】
解：由题可得，利用直尺和量角器画出准确的图形如下：
则用直尺量得 ，
点 是线段 上的动点， 为 ，
∵
自变量 的取值范围为： ，
∴
故答案为： ．
【小问2详解】
解：由表格中的数据可得：
在 时， 的值逐渐减小；在 时， 的值逐渐增大，
该函数是以 为对称轴的抛物线，
∴
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和 为对称点，
∴
当 和 时， 值相等，
∴
当 时， ，
∴
即 ．
【小问3详解】
解：由（2）表格中的数据可得到该函数的完整图象如下：
小问4详解】
【
解：①结合（3）可知，该函数是一个二次函数图象的一部分，其对称轴为直线 ，
结合（2）中表格的数据可知， 最小值为 ，
线段 的最小值为 ．
∴
②如图所示：
当 ， ， 三点共线时，
，
∵
为等腰三角形，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴
由（2）得 ，
．
∴
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【点睛】本题考查函数图象的实际应用问题，能根据数据画出函数图象是解题的关键．
25. 某校为了更好地开展阳光体育二小时活动，对本校学生进行了“写出你最喜欢的体育活动项目”（只
写一项）的随机抽样调查，如图是根据得到的相关数据绘制的统计图的一部分．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）该校对 名学生进行了抽样调查；
（2）通过计算请将图1和图2补充完整；
（3）图2中跳绳所在的扇形对应的圆心角的度数是 ；
（4）若该校共有2400名同学，请利用样本数据估计全校学生中最喜欢跳绳运动的人数约为多少？
【答案】（1）200；（2）补全图形见解析；（3）144°；（4）估计全校学生中最喜欢跳绳运动的人数约
为960人．
【解析】
【分析】（1）由最喜欢跳绳运动的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）根据各组人数之和等于总人数求得最喜欢投篮运动的人数，再除以总人数可得其对应百分比，从而
补全图1和图2；
（3）用360°乘以最喜欢跳绳运动的人数所占百分比可得跳绳所在的扇形圆心角的度数；
（4）总人数乘以样本中最喜欢跳绳运动的人数所占百分比即可得．
【详解】（1）被调查的学生总人数为80÷40%＝200(人)，
故答案为：200；
（2）最喜欢投篮运动的人数为200﹣（40+80+20）＝60(人)，
最喜欢投篮运动的人数所占百分比为 ×100%＝30%，
补全图形如下：
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（3）图2中跳绳所在的扇形对应的圆心角的度数是为360°×40%＝144°．
故答案为144°；
（4）2400×40%＝960（人）．
答：估计全校学生中最喜欢跳绳运动的人数约为960人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的
信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的
百分比大小．也考查了利用样本估计总体．
26. 二次函数
(1)写出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
(2)判断点 是否在该函数图象上，并说明理由．
(3)求出以该抛物线与两坐标轴的交点为顶点的三角形的面积．
【答案】（1）开口向下，对称轴为直线 ，顶点为 ；（2）不在函数图象上，理由详见解析；
（3） 12．
【解析】
【分析】（1）先把抛物线解析式配成顶点式得到 ，然后根据二次函数的性质写出开口
方向，对称轴方程，顶点坐标；
（2）将 代入函数解析式求出对应的y即可判断；
（3）确定抛物线与 轴的交点坐标为 ，然后根据三角形面积公式求解．
【详解】解：（1）解：（1）
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，
抛物线开口向下；
，
抛物线对称轴方程为 ，顶点坐标 ；
开口向下，对称轴为直线 ，顶点为 ；
（2）不在函数图象上．
理由：当 时，
所以点 不在函数图象上．
（3）令 ，得 ，解得 ， ，
所以抛物线与 轴的交点坐标为 ， ，
当x=0时，y=6．
抛物线与 轴交于点 ，
．
【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数 的图象为抛物线；对称轴为直线
；抛物线与 轴的交点坐标为 ．
27. 在 中， ， ， 是边 上一点，点 与 关于直线 对称，过点
作 交 于 ，交 于 ．
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（1）补全图形；
（2）探究线段 和 的数量关系，并证明；
（3）直接写出线段 的 的数量关系______．
【答案】（1）见详解 （2） ，证明见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据点对称的性质作出点E，再根据垂直平分线的性质作，通过尺规作图过点E作
即可；
（2）先通过直角三角形的性质证明 ，再根据等腰直角三角形的性质和三角形外角的性质
证明 ，从而 ，最终证得 ；
（3）过点F作 ，垂足为P，先证明 得到 ，再根据
是等腰直角三角形得到 ，从而得到答案．
【小问1详解】
延长 ，以点A为圆心，以 为半径画圆弧交 延长线于点E，
以点E为圆心作圆弧，和 分别相交于点M、点N，再分别以点M、点N为圆心，大于 为半径画
圆弧，相交于点Q，连接 ，分别于 、 相交于点G和点F；
图形补全如下：
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【小问2详解】
解： ，证明如下，
如下图所示，连接 ， 交 于点O，
∵点 与 关于直线 对称，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
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∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：如下图所示，过点F作 ，垂足为P，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ,
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质和全等三角形的性质，
解题的关键是添加正确的辅助线构造出等腰三角形．
28. 平面直角坐标系 中，点 和图形 ，若 上存在点 与点 对应，则称 是
图形 的“呼应点”．
（1）点 的“呼应点”的坐标为_______；
（2）是否存在点 是直线 的“呼应点”，若存在，求 的值；若不存在，说明理由；
（3）直线 上存在以 为圆心， 为半径的 的“呼应点”，直接写出 的取值范围
______．
【答案】（1）
（2）存在，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“呼应点”的含义即可完成；
（2）由题意可得P的“呼应点”，把此点坐标代入直线 中，即可求得t的值；
（3）设 是 上的“呼应点”，点N是直线 上点M的对应点，则可得 ，
从而有 ；由点M在 上，则有 ，两个方程联立消去a即可得关于b的一元
二次方程，利用判别式非负即可求得m的取值范围．
【小问1详解】
解：点 的“呼应点”的坐标为 ，
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故答案为： ；
【小问2详解】
解：存在；
由题意可得P的“呼应点”为 ，把此点坐标代入直线 中，
得： ，
解得：
【小问3详解】
解：设 是 上的点，点N是直线 的“呼应点”，则可得 ，
∵点N在直线 上，
∴ ，
即 ；
由点M在 上，则有 ，
两个方程①②联立消去a得： ，
由题意知，上述方程必有实数解，则 ，
整理得得： ，
即 ，
∴ 或 ，
前一不等式组无解，后一不等式组的解集为 ，
故不等式的解集为： ；
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故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，圆的基本性质，新定义，一元二次方程根的判别式，
理解新定义，灵活运用相关知识是解题的关键．
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