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北京亦庄实验中学 2022-2023 学年初二年级笃行区第 6 学段教与学质
量诊断（2022．12）
数学Ⅱ S 试题
一、选择题（共8个小题，每小题3分）
1. 某种病毒近似于球体，它的半径约为 米，用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
的
3. 如图1，将边长为 正方形纸片，剪去一个边长为 的小正方形纸片，再沿着图1中的虚线剪开，
把剪成的两部分（1）和（2）拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释下列哪个等式．
A. B.
C. D.
4. 若把分式 中的 和 都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大为原来的2倍 B. 不变
C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的5. 若 ，则 的值为（ ）
A. B. 8 C. D.
6. 如图所示，已知 ，点 在边 上， ，点 ， 在边 上， ，若
，则 的长为（ ）
A. 4 B. C. 5 D.
7. 某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用 700元购买甲种水杯的数量和用500元购买乙种水杯的数
量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多10元．设甲种水杯的单价为 元，则列出方程正确的是
（ ）
A. B.
C. D.
8. 在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如：
对于多项式 ，因式分解的结果是 ，若取 ， 时，则各个因式的
值是： ， ， ，于是就可以把“ ”作为一个六位数的密码．
对于多项式 ，取 ， 时，用上述方法生成的密码可以是（ ）A. B. C. D.
二、填空题（共8个小题，每小题3分）
9. 使分式 有意义的条件为______．
10. 已知： ，则 _________．
11. 若 是一个完全平方式，那么常数 应为______．
12. 若 与 的乘积中不含 的二次项，则实数 的值为______．
13. 关于 的分式方程 有增根 ，那么 ______．
14. 如图，在 中， ， ，斜边 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，
，则 ______cm．
15. 如图，大正方形的边长均为 ，图（1）中白色小正方形的边长为 ，图（2）中白色长方形的宽为 ，
设 ，则 的取值范围为______．
的
16. 如图，在 中， ，边 垂直平分线 分别交 ， 于点 ， ，点是边 的中点，点 是 上任意一点，连接 ， ， ，若 ， ，当
周长取到最小值时， ， 之间的数量关系是______．
三、解答题
17. 计算：
（1）
（2）
（3）先化简，再求值： ，其中 ．
18. 解分式方程：
（1） ；
（2） ．
19. 因式分解：
（1） ；
（2） ；
（3）
20. 如图， 中， ， 是 上一点， ，过点 作 的垂线交 于点 ，求证： 垂直平分 ．
21. 定义：对任意一个两位数 ，如果 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两
位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位
数与原两位数的和与11的商记为 ．
例如： ，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为 ，和
与11的商为 ，所以 ．
根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：
为
①下列两位数：30，32，33中，“迥异数” ______；
②计算： ______．
的
（2）如果一个“迥异数” 十位数字是 ，个位数字是 ，且 ，请求出“迥异数”
．
（3）如果一个“迥异数” ，满足 ，则 ______．（请写出满足条件的一个 的值即
可．）
22. 已知：等边 ，过点 作 的平行线 ．点 为线段 上一个动点（不与点A， 重合），将
射线 绕点 顺时针旋转60°交直线 于点 ．如图1，依题意补全图形．（1）求证： ；
（2）用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
23. 对于平面直角坐标系 中的线段 及点 ，给出如下定义：
的
若点 满足 ，则称点 为线段 “中垂点”；当 时，称点 为线段
的“完美中垂点”．
（1）如图1， ，下列各点中，线段 的中垂点是______．
， ，
（2）如图2，点A为 轴上一点，若 为线段 的“完美中垂点”， 写出线段 的
两个“完美中垂点”是______和______．（3）如图3，若点A为 轴正半轴上一点，点 为线段 的“完美中垂点”，点 在 轴负半轴上，
在线段 上方画出线段 的“完美中垂点” ，直接写出 _______．（用含 的式子表示）．并
求出 ．
