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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市广渠门中学 2023—2024 学年度第二学期期中试题
初一年级数学学科
本试卷共4页，100分．考试时长100分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无
效
一、选择题（共30分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1. 的算术平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义求解．
【详解】解：∵ ，
∴9的算术平方根是3．
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是掌握正数的算术平方根是正的平方根， 的算术平
方根是 ，负数没有算术平方根．
2. 如图，在数轴上表示的 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据在数轴上表示的不等式的解集的方法得出答案即可．
【详解】如图，
在数轴上表示的x的取值范围为x＜2，
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故选：A．
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集在数轴上的表示方法是正确判断的前提．
3. 若 是二元一次方程 的一个解，则m的值为( )
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】把 与 的值代入方程计算即可求出 的值．
【详解】解：把 代入方程 得： ，
解得： ，
故选：C．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
4. 下列变形错误的是（ ）
A. 由 得 B. 由 得
C. 由 得 D. 由 得
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一
个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两
边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
【详解】解：A、由 得 ，原式变形正确，不符合题意；
B、由 得 ，原式变形正确，不符合题意；
C．由 得 ，原式变形正确，不符合题意；
D、由 得 ，原式变形错误，符合题意；
故选：D．
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5. 如图，直线DE过点A，且 ， ， ，则 的度数为（ ）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 120°
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行同旁内角互补求出∠BAE，即可求出 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即： ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟记平行线的基本性质是解题关键．
6. 下列命题中为假命题的是（ ）
A. 对顶角相等
B. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等
C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【答案】B
【解析】
【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质、平行公理等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、对顶角相等，正确，是真命题；
B、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误，是假命题；
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C、在同一平面内，垂直于同条直线的两条直线互相平行，正确，是真命题；
D、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，正确，是真命题，
故选：B．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的性质与判定、平行公理等
知识，难度不大．
7. 若点 在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了第二象限内点的坐标特点，解一元一次不等式组，根据第二象限内的点横坐标为
负，纵坐标为正得到 ，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：∵点 在第二象限，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
8. 中国象棋中的马沿“日”形对角线走，俗称马走日．三个棋子位置如图，若建立平面直角坐标系，使帅、
相所在点的坐标分别为 ， ，则马直接走到第一象限时所在点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，先根据帅、相所在点的坐标建立坐标系，再根据马
的走棋规则求解即可．
【详解】解：根据题意可建立如下坐标系，根据马的走棋规则可知，马接走到第一象限时所在点的坐标是
，
故选：C．
9. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图， 的值接近黄金比 ，
则黄金比（ ）（参考数据： ， ， ， ）
A. 在 到 之间 B. 在 到 之间
C. 在 到 之间 D. 在 到 之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算．熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键．由题意知，
，即 ，根据 ，计算求解即可．
【详解】解：由题意知， ，
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∴ ，即 ，
∴ ，
故选：C．
10. 定义一种运算： ，则不等式 的解集是（ ）
A. 或 B.
.
C 或 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式， 新定义，根据新定义分当 ，即 时，当
，即 时，两种情况根据 建立不等式求解即可．
【详解】解；当 ，即 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 ，即 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，此时不符合题意；
综上所述， ，
故选：D．
二、填空题（共16分）
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11. 用不等式表示“ 与7的差不小于3”：________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了列不等式， 与7的差为 ，不小于3即大于等于3，据此列出不等式即
可．
【详解】解：用不等式表示“ 与7的差不小于3”为 ，
故答案为： ．
12. 将含 的直角三角板与直尺如图所示放置，若 ，则 的大小为___________（度）．
【答案】50
【解析】
【分析】如图：根据平行线的性质和余角的性质即可解答．
【详解】解：如图
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为50．
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【点睛】本题考查了平行线的基本性质，本题的解题关键是找出角度的关系即可得出答案．
13. 如图，雷达探测器探测到三艘船 ，按照目标表示方法的规定， 的位置分别表示为
， ，船 的位置应表示为 _____________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解坐标的意义是解题关键．直接利用坐标的意义得出 点
坐标即可．
【详解】解：如图所示：船 的位置应表示为 ，
故答案为： ．
14. 若一个正数的平方根为 和 ，则x的值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平方根的概念，一个正数的平方根由两个，且二者互为相反数，据此可得
，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵一个正数的平方根为 和 ，
∴ ，
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解得 ，
故答案为： ．
15. 如图，纸片的边缘 互相平行，将纸片沿 折叠，使得点B，D分别落在点 处．若
，则 的度数是________．
【答案】 ##50度
【解析】
【分析】本题考查折叠的性质、平行线的性质，根据两直线平行、同位角相等，可得 ，
根据折叠前后对应角相等，可得 ，由此可解．
【详解】解： ，
，
，
由折叠的性质可知 ，
，
故答案为： ．
16. 被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．书中记载：“今有五雀、
六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几
何”？原文大意为：“现在有5只雀、6只燕，分别集中放在天平上称重，聚在一起的雀重燕轻．将一只
雀一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀和6只燕共重1斤，问雀和燕各重多少？”设雀每只x斤，燕每
只y斤，则可列出方程组为_____________．
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【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设雀、燕每1只各重x斤、y斤，根据等量关系：今
有5只雀、6只燕，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕
重量为1斤，列出方程组求解即可．
【详解】解：设雀、燕每 只各重 斤、 斤．
根据题意，得 ，
故答案为： 。
17. 关于x的不等式组 恰好有2个整数解，则a的取值范围是_____________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题主要考查了根据不等式组 的解集情况求参数，先解不等式组得到其解集为 ，再根据
不等式组只有两个整数解求解即可．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ，
∵关于x的不等式组 恰好有2个整数解，
∴ ，
故答案为： ．
18. 埃拉托斯特尼是古希腊著名的地理学家，他曾巧妙估算出地球的周长．如图， 处是塞尼城中的一口
深井，夏至日中午12时，太阳光可直射井底． 处为亚历山大城，它与塞尼城几乎司一条经线上，两地距
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离 约为800km，于是地球周长可近似为 ，太阳光线看作平行光线，他在亚历山大城测得天顶方
向与太阳光线的夹角 为7.2°．根据 可以推导出 的大小，依据是_____________________；埃
拉托斯特尼估算得到的地球周长约为___________km．
【答案】 ①. 两直线平行，同位角相等 ②. 40000
【解析】
【分析】根据太阳光线互为平行线，则亚历山大城、赛尼城与地球中心所成角和天顶方向与太阳光线的夹
角为同位角，利用两直线平行，同位角相等求出 ，再代入 计算求解．
【详解】解：由题意知，太阳光线互为平行线，则亚历山大城、赛尼城与地球中心所成角和天顶方向与太
阳光线的夹角为同位角，
为
则亚历山大城、赛伊尼与地球中心所成角 =7.2°，
理由是两直线平行，同位角相等．
因为亚历山大城、赛尼城间距离为800km，
所以地球周长为 km．
为
故答案 ：两直线平行，同位角相等；40000．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，有理数的乘除运算，确定出 =7.2°是解答关键．
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三、解答题（共54分，第19-21题每小题4分，第22、23题每小题5分，第24-26题每小题
6分，第27、28题每小题7分）
19. 如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图、解答．
（1）过点P作PQ CD，交AB于点Q；
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；
（3）若∠DCB=120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠PQC=60°，理由见解析
【解析】
【详解】解：如图所示：
（1）画出如图直线PQ
（2）画出如图直线PR
（3）∠PQC=60°
理由是：因为PQ CD
所以∠DCB+∠PQC=180°
又因为∠DCB=120°
所以∠PQC=180°－120°=60°
20. 解方程组： ．
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【答案】
【解析】
【分析】运用代入消元法或加减消元法求解
【详解】
解法一：代入消元法
由②，得
把③代入①，得
解得
把 代入③，得
∴方程组的解为
解法二：加减消元法
，得
解得
把 代入①，得
∴方程组的解为
【点睛】本题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
21. 解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，数轴表示见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去括号，移项，合并同类
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项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示出对应的解集即可．
【详解】解：
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
数轴表示如下：
22. 解不等式组 ，并写出它的所有整数解．
【答案】 ，整数解为
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据
“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其
整数解即可．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ，
∴不等式组的整数解为 ．
23. 按下图中程序进行计算，规定：从“输入x”到“结果是否 ”为一次程序操作．
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（1）若开始输入的x值为1，则最后输出的结果是 ；
（2）若最后输出的结果是4，则开始输入的x值是 ；若程序操作进行了两次才停止，则x的取值范
围是 ．
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值、算术平方根和一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序
运算方法进行计算判定是解题的关键．
（1）先把1代入代数式 中，求值后再求其算术平方根，若大于2输出答案，若小于或等于2返回第
一步再次计算，判定即可得出答案，
（2）根据据运行程序，先把第一次运算结果小于等于2，第二次运算结果大于2列出不等式组，然后求解
即可．
【小问1详解】
输入 时，
第一次运算结果为：
，
取算术平方根为： ，
，
返回计算，
输入 时，
，
取算术平方根为： ，
，
最后输出的结果是 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
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若最后输出的结果是4，
则
解得： ，
，
程序操作进行了一次开始输入的x值是5；
若程序操作进行了两次才停止，列不等式组得：
，
解得： ，
故答案为：5， ．
24. 如图，已知四边形 中，点 为 上一点， 与 交于点 ， ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ， 平分 ， ，求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质以及平角的定义进行计算即可；
（2）利用角平分线的定义，平行线的性质以及三角形内角和定理进行计算即可．
【小问1详解】
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解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴
即 ．
【点睛】本题考查角平分线，平行线的性质和判定以及三角形内角和定理，掌握平行线的性质，三角形内
角和定理以及角平分线的定义是正确解答的关键．
25. 某地新建的一个企业，每月将产生2020吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下
两个型号中选择：
污水处理器型号 A型 B型
处理污水能力（吨/月） 240 180
价格（万元/台） 10 8
为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述两种型号污水处理器共9台，则
（1）该企业有哪几种购买方案？
（2）哪种方案费用最低？最低费用是多少？
【答案】（1）方案1：购买A型号污水处理器7台、B型号污水处理器2台；方案2：购买A型号污水处
理器8台、B型号污水处理器1台；方案3：全部购买A型号污水处理器9台．
（2）方案1费用最低，最低费用为86万元．
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【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，有理数四则运算的实际应用：
（1）设该企业决定购买A型污水处理器a台，则购买B型污水处理器 台，由题意可列出不等式为：
，由此得出 或8或9，据此可得答案；
（2）根据（1）所求分别计算出三个方案的费用，比较即可得到答案．
【小问1详解】
解：设该企业决定购买A型污水处理器a台，则购买B型污水处理器 台．
依题意得 ．
解得 ，
∴整数 或8或9．
故该企业有三种购买方案：
方案1：购买A型号污水处理器7台、B型号污水处理器2台；
方案2：购买A型号污水处理器8台、B型号污水处理器1台；
方案3：全部购买A型号污水处理器9台．
【小问2详解】
解：方案1费用为： （万元）；
方案2费用为： （万元）；
方案3费用为： （万元）．
∵ ，
答：方案1费用最低，最低费用为86万元．
26. 如图，先将三角形 向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到三角形 ．
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（1）画出三角形 ；
（2）求三角形 的面积；
（3）设线段 与 轴的交点为 ，则点 的坐标为______．
【答案】（1）画图见解析；
（2） ；
（3） ．
【解析】
【分析】（ ）利用平移的性质画图即可；
（ ）利用割补法计算即可求解；
（ ）利用待定系数法求出线段 的解析式，再令 求出 ，即可得出答案；
本题考查了作图 平移变换、用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握
平移的性质、用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求；
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【小问2详解】
解： 的面积 ；
【小问3详解】
解：设线段 的解析式为 ，将 ， 代入得，
解得 ，
∴线段 的解析式为 ，
令 ，得 ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ，
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故答案为： ．
27. 已知： ，E、G是 上的点，F、H是 上的点， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，过F点作 交 延长线于点 ，作 、 的角平分线交于点 ，
交 于点 ，求 的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义：
（1）由平行线的性质得 ，再由内错角相等得出 ；
（2）过点 作 ，则 ，由平行线的性质得到 ， ，
设 ， ，由角平分线的定义得到 ， ，再由平行线的性质
得到 ；证明 得到 ，则 ，可得 ，
则 ．
【小问1详解】
证明： ，
，
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又 ，
，
；
【小问2详解】
解；如图，过点 作 ，
∵ ，
，
， ，
设 ， ，
、 分别平分 、 ，
， ，
又 ，
，
又 ， ，
∴
，
，
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，
．
28. 对于平面直角坐标系 中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任
意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“近距离”，记作
．如图，已知点 ， ， ， ．
（1）d（点O， ） ， ；
（2）记线段 组成图形G已知点 ，若d（点T，G） ，求m的取值范围；
（3）若四边形 内部的点 和点 满足 （ ，四边形 ） ，请直接
写出t的取值范围．
【答案】（1）6，8；
（2） 或
（3） 或
【解析】
【分析】本题考查了图形与坐标，新定义，熟练运用数形结合思想是解题 的关键．
（1）设 交x轴于M，根据点的坐标得到 轴，则 ，即可得到O到 的距离 ，
即d（点O， ） ；再推出 ，即可得到 ；
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（2）在直线 上找出到到 距离等于2的点，画出图形即可得到答案；
（3）分三种情况：①当 时，②当 时，，③当 时，分别求出 （ ，四边形
） 和 （ ，四边形 ） 时t的值，进而结合图形和定义可得答案．
【小问1详解】
解：设 交x轴于M，
∵ ，
∴ 轴，
∴ ，
∴O到 的距离 ，
∴d（点O， ）
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴
故答案为：6，8；
【小问2详解】
解：作直线 ，取 ，如图：
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在直线 上， 到 距离为2，线段 上的点到 距离都小于2，
同理 到 的距离为2，线段 上的点到 的距离都小于2，
∴当d（点T，G） ， 或 ；
【小问3详解】
解：当 时，
设 与x轴交于G， 与y轴交于H，则 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴此时线段 上的一点到四边形 上一点的距离的最小值即为 或 的长，
当 时，此时 ，即 （ ，四边形 ） ；
当 时，此时 ，即 （ ，四边形 ） ；
∴当 时， （ ，四边形 ） ；
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如图所示，当 时，此时 （ ，四边形 ）
当 时，
同理可得当 时，此时 （ ，四边形 ） ；
当 时，此时 （ ，四边形 ） ；
∴当 时， （ ，四边形 ） ；
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综上所述， 或 ．
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