文档内容
北京二中教育集团初二数学限时练习（五）
2022.10.19
一、选择题
1. 在平面直角坐标系中，点 关于y轴对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数”即可解答．
【详解】解：点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（-2，3）．
故选B．
【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，对称点的坐标规律：①关于x轴对称的点，横坐标
相同，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的
点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
的
2. 下列图形中，不是轴对称图形 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义判断选择即可．
【详解】∵ 是轴对称图形，
∴不符合题意；
∵ 是轴对称图形，∴不符合题意；
∵ 是轴对称图形，
∴不符合题意；
∵ 不是轴对称图形，，
∴符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的
关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则和幂的乘方与积的乘方的法
则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：∵ 与 不是同类项，不能合并，
∴A选项不符合题意；
∵ ，
∴B选项符合题意；
∵ ，
∴C选项不符合题意；
∵ ，
∴D选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂乘除法及积的乘方，解题的关键是熟练掌握几个法则．
4. 如图，在五边形 中， ， ， ， 分别是 ， ， 的外角，则 的度数为（ ）
A. 180° B. 210° C. 240° D. 270°
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得到以点A、点E为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于
180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．
【详解】解：延长BA，DE，标定角度如图所示：
∵ ，
∴∠4＋∠5＝180°，
根据多边形的外角和定理可得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°，
∴∠1＋∠2＋∠3＝360°−180°＝180°．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键．
5. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用因式分解的定义判断即可．
【详解】解：A、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
B、符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
C、等号的左边与右边不相等，故本选项不符合题意；D、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多
项式因式分解，也叫做分解因式．
6. 若 ，则括号内应填的代数式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】a2-9b2可以看作a2-（3b）2，利用平方差公式，可得出答案．
【详解】解：∵（3b+a）（-3b+a）= a2-（3b）2= a2-9b2，
∴括号内应填的代数式是-3b+a．
故选：C．
【点睛】本题考查平方差公式的特征，熟记平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，是解决此题的关键．
7. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在射线BC上，EF⊥AD于F，∠B＝40°，∠ACE＝72，则∠E的
度数为（ ）
A. 68° B. 56° C. 34° D. 32°
【答案】C
【解析】
【分析】由 ， ，根据三角形外角的性质得出 ，再根据 平分 得
出 的度数，再根据三角形外角的性质求出 的度数，最后在 中求出 的度数．
【详解】解： 是 的外角，
，
， ，
．平分 ，
，
是 的外角，
，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质、角平分线，解题的关键是灵活运用三角形外角的概念与性质．
8. 若一个正整数能表示成另两个正整数的平方差，即 （其中a、b、x为正整数），则称这个正
整数为完美数．下列各数中不是完美数的是（ ）
A. 2022 B. 2021 C. 2020 D. 2019
【答案】A
【解析】
【分析】设k是正整数，证明除1外，所有的奇数都是完美数；除4外，所有的能被4整除的偶数都是完
美数，即可得答案．
【详解】解：设k是正整数，
∵ ，
∴除1外，所有的奇数都是完美数，
∴B，D选项都是完美数，不符合题意；
∵ ，
∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是完美数，
所以C选项是完美数，不符合题意，
A选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是完美数，符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式分解因式的应用，牢记 ）是解题的关键．
二、填空题9. 已知三角形的两边分别为 和 ，则第三边 的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用“三角形的两边差小于第三边，三角形两边之和大于第三边”，可求出c的取值范围．
【详解】解：∵7 2=5，2+7=9，
∴第三边c的取值范围为5＜c＜9．
故答案为：5＜c＜9．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，牢记“三角形的两边差小于第三边，三角形两边之和大于第三边”
是解题的关键．
10. 如图，某人将一块三角形玻璃打碎成两块，带______块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，
用到的数学道理是______．
【答案】 ①. ②， ②. ASA
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定方法，选出一块符合三角形全等的即可.
【详解】解：观察可知，只有②有完整的两个角与一条边，可以根据“角边角”配出一块全等的三角形，
故是带②去，全等的依据是ASA．
故答案为：②；ASA
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
11. 已知 ， ，则 _________．
【答案】181
【解析】
【分析】利用完全平方公式解答．
【详解】解：故答案为：181．
【点睛】本题考查运用完全平方公式进行计算，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
12. 如图，在 ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，点D在AC上，且BD＝BC，则∠BDC＝_______．
【答案】72°##72度
【解析】
【分析】根据AB＝AC求出∠ACB，利用BD＝BC，求出∠BDC的度数．
【详解】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴ ，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠ACB＝72°，
故答案为：72°．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，熟记性质是解题的关键．
13. 如图，在 中，边AC，BC的垂直平分线分别交边AB于点M，N，垂足为D，E．若
，则 ______°；
【答案】80
【解析】
【分析】先根据三角形内角和定理得出∠A+∠B，再根据线段垂直平分线的性质得AM=CM，CN=BN，进
而得出∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，可求∠ACM+∠BCN，即可得出答案．
【详解】解：因为∠BCA=130°，
所以∠A+∠B=180°-∠BCA=50°，因为边AC，BC得垂直平分线交AB于点M，N，
所以AM=CM，CN=BN，
所以∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
所以∠ACM+∠BCN=50°，
所以∠MCN=∠ACB-（∠ACM+∠BCN）=130°-50°=80°．
故答案为：80．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等边对等角等，确定各角之间的等
量关系是解题的关键．
14. 如果二次三项式 可以分解为（x﹣b）（x﹣2），则 ＝_____．
【答案】4
【解析】
【分析】因式分解的结果利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值，代入
原式计算即可求出值．
【详解】解：根据题意得： ，
∴a＝−（b＋2），−6＝2b，
解得：a＝1，b＝−3，
则 ．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了因式分解−十字相乘法和多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15. 如图，两个正方形的边长分别为a， ，若 ， ，则阴影部分的面积为
__________．
【答案】41
【解析】
【分析】阴影部分的面积为两个正方形的面积和减去两个直角三角形的面积，进而列出算式化简即可．【详解】解：根据题意可得阴影部分面积为：
∵ ，
∴ ．
∴阴影部分面积为：41
故答案为：41．
【点睛】此题考查了完全平方公式，解题关键是根据图形正确列出算式．
16. 如图，平面直角坐标系 中，点A在第一象限， ， ， ．在x轴
上取一点 ，过点P作直线l垂直于直线 ，将线段 关于直线l的对称图形记为线段 ，当
线段 和过点A且平行于x轴的直线有交点时，m的取值范围为_____．
【答案】4≤m≤6
【解析】
【分析】根据题意可以作出合适的辅助线，然后根据题意，利用分类讨论的方法可以计算出m的两个极值，
从而可以得到m的取值范围．
【详解】如图所示，当直线l垂直平分OA时，O′B′和过A点且平行于x轴的直线有交点，
∵点A在第一象限，B（2，0），∠AOB＝60°，∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝30°，OB＝2，
∴OA＝4，
∵直线l垂直平分OA，点P（m，0）是直线l与x轴的交点，
∴OP＝4，
∴m＝4；
作BB″∥OA，交过点A且平行于x轴的直线与B″，
当直线l垂直平分BB″和过A点且平行于x轴的直线有交点，
∵四边形OBB″O′是平行四边形，
∴此时点P与x轴交点坐标为（6，0），
由图可知，当OB关于直线l的对称图形为O′B′到O″B″的过程中，点P符合题目中的要求，
∴m的取值范围是4≤m≤6
故答案为：4≤m≤6．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化−对称，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形
结合的思想解答．
三、解答题
17. 计算：x2•x4+（x2）3﹣（﹣3x3）2
【答案】
【解析】
【分析】根据幂的运算法则直接计算即可．
【详解】解：原式=
【点睛】本题考查了同底数幂、幂的乘方、积的乘方法则，熟练掌握法则是解题的关键．
18. 化简： ．【答案】
【解析】
【分析】先展开，后合并同类项．
【详解】
．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关
键．
19. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，16
【解析】
【分析】先利用平方差公式，完全平方公式将中括号内的算式进行化简，再进行除法运算，再根据平方和
绝对值的非负性得到x，y的值，代入求解即可．
【详解】解：原式=
；
∵ ，
∴x+1＝0，y﹣2＝0，
解得：x＝﹣1，y＝2，
∴原式＝ ×2-3×（-1），
＝13+3，＝16．
【点睛】本题考查平方差公式，完全平方公式 的运用，整式的混合运算、绝对值非负性的应用等知识，
能够熟练掌握运算顺序是解决本题的关键．
20. 因式分解： ．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式 ，然后再利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，掌握综合运用提取公因式和公式法因式分解是解答本题的关键．
.
21 因式分解：
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，后套用公式解答即可．
【
详解】
．
【点睛】本题考查了因式分解，正确掌握先提取公因式，后套用公式分解因式是解题的关键．
22. 如图，已知在 ABC中，∠BAC＝80°，∠ACB＝70°．
△
（1）尺规作图：按要求完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①作∠BAC的角平分线AF，交BC于F；②作线段AB的垂直平分线DE，分别交AB、BC于点D、点E；
（2）在（1）的条件下，连接AE，∠EAF=_____°．
【答案】（1）①见解析；②见解析；
（2）10．
【解析】
【分析】（1）①根据角平分线的作法即可作 的角平分线 ，交 于F；
②根据线段垂直平分线的作法即可作线段 的垂直平分线 ，分别交 、 于点D、点E；
（2）首先根据三角形内角和定理可得 ，然后根据线段垂直平分线的性质和角平分线的定义即可
求出 的度数．
【小问1详解】
①如图， 的角平分线 即为所求；
②如图，线段 的垂直平分线 即为所求；
【小问2详解】
∵ ， ．
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，∴ ．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
23. 如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝
EC．
（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；
（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．
【答案】（1）理由见解析；（2）1或3
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠BCE=30°，BE=AE，等腰三角形的判定和性质；
（2）如图1，如图2，过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，根据等边三角形的性质和平行线分
线段成比例定理即可得到结论．
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，
∴∠BCE＝30°，BE＝AE，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠BCE＝30°，
∵∠ABD＝120°，
∴∠DEB＝30°，
∴DB＝EB，
∴AE＝DB；
（2）如图1，
∵AB＝2，AE＝1，
∴点E是AB的中点，
由（1）知，BD＝AE＝1，
∴CD＝BC+BD＝3；
如图2，过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，∵AB＝AC，DE＝CE，
∴BM＝ BC＝3，CD＝2CN，
∵AM⊥BC，EN⊥BC，
∴AM∥EN，
∴ ，
∴ ，
∴BN＝ ，
∴CN＝BC﹣BN＝ ，
∴CD＝1，
综上所述，CD的长为1或3．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作
出辅助线是解题的关键．
24. 如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB， ，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于
点F．（1）若∠B＝70°，求∠C的度数：
（2）若AE＝AC．求证：AD平分∠BDE．
【答案】（1）∠C=40°
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ADB=∠B=70°，根据三角形的内角和定理求出∠BAD=40°，
求出∠CAE=40°，根据平行线的性质得出即可；
（2）求出∠BAC=∠DAE，根据全等三角形的判定推出△BAC≌△DAE，根据全等三角形的性质得出
∠B=∠ADE，求出∠ADE=∠ADB即可．
【小问1详解】
解：∵∠B=70°，AB=AD，
∴∠ADB=∠B=70°，
∵∠B+∠BAD+∠ADB=180°，
∴∠BAD=40°，
∵∠CAE=∠BAD，
∴∠CAE=40°，
∵ ，
∴∠C=∠CAE=40°．
【小问2详解】
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，
即∠BAC=∠DAE，
∵在△BAC和△DAE中 ，
∴△BAC≌△DAE（SAS）∴∠B=∠ADE，
∵∠B=∠ADB，
∴∠ADE=∠ADB，
即AD平分∠BDE．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能综
合运用知识点进行推理和计算，是解此题的关键．
.
25 如图所示．
（1）作出 关于 轴对称的图形 ；
（2）在 轴上确定一点 ，使得 最小；
（3）求出 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）过 轴作点 的对称点 ，连接 ，与 轴交于点 ，此时点 即为所求；
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求．
作法：1． 关于 轴的对称点分别为 ，2．顺次连接 ，
故 即为所求．
【小问2详解】
解：如（1）中图，点P即为所求．
作法：1．作点 关于 轴的对称点 ，
2．连接 交 轴于点 ，
故点P即为所求．
【小问3详解】
解：
∴ 的面积为 ．
【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
26. 对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式 ，若将其写成
的形式，就能看出不论字母x取何值，它都表示正数；若将它写成 的
形式，就能与代数式B= 建立联系．下面我们改变x的值，研究一下A，B两个代数式取值的规
律：
x -2 -1 0 1 2 310 5 2 1 5
17 10 5
（1）完成上表；
（2）观察表格可以发现：
若x=m时， ，则x=m+1时， ．我们把这种现象称为代数式A参照代数
式B取值延后，此时延后值为1．
①若代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；
②已知代数式 参照代数式 取值延后，请直接写出b-c的值：________．
【答案】（1）2；2，1，2；（2）① ，② 7.
【解析】
【分析】（1）把x值代入解析式计算可得；（2）①根据延后值的定义写出解析式再化简；②由上述可知，
a=3,且两个式子都可以化为形式：a(x-h)2+1.可得 = .
【详解】（1）把x值代入解析式计算可得：2；2，1，2．
（2）①∵代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，
∴
②由上述可知，a=3,且两个式子都可以化为形式：a(x-h)2+1.
所以 = ；
所以 =
所以b-c=7
【点睛】考核知识点：完全平方式.配方，寻找数量关系是关键.
27. 如图，在等边 中，点D是线段 上一点作射线 ，点B关于射线 的对称点为E，连接
延长，交射线 于点F．（1）补全图形；
（2）求 的度数；
（3）用等式表示线段 、 、 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）
（3） ，见解析
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的基本作图画图即可．
（2） 连接 ，设 ，利用等边三角形的性质，对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角
和定理解答即可．
（3） 如图，在 上截取 使得 ，判定 是等边三角形，证明 ，根
据对称性得到 ，代换证明即可．
【小问1详解】
如图，作 于点G，延长 到点E，使得 ，连接 延长，交射线 于点F．
则E，F为所求点．
【小问2详解】连接 ，设 ，
∵点B关于射线 的对称点为E，
∴ ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
【小问3详解】
线段 、 、 之间的数量关系为 ，理由如下：
如图，在 上截取 使得 ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
又根据对称性得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形的性
质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形的性质是解
题的关键．
28. 对于平面直角坐标系 中的点P和图形W，给出如下定义：图形W关于经过点 且垂直于x轴
的直线的对称图形为 ，若点P恰好在图形 上，则称点P是图形W关于点 的“关联点”﹒（1）若点P是点 关于原点的“关联点”，则点P的坐标为______；
（2）如图，在 中， ， ， ．
①点C关于x轴的对称点为 ，将线段 沿x轴向左平移 个单位长度得到线段 （E，F分
别是点B， 的对应点），若线段 上存在两个 关于点 的“关联点”，则d的取值范围是
______；
②已知点 和点 ，若线段 上存在 关于点 的“关联点”，则m的
取值范围是______．
【答案】（1） ；
（2）① ；② 或 ．
【解析】
【分析】（1）根据“关联点”的定义可知 关于y轴对称，由此即可解决问题；
（2）①作出 关于直线 对称的 ，由题意平移后的线段 与 的边有两个交点
时满足条件，理由图像法解决问题即可；
②作出 关于直线 的对称的 ，如果直线 与 有交点，那么线段 上存在关于 的“关联点”，由此利用图像法解决问题即可．
【小问1详解】
解：∵点P是点 关于原点的关联点，
∴P，Q关于 轴对称，
∴ ，
故答案为 ；
【小问2详解】
解：①如图1中，
当 时，线段 平移到 位置，此时线段 上存在1个 关于点 的“关联点”，
当 时，线段 平移到 位置，此时线段 上存在2个 关于点 的“关联点”，
观察图像可知，满足条件的d的范围为： ，
故答案为： ．
②如图2中，当 时，线段 上存在 关于点 的“关联点”，如图3中，当 时，线段 上存在 关于点 的“关联点”，
如图4中，当 时，线段 上存在 关于点 的“关联点”，如图5中，当 时，线段 上存在 关于点 的“关联点”，
观察图像可知满足条件的m的为： ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称，中心对称，“关联点”的定义等知识，解题的关键是
理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．
