文档内容
2021-2022 学年北京市 101 中学九年级（上）月考
数学试卷（10 月份）
一、选择题：本大题共16分，每题2分
1. 下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用中心对称、轴对称的定义作答.
【详解】A选项，此图案是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B选项，此图案既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C选项，此图案是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D选项，此图案是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题要充分理解轴对称、中心对称的含义.
2. 某种流感病毒的直径在0.00000012米左右，将0.00000012用科学记数法表示应为（ ）
A. 0.12×10﹣8 B. 012×10﹣8 C. 1.2×10﹣8 D. 1.2×10﹣7
【答案】D
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 ，与较大数的科学记数法
不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.00000012米用科学记数法表示应为1.2× ．
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起
第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 一元二次方程x2﹣6x+5＝0的解为（ ）A. x＝1，x＝5 B. x＝2，x＝3
1 2 1 2
C. x＝﹣1，x＝﹣5 D. x＝﹣2，x＝﹣3
1 2 1 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：x2﹣6x+5＝0，
∴（x-1）（x-5）=0，
解得：x＝1，x＝5，
1 2
故选A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，解决本题的关键是掌握用因式分解法解一元二次方程的
步骤．
4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从 出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过（ ）
A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，逐一判断即可.
【详解】解：连接OA、OM、ON、OP，根据旋转的性质，点A的对应点到旋转中心的距离与OA的长度
应相等根据网格线和勾股定理可得：OA= ，OM= ，ON= ，OP=
，OQ=5
∵OA=OM=ON=OQ≠OP
∴则点A不经过点P
故选C.
【点睛】此题考查的是旋转的性质和勾股定理，掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等和用勾股
定理求线段的长是解决此题的关键.
5. 把函数 向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】【分析】根据直线平移的规律得到平移后的直线解析式，然后把x=2代入平移后的解析式即可作
出判断.
【详解】由“上加下减”的原则可知，将直线y=x向上平移3个单位后，所得直线的表达式是
y=x+3，
当x=2时，y=x+3=2+3=5，
所以点（2，5）在平移后的直线上，
故选D.
【点睛】本题考查了一次函数的平移以及一次函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象平移的法
则是解答此题的关键．
6. 随着北京公交制票价调整，乘客在乘车时可以通过新版公交站牌计算乘车费用，新版站牌每一个站名上
方都有一个相应的数字，将上下车站站名称对应数字相减取绝对值就是乘车路程，再按照其所在计价区段，参考票制规则计算票价，具体来说：
乘车路程计价区段 0﹣10 11﹣15 16﹣20 ..．
对应票价（元） 2 3 4 ...．
另外，一卡通刷卡实行8折优惠，小明用一卡通乘车上车时站名上对应的数字是5，下车时站名上对应的
数字是20，那么小明乘车的费用是（ ）
A. 1.6元 B. 2元 C. 2.4元 D. 3.2元
【答案】C
【解析】
【分析】首先用下车时站名上对应的数字减去上车时站名上对应的数字，求出小明乘车的路程是多少，进
而求出相应的票价是多少；然后用它乘以0.8，求出小明乘车的费用是多少元即可．
【详解】解：因为小明乘车的路程是：20-5=15，
所以小明乘车的费用是：
3×0.8=2.4（元）．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最
后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，解答此题的关
键是求出小明乘车的路程、相应的票价是多少．
7. 在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（ ）
A. y B. y C. y D. y
1 2 3 4
【答案】A
【解析】
【分析】由图象的点的坐标，根据待定系数法求得解析式即可判定．
【详解】由图象可知：抛物线y 的顶点为（-2，-2），与y轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y= （x+2）2-2；
1 1
的
抛物线y 顶点为（0，-1），与x轴的一个交点为（1，0），根据待定系数法求得y=x2-1；
2 2
抛物线y 的顶点为（1，1），与y轴的交点为（0，2），根据待定系数法求得y=（x-1）2+1；
3 3
抛物线y 的顶点为（1，-3），与y轴的交点为（0，-1），根据待定系数法求得y=2（x-1）2-3；
4 4
综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是y
1
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式，根据点的坐
标求得解析式是解题的关键．
8. 把一副三角板（如图甲）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6
cm，DC＝7 cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△DCE （如图乙），这时AB与CD 相交
1 1 1
于点O，与DE 相交于点F．则线段AD 的长为（ ）
1 1 1
A. 5 cm B. 5 cm C. 5cm D. 3cm
【答案】B
【解析】
【分析】先求出∠ACD=30°，再根据旋转角求出∠ACD =45°，然后判断出 ACO是等腰直角三角形，再根
1
据等腰直角三角形的性质求出AO、CO，AB⊥CO，再求出OD 然后利用勾△股定理列式计算即可得解．
1
【详解】解：∵∠ACB=∠DEC=90°，∠D=30°，
∴∠DCE=90°-30°=60°，
∴∠ACD=90°-60°=30°，
∵旋转角为15°，
∴∠ACD =30°+15°=45°，
1又∵∠CAB=45°，
∴△ACO是等腰直角三角形，
∴∠ACO=∠BCO=45°，
∵CA=CB，
∴AO=CO= AB= ，
∵DC= ，
∴DC=DC= ，
1
∴DO= - = ，
1
在Rt AOD 中，AD= = ，
1 1
△
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据等腰直角三角形
的性质判断出AB⊥CO是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题：本大题共16分，每题2分.
9. 在平面直角坐标系中点A（2，1）关于原点对称点的坐标是 ___．
【答案】（-2，-1）
【解析】
【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【详解】解：点A（2，1）关于原点的对称点的坐标是（-2，-1），
故答案为：（-2，-1）．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对
称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原
点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
10. 分解因式：2x2﹣2y2＝_____．
【答案】2（x+y）（x﹣y）
【解析】
【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【详解】解：2x2﹣2y2＝2（x2﹣y2）＝2（x+y）（x﹣y）．
故答案为2（x+y）（x﹣y）．
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
的
11. 方程x2＝3x 根是_____．
【答案】0或3
【解析】
【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，
这两式中至少有一式值为0”来解题．
【详解】解：x2＝3x
x2﹣3x＝0
即x（x﹣3）＝0
∴x＝0或3
故答案为：0或3
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，
因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
12. 若m是方程x2+4x﹣1＝0的根，则代数式（m+2）2+5的值为 ___．
【答案】10
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2-m=1，然后利用整体代入的方法计算（m+2）2+5的值．
【详解】解：∵m是方程x2+4x-1＝0的一个根，
∴m2+4m-1＝0，
∴m2+4m=1，
∴（m+2）2+5=m2+4m+9=1+9=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
13. 在平面直角坐标系xOy中，若正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过A（1，3）和B（﹣1，m），则m
的值为 ___．
【答案】-3
【解析】
【分析】直接把（1，3）代入y=kx可求出k的值，进而代入（﹣1，m）解答即可．
【详解】解：把（1，3）代入y=kx得：k=3，
∴y=3x，把（﹣1，m）代入y=3x中，
得m=-3，
为
故答案 ：-3．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的
解析式是解答此题的关键．
14. 如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到 A′B′C．若∠A′CB′＝30°，则∠BCA′的度数是 ___．
△
【答案】80°
【解析】
【分析】根据旋转的性质得∠BCB′=50°，然后利用∠BCA′=∠BCB′+∠A′CB′进行计算即可．
【详解】解：∵△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到 A′B′C，
∴∠BCB′=50°， △
∵∠A′CB′=30°，
∴∠BCA′=∠BCB′+∠A′CB′=50°+30°=80°．
故答案为：80°．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角；旋转前、后的图形全等．
15. 有一个抛物线形桥拱的最大高度为16m，跨度为40m，把它放在如图所示的直角坐标系里，若要在离
跨度中心点M的距离5m处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶，铁柱的长为 ___m．
【答案】15
【解析】
【分析】根据抛物线形的拱桥在坐标系中的位置，找出抛物线上顶点和另一个点的坐标，代入抛物线的顶
点式求出抛物线的解析式，再根据铁柱所在地的横坐标求出纵坐标，就是铁柱的高度．【详解】解：由题意，知抛物线的顶点坐标为（20，16），点B（40，0），
∴可设抛物线的关系为y=a（x-20）2+16．
∵点B（40，0）在抛物线上，
∴a（40-20）2+16=0，
∴a= ，
∴y= （x-20）2+16．
∵竖立柱柱脚的点为（15，0）或（25，0），
∴当x=15时，y= （15-20）2+16=15m；
当x=25时，y= （25-20）2+16=15m．
∴铁柱应取15m．
故答案是：15．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是知道抛物线在直角坐标系中的位置，选择适当的方法
求出二次函数的解析式，运用解析式求出铁柱的高度．
16. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C，现有下面四个推断：
①抛物线开口向下；
②当x＝﹣2时，y取最大值；
③当m＜4时，关于x的一元一次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根；
④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A、C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0；
其中推断正确的是 ___（只填序号）．
【答案】①③【解析】
【分析】结合函数图象，利用二次函数的对称性，恰当使用排除法，以及根据函数图象与不等式的关系可
以得出正确答案．
【详解】解：①由图象可知，抛物线开口向下，所以①正确;
②若当 时 ，y取最大值，则由于点A和点C到 的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是
图中点A个点C的纵坐标显然不相等，所以②错误；
③由图象可知，二次函数 的最大值大于4，即 ，所以当 时，关于x的一
元二次方程 必有两个不相等的实数根，所以③正确；
④已知直线y＝kx+c（k≠0）经过点A、C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是 或 ，所
以④错误．
故选：①③．
【点睛】本题考查二次函数的图象，二次函数的对称性，以及二次函数与一元二次方程，二次函数与不等
式的关系，属于较复杂的二次函数综合选择题．
三、解答题：本题共68分，第17-21每题5分，22题4分，23-25每题6分，26-28每题7分
17. 计算： | |+20210﹣2﹣1．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的化简，绝对值的概念，0次幂和负指数幂的性质计算即可．
【详解】解： | |+20210﹣2﹣1
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，绝对值的概念，0次幂和负指数幂的性质，解题关键是熟练掌握相
关知识．18. 解不等式组： ．
【答案】 ＜x＜5
【解析】
【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．
【详解】解：原不等式组为 ，
∵解不等式①，得 x＜5，
解不等式②，得 x＞ ，
∴原不等式组的解集为 ＜x＜5．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
19. 下面是小玲同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l和直线l外一点P．
求作：直线PM，使直线PM∥直线l．
图1
作法：如图2，
①在直线l 上任取一点A，作射线AP；
②以P为圆心，PA为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；
③以P为圆心，PB长为半径作弧，交射线AP于点 C；分别以B，C为圆心，大于 长为半径作弧，
在AC的右侧两弧交于点M；
④作直线PM；
所以直线PM就是所求作的直线．图2
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知PM平分∠CPB，
∴∠CPM ＝∠ ＝ ∠CPB．
又∵PA＝PB，
∴∠PAB ＝∠PBA．（ ）（填依据）．
∵∠CPB＝∠PAB ＋∠PBA，
∴∠PAB ＝∠PBA ＝ ∠CPB．
∴∠CPM ＝∠PAB．
∴直线PM∥直线l．（ ）（填依据）．
【答案】（1）见解析；
（2）BPM；等腰三角形两底角相等；同位角相等两直线平行
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的作法补全图2中的图形；
（2）根据角平分线的作法、等腰三角形的性质、平行线的判定定理解答即可．
【详解】解：（1）用直尺和圆规，补全的图形如图2所示；（2）证明：由作图可知PM平分∠CPB，
∴∠CPM=∠BPM= ∠CPB，
又∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA（等腰三角形两底角相等），
∵∠CPB=∠PAB+∠PBA，
∴∠PAB=∠PBA= ∠CPB．
∴∠CPM=∠PAB．
∴直线PM∥直线l（同位角相等，两直线平行），
故答案为：BPM；等腰三角形两底角相等；同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查的是尺规作图、平行线的判定、等腰三角形的性质，掌握基本尺规作图、平行线的判定
定理是解题的关键．
20. 已知一个二次函数的图象经过（2，﹣1），（1，0），（0，3）三点．
（1）求出这个二次函数解析式；
（2）若此函数图像与x轴、y轴的公共点分别为点A、B、C，则△ABC的面积为 ．
【答案】（1） ；（2）3
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）分别令x=0和y=0，求出A，B，C的坐标，再根据坐标与图形的关系求解．
【详解】解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
根据题意得 ，
解得： ，
所以二次函数解析式为 ；
（2）令y=0，则 ，
解得：x=1或x=3，即A（1，0），B（3，0），
令x=0，则y=3，
∴C（0，3），
∴ ABC的面积为 =3．
△
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与坐标轴交点问题，坐标与图形，求出
A，B，C的坐标是解题的关键．
21. 已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+3＝0有两个不相等的实数根
（1）求k的取值范围；
（2）若k为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
【答案】（1）k＜6；（2）k=5 ．
【解析】
【分析】（1）利用根的判别式大于0，即可得出结论；
（2）利用上题的结果及题中要求的k为大于3的整数，限定k的取值，代入此方程中，解方程，求出满足
方程的根都是整数的k值．
【详解】（1）因为若方程有两个不相等的实数根，
则Δ=b2-4ac=36-4（k+3）>0，
整理：24-4k>0，
解得：k＜6，
所以k的取值范围为k＜6；
（2）因为k＜6，且k为大于3的整数，
所以k可以为4或5，
当 k=4时，原方程为 ，无整数解，故舍去 ，
当k=5时，原方程为 ，解为 ，符合题意，
所以k=5．
所以k的值为5．
考点：1．一元二次方程根的判别式；2．解一元二次方程．
22. 实验操作：
（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角△ABC的顶点的横、纵坐标都是整数，若将△ABC以点P
（1，-1）为旋转中心，按顺时针方向旋转90°得到△DEF，请在坐标系中画出点P和△DEF．
（2）如图2，在菱形网格图（最小的菱形的边长为1，且有一个内角为60°）中有一个等边△ABC，它的顶点A，B，C都落在格点上，若将△ABC以点P为旋转中心，按顺时针方向旋转60°得到△A'B' C'，请
在菱形网格图中画出△A'B' C'，则点A旋转到点A'所经过的路线长为
【答案】（1）作图见解析；（2） ，作图见解析
【解析】
【分析】（1）先做出P点，然后找出点A、B、C绕点P顺时针旋转90°的位置，然后顺次连接即可；
（2）找出点A、B、C绕点P顺时针旋转60°的位置，顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，然后根据弧长公式求出
点A旋转到点A'所经过的路线长．
【详解】解：（1）（2）所作图形如下：
点A的运动路线 ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了利用旋转变换作图以及弧长公式的应用，根据网格结构找出对应点的位置是解题
的关键．
23. 某同学所在年级的500名学生参加“志愿北京”活动，现有以下5个志愿服务项目：A．纪念馆志愿讲
解员：B．书香社区图书整理：C．学编中国结及义卖：D．家风讲解员．E．校内志愿服务．每位同学都
从中选择一个项目参加．为了解同学们选择这5个项目的情况，该同学随机对年级中的40名同学选择的志
愿服务项目进行了调查，过程如下．
收集数据 设计调查问卷，收集到如下的数据（志愿服务项目的编号，用字母代号表示）
B，E，B，A，E，C，C，C，B，B，
A，C，E，D，B，A，B，E，C，A，
D，D，B，B，C，C，A，A，E，B，
C，B，D，C，A，C，C，A，C，E．
整理、描述数据 划记、整理、描述样本数据、绘制统计图如下．请补全统计表和统计图．
志愿服务项目 划记 人数
正
A．纪念馆志愿讲解员
B．书香社区图书整理
正正
C．学编中国结及义卖 12
D．家风讲解员
E．校内志愿服务 正 一 6
合计 40 40
分析数据、推断结论
a．抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是 （填A﹣E的字母代号）；
b．请你根据该同学的样本数据估计全年级大约有多少名同学选择志愿服务项目D．【答案】见解析
【解析】
【分析】依据收集的数据，即可得到补全统计表和统计图；依据抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编
号）中，C出现的次数最多，可得众数是C．依据D中的志愿服务项目在样本中所占的百分比，即可得到
全年级大约有多少名同学选择某D项目．
【详解】解：整理、描述数据：
由题可得，A项有8人，B项有10人，D项有4人．
选择各志愿服务项目的人数比例统计图中，B占10÷40=25%，D占4÷40=10%．
填表如下：
志愿服务项目 划记 人数
正
A．纪念馆志愿讲解员 8
B．书香社区图书整理 正正 10
正正
C．学编中国结及义卖 12
D．家风讲解员 4
E．校内志愿服务 正 一 6
合计 40 40
分析数据、推断结论：
a．抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）中，C出现的次数最多，故众数是C．
故答案是：C；
b ．500×10%=50（人），
∴全年级大约有50名同学选择志愿服务项目D．
【点睛】本题考查扇形统计图、统计表、用样本估计总体、众数的定义的运用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE＝OC，CE＝OD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠BAC＝30°，AC＝4，求菱形OCED的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解决问题．
【详解】解：（1）证明：∵DE=OC，CE=OD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵矩形ABCD，
∴AC=BD，OC= AC，OD= BD，
∴OC=OD，
∴平行四边形OCED是菱形．
（2）解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC=4，
∴BC=2，
∴ ，
连接OE，交CD于点F．
∵四边形OCED为菱形，∴F为CD中点，
∵O为BD中点，
∴OF= BC=1，
∴OE=2OF=2，
∴S = OE•CD= ．
菱形OCED
【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是灵活
运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
的
25. 如图，在足够大 空地上有一段长为20米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园
ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
【答案】（1）10米；（2）800平方米
【解析】
【分析】（1）设AB=x，则BC=（100-2x），列方程求解即可；
（2）BC=x，由题意得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：（1）设AB=x，则BC=（100-2x），由题意得：
x（100-2x）=450，
解得：x=5，x=45，
1 2
当x=5时，100-2x=90＞20，不合题意舍去；
当x=45时，100-2x=10＜20，
答：AD的长为10米；
（2）设BC=x，则S= x（100-x）= （x-50）2+1250，∵0＜x≤20， ＜0，
∴x=20时，S的最大值是800．
答：当x=20时，矩形菜园ABCD面积的最大值为800平方米．
【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确列式并明确二次函数的
相关性质，是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣1，P（x，m），Q（x，m）（x＜x）是此抛
1 2 1 2
物线上的两点．
（1）若a＝1，
①求抛物线顶点坐标；
②若2x﹣x＝7，求m的值；
2 1
（2）若存在实数b，使得x≤b﹣3，且x≥b+7成立，则m的取值范围是 ．
1 2
【答案】（1）①（1，-1）；②m＝3；（2）
【解析】
【分析】（1）①代入a＝1，得到 ，即可求出结果；
②根据抛物线的对称性可得到 然后列二元一次方程组，求得 ，代入其中一个
即可求得m的值；
（2）列方程x2﹣2ax+a2﹣1=m，解出 由x≤b
1
﹣3，且x≥b+7，可推出 求解即可．
2
【详解】解：（1）① a＝1，
，
抛物线顶点坐标为（1，-1）；
② P（x，m），Q（x，m）（x＜x）是此抛物线上的两点，
1 2 1 2
P、Q两点纵坐标相同，
又 2x﹣x＝7，
2 1，
解得 ，
将 代入原方程，得m＝3；
（2）根据题意， x2﹣2ax+a2﹣1=m，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，包括顶点坐标，对称性，抛物线与x轴的交点坐标等，有一
定综合性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
27. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正
方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G．
（1）若点D在线段BC上，如图1．请你直接写出BC与CG的数量关系是 ；位置关系是 ．
（2）若点D在线段BC的延长线上．
①请你依题意补全图2；
②判断问题（1）中的BC与CG的数量与位置关系是否仍成立，并说明理由；
③若G为CF中点，连接GE，用等式表示线段AB与GE的数量关系，并加以证明【答案】（1）BC＝CG，BC⊥CG；（2）①见解析，②成立，理由见解析，③ ．
【解析】
【分析】（1）证△ABD≌△ACF（SAS），得∠ACF＝∠B＝45°，则∠BCG＝∠ACB＋∠ACG＝90°，得
BC⊥CG，再证∠G＝45°＝∠B，得BC＝CG即可；
（2）①依题意补全即可，②证△ABD≌△ACF（SAS），得∠ACF＝∠B＝45°，则∠BCG＝90°，再证
∠BGC＝∠B，得BC＝CG即可；③过点G作HI平行AF，证△BAD≌△CAF（SAS），进而得出
BC⊥CF，设 ，可得：BC＝CD＝CG＝GF＝ AB＝ ，AG＝ ，DG ，AD＝ ，
再求出HG＝ ，AH＝ ，GI＝ ， ，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）BC＝CG，BC⊥CG，理由如下，如图（1）：
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴∠DAF＝90°，AD＝AF，
∴∠DAC＋∠CAF＝90°，
∵∠DAC＋∠BAD＝90°，
∴∠CAF＝∠BAD，
在△ABD和△ACF中， ，
∴△ABD≌△ACF，
∴∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠BCG＝∠ACB＋∠ACG＝90°，
∴BC⊥CG，∵∠B＝45°，∠BCG＝90°，
∴∠G＝45°＝∠B，
∴BC＝CG；
（2）①图（2）：
②BC＝CG，BC⊥CG，理由如下：
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠CAF＝90°＋∠CAD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝90°＋∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△ABD和△ACF中， ，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠BCG＝∠ACB＋∠ACF＝90°，
∴BC⊥CG，∠BGC＝90°−∠B＝45°，
∴∠BGC＝∠B，
∴BC＝CG；
③如图（3）过点G作HI平行AF，则四边形AHIF为矩形，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAC＝∠BAD−∠DAC＝90°，
∠DAF＝∠CAF−∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中， ，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD＝45°，BD＝CF，
∴∠ACF＋∠ACB＝90°，
∴BC⊥CF；
∵G为CF中点，
∴CG＝GF，
设 ，则AC＝AB＝x，
∵BD＝CF，BC＝CG，
∴BC＝CD＝CG＝GF＝ AB＝ ，
∴在Rt△ACG中，根据勾股定理得，AG＝ ，
在Rt△CDG中，根据勾股定理得，DG＝ ，AD＝ ，
∵ ，
∴三角形AGD为直角三角形．∴ ，
∴HG＝ ，
∴AH＝ ，
∴GI＝ ＝AD−HG＝ ，
∴GE＝ ，
∴ ．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的
判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等
是解题的关键．
28. 对子某一函数给出如下定义：如果存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这
个函数的不动值，在函数存在不动值时，该函数的最大不动值与最小不动值之差q称为这个函数的不动长
度．特别地，当函数只有一个不动值时，其不动长度q为零．例如，如图中的函数有0，1两个不动值，其
不动长度q等于1．
（1）下列函数①y x，②y＝x2+1，③y＝x2﹣2x中存在不动值的是 ；（填序号）
（2）函数y＝3x2+bx．
①若其不动长度为0，则b的值为 ；
②若﹣2≤b≤2，求其不动长度q的取值范围；
（3）记函数y＝x2﹣4x（x≥m）的图象为G，将G 沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G，函数G的图象
1 1 2
由G 和G 两部分组成，若其不动长度q满足0≤q≤5，则m的取值范围为 ．
1 2【答案】（1）①③；（2）① ，② ；（3）2≤m≤5或m＜
【解析】
【分析】（1）由题意得：y x ，解得： ，即可求解；y＝x2+1 ，无解，即可求解；y＝x2﹣
2x ，解得： 或 ，即可求解；
（2）由题意得：y＝3x2+bx ，解得： 或 ；①若其不动长度为0，则 ，即可求解 ，
②由题意得 ，﹣2≤b≤2，即可求解．
（3）如图1中，当图象G与直线y＝x的交点在第一象限时，P的最大值为5，最小值＞0，满足其不变长
度q满足0≤q≤5，此时m＜5，如图2中，当图象G经过原点时，m＝2，此时p的最大值为5最小值为
0，满足其不变长度q满足0≤q≤5，由此即可判断，如图3中，当直线x＝m在y轴的左侧，翻折后的抛物
线的解析式为y＝ −4，构建方程组，利用Δ＝0求出翻折后的抛物线与直线y＝x相切时，m
的值即可判断．
【详解】（1）由题意得：y x ，解得： ，故存在不动值；
y＝x2+1 ， ，无解，故不存在不动值；
y＝x2﹣2x ，，
，
解得： 或 ，故存在不动值；
故答案为：①③
（2）由题意得：y＝3x2+bx ，
，
，
解得： 或 ；
①若其不动长度为0，则 ，解得： ，
② ，﹣2≤b≤2，解得： 即 ．
（3）如图1中，当图象G与直线y＝x的交点在第一象限时，P的最大值为5，最小值＞0，满足其不变长
度q满足0≤q≤5，
∴m≤5，
如图2中，当图象G经过原点时，m＝2，此时p的最大值为5最小值为0，满足其不变长度q满足
0≤q≤5，如图3中，当直线x＝m在y轴的左侧，翻折后的抛物线的解析式为y＝ −4，
由 ，
消去y得到 ＋（−4m＋3）x＋4 −8m＝0，
当Δ＝0时， −4（4 −8m）＝0，
解得m＝ ，
观察图象可知，m＜ 时，满足条件，综上所述，满足条件的m的值为2≤m≤5或m＜ ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查的是二次函数综合运用，涉及到方程和不等式的求解等知识，解
题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考压轴题．
