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房山区 2019～2020 学年度第一学期九年级数学期末试卷
一、选择题
1. 如图， 中， ，则 值为（ ）
的
A. B. C. D.
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sinB的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 若反比例函数 的图象经过点 ，则这个函数的图象一定还经过点（ ）
A. B. C. D.
4. 已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为（ ）
A. B. π C. D.
5. 如图， 四点在⊙ 上， . 则 的度数为（ ）
.
A B. C. D.
6. 如图， 、 分别切⊙ 于 、 ， ，⊙ 半径为 ，则 的长为（ ）A. B. C. D.
7. 向空中发射一枚炮弹，第 秒时的高度为 米，且高度与时间的关系为 ，若此
炮弹在第 秒与第 秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A. 第 秒 B. 第 秒 C. 第 秒 D. 第 秒
8. 如图，在平面直角坐标系 中，以 为圆心作⊙ ，⊙ 与 轴交于 、 ，与 轴交于点
， 为⊙ 上不同于 、 的任意一点，连接 、 ，过 点分别作 于 ，
于 ．设点 的横坐标为 ， ．当 点在⊙ 上顺时针从点 运动到点 的过
程中，下列图象中能表示 与 的函数关系的部分图象是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
9. 二次函数 的最大值是__________．
10. 如果 ，那么锐角 __ ．11. 如图，点 在双曲线 上，且 轴于 ，若 的面积为 ，则 的值为__________．
12. 如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：3的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为
_________m.
13. 如图， 、 是⊙ 上的两点，若 ， 是⊙ 上不与点 、 重合的任一点，则
的度数为__________．
14. 如图， 是⊙ 的直径， 是⊙ 上一点， 的平分线交⊙ 于 ，且 ，则 的长
为_________．
15. 在平面直角坐标系中，二次函数 与反比例函数 的图象如图所示，若两个函数图
象上有三个不同的点 ， ， ，其中 为常数，令 ，则 的值为
_________．（用含 的代数式表示）16. 已知二次函数 （ 为常数），当 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．
如图分别是当 取四个不同数值时此二次函数的图象．发现它们的顶点在同一条直线上，那么这条直线的
表达式是_________．
三、解答题
17. 元元同学在数学课上遇到这样一个问题：
如图1，在平面直角坐标系 中，⊙ 经过坐标原点 ，并与两坐标轴分别交于 、 两点，点 的坐
标为 ，点 在⊙ 上，且 ，求⊙ 的半径.
图1 图2
元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程.
解：如图2，连接
,是⊙ 的直径. （依据是 ）
且
（依据是 ）
．即⊙ 的半径为 ．
18. 已知：如图， 中， 平分 ， 是 上一点，且 ．判断 与
的数量关系并证明．
.
19. 如图， 中， ， ， ，解这个直角三角形
20. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值如下表所示：
... ...
... ...
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）结合图像，直接写出当 时， 的取值范围．
21. 如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架 米长的梯子斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为
，此时梯子顶端 恰巧与墙壁顶端重合. 因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达 处，
此时测得梯子 与地面的夹角为 ，问：胡同左侧的通道拓宽了多少米（保留根号）？
22. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与函数 的图象交于 ， 两点，且
点 的坐标为 ．
（1）求 的值；（2）已知点 ，过点 作平行于 轴 的直线，交直线 于点 ，交函数 的
图象于点 ．
①当 时，求线段 的长；
②若 ，结合函数的图象，直接写出 的取值范围．
23. 已知 如图所示，点 到 、 、 三点的距离均等于 （ 为常数），到点 的距离等于
的所有点组成图形 . 射线 与射线 关于 对称，过点 C作 于 .
（1）依题意补全图形（保留作图痕迹）；
（2）判断直线 与图形 的公共点个数并加以证明.
24. 如图， 内接于⊙ ， ，高 的延长线交⊙ 于点 ， ， ．
（1）求⊙ 的半径；
（2）求 的长．
25. 如图，在正方形 中， ，点 在正方形边上沿 运动（含端点），连接
，以 为边，在线段右侧作正方形 ，连接 、 .
小颖根据学习函数的经验，在点 运动过程中，对线段 、 、 的长度之间的关系进行了探究.
下面是小颖的探究过程，请补充完整：（1）对于点 在 、 边上的不同位置，画图、测量，得到了线段 、 、 的长度的几组
值，如下表：
位置 位置 位置 位置 位置 位置 位置
在 、 和 的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的 长度和
的长度都是这个自变量的函数.
（2）在同一平面直角坐标系 中，画出（1）中所确定的函数的图象：
（3）结合函数图像，解决问题：
当 为等腰三角形时， 的长约为
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）过点 作与 轴平行的直线，交抛物线于点 ， .当 时，求 的取值范围.
27. 在 中， ， ，以点 为圆心、 为半径作圆，设点 为⊙ 上一点，
线段 绕着点 顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 、 ．（1）在图中，补全图形，并证明 .
（2）连接 ，若 与⊙ 相切，则 的度数为 .
（3）连接 ，则 的最小值为 ； 的最大值为 .
28. 如图，已知线段 与点 ，若在线段 上存在点 ，满足 ，则称点 为线段 的“限
距点”.
（1）如图，在平面直角坐标系 中，若点 .
①在 中，是线段 的“限距点”的是 ；
②点 是直线 上一点，若点 是线段 的“限距点”，请求出点 横坐标 的取值范围.
（2）在平面直角坐标系 中，点 ，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于
点 . 若线段 上存在线段 的“限距点”，请求出 的取值范围.
